勾股定理探索
探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册
1637年，路易十四命令巴黎学院组织了一场盛大的比赛，将法国的贵族们集结起来解决了这道难题，当时获胜的人可以得到很丰厚的奖品。
有关于勾股定理的趣味历史
勾股定理的介绍
目录
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
用勾股定理解决实际问题
勾股定理的跨学科
勾股定理的验证推导
什么是勾股定理
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
有关于勾股定理的趣味历史
据说在古埃及文明中，他们建造金字塔时使用了“几何法则”来确定石块之间的距离和角度。这个神秘的几何法则据说与古代建筑物的外形有关系，可能就是指勾股定理。
折叠毕达哥拉斯定律
勾股定理的验证推导
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
在语文课堂上的应用
在科学实验中的应用
用勾股定理解决实际问题
物理学中的应用
勾股定理在物理学中被广泛运用，可以用于建筑结构分析、机械设计以及其他类似问题的解决，同时也是桥梁设计的重要理论基础之一。
有不少现代的编程语言内置了计算器功能，提供了简便易用的库支持。而且在算法领域也能看到它的踪影，如分治算法、动态规划算法等
勾股定理的探索之旅
作业
查阅有关勾股定理的历史资料， 及证明方法，与同学交流.
课堂寄语
在数学的天地里，重要的不是我 们知道什么，而是我们应该怎样知 道“什么”.
——毕达哥拉斯
a2 b2 c2
（3）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则
a2 b2 c2
（√）
（×）
（×）
2、在直角三角形ABC中，c为斜边，若a=6，b=8，
则c= 10 。
3、在直角三角形 ABC中， c为斜边。若c=13，b=12，
则 a=
5。
4、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ D ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
5. 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9 米处折断倒下，树顶落在离树根12米处. 大树在折 断之前高多少米？
小结
1.勾股定理揭示了哪类三角形中三边之间的数量 关系？ 2.你这节课的主要收获是什么？ 3.在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些 方法？ 4.你1最有兴趣的是什么？
黑 白 相 间 的 地 砖
毕达哥拉斯
观察（一）
观察（二）
发现
SA
等腰直角三角形两条直角边
SC
上的正方形面积之和等于斜
边上正方形的面积.
SB
SA+SB=SC
猜想
是否任意直角三角形两条直角边上的正 方形面积之和也等于斜边上正方形的面 积呢？
C B
A
SA+SB=SC
探究之旅
若图中每个小方格的面积均为1，计算填写下表：
C
A
A的 B的 C的 面积 面积 面积 图① 16 9 25
图A
B
图② 图1-2
《探索勾股定理》勾股定理PPT5 图文
无论什么，我仍心怀感激，或许你我只 是在人 生的烟 雨小巷 里，水 榭楼亭 旁一场 花的邂 逅，一 场流水 的情缘 。谢谢 你，曾 经来过 我的世 界，不 惊，不 扰！
如若有缘，总会有那么一个人，即便跋 山涉水 ，历经 千辛万 苦，也 会向你 奔赴而 来;如若 有缘， 总会有 那么一 个人， 即便拨 开万千 人群， 拨开姹 紫嫣红 ，也会 站在光 阴的廊 桥上， 没有早 一步， 没有晚 一步， 只为在 最美的 季节里 ，与你 相遇相 知，与 你在时 光的铜 镜里勾 勒成一 个完 美的圆 。
如图，过 A 点画一直线 AL
使其垂直于 DE， 并交 DE
于 L，交 BC 于 M。通过证
明△BCF≌△BDA，利用三
角形面积与长方形面积的关
系，得到正方形ABFG与矩
形BDLM等积，同理正方形
ACKH与 矩形MLEC也等积，
于是推得
AB2 AC 2 BC 2
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
时光就是这么不经用，很快自己做了母 亲，我 才深深 的知道 ，这样 的爱， 不带任 何附加 条件， 不因万 物毁灭 而更改 。只想 守护血 浓于水 的旧时 光，即 便峥嵘 岁月将 容颜划 伤，相 信一切 都是最 好的安 排。那 时的时 光无限 温柔， 当清水 载着陈 旧的往 事，站 在时光 这头， 看时光 那头， 一切变 得分明 。执笔 书写， 旧时光 的春去 秋来， 欢喜也 好，忧 伤也好 ，时间 窖藏， 流光曼 卷里所 有的宠 爱，疼 惜，活 色生香 的脑海 存在。
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生 ，不堪 论，年 华将晚 易失去 ，听几 首歌， 描几次 眉，便 老去。 无论天 空怎样 阴霾， 总会有 几缕阳 光，总 会有几 丝暗香 ，温暖 着身心 ，滋养 着心灵 。就让 旧年花 落深掩 岁月， 把心事 写就在 素笺， 红尘一 梦云烟 过，把 眉间清 愁交付 给流年 散去的 烟山寒 色，当 冰雪消 融，自 然春暖 花开， 拈一朵 花浅笑 嫣然。
探索勾股数的规律
勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。
如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：222a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。
一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数；（2）2a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a n b n n-+-===+,2221(21)122122a n c n n +++===++于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。
3、证明：∵22222(21)(22)ab n n n +=+++4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++22(221)n n =++∴222ab c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n为正整数）是一组勾股数。
4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察（2）归纳规律：略。
当n 为正整数时，勾股数为：22(1)a n n =+-2(1)b n n =+22(1)c n n =++化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222nn +、2221n n ++。
（3）证明过程：同前面的证明。
二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律：（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；（2）、2214,22a abc b -=+=⨯（3）、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时，则：2224[2(1)]4224a n b n n -+-===+2224[2(1)]42224a n c n n +++===++[或22c=b+2=(n2n)+2=n 2n+2++]，于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++（n为正整数）。
2.7 探索勾股定理第1课时 勾股定理 浙教版数学八年级上册课件
2.如图，由四个全等的直角三角形及一个小正方形组成一 个大正方形，已知直角三角形的短直角边长为3，小正方 形的面积为1，则大正方形的面积为（ B ）
A. 4 B. 25 C. 6
D. 24
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可 以求出第三边的长度.
例2.如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在 数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交 正半轴于一点，求这个点表示的实数.
解：
例3.如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离， 一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过 测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿 过湖到点B有多远？
分析：直角三角形的短直角边长为3， 长直角边为3+1=4，则斜边为5. 大正方形的面积为52 =25.
3.丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂
直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ B ）
A.4米
B.8米
C.10米
D.12米
分析：设旗杆的高为x米，则绳子的长为(x+2)米， 根据题意得：x2+62= (x+2)2， 解得x=8.
概括 一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的 长，则
a2+b2=c2.
我国古代把直角三角形中较短的直
角边称为“勾”，较长的直角边称
为“股”，斜边称为“弦”.
《探索勾股定理》课件
2023
PART 03
勾股定理的应用
REPORTING
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在几何学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决 各种与直角三角形相关的几何问题。例如，利用勾股定理可 以计算直角三角形的斜边长度，也可以判断一个三角形是否 为直角三角形。
勾股定理在几何学中还被应用于解决一些复杂的几何问题， 如计算不规则图形的面积和周长等。通过将不规则图形划分 为若干个直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解相关问 题。
2023
PART 05
结论
REPORTING
勾股定理的重要性和影响
勾股定理是几何学中的基本定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的关系，对于 解决与直角三角形相关的问题具有重要意义。
勾股定理在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在计算几何图形面积、 解决物理问题、设计建筑结构等方面都发挥着重要作用。
勾股定理在物理学中的应用
勾股定理在物理学中也有着重要的应用，特别是在解决与重力、浮力和弹性力等 相关的物理问题时。例如，利用勾股定理可以计算物体在垂直方向上的位移，也 可以计算物体在液体中的浮力。
勾股定理在物理学中还被应用于解决一些复杂的物理问题，如计算物体的弹跳高 度和速度等。通过将物理问题转化为几何问题，我们可以利用勾股定理来求解相 关问题。
勾股定理在日常生活中的应用
勾股定理在日常生活中也有着广泛的应用，它可以帮助我 们解决各种与直角三角形相关的实际问题。例如，利用勾 股定理可以计算建筑物的斜梁长度，也可以判断一个建筑 物是否为稳定结构。
勾股定理在日常生活中还被应用于解决一些复杂的实际问 题，如计算电线杆的高度和桥梁的跨度等。通过将实际问 题转化为几何问题，我们可以利用勾股定理来求解相关问 题。
2023探索《勾股定理》说课稿范文(精选5篇)
2023探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）2023探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。
根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。
"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。
让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。
第二步追溯历史解密真相勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。
从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。
学生很容易发现，在等腰三角形中存在如下关系。
1.1.2探索勾股定理(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，让学生们充分发表自己的观点。从讨论成果来看，学生们对于勾股定理在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现有些学生在讨论中较为沉默，可能是因为缺乏自信或者不敢表达自己的看法。针对这个问题，我打算在以后的教学中多关注这部分学生，鼓励他们积极参与讨论。
（3）学会运用勾股定理解决实际问题，例如计算直角三角形的斜边长度或已知斜边长度求直角边的长度。
举例：在讲解勾股定理时，可以引用教材中的例子，如一个直角三角形，两直角边分别为3和4，求斜边长度。通过计算3²+4²=9+16=25，然后开方得到斜边长度为5，使学生理解并掌握勾股定理的应用。
2.教学难点
（1）理解并证明勾股定理：对于部分学生来说，理解直角三角形两条直角边与斜边之间的数量关系可能存在困难。因此，教师需要采用生动形象的方法，如实物操作、动画演示等，帮助学生突破这一难点。
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索勾股定理的过程，让学生理解数学结论的严谨性，提高他们的逻辑思维水平；
2.培养学生的空间想象力和几何直观，通过观察和分析直角三角形的性质，发展学生对图形的认识和处理能力；
3.培养学生的数学建模素养，使学生能够运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，感受数学与现实生活的紧密联系；
1.1 .2探索勾股定理（教案）
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P
Q CR
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形R的面积吗？
C B
A
图1—3
做一做：
（1）观察图1—3、 图1—4，并填写下 一页的表格；
C B
A
图1—4
16
9
25
4
9
13
你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流
（2）三个正方形A、B、C的面积之间有什么 关系？
A的面积+B的面积=C的面积
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
P a
Qb c
R
SP+SQ=SR
即：两条直角边上 的正方形面积之和等 于斜边上的正方形的 面积
a2+b2=c2
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ （2）猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
八年级数学（上册）
探索勾股定理
邮票赏析
这是1955年希腊发行的 邮票，图案是由三个棋盘 排列而成。这张邮票是纪 念二千五百年前希腊的一 个学派 ── 毕达哥拉斯学 派的成立以及其在文化上 的贡献。邮票上的图案是 对数学上一个非常重要定 理的说明。它是初等几何 中最精彩的，也是最著名 和最有用的定理。在我国， 人们称它为勾股定理或商 高定理；在欧洲，人们称 它为毕达哥拉斯定理。
SP+SQ=SR
a
bca2+b2=来自2猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理：直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方．
A
b
c
C
a
B
∵Rt△ABC中，∠C =90°，
∴ a2 b2 c2（勾股定理）
勾股史话
勾股定理： 勾2股2 弦2
勾
股
勾
弦
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上 半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国 古代学者把直角三角形较短的直角边称为 “勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为 “弦”.
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地 面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底 部12米处，旗杆折断之前有多高？
9米 12米
议一议
（1）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？与同伴进行交流。
（2）勾股定理从提出到现在的两千多年 中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜 集 37整 0种理不的同《证毕法达。哥你拉能斯再》找一出书它中证就法b给吗a出c？
３
４
试一试:
2、一个直角三角形的三边长为三个连续
偶数,则它的三边长分别为
( B)
A） 2、4、6
Ｂ） 6、8、10
Ｃ） 4、6、8
Ｄ） 8、10、12
小结
1.勾股定理揭示了直角三角形中三边得关系，即直角三 角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+b2=c2
2.如果已知直角三角形中两边的长度，利用这个等式 很容易求出第三边得长度。
2002年国际数学家大会的会标
这一设计的基础是公元3世纪中国数学家赵 爽的弦图，是为证明发明于周代的勾股定理 而绘制的．对这个图进行加工变化便形成了 这个会标．
1、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的 长为 ( C) A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
邮票的秘密 观察这枚邮票图案小方格的个数， 你有什么发现?
32 +42 =52
43 5
探索勾股定理(1)
ac b
a2+b2=c2
(1) 、在方格纸上,画 一个顶点都在格点上 的直角三角形;
(2)、分别以这个直角三 角形的各边为一边向三 角形外作正方形；
(3)计算以各边为一边的 正方形的面积.
P
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。