基本不等式{精品}

3 解: x > 3 、 ∵ 1 1 ∴y = x + = (x - 3) + +3 x−3 x- 3 1 2 ( x − 3) ⋅ ≥ +3= 5 x−3 1 当且仅当 x − 3 = , 即 x = 4时，函数有最大值， x−3 最大值为5。
注意
1、不等式的适用范围 、不等式的适用范围 2、运用重要不等式求最值时，要把一端化 、运用重要不等式求最值时， 常数（定值）。 为常数（定值）。
a2 + b2 2
• a、b的调和平均数为： 1 、 的调和平均数为 的调和平均数为：
2
1 + a b
例 2: 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 其容积为4800 4800m 深为3 其容积为4800m 3 ,深为3m,如果池底每平方米 的造价为150 150元 池壁每平方米的造价为120 120元 的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低?, 怎样设计水池能使总造价最低?, 最低总造价是多少? 最低总造价是多少?
课本P100:练习3: 解:设矩形的长与宽分别为acm,bcm, 由题意2(a+b)=20 ⇒ a+b=10 因为a>0,b>0 a+b 2 10 2 ) =( ) =25,S max =25 ∴ S=ab ≤( 2 2 当且仅当a=b=5时取等号 答:矩形的长与宽均为5时,面积最大为25 cm
2
-0.5
选B
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
作业本P51:4 已知实数x,y满足条件 xy≤64 x≥2 Y≥2 则Z=log2x+log2Y的最小值是_________
解: XY ≥2 ⋅2=4 ∴ Z=log 2 X+log 2 Y=log 2 XY ≥log 2 4 ≥log 2 4=2 ∴ Z min =2
• 从形的角度来看，基本不等式具有 特定的几何意义；从数的角度来看， 基本不等式揭示了“和”与“积” 这两种结构间的不等关系。
D a+b OD= 2 A a O C
ab b B
a+b ab≤ ab ≤ 2
E 两个正数的几何平均数小于或等于 这两个正数的算术平均数
特别地,如果a 特别地,如果a>0,b>0, a+b 2 也可写作 ab ≤ ( ) 2 当且仅当 a=b 时,等号成立
作业本P51:1 若点(3,1)和(-4,6)在直线3X-2Y+a=0的两侧,则a的取值范围是( A:a<-7,或a>24, B. -7<a<24 C:a=-7或 a=24, D. a≥7.
)
解: [3×3-2×1+a][3×(-4)-2×6+a]<0 即 (a+7)(a-24)<0 ∴-7<a<24
例1: a, 为两不相等的正实数, a,b为两不相等的正实数,下列各 式中最小的是 a+b a2+b2 2ab ,(B) ab (C) (D) (A) 2 2 a+b
推广公式: 推广公式:a,b∈R
+
2ab a+b ≤ ab ≤ ≤ a+b 2
a 2 +b 2 2
推广公式: 推广公式:a,b∈R + a+b ≤ ab ≤ ≤ 1 1 2 + a b
-30 -25 -20 -15 -10 -5
B(1,9)
8 6
A(3,8): B(1,9):
A(3,8)
4
2
5
-2
-4
-6
-8
作业本P49: 11: Y≥0 Y≤X 已知由约束条件 Y≤2-X 确定的区域面积为S, t≤x≤t+1 求 S=f(t) (0≤t≤1)的表达式
4 3.5
3
2.5
1 1 1 解: S= ⋅2⋅1- ⋅t⋅t- (1-t)(1-t) 2 2 2 1 1 1 =1- t2- (1-2t+t2)=-t2+t+ 2 2 2 1 2+t+ 即 f(t)=-t (0≤t≤1) 2
D E a b F G B H
A a 2 +b 2
C
基本不等式
１、如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab 如果 、 ∈ ，那么 （当且仅当a=b时，取“=”号） 当且仅当 时 号
算术平均数与几何平均数
a+b ≥ ab 2.如果a，b∈R＋，则 2 当且仅当a＝b时取等号
两个正数的等差中项不小于 代数解释： 代数解释： 它们的等比中项。 它们的等比中项。
二、简单应用
已知x 都是正数, 例1:已知x,y都是正数, Y X 求证 ( 1) + ≥ 2 X Y (2)(x+y)(x 2 +y 2)(x 3+y 3 ) ≥ 8x 3y 3
证明 (2): 因为x>0,y>0 ∴ x+y ≥2 xy x 2 +y 2 ≥2xy x 3 +y 3 ≥2 x 3 y 3 =2xy xy ∴ (x+y)(x 2 +y 2 )(x 3 +y 3 ) ≥ 2 xy ⋅2xy ⋅2xy xy ∴ (x+y)(x 2 +y 2 )(x 3 +y 3 ) ≥8x 3 y 3
二、简单应用
已知x 都是正数, 例1:已知x,y都是正数, Y X 求证 (1) + ≥2 X Y (2)(x+y)(x
2 +y 2 )(x 3 +y 3 ) ≥ 8x 3 y 3
Y x 证明(1): 因为x>0,y>0, >0, >0 ∴ x Y Y x Y x ∴ + ≥2 ⋅正数积为定值， 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少?
解:(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 2(x+y)=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为S=xy m2 x+y 18 由 xy≤ = =9. 2 2 可得S=xy≤81 当且仅当X=Y=9时成立, ∴这个矩形的长,宽都为9 m时, 菜园的面积最大,最大面积是 81 m2
1 (2)已知 x < 0, 求 x + 的最值; x
2、解: x < 0,∴−x > 0 ∵ 1 1 1 ∴x + = −[(−x) + (− )] ≤ −2 (−x) ⋅ (− ) = −2 x x x 1 当且仅当− x = − 即x = −1时有最大值 − 2. x
1 (3)若x > 3,函数y = x + ,当x为何值时，函数 x −3 有最值，并求其最值。
3.5
X ≤1 线性目标函数Z=2X-Y在线性约束条件 Y ≤1下取最小值时的最优解是( ) A.(1,1). B.(-1,1) C.(-1,-1) D. (1,-1)
3 2.5 2
作业本P51:2
Z=2X-Y⇒Y=2X-Z
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1.5
1
A(-1,1)
0.5 1 2
X
结论2 两个正数和为定值， 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
例3:.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论1 两个正数积为定值， 结论2 两个正数和为定值， 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
-5 -4 -3 -2 -1
2
1.5
A(1,1)
1 0.5
B
1
E
2 3
-0.5
C(t,0) D(t+1,0)
-1
-1.5
-2
-2.5
5
作业本P49: 6: X-Y-2≤0 X+2Y-4>0 设实数x,Y满足条件 2Y-3≤0 Y 则 的最大值是______ X
4
3
2
A(1,1.5)
1
-10
-8
-6
1 例 知 > 0, 求 + 的 值 4：(1) 已 x x 最 ; x 1 (2) x x ; 已知 < 0,求 + 的最值 x 1 (3)若 x > 3, 函数 y = x + , 当 x为何值时，函数 x−3 有最值，并求其最值。 1 1 解: x > 0,∴x + ≥ 2 x ⋅ = 2 ∵ x x 1 当 仅 x = 即 =1时 式 最 值2. 且 当 x 原 有 小 x
-4
-2
2
4
6
Y 3 解:( ) max = x 2
-1
-2
-3
-4
-5
基本不等式( 基本不等式(二)
P100:练习:1,2,3,4.
课本P100:练习2: 解:设两条直角边的长分别为a,b, 1 由题意 ab=50⇒ab=100. 2 因为a>0,b>0 ∴L=a+b≥2 ab=2 100=20,Lmin =20 当且仅当a=b=10时取等号 答:当两条直角边的长均为10时,两条 直角边的和最小,最小值是20
4800 1600 解:设底面的长为x m,宽为Y= = m,水池总造价为Z元 X 3X 根据题意,有 4800 Z=150⋅ +120(2×3x+2×3y)=240000+720 (X+Y) 3 1600 1600 =240000+720(X+ )≥240000+720⋅2 x⋅ X x =240000+720⋅2 1600 =297600. 1600 当且仅当 X= ⇒X=40,∴X=Y=40时,等号成立 X 答:将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低, 最低总造价是297600元