直线与圆锥曲线的位置关系练习题(自己)
直线与圆锥曲线的位置关系
该 程｛２ ＿＿ 圆方为世１ 为 ， 椭 上点 组６ ２１ 的程孚 ． 孚 以 圆 的和 【 ． ，删椭 Ⅱ ＝ ６ ４
（ ） （ ） 知点 Ａ 的 坐 标为 （ ２ ０ ， 直 线 ｆ ２ 由 １可 一 ，） 且
的 斜 率 必 存 在 ． 点 Ｂ 的 坐 标 为 （ ， ， 线 ｆ 斜 设 Ｙ） 直 的
（ ） 否存 在 常 数 Ａ， 得 ｌ ＢＩ Ｄ ＪＡＩＢ Ｉ ３是 使 Ａ Ｃ ＋Ｉ ＝ Ａ ・
ｌ Ｄｌ 成 立 ？ Ｃ 恒 若存 在 ， 出 Ａ的值 ； 不存 在 ， 说 求 若 请
明理 由．
弦长 ｆ ＝ ｌ － ・Ｘ－ ｚ． 圆锥 曲线 的弦 长的 思 ＡＢｌｖＴ ￣ ＪＩＸ Ｉ ４ 求
．
所 以 ｙ： —ｘ ｉ 。 ±２ ￣ ／
综 上可知 ， ＋ Ｎ ２ ￣ ｙ： —ｖ － ： ２ ／ ０ ±２ Ｔ ￣
一
．
例 １ 已知椭圆 ＋ ＝ （＞＞ ） 等 １ａｂＯ的离心率ｅ ＝
，
小 结 涉及 弦的 中点 的 问题 ， 们 可 以利 用判 我
别 式 和 根 与 系数 的 关 系 加 以 解 决 ， 可 以 利 用 “ 也 点
ｋ】ｋ２ ． ・ ＝１
￣ ｌ Ｄ ＩＡＩ ＢＩ Ｄ Ｉ ａｇｌ Ｃ Ｃ ＋Ｉ ＝ Ａ ・Ｉ
恒 成立 ． 小 结 设 直 线 ｌ 圆 锥 曲 线 Ｃ 相 交 于 Ａ． 两 与 Ｂ 点 ， Ａ 的 坐 标 为 （ ， ， Ｂ 的 坐 标 为 （ ， ２ ， 点 Ｙ） 点 Ｙ） 则
垂 直 平 分 线 为 ｙ轴 ， 是 于 ＝ 一 一ｏ ， （ ２，ｙ ） ＝ ２， （
直 线与圆 线的 锥曲
一
） ・ ：， ． 由 ４ 得 ＝ ２ ／ ± 、 ．
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
中职数学直线 圆 圆锥曲线练习测试题(含答案)
解析几何测试题3时间：120分钟 满分120分一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）.1.直线2x -y +2=0和x +3y +1=0的位置关系是( ).A .x -3y +5=0 В.x -3y +6-0C .3x -y -1=0D .3x -y +5=02.方程222460x y x y ++--=表示的图形是( ).A .以(1.-2)为半径的圆B .以（1.2)为半径的圆C .以(-1.-2)为半径的圆D .以(-1.2)为半径的圆3. 直线y -2x +5=0与圆224220x x y y +-++=的图形之间的关系是( ).A .相离B .相切C .相交但不过圆心D .相交且过圆心4. 若220)12x y x y λλλ++-++=（表示圆，则λ的取值范围是( ).A . 0λ>B .115λ C . 1λ>或15λ< D . R λ∈ 5. 若直线3x +4y +k =0与圆22650x y x +-+=相切，则k 的值等于( ).A .1或-19B .10或-10C .-1或-19D . -1或196.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ).A .3B .4C .5D .67.焦点在x 轴上，长轴长为8.离心率为12，那么椭圆的标准方程为( ). A . 2211612+=x y B . 2211612-=x yC . 2211216+=x y D . 2211216-=x y 8. 顶点在坐标原点，焦点是(0，-1)的抛物线的标准方程是( ).A . 24=xy B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 9. 若直线3x －2y ＋c ＝0与坐标轴围成的三角形的面积为3，则c 为( ).A ．6B ．－6C ．－6或6D ．3或－310. 经过圆x 2＋y 2＝4上一点M的切线方程为( ).A ．x －y－0 B ．x ＋y －C ．x ＋ y +0 D ．x ＋2y －4＝011.如图所示，直线1l : 0ax y b -+=与直线0bx y a +-=在同一坐标系中只可能是( ).A .B .C .D .12. 若方程x 2cosα－y 2sinα＝1表示的曲线是双曲线，则角α的终边在( ).A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三象限13. 等轴双曲线的渐近线方程为( ).A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±23x14. 若ab >0，则方程ax 2－by 2＝ab 表示的曲线是( ).A ．双曲线B ．椭圆C ．椭圆或双曲线D ．圆或椭圆15. 椭圆22259x y +＝1与双曲线22259x y k k ---＝1(9<k <25)始终有( ). A ．相同的离心率 B ．相同的顶点C ．相同的焦点D ．以上结论均错误二、填空题（本题共15道小题每题2分，共30分）16.已知直线3x +(1-a )y +5=0与直线x -y =0平行,则 a =________.17.两平行线3x +4y -10-0与6x +8y -7=0之间的距离是________.18. 抛物线的准线方程为12x =，则抛物线的标准方程为________. 19. 已知直线l 经过点P 0(1，2)，倾斜角为135°，则直线l 的方程为________.20. 以点(－2，3)为圆心，且经过点(2，5)的圆的标准方程为__________．21. 若A (－2，3)，B (－1，7)，C (2，a )三点共线，实数a 的值为________.22.若方程x 2＋y 2＋(1－m )x ＋1＝0表示圆，则m 的取值范围是___________．23. 椭圆的长轴长为18，离心率为13,则椭圆的标准方程为________. 24.若221213x y m m+=--表示椭圆，则m 的取值范围为________. 25. 双曲线222516400-=xy 的两条渐近线方程是___________. 26. 若抛物线22=y px （0p >）上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.27. 经过P (－1，1)，Q (0，2)两点，且圆心在x 轴上的圆的标准方程是_______．28. 圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝2截直线x －y －5＝0所得的弦长为_______．28. 与圆x 2+y 2+6x －2y －15=0有相同的圆心，且过点（-2，3）的圆的半径为______．29. 若圆x+y 2＋y 2＝2与直线y ＝x ＋b 相交，则b 的取值范围是________．30. 若经过双曲线22x －y 2＝1的右焦点F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，|AB |＝5，F 1是左焦点，则△F 1BA 的周长为___________．三、解答题(本题共7小题，共45分)31. (6分)若抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点坐标是(1，2)，求抛物线的焦点到直线的距离.32. (6分)一直线经过点(-2,4)，它的倾斜角是直线y +3的倾斜角的2倍，求它的方程.33. (6分)已知圆过点A (-1,1)，B (1,3)，且圆心在x 轴上，求圆的方程.34. (6分)求经过点A (3, 2)，圆心在直线y ＝2x 上，且与直线2x －y ＋5＝0相切的圆的标准方程．35. (7分)已知点A (3，4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出此时点M 的坐标．36. (7分)求以椭圆2285x y +＝1的顶点为焦点、焦点为顶点的双曲线方程． 37. (7分)已知经过点(0，－2)，且倾斜角为π4的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若某椭圆中心在坐标原点，一个焦点是抛物线的焦点，且长轴长等于 |AB |，求椭圆的标准方程．解析几何测试题3答案一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）1—5 A D D C A 6—10 C A B C B 11—15 B D A A C二、填空题（本题共15小题，每题2分，共30分）16. 4 17. 131018. 22y x =- 19. x ＋y －3＝020. (x ＋2)2＋(y －3)2＝20 21. 1922. m <－1或m >3 23. 2218172x y +=或2217281x y += 24. 144,,3233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25. 54y x =± 26. 2 27. (x －1)2＋y 2＝528.29. (－2，2)30. 10三、解答题（本题共7小题，共45分）31. 解：将点 (1，2)分别代入抛物线方程y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，∴抛物线方程y2＝4x，∴焦点F(1，0)，∴抛物线的焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为d=32.解：由直线33y x=+可知3k=_，所以tanθ=3k=，所以θ=30︒. 所以所求方程的倾斜角为60︒.故tan60k=︒=.所以所求直线方程为y-4x+2)-y+4+33. 解：设所求圆的圆心为()0a,=解得a=2.所以圆心为()3,0，半径r=所以所求圆的方程为()22310x y-+=34. 解：圆心在直线y＝2x上，设圆心坐标为(a，2a)，半径为r，则222(3)(22),a a rr⎧-+-=⎪⎨==⎪⎩整理得5a2－14a＋8＝0，解得a＝2或a＝45∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝5或224855x y⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5.35. 解：抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，准线l的方程为x＝－2，过点M作MN⊥l，垂足为N.根据抛物线的定义知|MF |＝|MN |，∴|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |， 当点M 的纵坐标与点A 的纵坐标都是4时，|MA |＋|MF |的最小值为 |3－(－2)|＝5.此时，点M 的坐标是(2，4)．36. 解：椭圆2285x y +＝1的顶点坐标为(－20)，(0)，焦点坐标为(0)，0)，∴双曲线的顶点坐标为(0)，0)，焦点坐标为(－0)，(20)，即双曲线中a c ＝∴b 2＝c 2－a 2＝8－3＝5.∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴双曲线方程为2235x y -＝1. 37. 解：(1) 直线经过点(0，－2)，且斜率为k =tanπ4=1， 所以直线方程为y －(－2)＝x ，即y ＝x －2.由22,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2－8x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝4，∴x 0＝12822x x +==4，y 0＝x 0－2＝4－2＝2， ∴点M 的坐标为(4，2)．(2)∵椭圆的焦点是抛物线y 2＝4x 的焦点(1，0)，椭圆的长轴长2a ＝|AB |∴a ＝c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2－1＝23.∵焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为222423x y +＝1.。
直线与圆锥曲线的位置关系典型例题
1、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点（-3，32）； （2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。
分析：法一：（1）双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±=令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x 34y -=（x ≤0）及x 轴负半轴之间，∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1by ax 2222=-，（a>0，b>0） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a)3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（2）设双曲线方程为1b y a x 2222=-（a>0，b>0）则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a )23(20b a 222222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-法二：（1）设双曲线方程为λ=-16y 9x 22（λ≠0）∴ λ=--16)32(9)3(22∴ 41=λ ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k42k 16)23(22=+--解之得：k=4∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-评注：与双曲线1b y a x 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222b y a x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。
精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习
精编高二文科数学直线与圆锥曲线的位置关系题型与练习 1直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 2．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长 3：己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． 求C 的离心率；5：已知椭圆M ：)1(12222≥>=+b a by a x 的离心率为23，点P （0，3/2）到椭圆M 上的点的最远距离为7，（1）求此椭圆的方程 （2）若直线y=kx+4交椭圆M 于A ，B 两点，且OA ，OB 的斜率之和为2，（O 是坐标原点），求斜率k 的值6已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =（A ）1 （B （C （D ）27．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点A （1 , -2）。
（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的L 的方程；若不存在，说明理由。
8..若椭圆221axby +=与直线1x y +=交于A,B 两点，M 为AB 的中点，直线OM(O 为原点)的斜率，又OA OB ⊥，求此椭圆的方程。
变式1：已知直线y x b =+与抛物线22x y =交于A,B 两点,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),则b 的值是_________________9.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1。
（Ⅰ）求曲线C 的方程（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有FA ＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
2020年高考文科数学直线与圆锥曲线的综合问题 专项练习题 含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程.(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解析：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)＞0，所以|GH |＞|AB |2. 故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．2.(2019·承德模拟)如图所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD→＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .当λ＝1时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD→＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB→为定值－3. 3．(2019·贵阳模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程．(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．解析：(1)由题意知e＝ca＝12，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，所以|AB|＝k2＋1|x1－x2| ＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝12(k2＋1) 3＋4k2.同理，|CD|＝12⎝⎛⎭⎪⎫1k2＋13＋4k2＝12(k2＋1)3k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝12(k2＋1)3＋4k2＋12(k2＋1)3k2＋4＝84(k2＋1)2(3＋4k2)(3k2＋4)＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.4.如图所示，已知F(3，0)为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，B 1，B 2，A 为椭圆的下、上、右三个 顶点，△B 2OF 与△B 2OA 的面积之比为32. (1)求椭圆C 的标准方程．(2)试探究在椭圆C 上是否存在不同于点B 1，B 2的一点P 满足下列条件：点P 在y 轴上的投影为Q ，PQ 的中点为M ，直线B 2M 交直线y ＋b ＝0于点N ，B 1N 的中点为R ，且△MOR 的面积为3510.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 的坐标． 解析：(1)由已知得S △B 2OF S △B 2OA＝12bc12ab＝c a ＝32.又c ＝3，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的点P ，设其坐标为P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则Q (0，y 0)，且M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0.又B 2(0,1)，所以直线B 2M 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1.因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1， 得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B 1(0，－1)，则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1，所以|MR |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 02(1－y 0)2＋(y 0＋1)2＝1＋y 01－y 0. 直线MR 的方程为y －y 0＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 02，即2yy 0＋x 0x －2＝0，所以点O 到直线MR 的距离为d ＝2x 20＋4y 2＝1， 所以S △MOR ＝12|MR |·d ＝121＋y 01－y 0×1＝3510，解得y 0＝27， 又x 204＋y 20＝1，所以x 0＝±657，所以存在满足条件的点P ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±657，27.B 组 能力提升练5．(2019·武邑模拟)已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，A 是圆F 1上的一动点，线段F 2A 的垂直平分线交半径F 1A 于P 点． (1)求P 点的轨迹C 的方程．(2)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若k EG · k FH ＝－34，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值． 解析：(1)因为P 在线段F 2A 的中垂线上， 所以|PF 2|＝|P A |.所以|PF 2|＋|PF 1|＝|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝4＞|F 1F 2|，所以轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且c ＝1，a ＝2，所以b ＝3， 故轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设点E ，H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y ＝kx ＋m ，E (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.①由k EG ·k FH ＝y 1y 2x 1x 2＝－34，得(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝－34.② 由①，②，得2m 2－4k 2－3＝0.③ 设原点到直线EH 的距离为d ＝|m |1＋k 2， |EH |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 216(12k 2－3m 2＋9)(3＋4k 2)2，S 四边形EFGH ＝4S △EOH ＝2|EH |·d ＝8|m |12k 2－3m 2＋93＋4k 2，④由③，④，得S 四边形EFGH ＝43，故四边形EFGH 的面积为定值，且定值为4 3. 6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .(1)若当点A 的横坐标为3，且△ADF 为以F 为顶点的等腰三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点D (x 0,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0≥12，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP ⊥BP ，求证：点P 的坐标为(－x 0,0)，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．解析：(1)由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，|F A |＝3＋p 2，则D (3＋p,0)，FD 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3p 4，0，则32＋3p4＝3，解得p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x . (2)依题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋x 0(m ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋x 0消去x ，得y 2－4my －4x 0＝0，因为x 0≥12.所以Δ＝16m 2＋16x 0＞0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4x 0，设P 的坐标为(x P ,0)，则PE →＝(x 2－x p ，－y 2)，P A →＝(x 1－x P ，y 1)， 由题知PE →∥P A →，所以(x 2－x P )y 1＋y 2(x 1－x P )＝0，即x 2y 1＋y 2x 1＝(y 1＋y 2)x P ＝y 22y 1＋y 21y 24＝y 1y 2(y 1＋y 2)4，显然y 1＋y 2＝4m ≠0，所以x p ＝y 1y 24＝－x 0，即证x P (－x 0,0)，由题知△EPB 为等腰直角三角形，所以k AP ＝1， 即y 1＋y 2x 1－x 2＝1，也即y 1＋y 214(y 21－y 22)＝1， 所以y 1－y 2＝4，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16. 即16m 2＋16x 0＝16，m 2＝1－x 0，x 0＜1，又因为x 0≥12，所以12≤x 0＜1，d ＝|－x 0－x 0|1＋m 2＝2x 01＋m 2＝2x 02－x 0，令2－x 0＝t ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，62，x 0＝2－t 2，d ＝2(2－t 2)t ＝4t －2t ， 易知f (t )＝4t －2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62上是减函数，所以d ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，2.。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
49 直线与圆锥曲线的位置关系
命题热点集训（四十九） 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知直线01=--y x 与抛物线2ax y =相切，则a 等于21.A 31.B 41.C 4.D 2．斜率为1的直线L 与椭圆1422=+y x 交于不同两点A 、B ，则｜AB ｜的最大值为 2.A 5.x B 5104.C 5108.D 3．过抛物线x y 42=的焦点作一直线交抛物线于点),,(),,(2211y x B y x A ⋅若︱AB ︱ =7，则AB 的中点M 到 抛物线准线的距离为25.A 27.B 2.C 3.D 4．若直线4=+ny mx 和⊙4:22=+y x O 没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆14922=+γx 的交点个数为10.或A 2.B 1.C 0.D5．设抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 点作直线交抛物线于A 、B 两点，则△AOB（0为坐标原点）的最小面积等于 2.A 2.B 4.C 1.D6．已知双曲线,14322=-y x 过点M(m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点A ，B ．若△AOB 是锐角三角形（0为坐标原点），则实数m 的取值范围是)32,32(-⋅A )32,0()0,32( -⋅B),32()32,(+∞--∞⋅ C )32,3()3,32.( --D7．若m x y +=与椭圆14416922=+y x 相切，则实数m 的值等于8．已知F 是抛物线y x 42=的焦点，且>m m M )(,0(),1若在抛物线上存在点P ，使△PMF 为正三角形，则m=9．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,22其中左焦点⋅-)0,2(F (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆122=+y x 上，求m的值．10.已知椭圆)0(1:22>>=+b a by a x C 的右焦点为F ，离心率,22=e 椭圆C 上的点到F 的距离的最大值为,12+直线L 过点F 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若,223||=AB 求直线L 的方程．11．设椭圆)0(122>>=+b a by a x 的左，右焦点分别为⋅21,F F 点P(a ，b)满足.||||212F F PF = (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于M ，N 两点，且|,|85||AB MN =求椭圆的方程． 12.如图49 -1，椭圆长轴端点为A ，B ，D 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且.1||,1==⋅(1)求椭圆的方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线L 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线L ，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线L 的方程；若不存在，请说明理由．。
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7．已知直线 l 与椭圆 x2＋2y2＝2 交于 P1、P2 两点，线 段 P1P2 的中点为 P，设直线 l 的斜率为 k1(k1≠0)，直 线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值等于 ( D ) 1 1 A．2 B．－2 C. D．－ 2 2 x1＋x2 y1＋y2 解析 设 P1(x1，y1),P2(x2，y2),则 P( ， )， 2 2 2 y1＋y2 y2－y1 y2 2－y1 k2＝ ，k1＝ ，k1k2＝ 2 2. x1＋x2 x2－x1 x2－x1 2 2 x1＋2y1＝2， 1 2 2 2 2 由 2 相减得 y2－y1＝－2(x2－x1)． 2 x2＋2y2＝2， 1 故 k1k2＝－ . 2
|AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2 9m2－36 12 2 18 2 ＝ 2· (－ m) －4× ＝ 13－m2， 13 13 13 |m| 设点 O 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ ， 2 1 1 12 2 |m| 2 ∴S△AOB＝ |AB|d＝ × 13－m × 2 2 13 2
又 M(－ 5，0)，N( 5，0)，|MN|＝2 5<6， ∴点 Q 在以 M、N 为焦点的椭圆上,即 2c＝2 5,2a＝6， ∴a＝3，c＝ 5，b2＝4， x2 y2 ∴点 Q 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝1. 9 4 y＝x＋m 2 2 (2)由x y ， 消去 y 得 13x2＋18mx＋9m2－36＝0， ＋ ＝1 9 4 由 Δ＝(18m)2－4×13(9m2－36)>0 得－ 13<m< 13，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 9m2－36 18 则有 x1＋x2＝－ m，x1x2＝ ， 13 13
8．(2009· 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A1、 x 2 y2 A2、B1、B2 为椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的四个顶点，F a b 为其右焦点，直线 A1B2 与直 线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 __________．
8 Gx ，0. 0
y0
x0 从而 kQG＝－ . 2y0
8 x0 故直线 QG 的方程为 y＝－ x－x . 2y0 0 将②代入椭圆 C 方程，得
2 2 2 (x2 0＋2y0)x －16x0x＋64－16y0＝0.
②
③
再将①代入③，化简得 x2－2x0x＋x2 0＝0， 解得 x＝x0，y＝y0. 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点．
热身练习：
给出下列曲线：
①4x+2y-1=0 , ②x2+y2=3, ③x2/2+y2/4=1, ④x2/2-y2=1, ⑤y2=2x其中与直线y=-2x-3 有交点的所有曲线是( D )
A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④
无 人 迹 处 有 奇 观 。
学 林 探 路 贵 涉 远
,
会当凌绝顶，一览众山小。
答案 2 7－5
12．如图，已知 N( 5，0)，P 是圆 M：(x＋ 5)2＋y2＝36(M 为圆心) 上一动点,线段 PN 的垂直平分线 l 交 PM 于 Q 点， (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程； (2)若直线 y＝x＋m 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 △AOB 面积的最大值．
解 (1)连结 QN，由题意知： |PQ|＝|QN|，|QM|＋|QP|＝|MP|， ∴|QM|＋|QN|＝|MP|， 而|MP|为圆(x＋ 5)2＋y2＝36 的半径， ∴|MP|＝6，∴|QM|＋|QN|＝6，
2 2 m ＋ 13 － m 6 6 ＝ m2(13－m2)≤ × ＝3， 13 13 2 26 2 2 当 m ＝13－m ，即 m＝± ∈(－ 13， 13)时，等号 2
成立， 26 ∴当 m＝± 时，△AOB 面积的最大值为 3. 2
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x2 y2 2．(2013· 安徽高考)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的焦距为 4， a b 且过点 P( 2， 3)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点．过点 Q 作 x 轴 的垂线，垂足为 E.取点 A(0,2 2)，连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D．点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直线 QG.问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯 一的公共点？并说明理由．
由 AD⊥AE 知， AE · AD ＝0，即 xDx0＋8＝0.
8 由于 x0y0≠0，故 xD＝－ . x0 因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，所以点 x0y0 故直线 QG 的斜率 kQG＝ ＝ . 8 x2 － 8 0 x0－ x0
2 2 又因为点 Q(x0，y0)在椭圆 C 上，所以 x0 ＋2y0 ＝8.①
GZC
5． (2009·全国Ⅱ)已知直线 y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线 C： y2＝8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|＝ 2|FB|，则 k＝ A. 1 3 B. 2 3 2 C. 3 ( 2 2 D. 3 )
解析 将 y＝k(x＋2)代入 y2＝8x 得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 8 设交点的横坐标分别为 xA，xB，则 xA＋xB＝ 2－4，① k xA· xB＝4.又|FA|＝xA＋2，|FB|＝xB＋2， |FA|＝2|FB|，∴2xB＋4＝xA＋2.
解析
∵A1(－a,ห้องสมุดไป่ตู้)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，
∴直线 A1B2 的方程为－bx＋ay＝ab，① 直线 B1F 的方程为 bx－cy＝bc.② b(a＋c) 2ac b(a＋c) ac 由①②得 T( ， )，∴M( ， )． a－ c a－ c a－c 2(a－c) x2 y2 又∵M 在椭圆 2＋ 2＝1 上， a b b2(a＋c)2 a2c2 2 2 ∴ 2 2＋ 2 2＝1，即 3a －10ac－c ＝0， a (a－c) 4(a－c) b ∴e2＋10e－3＝0.∵0<e<1，∴e＝2 7－5.
解： (1)因为焦距为 4， 所以 a2－b2＝4.又因为椭圆 C 过点 P( 2， 2 3 3)，所以 2＋ 2＝1，故 a2＝8，b2＝4. a b x2 y2 从而椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 8 4 (2)一定有唯一的公共点． 理由：由题意，知 E 点坐标为(x0,0)． 设 D(xD,0)，则 AE ＝(x0，－2 2)， AD ＝(xD，－2 2)．
∴xA＝2xB＋2.② 8 将②代入①得 xB＝ 2－2， 3k 16 16 xA＝ 2－4＋2＝ 2－2. 3k 3k 故
8 16 xA· xB＝3k2－23k2－2＝4.
2
8 2 2 解之得 k ＝ ，而 k>0，∴k＝ ，满足 Δ>0.故选 D. 9 3
答案
D
6．过抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点F，作互相垂直的两条弦AB 和CD，则|AB|＋|CD|的最小值为 A．19a C．17a B．8 D．16a ( )
解析：利用特殊情形，即AB的倾斜角为45° 此时AB：y＝x－a， ∴A(3a＋2 B(3a－2 ,2a＋2 ,2a－2 )， )，
∴|AB|＝8a，|CD|＝8a， |AB|＋|CD|＝16a. 答案：D