十项全能之柯西不等式
柯西不等式讲解
柯西不等式讲解
柯西不等式（Cauchy's inequality）是数学中一条重要的不等式，用于描述内积空间中两个向量的内积与它们的范数之间的关系。
柯西不等式的一般形式如下：
|⟨u, v⟩| ≤ ||u|| × ||v||
其中，⟨u, v⟩表示向量u和v的内积，||u||和||v||表示向量的范数。
柯西不等式的几何意义是，两个向量的内积的绝对值不会大于它们的范数的乘积。
换句话说，两个向量的夹角的余弦值的绝对值不会大于1，取等号的条件是两个向量线性相关，或者其中至少一个向量为零向量。
柯西不等式在解析几何、线性代数和数学分析等领域发挥着重要的作用。
它不仅有很多重要的推论和应用，还为其他数学定理的证明提供了基础。
例如，在向量空间中，根据柯西不等式，可以得出Cauchy-Schwarz定理，它指出如果一个内积空间是完备的，则该空间是一个赋范线性空间。
另一个例子是在概率论中，柯西不等式被用于证明随机变量的期望和方差的关系，以及协方差的定义和性质。
总之，柯西不等式是数学中一条基础但重要的不等式，可以应用于多个领域。
它提供了关于向量空间和内积空间的有用信息，为解决各种数学问题提供了有力的工具。
柯西不等式概念
柯西不等式概念
柯西不等式是数学中的一种重要不等式，它是由法国数学家柯西在19世纪提出的。
柯西不等式是一种用于描述两个向量之间的关系的不等式，可以用于求解各种数学问题，如线性代数、微积分、概率论等。
对于实数向量a和b，柯西不等式表述为：|(a·b)|≤|a|·|b|，其中a·b表示向量a和向量b的点积（内积），|a|表示向量a的长度（模长），|b|表示向量b的长度（模长）。
对于复数向量a和b，柯西不等式表述为：|a·b|≤|a|·|b|，同样，这里的a·b表示向量a和向量b的点积（内积），|a|表示向量a的长度（模长），|b|表示向量b的长度（模长）。
柯西不等式的直观意义是：两个向量的点积的绝对值不会超过它们的长度之积。
当两个向量的方向接近相同时，它们的点积取得最大值；当两个向量的方向接近相反时，它们的点积取得最小值。
柯西不等式在线性代数中，可以用于证明向量的正交性和线性无关性；在微积分中，可以用于证明函数的连续性和可导性；在概率论中，可以用于证明随机变量的独立性和相关性。
柯西不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用于求解各种数学问题，具有广泛的应用价值。
柯西不等式
柯西不等式柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家.他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++柯西不等式的变式:bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++二维形式的柯西不等式的向量形式.),等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤,,(例1：① 已知122=+b a ，求证：1sin cos ≤+θθb a②已知62322≤+y x ，求证：112≤+y x （有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
）③已知1=+y x ，求2232y x +的最小值④求函数x x y 21015-+-=的最大值⑤已知R y x ∈,，则()222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y x y x 的最小值为________三维柯西不等式：()()()2332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++证明：()321,,a a a =α，()321,,b b b =β≤n 维柯西不等式：设R b b b a a a n n ∈,,,;,,,2121()()()222112222122221n n n n b a b a b a a b b a a a +++≥+++⋅+++当且仅当nn b ab a b a === 2211时取等号 例：①已知+∈R c b a ,,，若1=++c b a ，求证：9111≥++cb a②若1=++c b a ，求证：31222≥++c b a 若1,21=+++∈+n i a a a R a ，求证：na a a n 122221≥+++③若+∈R c b a ,,，1=++c b a ，求证：41111222≥+++++c c b b a a 若1,21=+++∈+n i a a a R a ，求证：1111112323222121+≥++++++++n a a a a a a a a n n④若+∈R c b a ,,，求证：cb a ac c b b a ++≥+++++9222 若,+∈R a i 求证：nn a a a n a a a a a a a a +++≥++++++++ 21214332212222⑤若+∈R c b a ,,，求证：c b a ac c b b a ++≥++222 若,+∈R a i 求证：n na a a a a a a a a a a a ++++≥++++ 321124233222211，设a ，b ，c 均为正数且a + b + c = 9，则c b a 1694++之最小值为 2，设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则cb a 321++之最小值为_____，此时=a _____。
柯西不等式的条件
柯西不等式的条件1. 柯西不等式的条件之一就是要存在两组数呀！就像你有一堆苹果和一堆橘子，它们的数量要能对应得上才行呢。
比如说，a1、a2 和 b1、b2，它们可不能乱套呀！2. 柯西不等式还要求这些数都是实数哦！可不是什么虚幻的东西，这多实在呀！就好比你手里拿着的实实在在的笔，那就是真实存在的嘛！比如 2 和 3 就是实数呀。
3. 柯西不等式的条件中还得有平方和的概念呢！这就好像搭积木，每一块积木都有它自己的位置和作用。
像(1^2+2^2)*(3^2+4^2)就符合这个条件呀。
4. 嘿，柯西不等式可不能少了内积这个条件呢！这就如同两个人手牵手，要产生一种联系。
比如向量(1,2)和(3,4)之间就有内积呀。
5. 柯西不等式的条件还包括等号成立的情况呢！这就像比赛中冲过终点线那一刻，有着特殊的意义。
像当 a1=b1，a2=b2 时等号就可能成立哦。
6. 柯西不等式对式子的结构也是有要求的呀！就好像搭房子，要有特定的框架。
比如(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)就是一种特定结构呢。
7. 注意哦，柯西不等式的条件里可不能有乱七八糟的数混进来！就像一个团队，不能有捣蛋分子。
像一些毫无关系的数就不行呀。
8. 柯西不等式的条件还包含着一种规律呢！就好像四季更替，是有它的节奏的。
比如某些数的组合就符合这种规律啦。
9. 哎呀呀，柯西不等式的条件真的很重要呀！就像走路要先看清路一样关键。
像符合条件的式子才能正确运用柯西不等式呀。
10. 柯西不等式的条件是不能忽视的哟！这就跟遵守交通规则一样，不能乱来。
比如不满足条件就乱用，那可不行呀！我的观点结论就是：只有清楚地理解和掌握了柯西不等式的这些条件，才能正确有效地运用柯西不等式呀！。
《柯西不等式》课件
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应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
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习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
高中数学柯西不等式知识点
高中数学柯西不等式知识点高中数学中的柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一项重要的不等式定理，它在代数和几何中有着广泛的应用。
柯西不等式是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy和德国数学家Hermann Amandus Schwarz在19世纪提出的，其形式为：对于任意实数或复数序列a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有：|a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ| ≤√(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²) √(b ₁²+ b₂²+ ... + bₙ²)这个不等式可以用来比较向量的内积和向量的长度，它在线性代数、几何学、概率论、信号处理等领域具有广泛的应用。
柯西不等式的证明可以使用多种方法，其中最常见的是使用向量的内积和长度的性质进行推导。
以下是柯西不等式的一种证明方法：设向量u = (a₁, a₂, ..., aₙ)和v = (b₁, b₂, ..., bₙ)，考虑它们的内积(u·v)²：(u·v)²= (a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ)²根据内积的性质，(u·v)²≤||u||²||v||²，其中||u||和||v||分别表示向量u和v的长度。
所以，有(u·v)²≤(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²)(b₁²+ b₂²+ ... + b ₙ²)再对上式两边取平方根，即可得到柯西不等式的形式：|a₁b₁+ a₂b₂+ ... + aₙbₙ| ≤√(a₁²+ a₂²+ ... + aₙ²) √(b ₁²+ b₂²+ ... + bₙ²)柯西不等式在数学中有着广泛的应用，一些常见的应用领域包括：1. 向量几何：柯西不等式可用于证明向量之间的夹角关系，以及证明向量的正交性。
柯西不等式 能量守恒定律、动量守恒定律
柯西不等式1. 柯西不等式是数学中的经典不等式，它在分析、概率论、统计学等领域都有着重要的应用。
柯西不等式的发现者是法国数学家柯西，他在1823年发表了这个不等式。
2. 柯西不等式的数学形式如下：对于任意实数a1、a2、b1、b2，有(a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2)3. 柯西不等式的几何意义：柯西不等式实际上是向量的长度与夹角之间的关系。
通过柯西不等式，我们可以得出两个向量的内积不大于这两个向量的长度之积。
4. 柯西不等式的应用：柯西不等式在数学分析中有广泛的应用，它可以用来证明不等式、判断级数的收敛性等。
在概率论和统计学领域，柯西不等式也被广泛应用于研究随机变量的性质和概率分布等问题。
能量守恒定律1. 能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出在一个封闭系统中，能量不能被创造或者消灭，只能从一种形式转换成另一种形式。
2. 能量守恒定律的数学表达式：在一个封闭系统中，能量的总量永远保持不变，即E = E1 + E2 + ... + En，其中E表示总能量，E1、E2、...、En分别表示能量的各种形式。
3. 能量守恒定律的应用：能量守恒定律在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
在机械能守恒、热力学、电磁学等方面，能量守恒定律都是重要的基本原则。
4. 能量守恒定律的实验验证：数百年来，科学家们通过实验不断验证能量守恒定律，这一定律在实验中没有发生过任何例外，充分证实了其正确性。
动量守恒定律1. 动量守恒定律是物理学中另一个重要的基本定律，它描述了在一个封闭系统中，系统内各个物体的动量之和保持不变。
2. 动量守恒定律的数学表达式：在一个封闭系统中，各个物体的总动量保持不变，即p = p1 + p2 + ... + pn，其中p表示总动量，p1、p2、...、pn分别表示各个物体的动量。
3. 动量守恒定律的应用：动量守恒定律在力学、流体力学、电磁学等多个领域都有着广泛的应用。
高中数学柯西不等式
高中数学柯西不等式在整个高中数学课程中，柯西不等式是一个重要的话题，它涉及到大量的数学知识，同时又能够深入探讨数学思想。
本文将详细介绍柯西不等式及其相关知识点，以便对此有更深入的理解和认识。
首先，值得注意的是柯西不等式的定义，即柯西不等式是一种数学不等式，用于描述一组数的取值的范围。
根据定义，柯西不等式的主要目的是限定一组数在一定范围内取值，以保证函数的正确性。
此外，它还可以用于描述变量之间的关系，从而帮助数学家们推导出更复杂的公式。
接下来将着重介绍几种常见的柯西不等式，包括小于等于不等式、大于等于不等式、负号不等式和两边不等式等。
其中，小于等于不等式表示在范围内的数据均小于等于某一数；大于等于不等式表示在范围内的数据均大于等于某一数；负号不等式表示在范围内的数据均小于等于某一数或大于等于某一数；两边不等式表示在范围内的数据均大于某一数，或小于某一数。
柯西不等式可以用来解决各种数学问题，最常见的就是找出一组数据的取值范围。
例如，假设在一个三角形中，角A的边长为a，角B的边长为b，角C的边长为c，则可以用柯西不等式求出三角形中每一边的取值范围，从而确定三角形是否合理。
此外，柯西不等式还可以用于解决其他各种数学问题，例如求函数的极值，求多元函数的极值等。
为了更好地解决这些问题，除了柯西不等式之外，数学家们还引入了一系列其他的不等式，例如傅立叶不等式、黎曼不等式等。
最后，要特别提醒的是，在解决数学问题时，柯西不等式的应用仍然是一个重要的话题，需要学生加以重视。
通过科学的思考和扎实的计算，能够帮助学生更好地理解柯西不等式的概念，并有效地运用它们解决数学问题。
总而言之，柯西不等式是高中数学中重要的一个概念，它能够帮助学生更好地理解数学思想，并有效地应用到实际问题中去，而且还可以推导出更加具体的公式。
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第三讲柯西不等式【思维导图】【自主学习导航】本节是人教A版选修4-5不等式选讲的内容，是学习平均不等式后的又一经典不等式，学习本节一方面为可以巩固对不等式的基本证明方法的掌握，也为学习三角不等式，排序不等式打下基础。
运用柯西不等式可解决比较典型的数学问题，如：证明不等式、求最值等。
【目标定位】理解柯西不等式的二维形式和向量形式能运用柯西不等式的二维形式解决一些简单问题了解柯西的主要贡献，贯穿数学史教育【名师点拨】本节不等式的证明当中，也运用了之前所学的比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法等，注意每种方法的特点、使用范围、及解题格式。
通过探索柯西不等式的特点体会其在解不等式题型的优越性。
向量的数量积的这个性质正是柯西不等式的向量形式，是本节内容的“知识生长点”，是学生思维的“最近发展区”。
【典例析悟】类型一：求函数或表达式的最值。
例1：求函数51102y x x =-+-的最大值分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，观察此题形式是ac+bd ，就能利用柯西不等式求其最大值。
解析：的定义域是[1,5],且y>0. 51102y x x =-+- ≤5•1x -+12727x ==22225(2)(1)(5)x x +⨯-+- =27463⨯=当且仅当2155x x ∙-=∙-时，等号成立，即12727x =时函数取得最大值63 变式训练1 ．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则222x y z ++的最小值为∵22222222(123)()(23)x y z x y z a ++++≥++= 即222214()x y z a ++≥，∴222214a x y z ++≥答案：214a变式训练2 求函数3546y x x =-+-的最大值，∵函数的定义域为[5,6]，且0y >3546y x x =⨯-+⨯-222234(5)(6)5x x ≤+⨯-+-= ∴max 5y =变式训练3 若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______∵2()()()2()2x y y z xy y yz zxy x y z zxy x y z zx ++=+++=+++≥++=类型二：证明等式或不等式例2：求证:点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离d=2200||BA C By Ax +++.分析：设任意点，从一般到特殊。
证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x 0)2+(y-y 0)2,A 2+B 2≠0,由柯西不等式得 (A 2+B 2)［(x-x 0)2+(y-y 0)2］≥［A(x-x 0)+B(y-y 0)］2=［(Ax+By)-(Ax 0+By 0)］2=(Ax 0+By 0+C)2,所以|PQ|≥2200||BA C By Ax +++.当220000B A C By Ax B y y A x x +++-=-=-时,取等号,由垂线段最短得d=2200||BA C By Ax +++.变式训练1 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.(1)求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.(2)求1log 3x ＋log 3y ＋1log 3y ＋log 3z ＋1log 3z ＋log 3x的最小值．(1)证明：由柯西不等式得：(x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y)[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32. (2)解：∵1log 3x＋log 3y ＋1log 3y ＋log 3z ＋1log 3z ＋log 3x＝1log 3xy ＋1log 3yz ＋1log 3zx 由柯西不等式得：(1log 3xy ＋1log 3yz ＋1log 3zx)[log 3(xy )＋log 3(yz )＋log 3(zx )]≥9， 所以1log 3xy ＋1log 3yz ＋1log 3zx≥9log 3xy ＋log 3yz ＋log 3zx＝92log 3xyz类型三：求参数的值或范围例3已知正数x,y,z 满足x+y+z=xyz,且不等式xz z y y x +++++111≤λ恒成立,求λ的范围. 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得x z z y y x +++++111≤)(21212121zy x yz y x x z y x z zx yz xy ++++++++=++ 23))(111(21222=++++++++++≤z y x y z y x x z y x z 故λ的取值范围是［23,+∞). 变式训练1 已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.∵a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.∴a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2知5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得3c 2－c －2≤0.解之得－23≤c ≤1.【课后强化演练】1．设a ，b ∈R ＋，P ＝a 3＋b 3，Q ＝a 2b ＋ab 2，则P 、Q 间的大小关系是( )(A)P >Q (B)P ≥Q (C)P <Q (D)P ≤Q2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( )(A)56 (B)65 (C)2536 (D)36253．设a >0，b >0且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，则( )(A)P >Q (B)P ≥Q (C)P <Q (D)P ≤Q4．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝4，则x ＋2y ＋3z 的最大值为________．5设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.6设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .7设x ＋2y ＋3z ＝3，求4x 2＋5y 2＋6z 2的最小值8. 若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝6，求2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值． 9. 已知x ，y ，z 是正实数，求证：x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥x ＋y ＋z 2.10. 已知x ≤0，且满足3x ＋4y ＝13，求x 2＋4y 2的最小值．11. (2010年高考浙江卷)设正实数a ，b ，c ，满足abc ≥1.求a 2a ＋2b ＋b 2b ＋2c ＋c 2c ＋2a的最小值．12. 已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋ay ＋(1－a )z ＝1，其中0＜a ＜1，设t ＝x 2＋ay 2＋(1－a )z 2(1)求t 的最小值；(2)当t ＝1时，求x 的取值范围．13. 3．(2009年高考浙江卷)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.(1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x＋4y＋24z 的最小值．14已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，(1)求证：abc bc ＋ca ＋ab ≤19；(2)求a ＋b 22b ＋c ＋b ＋c 22c ＋a ＋c ＋a 22a ＋b的最小值．15 5．(2010年浙江第二次五校联考)已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1.(1)求(a ＋1)2＋4b 2＋9c 2的最小值；(2)求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥332.课后强化演练答案：1 解析：由柯西不等式得：(a 3＋b 3)(ab 2＋ba 2)≥(a 2b ＋ab 2)2， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 故应选B.2 解析：由柯西不等式得：(a 3＋b 3)(ab 2＋ba 2)≥(a 2b ＋ab 2)2， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 故应选B.3，解析：不妨设a >b >0，则a b >ba ，由顺序和≥反序和，则a ·ab ＋b ·b a ≥a ·b a ＋b ·a b＝a ＋b .又a ≠b ，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b ，故选A. 4，解析：∵(x ＋2y ＋3z )2＝(1×x ＋2×y ＋3×z )2≤[12＋22＋(3)2][(x )2＋(y )2＋(z )2] ＝8×(x ＋y ＋z )＝32.∴x ＋2y ＋3z ≤42(当x 1＝y 4＝z 3时，即x ＝12，y ＝2，z ＝32时取等号)．答案：4 25.证明：构造两组数：a ，b ，c ；1a，1b，1c.因此根据柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2][(1a)2＋(1b)2＋(1c)2]≥(a ×1a＋b ×1b＋c ×1c)2.即(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )≥32＝9. (当且仅当a 1a ＝b 1b ＝c1c ，即a ＝b ＝c 时取等号)．又a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c≥9. 6证明：由柯西不等式知[(a b )2＋(b c )2＋(c a )2][(b )2＋(c )2＋(a )2]≥(a b ×b ＋b c×c ＋c a×a )2. 于是(a 2b ＋b 2c ＋c 2a )(a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2.即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .7. 思路点拨：将待求式中的各项变为完全平方数的形式，利用柯西不等式建立关于待求式的不等式后求最值，应注意构造出x ＋2y ＋3z .解：∵4x 2＋5y 2＋6z 2＝(2x )2＋(5y )2＋(6z )2.∴由柯西不等式知[(2x )2＋(5y )2＋(6z )2][(12)2＋(25)2＋(36)2]≥(2x ·12＋5y ×25＋6z ×36)2＝(x ＋2y ＋3z )2＝9.于是(4x 2＋5y 2＋6z 2)(14＋45＋32)≥9.即4x 2＋5y 2＋6z 2≥2051×9＝6017.因为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋3z ＝3，2x 12＝5y 25＝6z36有解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝517，y ＝817，z ＝1017.所以4x 2＋5y 2＋6z 2有最小值6017.8. 解：由柯西不等式得(2a ＋1＋2b ＋3＋2c )2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3) ＝3(2×6＋4)＝48.∴2a ＋1＋2b ＋3＋2c ≤4 3.当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时等号成立， 又a ＋b ＋c ＝6，∴a ＝83，b ＝136，c ＝76时，2a ＋2b ＋1＋2c ＋3有最大值4 3.9. 证明：∵x ，y ，z 是正实数，令a ＝(x y ＋z ，y x ＋z ，zx ＋y )， b ＝(y ＋z ，x ＋z ，x ＋y )，∵|a·b |2≤|a|2|b|2，∴(x y ＋z ·y ＋z ＋y x ＋z ·x ＋z ＋z x ＋y·x ＋y )2≤(x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y )[(y ＋z )＋(x ＋z )＋(x ＋y )]．当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．即(x ＋y ＋z )2≤2(x 2z ＋y ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y)(x ＋y ＋z )，∴x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥x ＋y ＋z 2.10.∵3x ＋4y ＝13，∴2y ＝13－3x 2，∴x 2＋4y 2＝x 2＋(2y )2＝x 2＋(13－3x 2)2＝134(x 2－6x ＋13) ＝134[(x －3)2＋4]＝134(x －3)2＋13. 又∵x ≤0，∴当x ＝0时，(x 2＋4y 2)min ＝134×(0－3)2＋13＝1694. ∴x 2＋4y 2的最小值为1694.11. 证明：因为(a 2a ＋2b ＋b 2b ＋2c ＋c 2c ＋2a)[(a ＋2b )＋(b ＋2c )＋(c ＋2a )]≥(a ＋b ＋c )2所以a 2a ＋2b ＋b 2b ＋2c ＋c 2c ＋2a ≥a ＋b ＋c3≥3abc ≥1当a ＝b ＝c ＝1，上述不等式取等号，所以a 2a ＋2b ＋b 2b ＋2c ＋c 2c ＋2a的最小值是1.12. 解：(1)∵0＜a ＜1，由柯西不等式得，[x 2＋(ay )2＋(1－az )2][12＋(a )2＋(1－a )2]≥[x ＋ay ＋(1－a )z ]2＝1，∴2t ≥1，当且仅当x 1＝ay a ＝1－az1－a，即x ＝y ＝z ＝12时，取等号，因此t 的最小值为12.(2)∵0＜a ＜1，由柯西不等式得，[(ay )2＋(1－az )2][(a )2＋(1－a )2]≥[ay ＋(1－a )z ]2， [ay 2＋(1－a )z 2]≥[ay ＋(1－a )z ]2，∴1－x 2≥(1－x )2， ∴0≤x ≤1.13 (1)证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以由柯西不等式得[(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )][x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y]≥(x ＋y ＋z )2又因为x ＋y ＋z ＝1，所以x 2y＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥x ＋y ＋z 2y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y＝13(2)解：由均值不等式得4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝(z －12)2＋34≥34，故4x＋4y＋4z 2≥33434＝3 2. 当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2. 14. 证明：abc bc ＋ca ＋ab ＝11a ＋1b ＋1c.∵1a ＋1b ＋1c ＝(1a ＋1b ＋1c)(a ＋b ＋c )≥(1＋1＋1)2＝9∴11a ＋1b ＋1c≤19.所以abc bc ＋ca ＋ab ≤19.(2)解：由柯西不等式，得[a ＋b 22b ＋c ＋b ＋c 22c ＋a ＋c ＋a 22a ＋b][(2b ＋c )＋(2c ＋a )＋(2a ＋b )]≥[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]2将a ＋b ＋c ＝1代入得 a ＋b 22b ＋c ＋b ＋c 22c ＋a ＋c ＋a 22a ＋b ≥43.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，a ＋b 22b ＋c ＋b ＋c 22c ＋a ＋c ＋a 22a ＋b 有最小值43.15 1)解：因为a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1所以(1＋14＋19)[(a ＋1)2＋4b 2＋9c 2]≥[(a ＋1)＋12·2b ＋13·3c ]2＝4，得(a ＋1)2＋4b 2＋9c 2≥14449.当且仅当a ＋1＝4b ＝9c ，即a ＝2349，b ＝1849，c ＝849时，(a ＋1)2＋4b 2＋9c 2有最小值14449.(2)证明：因为(a ＋b ＋c )(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2， 所以a ＋b ＋c ≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．又(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]≥9，课程开发模板·文理科 于是1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9a ＋b ＋c ≥332. 16 (1)证明： 13(12＋12＋12)[(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c)2] ≥13[1×(a ＋1a )＋1×(b ＋1b )＋1×(c ＋1c)]2＝13[1＋(1a ＋1b ＋1c)]2 ＝13[1＋(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)]2 ≥13(1＋9)2＝1003. (2)解：由柯西不等式得，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)(12＋13＋16)≥(b ＋c ＋d )2 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2由条件可得，5－a 2≥(3－a )2解得，1≤a ≤2当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立， 代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2； b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1.。