2016-2017年最新审定人教A版高中数学必修五：2.4.1 等比数列的定义及通项公式(优秀课件)

题型 3 等比数列的判定 【例 3】 在各项为负数的数列{an}中，已知：2an＝3an＋1，
8 且 a2· a5＝27.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项；
16 (2)试问：－81是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是
第几项；如果不是，说明理由．
an ＋1 2 解：(1)因为 2an＝3an＋1，所以 a ＝3. n 2 故数列{an}是公比 q＝3的等比数列． 8 8 4 又 a2· a5＝27，则 a1q· a1q ＝27， 即 23 2 2 5 a1· ＝ .
an q 递推公式： ＝__________( n≥2)； an－1 a1qn－1 n≥2)． 通项公式：an＝________(
练习1：已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数
列的通项 an＝________. 3· 2n－3
3．等比中项的定义 等比 数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 如果 a，G，b 成______
题型 2 等比数列的通项公式
【例2】 在等比数列{an}中， a1 ＋a2 ＋a3 ＝ 7，a1a2a3 ＝8 ，
求an.
解：a1＋a2＋a3＝7⇒a1(1＋q＋q2)＝7.
3 a1a2a3＝8⇒a3 q 1 ＝8⇒a1q＝2. 2 a11＋q＋q ＝7， 则 a1q＝2.
① ②
【变式与拓展】 4．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． (1)证明：方法一：∵an＋1＝2an＋1，
an＋1＋1 ∴ ＝2. an＋1
∴{an＋1}是首项为 a1＋1＝2，公比为 2 的等比数列．
方法二：an＋1＝2an＋1， an＋1＋1 2an＋1＋1 2an＋1 ∴ ＝ ＝ ＝2. an＋1 an＋1 an＋1 ∴{an＋1}是首项为 a1＋1＝2，公比为 2 的等比数列． (2)解：由(1)知：an＋1＝(a1＋1)qn－1＝2· 2n－1＝2n， ∴an＝2n－1.
1＋q＋q2 7 由①÷ ②，得 ＝2. q
1 解得 q＝2 或 q＝2. 当 q＝2 时，a1＝1； 1 当 q＝2时，a1＝4. 故 1＝2－n＋3. an＝4· 2
求等比数列的通项公式关键是确定等比数列 的首项和公比．
【变式与拓展】
3．在等比数列{an}中，若公比为 q＝4，且前 3 项的和等于 21，则该数列的通项公式 an＝______. 4n－1
【例 4】 在等比数列{an}中，a2，a10 是方程 x2＋8x＋4＝0 的两根，则 a6 为( A．－2 律． ) B．±2 C．2 D．4
易错分析：在等比数列的计算中没有充分考虑项的符号规
解析：∵a2 a10＝4，∴a6＝± 2. 6＝a2·
a2＋a10＝－8<0， 又 a10>0， a2·
b 不成等比数列．
题型 1 等比数列的基本概念
5 【例 1】 在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝4，求
a4 的值．
思维突破：要求a4 可以先求an，这样求基本量a1 和q 的值
就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决．
解：设此数列的公比为 q，由已知，得
2 2 a a ① 1＋a1q ＝10， 11＋q ＝10， 3 ⇒ 3 5 5 5 2 a q ＋a1q ＝4 a q 1＋q ＝4.② 1 1
G＝± ab ． ab 或者表示成____________ 项，有 G2＝______
练习 2：2，x，y，z,18 成等比数列，则 y＝________. 6
【问题探究】 1．常数列一定为等比数列吗？ 答案：不一定，当常数列为非零数列时，才是等比数列， 否则不是． 2．若 G2＝ab，则 a，G，b 一定成等比数列吗？ 答案：不一定，若a＝G＝b＝0，则G2＝ab 成立，但a，G，
3 3
3 由于数列各项均为负数，则 a1＝－2.
2 － 3 2n－1 所以 an＝－2×3 ＝－3n 2.
16 (2)设 an＝－81，由等比数列的通项公式，得
2 － 2 2 － 16 n 2 4 －81＝－3 ，即3 ＝3n 2.
∴a2，a10 同为负数，显然 a6 与 a2，a10 同号，故 a6＝－2.
答案：A
[方法· 规律· 小结] 1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义 是解决问题的关键． 2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项 a1， 公比 q 为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与 结论的联系，往往使很多问题更容易解决． 3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好．
根据指数函数的性质，有 4＝n－2，即 n＝6. 16 因此－81是这个等比数列的第 6 项．
判断一个数列是等比数列的常用方法： an＋1 ①定义法： a ＝q(q 为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． n
* ②等比中项法：a2 n＋1＝anan＋2(n∈N ，且 an≠0)⇔{an}为等
比数列． ③通项公式法：an＝a1qn－1(an≠0，且 q≠0)⇔{an}为等比数 列．
由 a1≠0,1＋q2≠0，②÷ ①，得 1 1 q ＝8⇒q＝2⇒a1＝8.
3
1 a4＝a1q ＝8×8＝1.
3
【变式与拓展】 1．在等比数列{an}中，a2014＝8a2011 ，则公比q的值为( A )
A．2
B．3
C．4
D．8
2．(2013年广东)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等 15 比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝____.
最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件
等比数列的定义及通项公式
【学习目标】
1．掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．
2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
1．等比数列的定义 如果一个数列从第______ 项起，每一项与它的前一项的 2 ______ 比 等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列；这个常数 公比 ，通常用字母 q(q≠0)表示． 叫做等比数列的______ 2．等比数列的递推公式和通项公式