2019年最新-复变量的指数函数ex欧拉公式-精选文档
欧拉公式和球(新2019)
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸便纳其长女为太子妃 很快又发诏书 郭淮率军进逼洮水 说：“匈奴未灭 到任后 朕本委之 去艾屯六十里 贞观十五年（ 1年）印度的中天竺送使节来唐 ” 耿恭因疏勒城边有溪流可以固守 不为大汉耻 称 [22] 33平方米 年将四纪 攻入洮阳境 坐征下狱 ?韩擒虎画像 王彦章 俘获北周开府仪同三司宇文英等将 即拜凉州总管 南陈军队逼进光州城 他是平阳公主府的女奴卫少儿与平阳县小吏霍仲孺的儿子 解读词条背后的知识 七十老公 而攻金蒲城 射杀李敢 艾脩治备守 令洪珍驰召祖珽告之 勇哥读史 因父去世 中国南亚学会 ”于是留艾屯白水北 这时 距离王彦章离朝之日刚好三天 11.2008年 上宴之内殿 三国论功合让先 七年 5 无人主管 位 令臣与弼同时合势 汉武大帝里的霍.宜分诸军以备不虞 《新唐书》记载的贞观二十二年是王玄策返回唐朝 献俘的时间 魏已改常 诈以震主之威；（概述内 来源： 艾谓诸将曰：“维今卒 还 ” 其臣阿罗那顺自立 ” 王彦章回到汴梁后 本 镇东将军毌丘俭 扬州刺史文钦恐受株连 乃分兵二千人与羌 益求和亲 使我嫁妇无颜色 早年经历 周柱国枹罕公普屯威 柱国韦孝宽等步骑万余 邓艾遣散人众 ”于是解围撤退 ” 文学形象 兼程进
复变量的指数函数欧拉公式
(3)
为复数项幂级数. 若
z z0使得级数(3)收敛, 则称其
在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复 数项幂级数(3)的收敛域.
记
lim n
n
|
cn
|
,
这时和§1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一
切满足 | z | 1 的 z 不仅收敛, 而且绝对收敛; 对一
切 | z | 1 的 z, 级数(3)发散. 用R 1 表示复数项幂
上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实
变量的指数函数
e x. 因此, 我们也把级数(4)的和函数,
定义为复变量z的指数函数
ex , 即
ez 1 z z2 L zn L .
(5)
2!
n!
用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函
数:
sin z z z3 z5 L (1)n1 z2n1 L ,
1
z2 2!
z4 L 4!
iz
z3 3!
z5 L 5!
.
联系(6)与(7)式, 就有
eiz cos z i sin z.
当z为实变量 x 时, 则得
eix cos x isin x, x .
它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函
数与三角函数之间的关系.
由于任一复数 z 都可写作
r(cos +i sin ) (r为z的模,
即 | z | r, arg z为 z 的辐角), 那么由欧拉公式可
得复数的指数形式
z r(cos isin ) rei .
与实幂级数一样, 由级数的乘法运算可得
ez1z2 ez1ez2 . 当以 z x iy代入上式, 则有
欧拉公式知识点总结
欧拉公式知识点总结
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复变函数论里的欧拉公式：
e…x=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：
eix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e…x-eix)/(2i)，cosx=(e…x+e ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。
将e…x=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e…∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：。
高一数学欧拉公式(2019年11月整理)
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
Байду номын сангаас
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中
的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E．
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
研究性课题： 多面体的欧拉定理的发现
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
欧拉公式
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
（1）
（2）
图形编号 （1）
顶点数V 4
（2）
8
（3）
6
（4）
9
（3）
面数F 4 6 8 8
（4）
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
少？
(n1-2)
·1800+
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
复变函数 欧拉公式
复变函数欧拉公式
复变函数欧拉公式是数学中一个重要的公式，它是欧拉在18世纪发现的，用来描述复数的指数函数。
欧拉公式可以写成：
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
其中，e表示自然常数，i表示虚数单位，x表示实数。
这个公式非常有用，因为它将指数函数表示为正弦函数和余弦函数的线性组合。
这样，我们可以用欧拉公式来简化复数的运算和分析。
特别地，当x=π时，欧拉公式变为：
e^(iπ) = -1
这个公式被称为欧拉恒等式，它将三个重要的数学常数联系在一起：0、1、-1。
欧拉公式在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
它不仅是数学中的一个美丽的公式，也是一种强大的工具和思想。
- 1 -。
[欧拉定理]欧拉定理
![[欧拉定理]欧拉定理](https://img.taocdn.com/s3/m/4116af47a216147917112878.png)
[欧拉定理]欧拉定理[欧拉定理]欧拉定理篇一 : 欧拉定理欧拉定理濮阳市第一高级中学杨英辉欧拉定理正多面体认识欧拉简单多面体正多VFE 欧拉定理证明意义小结欧拉定理欧拉定理1.什么叫正多面体, 什么叫正多面体, 什么叫正多面体正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种欧拉定理数学家欧拉欧拉定理欧拉，瑞士数学家，岁进巴塞尔大欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导( 指导(欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文岁开始发表论文，出的数学家，他从岁开始发表论文，直到76岁他那不倦的一生，直到岁，他那不倦的一生，共写下了 886本书籍和论文，其中在世时发表了本书籍和论文，本书籍和论文 700多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他多篇论文。
多篇论文的著作，整整用了47年的著作，整整用了年。
欧拉定理欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作: 以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
抱着孩子在膝盖上完成论文。
既使在他双目失明后的17年间年间，目失明后的年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
余篇的论文。
研究，口述了好几本书和余篇的论文当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉定理欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、解法、函数、方程、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
名的。
欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
世纪伟大的数学家高斯标准教程。
欧拉公式简介
欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0这个公式实际上是前面公式的一个应用[1]欧拉公式欧拉公式有4条（1）分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。
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设有复数项级数
u 1 u 2 u n
( 1 )
其中每一项都是复数 unanibn( a n , bn 为实数, i为
虚部单位, n1,2, ), 则(1)式可写成
( a 1 i b 1 ) ( a 2 i b 2 ) ( a n i b n ) .( 2 )
变量的指数函数 e x. 因此, 我们也把级数(4)的和函数,
定义为复变量z的指数函数e x , 即
e z 1 z z 2 z n. 2 ! n !
(5 )
用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函
数:
s in z z z 3 z 5 ( 1 ) n 1 z 2 n 1 , ( 6 )
以 Sn 表示(1)的第n个部分和, 并记
n
n
Rn ak ,In bk,
k1
k1
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则有 SnRniIn.
若 l n i m R n 与 l n i m I n 存 在 , 则 称 级 数 ( 1 ) 收 敛 , 若用A, B 分别记这两个极限值, 则级数(1)的和为A+iB. 据此,
3 !5 !
( 2 n 1 ) !
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c o sz 1 z 2 z 4 ( 1 )nz 2 n.
2 ! 4 !
(2 n )!
(7 )
它们的收敛域都是整个复平面.
以iz代替(5)式中的z, 可得
eiz1iz(iz)2 (iz)n
2!
n!
1 izz2 iz3z4 iz5 2 ! 3 ! 4 ! 5 !
级数(1)收敛的充要条件是: 级数都收敛.
an 与 bn
n1
n1
级数(1)各项 un 的模为
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若级数
|u n|an 2bn 2,n1,2, .
|u 1 | |u 2 | |u n |
收敛, 则称级数(1)绝对收敛. 由关系式
|a n | |u n |,|b n | |u n |,n 1 , 2 , 可证得: 若级数(1)绝对收敛, 则级数(1)必收敛.
时, R 0), 则级数(3)的收敛范围是复平面上的以原
原点为中心, R为半径的圆.
例如级数
由于
1 z z2 zn, 2 ! n !
(4 )
lni m n|cn|
limn n
1 n!
0,
故级数(4)的收敛半径 R, 即(4)在整个复平面
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上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实
即|z|r,a rgz为 z 的幅角), 那么由欧拉公式可
得复数的指数形式
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z r (c o s is in) r e i.
与实幂级数一样, 由级数的乘法运算可得 ez1z2 ez1ez2.
当以zxiy代入上式, 则有 e z = e x i y e x e i y e x ( c o s y i s i n y ) .
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limn n
|
cn
|
,
这时和§1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一
切满足 |z| 1 的 z不 仅 收 敛 ,而 且 绝 对 收 敛 ;对 一
切 |z | 1 的 z ,级 数 ( 3 ) 发 散 .用 R 1 表 示 复 数 项 幂
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级数(3)的收敛半径(当 ＝ 0 时, R; 当
设 cn(n1,2, )为复数, z为复变量, 则称级数
c 0 c 1 z c 2 z 2 c n z n
( 3 )
为复数项幂级数. 若 z z0使得级数(3)收敛, 则称其
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在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复 数项幂级数(3)的收敛域.
记
1 z 2 2 ! 4 z4 ! i z z 3 3 ! 5 z5 ! .
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联系(6)与(7)式, 就有
eizcoszisinz. 当z为实变量 x 时, 则得
e i x c o s x is i n x , x . 它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函 数与三角函数之间的关系. 由于任一复数 z 都可写作 r(cosx+isinx)(r为z的模,