5-4二次型

1 2 1 2 0
使得 P 1 AP L 0 1 0 0 0 1 于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形 f = －2y12 + y22 + y32
1 6 1 6 2 6
2 0 0 P 1 AP L 0 1 0 0 0 1
2 2 f l 1 y1 ln yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
例
将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 l 2 A lE 2 14 l 4 l 18 l 9 2 4 14 l
k1 令 K= k2 1 , i r, , 其中k | li | i 1, i r. kn
则 K 可逆，变换 y = Kz 把 f (P y) 化为 f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz 其中 T l1 l2 lr K LK diag , , , , 0, , 0 | lr | | l1 | | l2 |
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2
i , j 1
a
n
ij
xi x j
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a x a12 a x12 x x) x11 ( a x a a x 1x 22 11 nn 1n n 1 1 11 x1 2 a x x a x aa x2 x x21 ( a x a x 22 2n n 2 221 1 1 22 2 2 2n x n)
( y1 , y2 ,
k1 , yn )
k2
y1 y2 k n yn
问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵, （把对称阵合同对角化）．
定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A−1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵． 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = L，
a1n xn a2 n xn ann xn a1n x1 a2 n x2 ann xn
( x1 , x2 ,
x Ax
T
二、二次型的矩阵及秩
f ( x1 , x2 , , xn ) ( x1 , x2 , a11 a21 , xn ) a n1 a12 a22 an 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn
定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值, 即 f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.
其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.
（P.124定理7） 定理：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f ( P y ) = l 1 y 1 2 + l 2 y 2 2 + … + l n y n2 其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值． 推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
三、化二次型为标准形
对于二次型，寻找可逆的线性变换 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 简记为 x = C y ， 2 21 1 22 2 2n n 于是 f = xTAx T A (C y) = ( C y ) xn cn1 y1 cm 2 y2 cnn yn . = yT (CTAC) y 使二次型只含平方项，即 f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
2 45 4 45 . 5 45
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
i 令 i , i 1,2,3, i
得
1 1 2 2
2 5 2 45 3 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 3
如果要把 f 化为规范形，令
y1 1 / 2 z1 1/ 2 0 0 y z 2 1 0 2 ，即 K 0 y z 0 0 1 2 2
可得 f 的规范形：f = －z12 + z22 + z32
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 l1 , l2 ,, ln ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;

R(B) = R(A) ．
经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变．
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即
f x T Ax (Cy )T A(Cy ) yT (C T AC ) y
2 2 k1 y1 k 2 y2 2 k n yn
第五节 二次型及其标准形
例
2阶方阵
cos sin
sin cos
对应
x x1 cos y1 sin , y x1 sin y1 cos .
y
P ( x, y )
以原点为中心逆时针 旋转 角的旋转变换
0



P1 ( x1 , y1 )
推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (C z) 为规范形． 证明： f ( P y ) = l 1 y 1 2 + l 2 y 2 2 + … + l n y n2 若R(A) = r，不妨设 l1, l2, …, lr 不等于零， lr+1 = … = ln =0,

2 a x x a x x a x xn ( a x a x a x ) n2 nn n n n1 n n1 1 1 n2 n 2 2 nn
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 ( x1 , x2 , , xn ) an1 x1 an 2 x2 对称阵 a11 a21 , xn ) a n1 a12 a22 an 2
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ，
则称矩阵A 和 B 相似．（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同．（P.129定义9） 显然，

BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B 即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵．
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) a11 x1 a22 x2 2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2an 1,n xn 1 xn
称为二次型．
例如
2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3
2 , xn ) a11 x12 a22 x2
2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 a11 x1 a12 x1 x2 2 a21 x2 x1 a22 x2
2an1, n xn1 xn
a1n x1 xn a2 n x2 xn
x
解析几何中，二次曲线的一般形式 通过选择适当的的旋转变换 x y
ax2 + bxy + cy2 = 0 x cos y sin , x sin y cos .
使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ．
一、二次型的概念及表示方法
定义：含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的二次齐次函数
从而得特征值 l1 9, l 2 l 3 18. 2．求特征向量 将 l 1 9代入 A lE x 0, 得基础解系 1 (1 2,1,1)T . 将l2 l3 18代入 A lE x 0, 得基础解系 2 ( 2,1,0)T , 3 ( 2,0,1)T . 3．将特征向量正交化 2 , 3 2, 取 1 1, 2 2 , 3 3 2 , 2 得正交向量组 T T , ( 2,1,0) , 1 (1 2,1,1) 2 T . ( 2 5 , 4 5 , 1 ) 3