第五章二次型自测题及答案
第五章 二型习题解答p.232~236
第五章 二次型习题解答p.232~2361.(Ⅰ)用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果. (1) 323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=解: 先作线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x ,.4)(),,(2322231321y y y y x x x f ++--=再令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=3321311)(21zy z y z z y ,得.4),,(232221321z z z x x x f ++-=相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00111100110001000110112121212121T ,则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=141AT T T.(2) f (x 1,x 2,x 3)=x 12+2x 1x 2+2x 22+4x 2x 3+4x 23.解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1+x 2)2+x 22+4x 2x 3+4x 23 =(x 1+x 2)2+(x 2+2x 3)2+0令112223332y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11232233322x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则f (x 1,x 2,x 3)==y 12+y 22. 用矩阵验算112110112012122122001024024'--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100110110221020⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭100010000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(3) f (x 1,x 2,x 3)=x 12-3x 22-2x 1x 2+2x 1x 3-6x 2x 3解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2+x 3)2-(x 2-x 3)2-3x 22-6x 2x 3 =(x 1-x 2+x 3)2-4x 22-4x 2x 3- x 32 =(x 1-x 2+x 3)2-(2x 2+x 3)2.令1123223332y x x x y x x y x=-+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即11232233313221122x y y y x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则f (x 1,x 2,x 3)=y 12-y 22验算有：131100*********1110133********13000000131122⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭(4) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8x 1x 4+2x 3x 4+2x 2x 3+8x 2x 4.解: 令1142233414x y y x y x y x y y =+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8(y 21-y 24)+2y 3(y 1-y 4)+2y 2y 3+8y 2(y 1-y 2)=8y 21-8y 24+8y 1y 2+2y 1y 3+2y 2y 3-8y 2y 4-2y 3y 42221323423243411118()8()82822828f y y y y y y y y y y y y ∴=++-+-+--222123234343434111118()2(2)2(2)8228448y y y y y y y y y y y y =++--++-+---22123234341118()2(2)4284y y y y y y y y =++--+-令112322343344341128124z y y y z y y y z y y z y y ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎪=+⎩ 即112342234334434153288978811221122y z z z z y z z z y z zy z z ⎧=--+⎪⎪⎪=+-⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=-+⎩ 则2222123482f z z z z =-+-矩阵验算略222212323434341118()2(2)()()284y y y y y y y y y y =++--++--+(5) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4解：011110111110121110A ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭(2)022242444000202220220100220242020042222042200024200020002122020022002122002000200020*********2Pi A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪4000100004000032121212100210002⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪→ ⎪--- ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭∴2121212100210002X y ---⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭则22221234443f y y y y =---.(6) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=43423241312122212222442x x x x x x x x x x x x x x +++++++.解 : 由配方法可得.212,)(y )2123()22(.)(21)2123(2)22(2222)22(])22()22(2[),,,(232221444334322432112432432243214342322422243224324321214321y y y f x y x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=++++-+++=+++++++-++++++=得于是令且非退化的线性替换为.23244433432243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为 ,10001100123101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=T 且有 .02121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=AT T T(7) 22221234122334222f x x x x x x x x x x =++++++ 解： 1100111001110011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则110010011100010011101110011001110001100010001000010001000010001A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,(1))1001010001002200200010002000020000100010001110001001110010001000110001001200110000101210111P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即令X=1110011001100111Y -⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭则2222123422f y y y y =+-+.(Ⅱ) 把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答
6
1 6
即为单位向量。
7
二, 正交向量组 1.向量的正交：
当x, y 0时，称为向量 x 与 y 正交。
显然，零向量与任何向量正交。
1
1
如：a1
1
，a2
2
1
1
由于：a1,a2 a1a2 1 1
a1 与 a2 正交。
1
1 2
0
1
8
2,正交向量组 ⑴ 定义：一组两两正交的非零向量。 ⑵ 定理 1：正交向量组是线性无关组。 即：若 n 维向量a1, a2,ar 是一组两两正交的非零
x
x2
令：[ x,
y]
x1
y1
x2
y2
xn
yn
xn
[x, y]称为向量 x 与 y 的内积。
y1
y
y2
yn
例 如 ：x
1 2
,
3 y 1
1
0
x, y= 1 3 21 1 0 5 x, x = 12 22 (1)2 6
3
内积实际上是一种向量的运算
不难看出：X ,Y X Y Y X
向量（正交向量组），则a1, a2,ar 线性无关。 证明：设有 1, 2 ,r 使
1a1 2a2 r ar 0 以a1与上式做内积，即以a1 左乘上式两端得：
1 a1 2 0 由于 a1 0 1 0 若以a2 与(1.3) 式做内积，则易知2 0 同理可证：3 4 r 0 a1 a2 ar 线性无关。
则a3
应满足齐次方程组:
Ax
O
即：1 1 1 2
1 x1 0
1
x2 x3
0
10
解此方程组：
线性代数第五章（答案）
线性代数第五章（答案）第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ )2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ )3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ )4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ )5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ )6．若112=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × )7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × )8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × )9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ )10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ )11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ )13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ )15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ )16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ )17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ )18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ )19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。
高等代数试题二
第五章 二次型一、单项选择题 1.(6.2) 下列二次型正惯性指数等于2的是( ) A: ()2223213212),,(x x x x x x x f -++=B: 3231212322213212265),,(x x x x x x x x x x x x f +--++= C: 21232221321),,(x x x x x x x x f -++=D: 323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=2.(6.3) 下列矩阵合同于单位矩阵( )A: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 B: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010101 C: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 D: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----42322331212 3.(6.4) 下列二次型属于正定的是( )A: 2221321),,(x x x x x f +=B: 212322213212),,(x x x x x x x x f +++=C: 3121232221321634),,(x x x x x x x x x x f --++= D: 323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=4.(6.1)与二次型32212132122),,(x x x x x x x x f +-=相对应的实对称矩阵是( )A: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--020201011 B:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010101011 C: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001001111 D: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0111001015.(6.4) n 阶实对称矩阵正定的充要条件是( ) A: A 的主对角线上元素全大于零 B: A 的所有元素都大于零 C: A 的所有主子式都大于零 6.(6.4) 如果任意()00002121全不为即n n x x x x x x ≠≠≠代入实二次型),(21n x x x f 中都有0>f 则),(21n x x x f 是( )A:正定 B:负定 C:不是正定 D:不一定正定,7.(6.1) 设二次型AX X x x x f '=),,(321，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=103001311A 则这个二次型应是( )A: 232121213x x x x x x -+- B: 2331212162x x x x x x -+- C: 233121212622x x x x x x -+- D: 23212121262x x x x x x +-+-答案：1、B; 2、C; 3、C; 4、B; 5、C; 6、D; 7、B;二、判断题 1.(6.1) (1) ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121211123,x x x x x x f 是二次型。
九年级数学下册第五章《二次函数》练习(含答案解析)
九年级下册数学第五章《二次函数》练习一、单选题1. ( 2分) 下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是( )A. y=3x2+2B. y=3（x﹣1）2C. y=3（x﹣1）2+2D. y=2x22. ( 2分) 由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（）0 1x ﹣1ax2 1ax2+bx+c 8 3A. y=x2﹣4x+3B. y=x2﹣3x+4C. y=x2﹣3x+3D. y=x2﹣4x+83. ( 2分) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于此二次函数有以下四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④ab＞0，其中正确的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 44. ( 2分) 二次函数y=x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A. 12B. 11C. 10D. 95. ( 2分) 下列抛物线中，与轴有两个交点的是（）A. y=5x2-7x+5B. y=16x2-24x+9C. y=2x2+3x-4D. y=3x2-2x+26. ( 2分) 将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A. y=（x﹣6）2+5B. y=（x﹣3）2+5C. y=（x﹣3）2﹣4D. y=（x+3）2﹣97. ( 2分) 若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A. ﹣2B. 4C. 4或﹣2D. 4或38. ( 2分) 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A. B. C. D.9. ( 2分) 若二次函数y=-2x2+bx+c的顶点坐标为（2，-3），则此函数有（）A. 最大值2B. 最大值-3C. 最小值2D. 最小值-3二、填空题10. ( 1分) 如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为________ m．11. ( 1分) 已知抛物线y=（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为________．12. ( 1分) 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球抛出________秒后达到最高点．13. ( 1分) 矩形的边长分别为2cm和3cm，若每边长都增加xcm，则面积增加ycm2，则y与x的函数关系式为________．14. ( 1分) 二次函数的图象与x轴交于A、B两点，P为它的顶点，则________．15. ( 1分) 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．16. ( 2分) 已知y=（m﹣2）+3x+6是二次函数，则m=________ ，顶点坐标是________ ．三、解答题17. ( 5分) 已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3），求函数的关系式．18. ( 5分) 利用函数图象求2x2﹣x﹣3=0的解四、综合题19. ( 10分) 已知抛物线的对称轴是直线，（1）求证：；（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．20. ( 15分) 某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．（1）试求y与x之间的函数表达式；（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价-成本总价）；（2）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？（3）最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？21. ( 10分) 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170﹣2x．（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（2）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？答案部分一、单选题1.【答案】D【解析】【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，对各选项分析判断后利用排除法求解。
第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
第五章二次型自测题及答案
第五章 二次型自测题姓名 学号一、填空题1. 实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数为 ，规范形为 .2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵.3. 复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.4. 实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n .5. 二次型12121312321(,,,)(222)(22)2n n n n n f x x x x x x x x x x x x x x x -=++++++++的矩阵 .6. 写出实对称矩阵1032150225302⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所确定的二次型123(,,)f x x x = . 7. 两个复二次型等价充分必要条件是 . 8. 两个实二次型等价充分必要条件是 . 二、判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.（ ）2. 若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ ）3. 若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ ）4. 实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ ）5. 若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ ）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ ）7. 若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令i j i jb a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ ）三、选择题1. 已知二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--，试对它作如下非退化线性替换11223311120111002x y x y x y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭结果为（ ）. A. 2221231231(,,)2f x x x y y y =-+ B. 222123123(,,)42f x x x y y y =+-C. 2221231231(,,)22f x x x y y y =-+D. 2221231239(,,)4f x x x y y y =-+ 2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（ ）.A. 111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 101010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 121271118⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ D. 21231323242⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭3. 下面的说法正确的是（ ）.A. 设,A B 为n 级对称矩阵，若存在n 级矩阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同；B. 两个对称矩阵一定合同；C. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在复数域上不合同；D. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在实数域上不合同.4. 下面的说法不正确．．．的是（ ）. A. 若A 为反对称矩阵，则2A 是反对称矩阵； B. 若A 为可逆对称矩阵，则A 与1A -合同；C. 若A 为实n 级可逆矩阵，A 与A -合同，则n 必为偶数；D. 令1200AA A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1200B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同. 5. 与二次型212311223(,,)22f x x x x x x x x =-+相对应的实对称矩阵是（ ）.A. 110102020-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B.110101010-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 111100100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D. 101001110-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6. 二次型22(,)43f x y x xy y =-+的矩阵A =（ ）.A. 1223-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B.1223⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1223⎛⎫⎪-⎝⎭ D. 1223-⎛⎫⎪⎝⎭7. 二次型123(,,)f x x x X AX '=，113100301A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则这个二次型应是（ ）.A. 221121233x x x x x x -+-B. 2211213326x x x x x x -+- C. 221121332262x x x x x x -+- D. 22112123262x x x x x x -+-+8. 复数域中二次型222123123121323(,,)22242f x x x x x x x x x x x x =-++++的规范形为（ ）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+C. 2212312(,,)f x x x z z =+ D. 21231(,,)f x x x z =9. 二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，则c =（ ）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 110. 设,A B 均为n 级矩阵，且A 与B 合同，则（ ）.A. ,A B 相似B. A B =C. ()()r A r B =D. ,A B 有相同的特征值11. 实二次型22123121223(,,)222f x x x x x x x x x =++-的规范形为（ ）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+C. 222123123(,,)f x x x z z z =--D. 2212312(,,)f x x x z z =+12. 下列二次型正惯性指数等于2的是（ ）.A. 221231232(,,)()2f x x x x x x x =++-B. 222123123121323(,,)5622f x x x x x x x x x x x x =++--+C. 22212312312(,,)f x x x x x x x x =++- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =++-+-13. 实二次型2221231231213(,,)56444f x x x x x x x x x x =--+++的秩与符号差为（ ）. A. 3,1- B. 3,1 C. 2,1- D. 2,114. 对称矩阵110121010A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩和负惯性指数等于（ ）.A. 3,1-B. 3,1C. 2,1-D. 2,115. n 级复数对称矩阵按合同分类，即两个n 实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，共有几类？（ ）.A. 1n +B. nC. 2n +D. 1n - 16. 如果任意120,0,,0n x x x ≠≠≠（即12,,,n x x x 全不为0）代入实二次型12(,,,)n f x x x 中都有0f >，则12(,,,)n f x x x 是（ ）.A. 正定B. 负定C. 不是正定D. 不一定正定 17. 下列二次型属于正定的是（ ）.A. 2212312(,,)f x x x x x =+B. 22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++ C. 2221231231213(,,)436f x x x x x x x x x x =++-- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++ 18. 实二次型22ax bxy cy ++是正定的当且仅当（ ）. A. 0a >且240ac b -> B. 0a >或240ac b -> C. 0a > D. 240ac b -> 四、计算题求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换. 五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2. 实二次型1211(,,,),()nnn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n . 二次型1211(,,,)n nij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数.第五章 二次型自测题答案一、填空题1. 实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数为 ，标准形为 ，规范形为 .答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1332，2，1，22212112x x -，2221x x - 2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵. 答案：对称3. 复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.答案：它的秩4. 实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n .答案：>05. 二次型12121312321(,,,)(222)(22)2n n n n n f x x x x x x x x x x x x x x x -=++++++++的矩阵 .答案：0111101111011110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭6. 写出实对称矩阵1032150225302⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭所确定的二次型123(,,)f x x x = . 答案：12132365x x x x x x -+7. 两个复二次型等价充分必要条件是 . 答案：秩相等8. 两个实二次型等价充分必要条件是 . 答案：秩相等，正惯性指数相同 二、判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.（ F ）2. 若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ T ）解析：由A 正定,则对任一x≠0,x T Ax > 0.取x=εi ,第i 个分量为1,其余分量都是0.则 εi T Aεi = a ii > 0,i=1,2,...,n 所以 A 的对角线上的元素都大于零.3. 若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ F ）4. 实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ F ）5. 若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ F ）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ T ）7. 若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令i j i jb a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ T ）三、选择题1. 已知二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--，试对它作如下非退化线性替换11223311011121200x y x y x y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭结果为（ ）. A. 2221231231(,,2)f x x x y y y =-+ B. 222123123(,,)42f x x x y y y =+-C. 2221231231(,,)22f x x x y y y =-+D. 2221231239(,,)4f x x x y y y =-+ 答案：A2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（ ）.A. 111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 101010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 121271118⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ D. 21231323242⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭答案：C3. 下面的说法正确的是（ ）.A. 设,A B 为n 级对称矩阵，若存在n 级矩阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同；B. 两个对称矩阵一定合同；C. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在复数域上不合同；D. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在实数域上不合同.答案：D4. 下面的说法不正确．．．的是（ ）. A. 若A 为反对称矩阵，则2A 是反对称矩阵； B. 若A 为可逆对称矩阵，则A 与1A -合同；C. 若A 为实n 级可逆矩阵，A 与A -合同，则n 必为偶数；D. 令1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1200B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.答案：A5. 与二次型212311223(,,)22f x x x x x x x x =-+相对应的实对称矩阵是（ ）.A. 110102020-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B.110101010-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 111100100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ D. 101001110-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭答案：B6. 二次型22(,)43f x y x xy y =-+的矩阵A =（ ）.A. 1223-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 1223⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1223⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 1223-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：A7. 二次型123(,,)f x x x X AX '=，113100301A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则这个二次型应是（ ）.A. 221121233x x x x x x -+-B. 2211213326x x x x x x -+-C. 221121332262x x x x x x -+-D. 22112123262x x x x x x -+-+ 答案：B8. 复数域中二次型222123123121323(,,)22242f x x x x x x x x x x x x =-++++的规范形为（ ）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+C. 2212312(,,)f x x x z z =+ D. 21231(,,)f x x x z = 答案：A9. 二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，则c =（ ）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案：B10. 设,A B 均为n 级矩阵，且A 与B 合同，则（ ）.A. ,A B 相似B. A B =C. ()()r A r B =D. ,A B 有相同的特征值 答案：C11. 实二次型22123121223(,,)222f x x x x x x x x x =++-的规范形为（ ）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+ C. 222123123(,,)f x x x z z z =-- D. 2212312(,,)f x x x z z =+答案：B12. 下列二次型正惯性指数等于2的是（ ）.A. 221231232(,,)()2f x x x x x x x =++- B.222123123121323(,,)5622f x x x x x x x x x x x x =++--+C. 22212312312(,,)f x x x x x x x x =++- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =++-+- 答案：B13. 实二次型2221231231213(,,)56444f x x x x x x x x x x =--+++的秩与符号差为（ ）. A. 3,1- B. 3,1 C. 2,1- D. 2,1 答案：A14. 对称矩阵110121010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩和负惯性指数等于（ ）.A. 3,1-B. 3,1C. 2,1-D. 2,1答案：B15. n 级复数对称矩阵按合同分类，即两个n 实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，共有几类？（ ）.A. 1n +B. nC. 2n +D. 1n - 答案：A16. 如果任意120,0,,0n x x x ≠≠≠（即12,,,n x x x 全不为0）代入实二次型12(,,,)n f x x x 中都有0f >，则12(,,,)n f x x x 是（ ）.A. 正定B. 负定C. 不是正定D. 不一定正定 答案：D17. 下列二次型属于正定的是（ ）.A. 2212312(,,)f x x x x x =+B. 22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++ - C. 2221231231213(,,)436f x x x x x x x x x x =++-- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++ 答案：C18. 实二次型22ax bxy cy ++是正定的当且仅当（ ）.A. 0a >且240ac b ->B. 0a >或240ac b ->C. 0a >D. 240ac b -> 答案：A四、计算题1. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.解：经过非退化线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110043104311y y y x x x ，标准形为.494232221x x x +-五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0. 证明：因为A 是负定矩阵，所以存在可逆矩阵Q 使得Q T AQ=-E, 则 A=-(Q T )-1Q -1, 令P=Q -1为所求.2. 实二次型1211(,,,),()nnn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)n nij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数证明：f 的矩阵为A, g 的矩阵为.||1*-=A A A 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=q p T E E AP P 00, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==----q p T T E E P A P AP P 00)()(1111，所以结论成立.。
苏科版九年级下册数学第5章 二次函数 含答案
苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )A. B. C. D.2、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个3、已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )A.－1＜x＜4B.－1＜x＜3C.x＜－1或x＞4D.x＜－1或x＞34、抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（）A.b=2，c=﹣6B.b=2，c=0C.b=﹣6，c=8D.b=﹣6，c=25、已知抛物线与x轴交于两点，则线段AB的长度为（）A.1B.2C.3D.46、若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（）A.当m=0时，x1=2，x2=3 B.m＞﹣ C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D.二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）7、在同一直角坐标系中，函数与的图像大致如图（）A. B. C. D.8、二次函数y=﹣x2+1的图象与y轴的交点坐标是（）A.（0，1）B.（1，0）C.（﹣1，0）D.（1，0）或（﹣1，0）9、将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A.y＝2x 2+1B.y＝2x 2﹣3C.y＝2（x﹣8）2+1D.y＝2（x﹣8）2﹣310、已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：x …﹣1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）A.（1，4）B.（2，0）C.（3，0）D.（4，0）11、一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（）A.最大值1B.最大值－1C.最小值2D.最小值－212、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论错误的是（）A. b2＞4 acB. abc＞0C. a﹣c＜0D. am2+ bm≥ a﹣b （m为任意实数）13、如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④ ，则的大小关系为( )A. B. C. D.14、抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a<；④b>1.其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.②④D.③④15、已知双曲线的图象如图所示，则函数与的图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知平面直角坐标系内有两点与，当PQ的长最小时，a 的值为________.17、已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：···-3 -2 -1 0 ······0 -3 -4 -3 ···直接写出不等式的解集是________．18、函数y= （x-1）2+3，当x________时，函数值y随x的增大而增大．19、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是________.20、若抛物线与轴没有交点，则的取值范围为________．21、某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为________．22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是________．23、已知二次函数的图象经过原点及点（-2，-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________24、将抛物线y＝ (x－1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为________25、抛物线y＝2x2+8x+12的顶点坐标为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 二次型自测题姓名学号一、填空题22x 11. 实二次型 (x 1,x 2)x 1 的矩阵为，秩为，正惯性指数1 24 1x 2为 ，规范形为 .2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵 .3. 复二次型 f （x 1,x 2, ,x n ） 的规范形由所唯一确定 .2 2 24. 实二次型 f （x 1,x 2, ,x n ） d 1x 12d 2x 22d n x n 2正定 d i， i=1,2,⋯,n.5. 二 次 型 f( x 1 , x 2 , ,n x ) (2x 1 x 221x x 3 2n1x x ) ( 22x 3x7. 两个复二次型等价充分必要条件是 8. 两个实二次型等价充分必要条件是、判断题1. 设 A 、B 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 C ，使 CAC B ，则 A 与B 合同.（ ）2. 若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素皆大于零 . （ ）3. 若 A 为负定矩阵，则必有 A 0. （ ）4. 实对称矩阵 A 半正定当且仅当 A 的所有顺序主子式全大于或等于零 . （ ）5. 若 A 负定，则 A 的所有顺序主子式全小于零 . （ ）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 . （ ） nn7. 若实 二次 型 f （x 1,x 2, ,x n ） a ij x i x j 的 符 号差 为 s ，令 b ij a ij ， 则二 次 型i 1 j 1nng(x 1,x 2, ,x n )b ij x i x j 的符号差为－ s. ( )i 1 j 1三、选择题1. 已知 二 次 型 f （x 1,x 2,x 3） 2x 12x 224x 1x 2 4x 2x 3 ， 试对它 作如 下 非 退化 线性 替 换n 22x x )n2x 的n1 矩x6. 写出实对称矩阵1 20 5 2所确定的二次型 f（x 1,x 2,x 3）2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（ ）3. 下面的说法正确的是（ ）B. 两个对称矩阵一定合同；4. 下面的说法不．正．确．的是（ ）.A. 若 A 为反对称矩阵，则 A 2是反对称矩阵；B. 若 A 为可逆对称矩阵，则 A 与 A 1合同；C. 若 A 为实 n 级可逆矩阵， A 与 A 合同，则 n 必为偶数；A 0B 0 D. 令 A1， B 1，如果 A 1与B 1合同， A 2与 B 2合同，则 A 与B 合同.0 A 20 B 21 12 25. 与二次型 f （x 1,x 2,x 3） x 122x 1x 2 2x 2x 3相对应的实对称矩阵是（）.11 01 1 01111 0 1A. 10 2B. 1 0 1C.1 0 0D.0 0 102 01 010 011 06. 二次型 f(x, y) x 2 4xy 3y 2的矩阵 A ( )1 2 0 01 y 2结果为（1 y 3A. f (x 1, x 2 ,x 3)1 2 2 22 y 1 y 2 y3 222 B. f(x 1,x 2,x 3) y 1 4y 2 2y32 2 1 2C. f(x 1,x 2,x 3) y 122y22 2 y322 2 9 2D. f (x 1,x 2,x 3) y 1 y 2y34111101121 A. 111B. 010C. 2711111011182D. 1 2133 2A. 设 A,B 为n 级对称矩阵，若存在 n 级矩阵 C ，使 CAC B ，则 A 与 B 合同；1 01 C. 矩阵 与矩阵0 11 0 1D. 矩阵 1 0与矩阵 10 1 00 在复数域上不合同；10 在实数域上不合同13 2A. 4B. 3C. 2D. 110. 设 A,B 均为 n 级矩阵，且 A 与 B 合同，则( ).A. A,B 相似B. A BC. r(A) r(B)D. A, B 有相同的特征值 11. 实二次型 f(x 1,x 2,x 3) x 122x 222x 1x 22x 2x 3 的规范形为( ).2 2 2 2 2 2 A. f (x 1,x 2,x 3) z1 z2z 3B. f (x 1,x 2,x 3) z 1z 2z 3C. f (x 1,x 2,x 3) z 12z 22z 32D. f (x 1,x 2,x 3)z 12z 2212. 下列二次型正惯性指数等于 2 的是( ).22A. f (x 1,x 2,x 3) (x 1 x 2 x 3) 2x 22 2 2 B. f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2 5x3 6x 1x 22x 1x 3 2x 2x 3222C. f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2 x 3 x 1x2222D. f (x 1,x 2,x 3) x1 x2 x3 2x 1x 22x 1x 3 2x 2x 313. 实二次型 f(x 1,x 2,x 3) 5x 126x 224x 324x 1x 2 4x 1x 3 的秩与符号差为()A. 3, 1B. 3,1C. 2, 1D. 2,11 114.对称矩阵 A 1 21的秩和负惯性指数等于（1A. 3, 1B. 3,1C. 2, 1D. 2,115. n 级复数对称矩阵按合同分类，即两个 n 实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，共有几类？（ ）12 1 212 12A.B.C.D.232 323237. 二次型 f(x 1,x 2,x 3) XAX ，A30 ，则这个二次型应是（ 1）.A. 22x 1 x 1x 2 3x 1x 2 x 3B.22x 1 2x 1x 2 6x 1x 3 x 3C.22 2x 1 2x 1x 2 6x 1x 3 2x3D.22x 1 2x 1x 2 6x 1x 2 2x 38. 复数域中二次型 f （x 1,x 2,x 3） 2 2 2x 122x 222x 322x 1x 2 4x 1x 3 2x 2x 3 的规范形为( ).A. 2 222 2 2 f (x 1,x 2,x 3)z1 z 2z3B. f (x 1,x 2,x 3) z1z2z3C.22 f (x 1,x 2,x 3) z 1 z22D. f (x 1,x 2,x 3) z 19. 二次型 f(x 1,x 2,x 3) 5x 125x 22cx 322x 1x 2 6x 1x 3 6x 2x 3的秩为2，则 c （ ）.1A. n 1B. nC. n 2D. n 116. 如果任意x1 0,x2 0, ,x n 0(即x1,x2, ,x n 全不为0)代入实二次型f(x1,x2, ,x n) 中都有 f 0，则 f (x1,x2, ,x n)是( ).A. 正定B. 负定C. 不是正定D. 不一定正定17. 下列二次型属于正定的是( ).22A. f (x1,x2,x3) x1 x2B. f (x1,x2,x3) x12x22x322x1x2C. f (x1,x2,x3) 4x123x226x32x1x2 x1x32 2 2D. f (x1,x2,x3) x1 x2 x3 2x1x2 2x1x3 2x2x318. 实二次型ax2bxy cy2是正定的当且仅当( ).22A. a 0 且4ac b20B. a 0 或4ac b202C. a 0D. 4ac b20四、计算题求二次型 f (x1,x2,x3) x123x222x1x2 6x2x3 的标准形，并写出所作的非退化线性替换.五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵P，使A＋P′P＝0.nn2. 实二次型 f (x1,x2, ,x n) a ij x i x j X AX,( A A) ，且秩(A) ＝n. 二次型i 1 j 1n n A ijg(x1,x2, ,x n) ij x i x j ，证明：f与g具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数.i1j1A答案： x 1x 2 6x 1x 3 5x 2x 37. 两个复二次型等价充分必要条件是.答案：秩相等8. 两个实二次型等价充分必要条件是 . 答案：秩相等，正惯性指数相同 二、判断题1. 设A 、B 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 C ，使C AC B ，则 A 与B 合同.（ F2. 若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角线上的元素皆大于零 . （ T ） 解析：由A 正定,则对任一 x ≠0,x T Ax > 0.取x=εi ,第i 个分量为 1,其余分量都是 0.则 a ii > 0,i=1,2,...,n 所以 A 的对角线上的元素都大于零 .3. 若 A 为负定矩阵，则必有 A 0. （ F ）4. 实对称矩阵 A 半正定当且仅当 A 的所有顺序主子式全大于或等于零 . （ F5. 若 A 负定，则 A 的所有顺序主子式全小于零 . （ F ）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 . （ T ）第五章 二次型自测题答案一、填空题2 2 x1. 实二次型 （x 1,x 2）1的矩阵为 ，秩为1 24 1 x 2标准形为 ，规范形为 .答案： 2 3 ，2，1，2 x12 11x22，x 12x223 1 22. 与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵 .答案：对称，正惯性指数为3. 复二次型 f(x 1,x 2, , x n )的规范形由所唯一确定 .答案：它的秩2 2 24. 实二次型 f (x 1,x 2, ,x n ) d 1x 12d 2x 22d n x n 2 正定 d i，i=1,2,⋯,n.答案： >05. 二次型 f( x 1, x 2, ,n x ) 阵.(2x 1 x 2 21x x 3 2n1x x ) ( 22x 3x n 22x x ) n2x 的n1 矩x答案：6. 写出实对称矩阵 所确定的二次型 f （x 1,x 2,x 3）) εi T A εi= )nn7. 若实二次型 f （x 1,x 2, ,x n ）a ij x i x j 的符号差为 s ，令b ij a ij ，则二次型i1 j1nng(x 1,x 2, ,x n )b ij x i x j 的符号差为－ s. ( T )i1j1三、选择题1. 已知二次型 f （x 1,x 2,x 3） 2x 12x 224x 1x 2 4x 2x 3 ，试对它作如下非退化线性替换答案：D4. 下面的说法不．正．确．的是（ ）A. 若 A 为反对称矩阵，则 A 2是反对称矩阵； B. 若 A 为可逆对称矩阵，则 A 与 A 1合同；C. 若 A 为实 n 级可逆矩阵， A 与 A 合同，则 n 必为偶数；A 0B 0D. 令 A 1， B 1，如果 A 1与B 1合同， A 2与 B 2合同，则 A 与B 合同. 0 A 20 B 21 12 2答案：A5. 与二次型 f （x 1,x 2,x 3） x 122x 1x 2 2x 2x 3相对应的实对称矩阵是（）1 1 01 1 01 1 11 0 1 A.102B.101C.100D.0010 2 00 1 01 0 01 1 0x 11 211 y 1x 20 1 1y 2结果为（ x 30 0 1 y 321 2A. f (x 1, x 2 ,x 3)222 y 1 y 2 y 3C. f (x 1,x 2,x 3) 2 y 121 2 2y 22 y322答案： A222B. f(x 1,x 2,x 3) y 1 4y 2 2y 32 2 9 2D. f (x 1,x 2,x 3) y 1 y 2y 34111101121A. 111B. 010C. 271111 1111011182 D. 12123. 下面的说法正确的是（ ） .A. 设 A,B 为n 级对称矩阵，若存在 n 级矩阵 C ，使 CAC B ，则 A 与 B 合同；B. 两个对称矩阵一定合同；1 C. 矩阵 01 D. 矩阵与矩阵 与矩阵 0 在复数域上不合同；10 在实数域上不合同1）2.下列矩阵合同于单位矩阵的是（ ） 答案：C222 C. f (x 1,x 2,x 3) z 1 z 2 z322 D. f (x 1,x 2,x 3) z 1 z2答案：B12. A. B.C. D.下列二次型正惯性指数等于 2 的是().f (x 1,x 2,x 3) (x 1 x 2 x 3)22x 222 2 2f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2 5x 36x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3f (x 1,x 2,x 3) x 12 x 22 x 32x 1x 2222f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2 x 32x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3A. 3, 1B. 3,1C. 2, 1D. 2,1答案：A1 114. 对称矩阵 A1 21 的秩和 负惯性指数等于()1A. 3, 1B. 3,1C. 2, 1D. 2,115. n 级复数对称矩阵按合同分类，即两个 n 实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同， 共有几类？( ).答案：B6. 二次型 f(x, y) x 24xy 3y 2的矩阵 A ( )121 21212A.B.C.D.23 2 32323答案：A17. 二次型 f(x 1,x 2,x 3) XAX ， A13答案：B2 2 28. 复数域中二次型 f (x 1,x 2,x 3) x 122x 222x 32 2x 1x 2 4x 1x 3 2x 2x 3的规范形为()答案：A9. 二次型 f(x 1,x 2,x 3) 5x 125x 22cx 322x 1x 2 6x 1x 3 6x 2x 3的秩为 2，则 c ( )A. 4B. 3C. 2D. 1 答案：B10. 设 A,B 均为 n 级矩阵，且 A 与 B 合同，则( ).A. A,B 相似B. A BC. r(A) r(B)D. A, B 有相同的特征值 答案：C 11. 实二次型 f(x 1,x 2,x 3) x 122x 222x 1x 2 2x 2x 3 的规范形为( ).130 0 ，则这个二次型应是( 0122 A. x 1 x 1x 2 3x 1x 2 x3B. x 1 2x 1x 2 6x 1x 3 x 322C.2x 1 2x 1x 2 6x 1x 3 2x 322D.x 1 2x 1x 2 6x 1x 2 2x 3A. f (x 1,x 2,x 3)222z 12 z 22 z32222 B. f (x 1,x 2,x 3) z 1 z 2 z3C. f (x 1,x 2,x 3) z 12z 22D. f (x 1,x 2,x 3) z 12A. f (x 1,x 2,x 3) z 12z 22z 32B. f (x 1,x 2,x 3) z 12z 22z 32答案：B13. 实二次型 f(x 1,x 2,x 3) 5x 126x 224x 324x 1x 2 4x 1x 3 的秩与符号差为(答案：BA. n 1B. nC. n 2D. n 1 答案：A16. 如果任意 x 1 0,x 2 0, ,x n 0(即 x 1,x 2, ,x n 全不为 0)代入实二次型 f(x 1,x 2, ,x n ) 中 都有 f 0 ，则f (x 1,x 2, ,x n ) 是( ).A. 正定B. 负定C. 不是正定D. 不一定正定 答案：D答案：C18. 实二次型 ax 2bxy cy 2是正定的当且仅当()22A. a 0 且 4ac b 20 B. a 0 或 4ac b 22C. a 0D. 4ac b 20 答案：A四、计算题1. 求二次型 f (x 1, x 2, x 3) 换.五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使 A ＋P ′P ＝ 0. 证明：因为 A 是负定矩阵，所以存在可逆矩阵 Q 使得 Q T AQ=-E, 则 A=-(Q T )-1Q -1 , 令 P=Q -1 为所求.nn2. 实 二 次 型 f (x 1,x 2, ,x n )a ij x i x j X AX,( A A) ， 且 秩 (A) ＝ n. 二 次 型i 1 j 1n nA ijg(x 1,x 2, ,x n )ijx i x j ，证明： f 与 g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数i1j1AA * TE p 0证明： f 的矩阵为 A, g 的矩阵为 AA 1 . 设 P T APp, 则| A| 0 E q(P TAP ) 1 P 1A 1(P T ) 1 E p 0，所以结论成立 .E q解：经过非退化线性替换x 124x 22 49 x 32.317. A. B. C. D.下列二次型属于正定的是( f (x 1,x 2,x 3) f (x 1,x 2,x 3) f(x 1,x 2,x 3) f (x 1,x 2,x 3) ). 22 x 1 x 2 222x 1 x 2 x 3 2x 1x 2 -2 2 2 4x 1 3x 2 6x3 x 1x 2 x 1x 3 222x 1 x 2 x 3 2x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3x 123 x 222x 1 x 2 6x 2x 3的标准形，并写出所作的非退化线性替。