北师大版初二数学秋季班(学生版) 第13讲 数据的分析--基础班
北师大版八年级上册数学[数据的分析——知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习数据的分析——知识讲解【学习目标】1、了解加权平均数的意义和求法，会求一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．2、了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．3、了解极差、方差和标准差的意义及求法，体会它们在刻画数据波动时的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯. 【要点梳理】要点一、算术平均数和加权平均数一般地，对于n 个数123n x x x x 、、、…，我们把()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作x .计算公式为()1231n x x x x x n=⋅⋅⋅++++. 要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数a 附近上、下波动时，一般选用简化计算公式x x a '=+.其中x '为新数据的平均数，a 为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若n 个数12n x x x 、、…的权分别是12n w w w 、、…、，则112212......n nnx w x w x w w w w ++++++叫做这n 个数的加权平均数. 要点诠释：（1）相同数据i x 的个数i w 叫做权，i w 越大，表示i x 的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、中位数和众数 1.中位数一般地，n 个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 要点四、极差、方差和标准差 1.极差一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据. 要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 2.方差方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差2s 的计算公式是：()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=，其中，x 是1x ，2x ，…n x 的平均数. 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k 倍.3.标准差方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号s 表示，即：；标准差的数量单位与原数据一致.4.极差、方差和标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 要点五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.【典型例题】类型一、平均数、中位数、众数1、（2015•福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0 B．2.5 C．3 D．5【答案与解析】解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，∴中位数是3，平均数为（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列顺序；∴x的值为0、2.5或5．故选C．【总结升华】考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数举一反三：【变式】若数据3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．【答案】3.2；3.5；解：由题意3.43.5, 3.62xx+==，所以众数是3.2，平均数是3.5.2、（2016•广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表： 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 91 80 78 乙 81 74 85 丙798390计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序：如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？【思路点拨】（1）运用求平均数公式()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】解：（1）由题意可得， 甲组的平均成绩是：（分）， 乙组的平均成绩是：（分）， 丙组的平均成绩是：（分），从高分到低分小组的排名顺序是：丙＞甲＞乙； （2）由题意可得， 甲组的平均成绩是：（分）， 乙组的平均成绩是：（分）， 丙组的平均成绩是：（分），由上可得，甲组的成绩最高． 答案：甲组的成绩最高【总结升华】本题考查算术平均数、加权平均数、统计表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 举一反三：【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩897885843x ++==（分）．所以8410%9030%8760%87.610%30%60%⨯+⨯+⨯=++（分）． 答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分． (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?(2)设此班30名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求a b +的值． 【答案与解析】解：(1)设该班得80分的有x 人，得90分的有y 人．根据题意和平均数的定义，得257330,763050260570780901003,x y x y +++++=⎧⎨⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯⎩ 整理得13,89109,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得8,5.x y =⎧⎨=⎩即该班得80分的有8人，得90分的有5人．(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以a ＝80，第15、16两个数均为80分，所以b ＝80，则a b +＝80＋80＝160．【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系. 举一反三：【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．零花钱数额（元） 5 10 15 20 学生个数（个）a15205请根据图表中的信息，回答以下问题.(1)求a 的值；(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数． 【答案】解：(1) a ＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为150(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．类型二、极差、方差和标准差4、（2015•徐州）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表；班级平均数（分）中位数（分）众数（分）九（1）85九（2）85 100（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；（3）计算两班复赛成绩的方差．【思路点拨】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；（3）根据方差公式计算即可：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]（可简单记忆为“等于差方的平均数”）【答案与解析】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，∴九（1）的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85，九（1）的中位数为85，九（1）的众数为85，把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，∴九（2）班的中位数是80；班级平均数（分）中位数（分）众数（分）九（1）85 85 85九（2）85 80 100（2）九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．（回答合理即可给分）（3），【总结升华】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式． 举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由． 【答案】解：1(9582888193798478)858x =+++++++=甲(分)， 1(8375808090859295)858x =+++++++=乙(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知85x x ==甲乙分，所以22221[(9585)(8285)(7885)]35.58s =-+-++-=甲， 22221[(8385)(7585)(9585)]418s =-+-++-=乙．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x x =甲乙，22s s <乙甲，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩． 类型三、统计思想5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少户．【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体． 【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是62 6.54717.52816.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．∴这组样本数据的平均数为6.8．∴在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多． ∴这组数据的众数是6.5．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6.5，有6.5 6.56.52+=． ∴这组数据的中位数是6.5．(2)∵10户中月均用水量不超过7t 的有7户，有7503510⨯=． ∴根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有35户．【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．。
初中数学八下《数据的分析》知识点
初中数学八下《数据的分析》知识点数学八年级下册《数据的分析》知识点课标要求：本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想.单元\章节内容分析：全章共分三节：20.1数据的集中趋势.本节是研究代表数据集中趋势的统计量：平均数、中位数和众数。
本节中，教科书首先给出一个实际问题，通过分析解决这个实际问题，引进加权平均数的概念。
为了突出“权”的作用和意义，教科书通过两个例题，从不同方面体现“权”的作用.接下去，教科书对加权平均数进行扩展，包括如何将算数平均数与加权平均数统一起来，如何求区间分组的数据的加权平均数，如何利用计算器的统计功能求平均数，如何利用样本平均数估计总体平均数的问题等.对于中位数和众数，教科书通过几个具体实例，研究了它们的统计意义.在本节最后，教科书通过一个具体实例，研究了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，并对这三种统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征.20.2数据的波动本节是研究刻画数据波动程度的统计量：极差和方差.教科书首先利用温差的例子研究了极差的统计意义.方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较详细的研究.首先通过一个实际问题提出对两组数据的波动情况的研究，并画出散点图直观地反映数据的波动情况，在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的.随后，又介绍了利用计算器的统计功能求方差的方法.本节最后，教科书利用所学知识解决本章前言中提出的问题，并研究了用样本方差估计总体方差的问题.20.3课题学习体质健康测试中的数据分析.教科书在最后一节安排了一个具有一定综合性和实践性的“课题学习”.这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题.由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两章统计中的课题学习更强。
北师大版八年级数学上册 (数据的离散程度)数据的分析教学课件
第六章
知识要点基础练
12.9人分24张票,每人至少1张,则( B )
A.至少有3人票数相等
B.至少有4人票数无异
C.不会有5人票数一致
D.不会有6人票数相等
综合能力提升练
拓展探究突破练
第六章
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
13.( 舟山中考 )某届世界杯的小组比赛规则:四个球队进行单循环比赛( 每两队赛一场 ),
方差 0.8 0.27 0.6 0.15
则这四人中,成绩波动比较大的是( A )
A.甲
B.乙 C.丙 D.丁
【变式拓展】我校七( 3 )班甲、乙两名同学 10 次投篮命中的平均
2
2
数均为 7,方差甲
=1.45,乙
=2.3,教练想从中选一名成绩较稳定的
同学加入校篮球队,那么应选
甲 .
第六章
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
7.甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如下表,他们5次考试的总成绩相同,请同学们
完成下列问题:
第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次
甲成绩 90
40
70
40
60
乙成绩 70
50
70
a
70
( 1 )统计表中,a= 40 ,甲同学成绩的极差为 50 ;
1
2
( 2 )小颖计算了甲同学的成绩平均数为 60,方差是甲
C.丙
D.丁
9.一排有10个座位,其中某些座位已有人,若再来1人,他无论坐在何处,都与1人相邻,则原来最
少就座的人有( B )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
北师大版八年级上册数学《数据的离散程度》数据的分析培优说课教学复习课件
探究新知 如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它
们的质量数据如图：
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？ 丙厂这20只鸡腿质量的平均数为75.1克，极差是7克.
探究新知 （2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？
解：甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g； 乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个 厂家的鸡腿？
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体 的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
探究新知
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外， 人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水 平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程度的一个 统计量.
2.按键输入数据2,3,4；
3.进入统计计算指令：
按
则显示改组数据的平均数；
按
则显示改组数据的标准差.
连接中考
去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了
10棵，每棵产量的平均数 x（单位：千克）及方差S2,如表所示：
甲乙丙丁
x 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种
植，应选的品种是（ B ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
课堂检测
基础巩固题
1.样本方差的作用是（ D ） A. 表示总体的平均水平 B.表示样本的平均水平 C.准确表示总体的波动大小 D.表示样本的波动大小
2.一组数据2,0,1，x,3的平均数是2，则这组数据的方差是( A )
(八年级数学教案)数据的统计与分析教学设计
数据的统计与分析教学设计
八年级数学教案
教学内容:本节课的内容安排是八下第二十章的一点补充,即在学习了数据的分析的基础上带学生到网络教室利用网络和EXCEL平台对生活和社会中的一些热点问题的相关数据进行统计和分析并得出相应的信息
教材分析:数据的处理和分析是社会生活中较为普遍的一个知识点,与我们的生活息息相关,也是北师大版新教材每学期都要涉及的一个重要内容。
本节课不仅仅要让学生回顾和掌握所学的相关知识,还要通过动手实做了解信息技术在数据处理中的作用。
学校及学生状况分析:重庆外国语学校是全国首批创办的八所外国语学校之一,____(省、市、区、县)教委直属重点中学,全国享受20%保送名额的13所外国语学校之一,学校设备先进一流,实现了校园网络化,学生来自全国各地,素质普遍较高,由于我校是国家级课题"Z+Z智能教育平台运用与国家数学课程改革的实验研究"实验学校,学生有在网络教室上数学课的实际体验。
学习目标:
认知目标:经历综合运用已有知识解决问题的过程,加深对数据的认识,体会数学与现实生活的联系。
能力目标:经历观察、比较、估计、推理、交流等过程,发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
让学生实际操作,了解信息技术在数据处理中的作用。
情感目标:设置丰富的问题情景与活动,激发学生的好奇心和自动学习的欲望,让学生想学,会学,乐学;体验数学与日常生活密切相关。
北师大版八年级上册数学数据的分析
学生学 校 年 级 教师授课日期授课时段课题 数据的分析重点 难点平均数、中位数、众数的概念及其应用教学步骤及教学内容【平均数】一般地，对于n 个数x1，x2，…，xn ，我们把n1（x1＋x2＋…＋xn ），叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记为x 。
【例1】CBA （中国篮球协会）2011－2012赛季冠亚军球队主要队员的身高、年龄（截至2012年）如下：北京金隅（冠军）广东东莞银行（亚军）号码身高/厘米 年龄/岁 号码 身高/厘米 年龄/岁 3 188 35 3205 31 6 175 285 206 217 190 27 6 188 23 8 188 22 7 196 29 9 196 22 8 201 29 10 206 22 9 211 25 12 195 29 10 190 23 13 20922 11 206 23 20204 19 12 212 23 21 185 23 20 203 21 25 204 23 22 216 22 31 195 28 30 18019 32 211 26 32207 21 51 202 26 0 183 27 5522729上述两支篮球队中，哪支球队队员的身材更为高大？哪支球队的队员更为年轻？注：在求平均数时，若n个数中x1出现f1次，x2出现f2次，…x k出现f k次，那么这n个数的平均数可以怎样表示？年龄/岁19 22 23 26 27 28 29 35相应的队员数 1 4 2 2 1 2 2 1方法一：方法二：【练习】抽样调查了20名同学的打字速度（字/分），结果如下：15，18，10，32，8，12，13，17，9，9，27，18，4，6，11，14，16，21，25，12。
求这20人打字的平均速度。
【加权平均数】在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同。
因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。
【例2】某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试。
北师大版初二数学秋季班(学生版) 第13讲 数据的分析--尖子班
北师大初二数学8年级上册秋季版（学生版）最新讲义第13讲数据的分析⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩平均数中位数和众数数据的分析统计图的选择数据的离散程度知识点1 平均数1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．【随堂练习】1．（2018秋•龙泉驿区期末）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙两个小组各项得分如下表：（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；（2）如果研究报告、小组展示、答辩按照4:3:3计算成绩，哪个小组的成绩最高？2．（2019春•汉阳区期末）谋某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分．（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．3．（2019春•芜湖期末）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试．他们的成绩（百分制）如下表所示：若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩5和3的权，平均成绩高的被录取，判断谁将被录取，并说明理由．知识点2 中位数与众数中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。
一组数据的中位数是唯一的。
众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
北师大版初二上-数据的分析讲义
第六章:数据的分析◆６.１平均数１．算术平均数一般地,对于n个数ｘ１,x2，x３，…,x n，我们把＼ｆ(1,n)（x1＋x2+x3＋…＋xｎ)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记作错误!.平均数反映了一组数据的集中趋势,它是一组数据的波动大小的基准.如果需要了解一组数据的平均水平时,可计算这组数据的平均数．谈重点确定平均数一组数据的平均数是唯一的,与数列的排列顺序无关;另外平均数要带单位,它的单位与原数据单位一致．【例1】某油桃种植户今年喜获丰收,他从采摘的一批总质量为900 kｇ的油桃中随机抽取了10个油桃,称得其质量（单位：g)分别为：1０6,９９,10０,１１３,１11，97,１04,112,98,110.(1)估计这批油桃中每个油桃的平均质量;（２）若质量不小于１１0 g的油桃可定为优级,估计这批油桃中，优级油桃占油桃总数的百分之几?达到优级的油桃有多少千克?2.加权平均数如果n个数中，x1出现ｆ1次,ｘ2出现f2次，…，x k出现fｋ次(这里ｆ1+f２+…+f k=ｎ)，那么,根据平均数的定义,这几个数的平均数可以表示为错误!=错误!(x1f１+x2f2＋…+x kｆｋ)，这样求得的平均数叫做加权平均数.其中ｆ１，f２，…，f k叫做权.点评:各个数据对应的权,表示这个数据的重要程度,权越大表示越重要.【例2】在“捐款（元）5１０15202530人数11962１ 1(1)(２）求出这３0名同学捐款的平均数.分析:计算平均数时，要先看看使用哪一个公式，带有权的问题应该用加权平均数公式．3.求平均数的三种方法平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”,是度量一组数据波动大小的最重要的因素.如果要了解一组数据的平均水平,就需要计算这组数据的平均数,常用的方法有以下三种:(１)定义法：当所给数据ｘ1,x2，x3,…,xｎ比较分散时，一般选用定义公式:错误!=错误!(x1＋ｘ2＋x３＋…+x n)计算平均数．(2）新数据法:当所给的数据都在某一常数a的上下波动时,一般选用简化公式：错误!=＼x＼tｏ(x)′+a(x i＝x′i+a，其中i＝1，２，…,n），其中,常数a通常取接近这组数据的平均数的较“整”的数．(3)加权平均数法:当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式错误!＝错误!(x1f1＋x２ｆ２+…+x k f k),其中f１＋f2+…+f k=ｎ．【例3】公交５08路总站设在一居民小区附近.为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数,随机抽查了10个班次的乘车人数,结果如下：20２3２６25 29 2８30 ２5 ２1２3(1)计算这1０个班次乘车人数的平均数；(2)如果在高峰时段从总站共发车60个班次,根据上面的计算结果,估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人?4.平均数的应用平均数是数据的典型代表,它能刻画一组数据的“平均水平”，在实际生活中有着广泛的应用，也是中考考查的重点内容之一．（1）由一组数据的平均数，求另一组数据的平均数.(２)利用加权平均数进行决策．各项成绩的权不同，说明各项成绩的重要程度不同.(3)用平均数进行估算.统计中常用样本来估计总体的方法获得对总体的认识，在实际生活中也常用样本平均数来估计总体平均数.实际问题中,一组数据中的各个数据的“重要程度”未必相同.因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”,反映数据的相对“重要程度”,即通过选用不同的权重计算出平均数，来评价某一具体问题．【例4】某公司对应聘者进行面试,按专业知识、工作经验、仪表形象给应聘者打分,这三个方面的重要性之比为6∶3∶１.对应聘的王丽、张瑛两人的打分如下:王丽张瑛专业知识1418工作经验１616仪表形象181２如果两人中只录取一人，若你是人事主管,你会录用__＿__＿_＿__. ………………………………………………………………………………◆６.2-6．3中位数与众数从统计图分析数据的集中趋势1.中位数一般地，n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的.它可以是这组数据中的数也可以是这组数据外的数.在计算一组数据的中位数时，其步骤为：（1)将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列；(2)找到处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数即为中位数．谈重点确定中位数求中位数时,一定要先按大小顺序将数据排列，再找中位数,当数据的个数是偶数时,中位数是中间两个数的平均数；当数据的个数是奇数时，正中间的数是中位数.【例１-1】求下列数据的中位数.(1）2，3,14,１６，7,８,１0,11,13;(2）１1,9,7,5，3,1,10,14.错解最中间的数为7,所以中位数为7．剖析在求一组数据的中位数时,应先按大小顺序排列,然后再找中位数．正解先将这组数据按从小到大的顺序排列：３,4,5,6,7,8,10.最中间的数为6，故中位数为6.2一般地,一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．一组数据可以有不止一个众数,也可以没有众数．若几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多,那么这几个数据都是这组数据的众数；当所有的数出现的次数一样多时,无众数.辩误区区分众数与次数众数是一组数据中出现次数最多的数，而不是该数据出现的次数.【例2-1】某商店有200Ｌ,2１5 Ｌ,185 L,1８0 L四种型号的冰箱,一段时间内共销售58台,其中四个型号分别售6台，30台，1４台,8台,在研究电冰箱出售情况时,商店经理关心这组数据的平均数吗？他关心的是什么?分析:销售量的多少是商店经理最关心的一个问题,因此在这个问题中平均数不再是考查的主要对象，这组数据的众数是21５L，说明这种型号的电冰箱销量最好,这才是商店经理最为关心的.解:商店经理不关心这组数据的平均数,他关心的是众数，也就是哪种型号的电冰箱销量最好．【例2-错解∵６出现４次,∴这组数据的众数是4.剖析误把次数当作众数而出错．正解∵6出现4次,是这组数据中出现次数最多的数据,∴这组数据的众数是6.3.从统计图分析数据的集中趋势（1)统计图的特点:①扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比；②条形统计图能清楚地显示每个项目的具体数目；③折线统计图能清楚地反映出事物与数据的变化情况．(2)反映一组数据集中趋势的量主要有平均数、众数、中位数．(3）我们可以根据条形统计图、折线统计图所显示的数据的中位数与众数估测其平均数．(４）在扇形统计图中,表示的数据的众数为所占比例最大的数，数据的平均数往往利用加权平均数进行求解.【例3-1】对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试,成绩记为1分,2分,3分,4分共4个等级,将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图.根据图中信息，这些学生的平均分数是（)．成绩频数条形统计图成绩频数扇形统计图A．２.２５ﻩ B.2．５Ｃ．2.95 ﻩﻩD.３【例3-２】某校九年级一班班长统计去年1~8月“校园文化”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本）,绘制了如图所示的折线统计图，这组数据的中位数是＿__＿＿_＿_＿＿．一班学生1~8月课外阅读数量折线统计图4.平均数、中位数和众数的关系平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数,但又具有不同的统计意义．平均数是反映个体的平均水平，从个体的平均水平能估计总体状况.因而平均数应用最为广泛．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能出现在所给的数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中个别数据变动较大时,可用它来描述其集中趋势.众数反映各数据出现的次数,其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题．【例４】某乡镇企业生产部有技术工人15人,生产部为了合理制定产品的每月生产定额,统计了这15每人加工件数５404503002４0210120人数１1２６3 2(1)(2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260件,你认为这个定额是否合理，为什么？５.平均数、中位数、众数的应用(１)应用平均数时,所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息;但当一组数据中存在极大值或极小值时,平均数将不能准确表示数据的集中情况．（２)应用中位数时,计算较简单，不会受到极大值或极小值存在的影响,但不能充分利用所有数据信息.（3)应用众数，某些情况下,人们最关心、最重视的是出现次数最多的数据,这种情况下，应用众数简单而且能够直接满足人们的需求,但当各个数据的重复次数大致相等时,众数往往没有特别意义．点评：求中位数应注意的几点：（1)求中位数时需先将数据按从小到大或从大到小排序．(2）当数据有奇数个时,中位数就是排序后最中间位置上的数;当数据有偶数个时，中位数就是排序后最中间两个数据的平均数．(3）当数据分组排列时,应按数据总个数求中位数，而不能按小组数求中位数．【例5】三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使用寿命为12个月．工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个厂家各抽取１1只日光甲厂78999111３１4161719乙厂7７９9101０1２12１２1314丙厂7788８１２１314151６17众数)进行宣传？(2)如果三种产品的售价一样,作为顾客的你会选购哪个厂家的产品？请说明理由．………………………………………………………………………………◆6.4数据的离散程度1．极差定义:一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值－最小值.极差反映了这组数据的波动范围．谈重点极差（1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量,极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3）极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息,且受极端值的影响较大；（4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定．【例1】在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,１55,１60,16８(单位:cm)，则这组数据的极差是＿_______＿_cｍ.2.方差(1)定义：设有n个数据x1,x2，ｘ3，…，x n，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-错误!)２,(x2-错误!)２，(x3－错误!)2,…,(x n-错误!)２，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.(２)方差的计算公式：通常用s２表示一组数据的方差,用x表示这组数据的平均数．ｓ２=＼ｆ(1，n)[(ｘ1－错误!)2+(x2－错误!）2＋（ｘ3-错误!)２＋…+(x n－错误!)2］.（3)标准差:标准差就是方差的算术平方根．谈重点方差（1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况;（２)对于同类问题的两组数据,方差越大,数据的波动越大,方差越小，数据的波动越小；(3）一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变;(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的ｋ2倍.【例2】已知两组数据分别为：甲:42，4１,4０,３9，３８;乙：4０.5，40．1，40,39.９,39.5．计算这两组数据的方差．3．极差与方差(或标准差）的异同相同之处：(１）都是衡量一组数据的波动大小的量;(2）一组数据的极差、方差（或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定．不同之处：（1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差（或标准差）反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)极差的计算最简单,只需要计算数据的最大值与最小值的差即可,而方差的计算比较复杂．【例3】已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：甲队:178,17７,179,１78,17７,178,1７7,1７9，１78,17９乙队：178,179,176,１7８,18０,17８,176,178,177,１８0(1身高(cm)１７6１７７178１791８0甲队(人数)340乙队(人数）２11（2)___＿___＿_cm;(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少?４.运用方差解决实际问题方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题.对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处．方差的计算可用一句话“先平均,再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位,方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现.点技巧方差反映波动情况在实际问题中,如果出现要求分析稳定性的问题,因为方差是反映数据的波动大小的量,所以一般就要计算出各组数据的方差,通过方差的大小比较来解决问题．【例4】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,记录如下:甲958２888193７984７8乙83928０95９０８08575(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数;(２)现要从中选派一人参加操作技能比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由.5．运用用样本估计总体的思想解决实际问题统计学的基本思想是用样本估计总体,它主要研究两个基本问题:一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断.用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样,考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体,或考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差.方差是反映已知数据的波动大小的一个量.在日常生活中,有时只用平均数、中位数和众数难以准确地分析一组数据时,就要用方差来评判.但是并不是方差越小越好,要根据问题的实际情况灵活运用数据分析问题，作出正确的判断．注：在解决问题或决策时,应运用统计思想,搞清楚特殊和一般的关系,具体问题具体对待．全方位、多角度地分析与评判是关键．【例5】某运动队欲从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全省射击比赛,该运动队预先对这两名选手进行了8次数选手甲的成绩(环)选手乙的成绩(环)19.69.５2９.7９.9３10.510．34１0.0９.7５9．７１0.5６９.910．３７10.0１0.0８1０.69.8好?为什么？………………………………………………………………………………︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀︿﹀………………………………………………………………………………第六章：数据的分析章末总结【基础知识】1、平均数：如果有n 个数12,,...,n x x x ，那么121(...)n x x x x n=+++叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。
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北师大初二数学8年级上册秋季版（学生版）
最
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第13讲 数据的分析
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平均数中位数和众数
数据的分析统计图的选择数据的离散程度 知识点1 平均数
1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数． 【随堂练习】
1．（2019春•红河州期末）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示： 这10户家庭的月平均用水量是( ) A ．32m
B ．33.2m
C ．35.8m
D ．36.4m
2．（2019春•南岗区期末）某市连续7天的最高气温为：28C ︒，27C ︒，30C ︒，33C ︒，30C ︒，32C ︒．这组数据的平均数是( )
A ．28C ︒
B ．29
C ︒ C ．30C ︒
D ．32C ︒
3．（2019春•蚌埠期末）某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是90分、80分，则小明的学期数学成绩是( ) A ．80分
B ．82分
C ．84分
D ．86分
4．（2019春•琼中县期末）如果一组数据3-，x ，0，1，x ，6，9，5的平均数为5，则x 为
( ) A ．22
B ．11
C ．8
D ．5
5．（2019•遵义）为参加全市中学生足球赛．某中学从全校学生中选拔22名足球运动员组建校足球队，这22名运动员的年龄（岁)如下表所示，该足球队队员的平均年龄是( )
A．12岁B．13岁C．14岁D．15岁6．（2019春•防城区期末）一次数学测验中，某学习小组六名同学的成绩（单位：分）分别是110，90，105，91，85，95．则该小组的平均成绩是()
A．94分B．95分C．96分D．98分7．（2019春•门头沟区期末）两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是()
A．0.2，0.2，0.3，0.3B．0.25，0.25，0.25，0.25
C．0.3，0.3，0.2，0.2D．0.5，0.5，0.0，0.0
8．（2019•鹿城区校级二模）某学校规定学生的数学学期总评成绩由三部分组成，期末考试成绩占50%，期中考试成绩占40%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为90分，85分，80分，则他的数学学期总评成绩是()
A．85分B．86分C．87分D．88分9．（2019春•确山县期末）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小明的三项成绩（百分制）依次是90，80，94，小明这学期的体育成绩是()
A．88B．89C．90D．91
10．（2019春•行唐县期末）某校规定学生的平时作业，期中考试，期末考试三项成绩分别是按30%、30%、40%计人学期总评成绩，小明的平时作业，期中考试，期末考试的英语成绩分别是93分、90分、96分，则小明这学期的总评成绩是()
A．92B．90C．93D．93.3
知识点2 中位数与众数
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中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据的中位数。
一组数据的中位数是唯一的。
众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
【典例】
1.一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_________
2.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图.
第11题图
（1）这50名同学捐款的众数为_____元，中位数为_______元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数
【随堂练习】
1．（2019春•钦州期末）某市6月份日平均气温如所示，在平均气温这组数中众数和中位数分别是()
A．21，22B．21，21.5C．10，21D．10，22 2．（2019春•北流市期末）数据2，3，3，5，6，10，13的中位数为() A．5B．4C．3D．6
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3．（2019•云南模拟）2019年2月18日，《感动中国2018年度人物颁奖盛典》在央视综合频道播出，其中乡村教张玉滚的事迹令人非常感动．某校区委组织“支援多村教育，帮助教师张玉滚”的捐款活动，以下为九年级（1）班捐款情况：
则这个班学生捐款金额的中位数和众数分别为( ) A ．15，50
B ．20，20
C ．10，20
D ．20，50
4．（2019•红河州二模）2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是( )
A ．众数是90
B ．中位数是90
C ．每天做书面家庭作业的平均时间是90分钟
D ．每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人 二．填空题（共1小题）
5．（2019春•东莞市期末）数据15、19、15、18、21的中位数为
． 三．解答题（共7小题）
6．（2019春•东莞市期末）A 、B 两店分另选5名销售员某月的销售额（单位：万元）进。