立体几何练习(高三文科班用)
立体几何训练文科((答案)
立体几何训练答案1．如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明法一如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F、H分别是AB、AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴BK BH＝23.又据题设条件知，BEBG＝23，∴BKBH＝BEBG，∴EK∥GH.∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.法二如图，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，∴FH綉12BC，EN綉12BC，∴FH綉EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綉A1E，∴A1G綉BE.又同理，C1F綉B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綉C1B1綉D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綉D1F，∴D1F綉EB，故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝3 2.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.3．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝π2.(1)证明：取BF的中点G，连接MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面CDEF.(2)取DE的中点H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE.∴AH⊥平面CDEF.∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝ 2.S矩形CDEF＝DE·EF＝42，∴棱锥A－CDEF的体积为V＝13·S矩形CDEF·AH＝13×42×2＝83.4．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BF ，又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ，∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.5．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.6．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.(3)求三棱锥D－BCE的体积．(1)证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝12CD，∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME.(2)证明∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.(3)解V D－BCE＝V E－BCD＝13S△BCD·|EM|＝13×22×42×2＝83.7．如图，在多面体ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝22BC，B1C1綉12BC.(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C.(3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B1C1的体积．(1)证明∵AB＝AC＝22BC，AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ， ∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形．∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD 綉C 1B 1，∴四边形C 1CDB 1为平行四边形，∴B 1D ∥C 1C ，B 1D ⊄平面A 1C 1C 且C 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)解 连接AD ，DC 1，V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABD ＋V 四棱锥C －AA 1C 1D＝12×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.8．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1， ∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF .同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .9．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0， 得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点． 10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →·P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|.由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ×16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.11．如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F分别为棱BC 、AD 的中点．(1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值； (2)求E 到平面ACD 的距离；(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．解 如图，分别以直线BC 、BD 、BA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)、C (4,0，0)、D (0,4，0)，E (2,0,0)、F (0，2,2)．(1)∵AB →＝(0,0，－4)，EF →＝(－2,2,2)，∴|cos 〈AB →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－84×23＝33， ∴异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为33.(2)设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，∵AC →＝(4,0，－4)，CD →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧4x －4＝0，－4x ＋4y ＝0，∴x ＝y ＝1，∴n ＝(1,1,1，)．∵F ∈平面ACD ，EF →＝(－2,2,2)，∴E 到平面ACD 的距离为d ＝|n ·EF →||n |＝23＝233. (3)EF 与平面ACD 所成角的正弦值为|cos 〈n ，EF →〉|＝23×23＝13 12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求二面角P －BD －A 的大小．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)， C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)．∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧ －23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎨⎧ y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.∴二面角P －BD －A 的大小为60°.13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC .(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)．则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→＝(－1,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32.故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.14．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．解 方法一：(1)证法一：取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE ， ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，∵F为CD的中点，∴FM∥CE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.又AB＝12DE＝ME，∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE.∵FM、AM⊄平面BCE，CE、BE⊂平面BCE，∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.∵AF⊂平面AFM，∴AF∥平面BCE.(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH，∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，则FH ＝CF sin45°＝22a ， BF ＝AB 2＋AF 2＝a 2＋3a 2＝2a ，在Rt △FHB 中，sin ∠FBH ＝FH BF ＝24. ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. 方法二：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0. (1)证明：AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )， ∵AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)证明：∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )， ∴AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →.∴AF →⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE →＝0，n ·BC →＝0可得 x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则 sin θ＝|BF →·n ||BF →|·|n |＝2a 2a ·22＝24.2 4.∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为。
高三文科数学立体几何综合训练题(简单版)
1. 如图，四边形 ABCD 为矩形，AD 平面ABEAE EB BC 2, F 为CE 上的点，且BF 平面ACE ，BDI AC G.（1） 求证：AE 平面BCE ； （2） 求证：AE//平面BFD ； （3） 求三棱锥E ADC 的体积.2. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AC=3 ,高三文科数学立体几何综合题训练AB 的中点。
（I ）求证：AC BC i ；（H ）求证：AC 1 //平面 CDB i ；（川）求三棱锥 A i — B i CD 的体积。
3在棱长为2的正方体ABCD A i B i C i D i 中，E 、F 分别为DD i 、DB 的中点。
CBAB=5 , AA i=BC=4，点D是(1)求证：EF 〃平面 ABC 1D 1 ； (2)求证：EF B ,C ;(3 )求三棱锥 B 1 EFC 的体积V 。
DICC 1ACB 60 , E 、F 分别是A 1C 1, BC 的中点。
(1) 证明：平面 AEB 平面BB 1C 1C ； (2) 证明：C 1F //平面ABE⑶设P 是BE 的中点，求三棱锥 P B 1C 1F 的体积。
4.在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AC=4,CB=2,AA=25.正方形 ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂C1AB BC BB l 2，M, N分别是AB，AQ的中点.(I)求证：MN // 平面BCC i B i ;(n)求证：MN 平面A1B1C ；(川)求三棱锥M A1B1C的体积.6.三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱与底面垂直, ABC 90°,C7•如图，在四棱锥面ABCD，点M、P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，N分别为BC、PA的中点，且PA= AD直，AD CD,AB//CD,CD 2AB 2AD .(I )求证：BC BE ;(n )在EC上找一点M ,使得BM //平面ADEF ,请确定M点的位置,并给出证明.(I)证明：CD 丄平面PAC ;(H)在线段PD 上是否存在一点E ,使得NM //平面ACE ;若存在，求出PE 的长；若 不存在，说明理由.8.如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， AD PA 2, CD 2 2 , E 、F 分别 9.如图(1), ABC 是等腰直角三角形， AC BC 4, E 、F 分别为AC 、 AB 的中点,是AB 、PD 的中点。
立体几何文科练习题
立体几何1．用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A ．12 B ．24 C.62 Ｄ.122 2.设,m n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,下列命题中正确的是 ( ) A.若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥,则//αβ C.若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D.若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ3．如图,棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点,则下列结论错误．．的是A.P D DC 11⊥B.平面⊥P A D 11平面AP A 1C.1APD ∠的最大值为090D.1PD AP +的最小值为22+4．一个几何体的三视图如图所示(单位：ｍ),则该几何体的体积为______ｍ3．5.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于 .6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是＿___＿____＿__7．如图,一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知1:2:::===FS CF EB SE DA SD ,若仍用这个容器盛水,则最多可盛水的体积是原来的.8.如图,四边形ABC Ｄ为正方形,Q Ａ⊥平面ABC Ｄ,ＰＤ∥QA,Q Ａ=ＡB ＝12PD.(1)证明:PQ ⊥平面D ＣQ ；(２)求棱锥Q ABC Ｄ的体积与棱锥ＰＤCQ 的体积的比值.[来９.如图所示的多面体中，ABCD 是菱形,BDEF 是矩形,ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=．（1）求证://BCF AED 平面平面.（２）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。
10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形,ABCD PD 底面⊥,1=AB ,2=BC ,3=PD ,F G 、分别为CD AP 、的中点． (1） 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ;SFCB AD EF GPDCBA11.如图,多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示,N M ,分别为BC AF ,的中点. (1）求证：//MN 平面CDEF ； (2）求多面体CDEF A -的体积.NMFEDCBA直观图俯视图正视图侧视图22222212.如图，在三棱锥P ABC -中,90ABC ∠=,PA ⊥平面ABC ,E ,F 分别为PB ，PC 的中点. （1)求证://EF 平面ABC ;(2）求证:平面AEF ⊥平面PAB .A１3．如图，在三棱锥P —ABC 中，D ，Ｅ,F 分别为棱ＰC ，AC,AB 的中点.已知ＰＡ⊥A Ｃ，PA=6，BC ＝8,ＤＦ=5.求证：（1)直线PA ∥平面DFE ； (2)平面BDE ⊥平面ABC.14．如图. 直三棱柱ABC —A 1Ｂ1C 1 中,A 1Ｂ1= A 1C 1,点D 、E 分别是棱BC ，CC １上的点（点D 不同于点C ）,且AD ⊥DE,F 为B 1C １的中点.求证:（1)平面ADE ⊥平面BCC 1B １ (2)直线A １F ∥平面AD Ｅ.BA 1C 1 E C DAB 1F参考答案1．C 【解析】试题分析：斜二测法:要求长边，宽减半，直角变为045角,则面积为:2645sin 260=⨯⨯. 考点:直观图与立体图的大小关系. 2.C【解析】试题分析：此题只要举出反例即可,A,B 中由n m n ⊥⊥,β可得β//n ,则α,β可以为任意角度的两平面，A,B 均错误．Ｃ,D 中由n m n //,β⊥可得β⊥m ,则有βα//，故Ｃ正确，D 错误.考点:线，面位置关系． ３．C 【解析】试题分析:⊥1DC 面11BCD A ,∴A 正确;⊥11A D 面11A ABB ，∴B 正确；当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角,∴C 错;将面B AA 1与面11A ABB 沿B A 1展成平面图形，线段D A 1即为1PD AP +的最小值，解三角形易得D A 1=22+， ∴D 正确.故选C.考点:线线垂直、线面垂直、面面垂直. 4．４ 【解析】试题分析:已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示:，所以其体积为:4211112=⨯⨯+⨯⨯=V ,故应填入:４. 考点：三视图． 5.２4 【解析】试题分析：由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.考点:三视图. 【答案】１2 【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱,底面是等腰直角三角形 体积为12262V =⨯⨯⨯=1２考点:三视图，几何体的体积． 7.2723 【解析】试题分析:过DE 作截面平行于平面ABC ,可得截面下体积为原体积的27193213=-）（,若过点Ｆ,作截面平行于平面SAB ,可得截面上的体积为原体积的278323=）（，若C 为最低点,以平面DEF 为水平上面,则体积为原体积的27233132321=⨯⨯-，此时体积最大. 考点：体积相似计算. 8.(1）祥见解析; （2)１． 【解析】试题分析:(１)要证直线与平面垂直,只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA ⊥平面ＡBCD,所以有平面PDAQ ⊥平面ABCD ，且交线为A Ｄ，又因为四边形A ＢCD 为正方形，由面面垂直的性质可得DC ⊥平面ＰDAQ,从而有PQ ⊥DC ，又因为PD ∥QA ，且ＱＡ=AB ＝12PD ,所以四边形PDAQ 为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ ⊥Q Ｄ；从而可证 PQ ⊥平面DC Ｑ;（２)设AB=a,则由（1)及已知条件可用含ａ的式子表示出棱锥Q-A ＢＣＤ的体积和棱锥Ｐ－DC Ｑ的体积从而就可求出其比值. 试题解析：(1)证明：由条件知P ＤAQ 为直角梯形.因为ＱA ⊥平面ABCD ，所以平面ＰD ＡQ ⊥平面ABC Ｄ，交线为AD. 又四边形ＡBC Ｄ为正方形，D Ｃ⊥AD, 所以DC ⊥平面PDAQ.可得P Ｑ⊥DC ．在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ D ， 则PQ ⊥ＱD ．所以PQ ⊥平面DC Ｑ.(2)设A Ｂ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q ＡＢCD 的高,所以棱锥Q-AB ＣD 的体积V 1＝13a ３．由(１）知PQ 为棱锥P-ＤＣQ 的高,而a,△ＤCQ 的面积为2ａ2, 所以棱锥P －ＤCQ 的体积Ｖ2＝13a ３. 故棱锥Q －ＡBCD 的体积与棱锥P －D ＣQ 的体积的比值为1. 考点：1.线面垂直；2．几何体的体积．9．(1）证明过程详见解析；(2)36a ． 【解析】试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，由于ABCD 是菱形,得到//BC AD ，利用线面平行的判定,得//BC ADE 面,由于B ＤE Ｆ为矩形,得ＢＦ／/ＤE,同理可得ＢF//面AD Ｅ，利用面面平行的判定,得到面BCF//面ＡED;第二问，通过证明得到AO BDEF ⊥面，则AO 为四棱锥A BDEF -的高,再求出BDEF 的面积，最后利用体积公式13V Sh =，计算四棱锥A-B ＤEF 的体积. 试题解析:证明：（1）由ABCD 是菱形 //BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面 //BC ADE ∴面 3分由BDEF 是矩形//BF DE ∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面 //BF ADE ∴面,,BC BCF BF BCF BCBF B ⊂⊂=面面∴//BCF AED 平面平面. 6分 (2）连接AC ,ACBD O =由ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面 ED AC ∴⊥,,ED BD BDEF EDBD D ⊂=面 AO BDEF ∴⊥面, 10分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形,3BAD π∠=,则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==;则3,2AD a AO a ==，2BDEF S a =, 231333A BDEF V a a a -=⋅⋅=14分考点:线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积．10.（１)见解析;(2）见解析.【解析】 试题分析：（1)欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在平面）;（２)欲证线面平行,需在平面内寻找一条直线,并证此线平行于另一直线.此题也可以采用空间向量证明,即证明FG 的方向向量垂直于平面BCP 的法向量n 即可. 试题解析:（１)证明: 底面ABCD 为矩形 CD AD ⊥∴ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ , PD AD ⊥∴D PD CD = PDC AD 平面⊥∴ABCD PC 平面⊂ PC AD ⊥∴H F GPD CBA（2）证明:取H BP 中点,连接CH GH ,中点分别为DC AP F G ,,GH ∴=//AB 21,FC =//AB 21 GH ∴=//FC GFCH 四边形∴是平行四边形, FG ∴／/CH ，BCP CH 平面⊂,BCP FG 平面⊄ FG ∴/／BCP 平面考点:（1)线线垂直;(2)线面平面.11.（1)证明:见解析;（2)多面体CDEF A -的体积83．【解析】试题分析: (1)由多面体AEDBFC 的三视图知,三棱柱BFC AED -中,底面DAE 是等腰 直角三角形，2==AE DA ，⊥DA 平面ABEF ，侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方形.连结EB ，则M 是EB 的中点，由三角形中位线定理得EC MN //，得证. (2）利用⊥DA 平面ABEF ,得到EF AD ⊥, 再据EF ⊥AE ,得到EF ⊥平面ADE ，从而可得：四边形 CDEF 是矩形,且侧面CDEF ⊥平面DAE .取DE 的中点,H得到AH =⊥AH 平面CDEF ．利用体积公式计算.所以多面体CDEF A -的体积383131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF ． 12分 试题解析： （1）证明:由多面体AEDBFC 的三视图知,三棱柱BFC AED -中，底面DAE 是等腰直角三角形,2==AE DA ,⊥DA 平面ABEF ,侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的 正方形．连结EB ,则M 是EB 的中点, 在△EBC 中，EC MN //，且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴MN ∥平面CDEF . 6分FDA(２)因为⊥DA 平面ABEF ，EF ⊂平面ABEF ， AD EF ⊥∴,又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ,∴四边形 CDEF 是矩形,且侧面CDEF ⊥平面DAE 8分 取DE 的中点,H ⊥DA ,AE 2==AE DA ,2=∴AH ,且⊥AH 平面CDEF .10分所以多面体CDEF A -的体积383131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF . 12分 考点:三视图，平行关系,垂直关系，几何体的体积． 12．(1）见解析；（2)见解析 【解析】 试题分析：（1）由Ｅ、F 分别为P Ｂ、PC 中点根据三角形中位线定理知E Ｆ∥ＢC,根据线面平行的判定知EF ∥面A ＢＣ；(2)由P Ａ⊥面P ＡBC 知,P Ａ⊥BC ，结合ＡB ⊥BC ，由线面垂直的判定定理知，BC ⊥面P ＡB ，由(1)知EF ∥ＢC ，根据线面垂直性质有EF ⊥面ＰA Ｂ,再由面面垂直判定定理即可证明面A ＥF ⊥面ＰAB.试题解析:证明:(1)在PBC ∆中,F E , 分别为PC PB ,的中点BC EF //∴ 3分 又⊂BC 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC 7分 （２)由条件,⊥PA 平面ABC ,⊂BC 平面ABCBC PA ⊥∴︒=∠90ABC ，即BC AB ⊥, 10分 由//EF BC ,∴EF AB ⊥，EF PA ⊥又A AB PA =⋂,AB PA ,都在平面PAB 内 EF ∴⊥平面PAB 又⊂EF 平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB 14分 考点:线面垂直的判定与性质；面面垂直判定定理;线面平行判定;推理论证能力13.(1)详见解析; (２) 详见解析． 【解析】试题分析:(1) 由线面平行的判定定理可知,只须证PA 与平面DEF 内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择DE ，由三角形的中位线的性质易知: ＤＥ∥PA ，从而问题得证;注意线PA 在平面D ＥG 外,而DE 在平面ＤEF 内必须写清楚;(２) 由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可,注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证DE 垂直平面ABC 较好,由（1）可知：DE ⊥AC ，再就只须证ＤE ⊥E Ｆ即可;这样就能得到DE ⊥平面ＡBC ，又DE ⊂平面BD Ｅ,从面而有平面BDE ⊥平面ＡBC. 试题解析：（1)因为Ｄ，E 分别为PC ，AC 的中点,所以D Ｅ∥ＰA.又因为ＰA ⊄平面D ＥＦ，ＤＥ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF ．(2)因为Ｄ，E ，F 分别人棱PC,AC,AB 的中点，PA ＝６,B Ｃ＝8，所以D Ｅ∥P Ａ，ＤE ＝21ＰＡ=3,EF=21BC=4． 又因为ＤF ＝5，故D Ｆ2＝DE 2＋EF 2,所以∠ＤEF=９0。
立体几何大题练习(文科)
立体几何大题演习（文科）：1．如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,正面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD;（2）若∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为,求正面△SAB 的面积．【剖析】（1）由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a,AB=2a,应用勾股定理和余弦定理,可得AD,由线面垂直的剖断定理可得BD⊥平面SAD,应用面面垂直的剖断定理即可得证;（2）应用面面垂直的性质定理,以及三棱锥的体积公式,求得BC=1,应用勾股定理和余弦定理,可得SA,SB,应用三角形的面积公式,即可得到所求值．【解答】（1）证实：在梯形ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,BC=CD=,设BC=a,则CD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,∠BCD=90°,可得BD=a,∠CBD=45°,∠ABD=45°,由余弦定理可得AD==a,则BD⊥AD,由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD,又BD⊂平面SBD,可得平面SBD⊥平面SAD;（2）解：∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为,由AD=SD=a,在△SAD中,可得SA=2SDsin60°=a,△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a,由SH⊥平面BCD,可得×a××a2=,解得a=1,由BD⊥平面SAD,可得BD⊥SD,SB===2a,又AB=2a,在等腰三角形SBA中,边SA上的高为=a,则△SAB的面积为×SA×a=a=．【点评】本题考核面面垂直的剖断定理的应用,留意应用转化思惟,考核三棱锥的体积公式的应用,以及推理才能和空间想象才能,属于中档题．2．如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E.F（E与A.D不重合）分离在棱AD,BD上,且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC;（2）AD⊥AC．【剖析】（1）应用AB∥EF及线面平行剖断定理可得结论;（2）经由过程取线段CD上点G,贯穿连接FG.EG使得FG∥BC,则EG∥AC,应用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,联合线面垂直的剖断定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论．【解答】证实：（1）因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A.B.E.F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行剖断定理可知：EF∥平面ABC;（2）在线段CD上取点G,贯穿连接FG.EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考核线面平行及线线垂直的剖断,考核空间想象才能,考核转化思惟,涉及线面平行剖断定理,线面垂直的性质及剖断定理,留意解题办法的积聚,属于中档题．3．如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点M 和N分离是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N;（2）求证：AC⊥MB．【剖析】（1）证实MC1NB为平行四边形,所以C1N∥MB,即可证实MB∥平面AC1N;（2）证实AC⊥平面BCC1B1,即可证实AC⊥MB．【解答】证实：（1）证实：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,因为点M,N分离是B1C1,BC的中点,所以C1M∥BN,C1M=BN．所以MC1NB为平行四边形．所以C1N∥MB．因为C1N⊂平面AC1N,MB⊄平面AC1N,所以MB∥平面AC1N;（2）因为CC1⊥底面ABC,所以AC⊥CC1．因为AC⊥BC,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1．因为MB⊂平面BCC1B1,所以AC⊥MB．【点评】本题考核线面平行的剖断,考核线面垂直的剖断与性质,考核学生剖析解决问题的才能,属于中档题．4．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD||BC,PD⊥底面ABCD,∠ADC=90°,AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点．（Ⅰ）证实：PA∥平面BMQ;（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离．【剖析】（1）贯穿连接AC交BQ于N,贯穿连接MN,只要证实MN∥PA,应用线面平行的剖断定理可证;（2）由（1）可知,PA∥平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）贯穿连接AC交BQ于N,贯穿连接MN,因为∠ADC=90°,Q为AD的中点,所以N为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点,即PM=MC时,MN为△PAC的中位线,故MN∥PA,又MN⊂平面BMQ,所以PA∥平面BMQ．…（5分）（2）由（1）可知,PA∥平面BMQ,所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离,所以VP﹣BMQ=VA﹣BMQ=VM﹣ABQ,取CD的中点K,贯穿连接MK,所以MK∥PD,,…（7分）又PD⊥底面ABCD,所以MK⊥底面ABCD．又,PD=CD=2,所以AQ=1,BQ=2,,…（10分）所以VP﹣BMQ=VA﹣BMQ=VM﹣ABQ=.,…（11分）则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考核了线面平行的剖断定理的应用以及应用三棱锥的体积求点到直线的距离．5．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分离是AB,AC 的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE;（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【剖析】（1）证实B1C1∥DE,即可证实B1C1∥平面A1DE;（2）证实DE⊥平面ACC1A1,即可证实平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证实：（1）因为D,E分离是AB,AC的中点,所以DE∥BC,…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,又DE⊂底面ABC,所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC,…（10分）又CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考核线面平行.线面垂直.面面垂直的剖断,考核学生剖析解决问题的才能,属于中档题．6．在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M,N分离是PD,PA的中点,AC⊥AD,∠ACD=∠ACB=60°,PC=AC．（1）求证：PA⊥平面CMN;（2）求证：AM∥平面PBC．【剖析】（1）推导出MN∥AD,PC⊥AD,AD⊥AC,从而AD⊥平面PAC,进而AD⊥PA,MN⊥PA,再由CN⊥PA,能证实PA⊥平面CMN．（2）取CD的中点为Q,贯穿连接MQ.AQ,推导出MQ∥PC,从而MQ∥平面PBC,再求出AQ∥平面,从而平面AMQ∥平面PCB,由此能证实AM∥平面PBC．【解答】证实：（1）∵M,N分离为PD.PA的中点,∴MN为△PAD的中位线,∴MN∥AD,∵PC⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PC⊥AD,又∵AD⊥AC,PC∩AC=C,∴AD⊥平面PAC,∴AD⊥PA,∴MN⊥PA,又∵PC=AC,N为PA的中点,∴CN⊥PA,∵MN∩CN=N,MN⊂平面CMN,CM⊂平面CMN,∴PA⊥平面CMN．解（2）取CD的中点为Q,贯穿连接MQ.AQ,∵MQ是△PCD的中位线,∴MQ∥PC,又∵PC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC,∵AD⊥AC,∠ACD=60°,∴∠ADC=30°．∴∠DAQ=∠ADC=30°,∴∠QAC=∠ACQ=60°,∴∠ACB=60°,∴AQ∥BC,∵AQ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AQ∥平面PBC,∵MQ∩AQ=Q,∴平面AMQ∥平面PCB,∵AM⊂平面AMQ,∴AM∥平面PBC．【点评】本题考核线面垂直.线面平行的证实,考核空间中线线.线面.面面间的地位关系,考核推理论证才能.运算求解才能.空间想象才能,考核化归与转化思惟.数形联合思惟.函数与方程思惟,是中档题．7．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,正面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E.F分离为PC.BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD;（2）求证：面PAB⊥平面PDC．【剖析】（1）衔接AC,则F是AC的中点,E为PC 的中点,证实EF∥PA,应用直线与平面平行的剖断定理证实EF∥平面PAD;（2）先证实CD⊥PA,然后证实PA⊥PD．应用直线与平面垂直的剖断定理证实PA⊥平面PCD,最后依据面面垂直的剖断定理即可得到面PAB⊥面PDC．【解答】证实：（1）衔接AC,由正方形性质可知,AC与BD订交于BD的中点F,F也为AC中点,E为PC中点．所以在△CPA中,EF∥PA,又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD;（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又,所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形,且,即PA⊥PD．因为CD∩PD=D,且CD.PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB,所以面PAB⊥面PDC．【点评】本题考核直线与平面垂直的剖断,直线与平面平行的剖断的应用,考核逻辑推理才能．8．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,且PA=AD=2,BD=2,E.F分离为AD.PC中点．（1）求点F到平面PAB的距离;（2）求证：平面PCE⊥平面PBC．【剖析】（1）取PB的中点G,衔接FG.AG,证得底面ABCD为正方形．再由中位线定理可得FG∥AE且FG=AE,四边形AEFG是平行四边形,则AG∥FE,应用线面平行的剖断定理可得EF∥平面PAB,点F 与点E到平面PAB的距离相等,应用线面垂直的剖断和性质,证得AD⊥平面PAB,即可得到所求距离;（2）应用线面垂直的剖断和性质,证得BC⊥平面PAB,EF⊥平面PBC,再由面面垂直的剖断定理,即可得证．【解答】（1）解：如图,取PB的中点G,衔接FG.AG,因为底面ABCD为菱形,且PA=AD=2,,所以底面ABCD为正方形．∵E.F分离为AD.PC中点,∴FG∥BC,AE∥BC,,,∴FG∥AE且FG=AE,∴四边形AEFG是平行四边形,∴AG∥FE,∵AG⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,∴EF∥平面PAB,∴点F与点E到平面PAB的距离相等,由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,AD⊥平面PAB,则点F到平面PAB的距离为EA=1．（2）证实：由（1）知AG⊥PB,AG∥EF,∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA,∵BC⊥AB,AB∩BC=B,∴BC⊥平面PAB,由AG⊂平面PAB,∴BC⊥AG,又∵PB∩BC=B,∴AG⊥平面PBC,∴EF⊥平面PBC,∵EF⊂平面PCE,∴平面PCE⊥平面PBC．【点评】本题考核空间点到平面的距离,留意应用转化思惟,考核线面平行和垂直的剖断和性质,以及面面垂直的剖断,闇练控制定理的前提和结论是解题的症结,属于中档题．9．在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2AD,BC⊥PD,E,F分离是PB,BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF;（2）平面PBC⊥平面PBD．【剖析】（1）由中位线定理可得PC∥EF,故而PC∥平面DEF;（2）由直角梯形可得BC⊥BD,联合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD,于是平面PBC⊥平面PBD．【解答】证实：（1）∵E,F分离是PB,BC的中点,∴PC∥EF,又PC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M,贯穿连接BM,则AB DM,又AD⊥AB,AB=AD,∴四边形ABMD是正方形,∴BM⊥CD,BM=CM=DM=1,BD=,∴BC=,∴BD2+BC2=CD2,∴BC⊥BD,又BC⊥PD,BD∩PD=D,∴BC⊥平面PBD,又BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD．【点评】本题考核了线面平行,面面垂直的剖断,属于中档题．10．如图,在三棱锥A﹣BCD中,E,F分离为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面;（2）若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证：平面AEF⊥平面ACD．【剖析】（1）应用线面平行的性质可得BD∥EF,从而得出EF∥平面ABD;（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD,由BD⊥CD,BD∥EF可得EF⊥CD,从而有CD⊥平面AEF,故而平面AEF⊥平面ACD．【解答】证实：（1）∵BD∥平面AEF,BD⊂平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,∴BD∥EF,又BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AE⊥CD,由（1）可知BD∥EF,又BD⊥CD,∴EF⊥CD,又AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,∴CD⊥平面AEF,又CD⊂平面ACD,∴平面AEF⊥平面ACD．【点评】本题考核了线面平行.线面垂直的性质,面面垂直的剖断,属于中档题．。
立体几何(文科)
4.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()
A.B．2C.D．3
答案：C
5.若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.
答案：
6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()
立体几何（文科）
1.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()
A.B.C.D.
答案：D
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A.＋2πB.C.D.
答案：B
3.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．
(1)CE∥平面PAD；
(2)平面EFG⊥平面EMN.
24.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
25.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
29.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD.
(1)若AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥APBC的体积；
(2)若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE.
异面直线
1．(2016·海淀模拟)若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则()
立体几何常考题型练习(文科生用)
立体几何常考题型练习(毛艺瑾用)出题人：王春生概念选择题1、设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，以下命题正确的是 A ．若//,//l ααβ,则//l β B ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ C ．若,l ααβ⊥⊥,则//l β D ．若//,l ααβ⊥,则l β⊥2.已知直线m n ,与平面αβ，，下列命题中错误．．的是 A 。
若 m n αα,⊥⊥，则m n // B.若 m n ββ,//⊥，则m n ⊥ C.若 m n αβαβ,,⊥⊥⊥,则m n ⊥D 。
若 m n n α//,⊂，则m α//3。
已知n m ,是两条不重合的直线，α,β是两个不重合的平面，给出下列四个命题:其中正确命题的个数是（1)若βαα⊥,//m ，则β⊥m ； (2)βαβα⊥⊥⊥⊥则且若,,,m n m n ； (3）若αβ⊥,m α⊄，m β⊥,则//m α；（4)若n m ,是异面直线，,//,,//,m m n n αββα⊂⊂则//αβ．A.1B.2 C 。
3 D.4三视图：1．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x 的值是A ．2B ．92C ．32D ．3第1题图正视图 侧视图x2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．83B ．103C ．4D ．33．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为A ．16B ．13C ．12D ．23外接球问题1、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是A ．172π B ．34πC ．17342π D ．1734π2、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为A ．π3B ．π2C ．316πD ．以上都不对1FAEC OBDM3、三棱锥P ABC -中，15AB BC ==，6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为 A ．253π B ．252π C ．833π D ．832π几何证明计算题1．如图，AB 为圆O 的直径,点E 、F 在圆O 上,EF AB //，矩形ABCD 的边BC 垂直于圆O 所在的平面，且2=AB ，1==EF AD 。
立体几何测试题(文科)
立体几何文科试题一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 2、已知直线,l m与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，和mγ⊥，则有A ．αγ⊥且l m⊥ B ．αγ⊥且//m β C ．//m β且lm⊥ D ．//αβ且αγ⊥3.若()0,1,1a =- ，()1,1,0b = ，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ）A .－1 B.0 C.1 D.－24、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β5一个几何体的三视图及长度数据如图，则几何体的表面积与体积分别为()3,27+A ()328，+B()2327，+C ()23,28+D6、已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）A. B. 4cm C. D.7、已知圆锥的母线长5l cm =，高4h cm =，则该圆锥的体积是____________3cmA. 12π B 8π C. 13π D. 16π8、某几何体的三视图如图所示，当ba +取最大值时，这个几何体的体积为 （ ）A ．61 B ．31 C ．32 D ．219、已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =AC =8A D =,则,B C 两点间的球面距离是 （ ）A. 3πB. 43π C. 23π D. 53π10、四面体A B C D 的外接球球心在C D 上，且2C D =，3=AB ，在外接球面上A B ，两点间的球面距离是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π611、半径为2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） A ．4cmB ．2cmC ．cm 32D ．cm 312、 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m+n 的值为（ ） A ．3B ．7C ．8D ．11二．填空题：本大题共4个小题。
文科立体几何模拟试题答案
文科立体几何模拟试题答案一、选择题1. 若一个正方体的棱长为2cm，则其对角线的长度为？A. 2√2 cmB. 2√3 cmC. 4 cmD. √8 cm答案：B2. 一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，其侧面展开图的扇形的中心角为？A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°答案：D3. 一个球的表面积为4πR²，若该球的体积为16π，则其半径R为？A. 2B. 4C. 2√2D. √16答案：A4. 一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，其侧面积为？A. 60π cm²B. 36π cm²C. 90π cm²D. 180π cm²答案：A5. 一个锥体的底面半径为r，高为h，侧面展开图是一个等腰三角形，其底边长为？A. πrB. 2πrC. √(2h² + r²)D. √(h² + 4r²)答案：D二、填空题1. 一个正方体的体积为64cm³，其棱长为______。
答案：4cm2. 一个球的体积为64π，其表面积为______。
答案：64π cm²3. 一个圆柱的底面半径为5cm，高为12cm，其体积为______。
答案：942π cm³4. 一个锥体的底面半径为3cm，高为6cm，其侧面展开图的扇形的中心角为______。
答案：120°5. 一个正四面体的边长为a，其表面积为______。
答案：√3a²三、解答题1. 一个正方体的棱长为3cm，求其内切球的体积。
解：正方体的内切球即为正方体的对角线所形成的球体，其半径r为正方体棱长的一半，即r = 3/2 cm。
根据球体体积公式V = 4/3πr³，代入r值得到V = 4/3π(3/2)³ = 9π cm³。
2. 一个圆锥的底面半径为2cm，高为5cm，求其侧面展开图的扇形的弧长。
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立体几何练习（文科）
1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
()A6()B9()C12()
D18
2、下列命题正确的是（）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
3、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．8π
3
B．3πC．
10π
3
D．6π
4、一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方形 D.圆柱
5、某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
6、已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.
7、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
8、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三
棱锥1D EDF -的体积为____________.
9、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
10、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3
．
10、一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________m 3
.
11、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA
底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。
12、棱锥的底面是正三角形，边长为1，棱锥的一条侧棱与底面垂直，其余两条侧棱与底面所成角都等于
3
π
，设D 为BC 中点。
（1）求这个棱锥的侧面积和体积；
（2）求异面直线PD 与AB 所成角的大小.
13、某四棱锥底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂
直，四棱锥的三视图如右图所示，则其体积为
14、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2AB =，2AP =． （1）求三棱锥P BCD -的体积；
（2）求异面直线EF 与PD 所成角的大小．
15、如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为
全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1， 那么这个几何体的体积为 ___________
C
俯视图
题图）
P F
A C
D
B
E
1
C
主视方向
A
16、如图3所示的几何体，是由棱长为2的正方体
1111
ABCD A BC D
-截去一个角后所得的
几何体．
（1）试画出该几何体的三视图；(主视图投影面平行平面
11
DCC D，主视方向如图所示) （2）若截面MNH
∆是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V
17．如图几何体由前向后方向的正投影面是平面EFGH，则该几何体的主视图是
（）
18、如图
，在四棱锥P A B C D
-中，底面A B C D是矩形，PA⊥平面A B C D，22
PA AD AB
===，E是PB的中点.
（1）求三棱锥P ABC
-的体积；
（2）求异面直线EC和AD所成的角(结果
用反三角函数值表示).
19、如图，在四棱锥ABCD
P-中，⊥
PD底面ABCD，
底面ABCD为正方形，A
D
PD=，E，F分别是AB，
PB的中点．
（1）求异面直线EF与PD所成角的大小；
（2）当2
=
EF时，求在四棱锥ABCD
F-的体积.
（C）
（B）
（A）（D）
E
D
B
C
A
P
1
A A
B
E
C
D 1
B 1
C 1
D 20、已知一个几何体的主视图和左视图均如图1，俯视图如图2，试描述该几何体的形状，并求出该几何体的体积.
21、如图：已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，过顶点1A 作底面ABC 的垂线，若垂足为BC 的中点，则异面直线
AB 与1CC 所成的角的余弦值为 .
22、在长方体1111ABCD A BC D -中，
2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体
111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为
10. （1）求棱1A A 的长；
（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图
（写出各顶点字母）.
23、如图所示, 直四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱1AA 长为a , 底面ABCD 是边长2AB a =, BC a =的矩形,E 为11C D 的中点,
(1)求证: DE ⊥平面EBC ,
(2)求异面直线AD 与EB 所成的角的大小 (结果用反三角函数表示).
图1
2
2
2
图2
第20题图
A
A 1
B
C
C 1
B 1
第21题
A
B
C
D
1
A 1
1D
24、 一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图 不可能为．．．
①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是 .
25、 直三棱柱111C B A ABC -的底面为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，2==AC AB ，
221=AA ，
F E 、分别是1AA BC 、的中点．求 （1）异面直线EF 和B A 1所成的角； （2）直三棱柱111C B A ABC -的体积．
26、如图，在正四棱锥ABCD P -中，2==AB PA ． （1）求该正四棱锥的体积V ；
（2）设E 为侧棱PB 的中点，求异面直线AE 与PC
所成角θ的大小．
A
C
B A 1
E
F C 1
B 1。