分式方程有增根或无解
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解
增根和无解是分式方程中常见的两种情况。
增根是指分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为$0$的根。
分式方程的增根问题是分式方程去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大。
无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等。
分式方程无解包括两种情况：一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解；另一种情况是整式方程有解，但这个解使原方程的分母为$0$，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解。
总的来说，分式方程的增根和无解是两个不同的概念，增根是分式方程的一种特殊情况，而无解则是分式方程的一种极端情况。
分式方程中无解与增根有什么区别,做题时有什么不同的
分式方程中无解与增根有什么区别,做题时有什么不同的
解分式方程一般都要去分母化为整式方程,而整式方程只有：有解与无解二种情况.
当整式方程无解时,那么原来的分式方程也一定无解.
当整式方程有解时,原来的分式方程就不一定也有解,因为分式方程有产生增根的可能,
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中,只要有一个分母为0,
这个整式方程的解就不是原分式方程的根,它是一个增根.
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中全不为0,这个整式方程的解
才是原分式方程的解.
若整式方程的所有解都不是原分式方程的根（即都是增根）,这时才能说
此分式方程无解.
无解与增根的关系不太大,有增根不一定无解,无解也不一定是因为有了增根才无解的.
这与解题毫无关系.。
分式方程中增根及无解问题
分式方程有增根、无解等问题【真题演练】1．（2021秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（）A．0B．2或3C．2D．32．（2021秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣63．（2021秋•庄浪县期末）若关于x的方程＝2有增根，则m的取值是（）A．0B．2C．﹣2D．14．（2021秋•黔西南州期末）若关于x的方程+2＝有增根，则m的值是（）A．﹣2B．2C．1D．﹣15．（2022春•原阳县月考）分式方程+2＝有增根，则m＝．6．（2022春•靖江市校级月考）已知关于x的分式方程有增根，则m＝．7．（2021秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是．8．（2021秋•平江县期末）若关于x 的分式方程有增根，则m 的值是 ．【真题演练】9．（2022春•江都区校级月考）若关于x 的分式方程无解，则实数a 的值为（ ） A ．7B ．3C ．3或7D ．±710．（2022春•西峡县校级月考）若关于x 的分式方程无解，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣10C ．0或﹣6D ．﹣6或﹣1011．（2021春•南召县期中）若关于的x 方程无解，则a 的值为（ ） A ．或B ．0或3C ．或3 D ．0或12．（2021秋•晋安区期末）若关于x 的分式方程＝无解，则k 的值为（ ） A ．1或4或﹣6B ．1或﹣4或6C ．﹣4或6D ．4或﹣613．（2021秋•两江新区期末）若关于x 的方程＝1无解，则a ＝（ ） A ．3B ．0或8C ．﹣2或3D ．3或814．（2021秋•官渡区期末）若关于x的方程无解，则a的值为（）A．2B．C．1或2D．2或15．（2022•南海区一模）若关于x的方程无解，则a ＝．16．（2021秋•虎林市校级期末）若关于x 的分式方程无解，则a 的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．1或0【真题演练】17．（2022春•海陵区校级月考）关于x的方程有正数解，则m取值范围是．18．（2022•禅城区一模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为．19．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为．20．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是．21．（2021秋•北安市校级期末）关于x的方程的解不小于1，则m的取值范围为．22．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于．23．（2022春•普宁市校级月考）若分式方程的解为整数，则整数a＝（）A．a＝±2B．a＝±1或a＝±2C．a＝1或2D．a＝±124．（2021秋•南沙区期末）若正整数m使关于x的分式方程的解为正数，则符合条件的m的个数是（）A．2B．3C．4D．525．（2021秋•合川区期末）若a≥﹣4，且关于x的分式方程+3＝有正整数解，则满足条件的所有a的取值之积为．。
(完整版)分式方程的增根与无解详解
分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上 二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。
无解≠增根
陈峰
分式方程的无解和增根令许多初学分式 增根和整式方程无解这两种情况讨论。
方程的同学头疼，无解是不是一定意味着这个
解 ：将 方 程 两 边 同 时 乘 x（x-1），得 x
方程有增根？本文试通过几道例题来谈谈它 （x-a）-3（x-1）=x（x-1），
们的差别。
整理方程，得（a+2）x=3。
又∵分式方程无解，∴x=1 即为增根。
不能等于 1，而对于变形后的方程来说，x=1。
当增根为 1 时，得 a+2=3，解得 a=1。
因此 x=1 是在去分母过程中“增加”的根，这个
综上所述，当 a=-2 或 a=1 时，该分式方程
根原本是不存在的，这样的根就是增根。
无解。
例1
若方程
x x-3
-2=
m x-3
二、无解可能出现增根，也可能真没解
分式方程的根如果是增根，则分式方程无
解。反之却不一定成立。如果分式方程无解，
还有可能是化为整式方程后，整式方程就是无
解的。
例2
若关于 x 的分式方程
x-a x-1
-
3 x
=
1
无解，则 a=
。
【分析】分式方程无解，需要分分式方程有
技巧点评：已知分式方程无解，可先考虑
去分母，将它们化成整式方程，然后讨论是整
x=
k
5
3
。
因为
x＜0，所以
k
5
3
＜
k
5
3
≠-3，所以 k≠-12。
所以当 k＜3 且 k≠-12 时，原分式方程的解
为负数。
（作者单位：海安高新区仁桥初级中学）
46 策略方法
分式方程的无解与增根(用)
2、无例 解的分如式方： 程就一x定-有3增根。 0；
（ ×）
X=-3
3、分式方程(若x有增3)根(，x-增1根) 代入最简公
分母中，例其值如一定：为20。=0 0X=2
（√）
x 4、使分式方程的分母等于0的未知数的值
一定是分式方程的增根。
（×）
1 4x2
2
k x2
例3：已知关于x的方程 有增根，求实数K的值。
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化 二解
目标
a是分式 方程的解
最简公分母不为０
X=a
检验 最简公分母为０
三检验
a不是分式 方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程：
2 4x 3
x2 x 4 x2 解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得
2
2(x+2)-4x=3(x-2)．
解这个方程，得x=2．
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
所以x=２是增根，原方程无解．
所以原分式方程无解．
例2 解方程：
x -1=3-x +2 x+2 x+2
解：方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)
整理得 0x＝8．
因为此方程无解， 所以原分式方程无解．
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
01
分式方程的增根是在分式方 程化为整式方程的过程中， 整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。
分式方程的增根与无解
解 得 ｍ≠一 ９且 ｍ≠ １ ７
．
ｊ 菌” 杆 的实验鼠在通过复杂迷宫赚
强 ； 蕞
度是罄通实验鼠的 誊
蔫Ｉ。
霹冁程会 ｛ 彀大髓 暮些裤 经鳃匏 生长豁
根． 求 的值 ．
解 ： 分 母 ， ２ ３ ４ 一 ． 去 得 ＝ （一 ）
为只要 的值是 原分 式方 程 的增根 ．原分 式方 程就 无解 ． 实上 ， 原 分 式方 程 化 成 的整 式 方 程 无解 ． 事 若
所 以原分 式方 程无 解．
点评 ： 分式 方 程 中未知 数 戈的取 值范 围是 ≠ 原 １ 且 ≠一 ．而 在去 分母 化 为整式 方 程后 ．未 知数 １
的取值 范 围扩 大为 全体 实 数．而求 得 的整 式方 程 的
解是 ＝ ． １ 正好 在 “ 大 ” 扩 的部 分 ． 好使 最 简公 分母 恰
．
（÷ 。 ２－ － 一 。 Ｘ ３ ；（Ｘ ・ ｆ －
２ 已知关 于 的分 式方 程 ．
ｍ
侧
若 关 于 的 方 程
＋
３ｘ －
＋： １ ０无
ｘ －３
ｘ －３
：１ 一 有增 根 ． 求
解． 求ｍ 的值 ． 解 ： 程 两 边 同时 乘 以 一 ， ３ ２ 一 ｒ ＋ ） 方 ３ 得 —ｘ （ ｘ ３ ＋ ｅ
增 根 与 无 解 是 分式 方 程 中 的 两个 重 要 概 念 ． 两
者既有 区别 。 又有 密切 的联 系 ， 我们 应 该清 楚地 认识
它们 ．
解 分 式 方 程首 先 要化 分 式方 程 为整 式 方 程 ， 需
要用分 式方 程 中各分 式 的最简 公分 母 去乘 方程 的两
分式方程无解和增根的区别
分式方程无解和增根的区别分式方程无解和增根的区别 1无解是指在指定的范围和条件内，没有一个数能满足方程。
增根是指可以通过方程找到的解，但只有在不满足条件的情况下才能丢弃。
常见于分数方程。
分式方程无解和增根的区别 2分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，或者等号左右两边至少有一项含有未知数，该部分知识属于初等数学知识.以下为解法：①去分母方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号。
(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)②移项移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;③验根(解)在求了未知量的值之后，一定要查根，因为在分数方程转化为积分方程的过程中，未知量的取值范围扩大了，可能导致根增加。
求根时，把积分方程的根代入最简单的公分母。
如果最简单的公分母等于0，这个根就是增广根。
否则这个根就是原分式方程的根。
如果求解的根都是增广根，则原方程无解。
如果分数本身是约分的，也要代入测试。
用分数阶方程解决实际问题时，需要检查得到的解是否符合方程和问题的含义。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.★注意(1)注意分母，不要漏掉代数表达式项。
(2)根是去掉分式方程的分母后的积分方程的根，但不是原分式方程的根。
(3)根使最简单的公分母等于0。
(4)分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。
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第五章 分式复习
——关于分式方程有增根与无解问题 教材选自浙教版数学七年级下册
课时：1课时
一、教学目标：
知识与技能：
（1）复习巩固分式相关知识，提高对分式的意义、分式的运算、分式方程的理解和运用；
（2）在熟练运用分式方程化整式方程求解的前提下，能分析并求解在分式方程无解或有增根的情况下的字母系数，提高解题的技能、技巧．
过程与方法：
（1）经历方法探究的过程，得到解题方法的提炼和深化；
（2）通过对有一定深度和广度问题的探究，把思维拓展作为培养学生学习能力的重要手段；
（3）尝试相互合作、研究讨论的学习模式．
情感态度价值观：
（1）培养学生热爱数学，敢于钻研，科学、严谨的学习态度；
（2）培养学生大胆交流，合作共进的学习意识．
二、教学重、难点：
重点：分式方程在无解或有增根的情况下求解字母系数．
难点：学生理解并区别分式方程无解时，可能是有增根产生的，也有可能是转化后的整式方程无解造成的．
三、教学方法：启发引导式教学，小组讨论，讲练结合．
四、教学过程：
（一）温故知新
回顾解分式方程的关键步骤：去分母，化为整式方程求解
解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
（2）这个整式方程.
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
（二）例题解析
解方程
114112=---+x x x
目的：巩固增根的概念（学生独立完成）
小练习
关于x 的分式方程2323=---x a x x ，有增根，则求a 得值。
关于x 的分式方程)1(163-+=
-+x x m x x x ，有增根，求m 得值。
设计意图：加深学生对分式方程的增根概念的理解，为接下来的分式方程无解做铺垫。
例题2
设计意图：通过本题练习，主要让学生通过最简公分母，来确定分式方程增根个数，培养学生数学的严谨性。
例题3：若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 得取值范围。
（三）、随堂检测：
解关于x 的方程223242ax x x x +=--+ ，
产生增根，则常数a= 。
例题2变式：解关于x 的方程 2232
42ax x x x +=--+ 无解，则常数a= 。
解：化整式方程得
当a-1=0时，整式方程无解. 解得a=1原分式方程无解。
当a-1 = 0时，整式方程有解.当它的解为增根时原分式方程无解。
把增根x=2或x=-2代入整式方程解得a=-4或6.
综上所述：当 a= 1或-4或6时原分式方程无解.
通过本题的设计主要让学生认识到分式方程的无解不仅仅可能是增根引起的，
也有可能是所转化的整式方程无解造成的，所以教师引导学生完成题目的同时总结出方法：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根. 思考1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？
2.若此方程无解a 的值是多少？ 方法总结：1.化整式方程求根，但是不能是增根.2.根据题意列不等式组. 1.解方程
2.关于x 的方程
有增根,则a ＝__ 。
设计意图：通过课堂练习的层层递进，巩固学生学生新知的同时，拓展活跃学生的数学思维。
教师可以通过课堂的时间检测学生掌握知识的程度，也可以及时指导，纠正学生在练习中产生的错误。
3、分式方程 x -112︒=-+x x 中的一个分 子被污染成了●， 已知这个方程无解，那么被污染的分子●应该是 。
4、若分式方程 012=-++x x m m 无解，则m 的取值是（ ）
A 、-1或
21- B 、21-
C 、-1
D 、21-或0
5、若关于x 的分式方程 ()31251-=+-+m x x m
无解，则m= 。
6、若关于x 的分式方程131=---x x m x 无解， 求m 的值．
（四）课时小结：
反思小结
1.有关分式方程增根求字母系数的问题：
2.有关分式方程无解求字母系数的问题：
3.有关分式方程根的符号求字母系数取值范围的问题:
4.数学思想
五、板书设计：
六、教学反思：
“分式运算”教学中，学生在课堂上感觉不差，做作业或测试时却错处百出，尤其在分式的混合运算更是出错多、空白多、究其根源，均属于运算能力问题，因此在教学中应特别关注这一深层根源，并根据学生的实际情况寻找相应对策。
学生容易将分式方程无解和有增根相互混淆张冠李戴
重视基本功克服典型错误
准确是运算的最基本要求，不少学生把粗心、马虎认为是自己出错的主要原因，其实，运算不准确，很大程度是由于对基本概念理解不深，对基本公式、法则不熟练造成的。
就分式运算来说，我们常可以看到以下典型错误：
１、对分式的基本性质不理解，
２、对运算律缺乏认识,
３、没有掌握有关运算的法则，
要克服以上错误，就必须重视学生相应知识的理解和训练，把这些知识作为学好分式运算的基本功，做到分散解决、重点突破、及时检查、个别辅导，切不可让问题淤积，教学中应有预见性，尽可能在每次新课前帮助中下层生查缺补漏，对可能出现的普遍性错误重点讲解，以便引起学生的足够重视。