2014理科数学一轮复习学案 命题及其关系
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案1
学案3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p 或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断3.(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x)．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x)．自我检测1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是__________________答案∀x∈R，x2－2x＋1≥0解析因要否定的命题是存在性命题，而存在性命题的否定为全称命题．对x2－2x＋1<0的否定为x2－2x＋1≥0.2．若命题p：x∈A∩B，则綈p是________________答案x∉A或x∉B解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，∴綈p ：x ∉A 或x ∉B .3．(2010·苏州调研)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填“真”或 “假”)答案 假解析 其否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，为假命题．4．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2，故填[1,2)． 5．(2009·辽宁改编)下列4个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ；②∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中的真命题是________(填序号)．答案 ②④解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，②正确．当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，④正确．探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．变式迁移1 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中正确的是________(填序号)．答案 ①②③④解析 命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x＋2<0的解集是{x |1<x <2}也是真命题，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．探究点二 全称(存在性)命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12.(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N .(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解题导引 判定一个全称(存在性)命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．(2)存在性命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．解 (1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N .(4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．变式迁移2 (2010·江苏苏州中学阶段性测试一)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为__________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.探究点三 全称命题与存在性命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.解题导引 (1)全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．(2)要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p 的真假．因为p 与綈p 的真假相反且一定有一个为真，一个为假．解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立，即p 真，所以綈p假．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.变式迁移3(2010·深圳一模)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．答案(0,1)解析p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a>0”为真，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1.转化与化归思想例(14分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【答题模板】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．[4分] 若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. [8分]若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，[12分]综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [14分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集．【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q 就是方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x 0使方程成立．1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有” 的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x <6或x >9.(2)命题“非p ”就是对命题“p ”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断． 3．全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是一个存在性命题“∃x ∈M ，綈p (x )”，存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”的否定是一个全称命题“∀x ∈M ，綈p (x )”.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·常州月考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则綈p 为________．答案 ∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>02．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，13]解析 ∵命题綈p 是真命题，∴命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13.因此当命题p 是假命题，即命题綈p 是真命题时，实数a 的范围是a ≤13.3．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，而p q，条件p化简为x>1或x<－3，所以当a≥1时，q⇒p.4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0解析∀a，b∈R是大前提，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0.5．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案④6．(2010·安徽)命题“对∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．答案∃x∈R，|x－2|＋|x－4|≤37．(2011·镇江模拟)已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________．答案m≤1解析命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.8．(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______________________．答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0解析因存在性命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.二、解答题(共42分)9．(14分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p ：1是奇数，q ：1是质数；(3)p ：0∈∅，q ：{x |x 2－3x －5<0}⊆R ；(4)p ：5≤5，q ：27不是质数．解 (1)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(3分)(2)∵1是奇数，∴p 是真命题．又∵1不是质数，∴q 是假命题．因此p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．(6分)(3)∵0∉∅，∴p 为假命题．又∵x 2－3x －5<0⇒3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0}＝{x |3－292<x <3＋292}⊆R 成立．∴q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．(10分)(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题， ∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题． (14分)10．(14分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.(4分)又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，∴3－2a >1，∴a <1.(6分)又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(8分)(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.(13分) 综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.(14分)11．(14分)已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0－m <0⇔m >2.(3分)q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3，(6分)因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反． ①当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧ m >2m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；(10分)②当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧ m ≤21<m <3⇒1<m ≤2.(12分)综上可知，m 的取值范围为{m |1<m ≤2或m ≥3}．(14分)。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案2
第2章函数学案4函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念(1)函数定义设A，B是两个非空的________，如果按某种对应法则f，对于集合A中的____________，在集合B中______________，称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)函数的三要素________、________和__________．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.(4)函数相等如果两个函数的定义域和____________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的__________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的______，值域是各段值域的______．2．映射的概念(1)映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素，在集合B中__________确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：A→B叫集合A到集合B的________．(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集．自我检测1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)．2．(2010·湖北改编)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．3．(2010·湖北改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ， x ≤0，则f (f (19))＝________.4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是________(填序号)．①y ＝x 2x ；②y ＝(x )2；③y ＝lg 10x ；④y ＝2log 2x .5．函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 下列对应法则是集合P 上的函数的是________(填序号)． (1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应法则f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；(2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应法则：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应法则f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．变式迁移1 已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．探究点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域是___________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )．变式迁移3 给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ； (2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围为______________．1．与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1)； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2；④f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1； ⑤f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是________． 3．(2011·南京模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为________．4．(2009·江西改编)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 5．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为____________．6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数为________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 (x ≥0)x 2 (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)2 (x >1)，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.二、解答题(共42分) 9．(12分)(2011·苏州期末)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．11．(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案 自主梳理1．(1)数集 每一个元素x 都有惟一的元素y 和它对应 定义域 值域 (2)定义域 值域 对应法则 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应法则 (5)定义域 对应法则 并集 并集 2.(1)都有惟一 映射自我检测 1．③解析 对于题图①：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图②：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图③：符合M 到N 的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．2．(34，1) 3.14 4．③5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ， 即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．答案 (2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2] 解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋lg (x ＋1)≠0得－1<x ≤2且x ≠－910.即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．点评 本题一定要注意答案的规范性，写成：－1<x ≤2且x ≠－910是错误的．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x )等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x )＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得 2f (1x )＋f (x )＝3x ，②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x (x ≠0)．变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应法则．③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．答案 3解析 方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c ，(－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0， 解得－1<x <2－1.课后练习区 1．④解析 ①定义域不同；②定义域不同；③对应法则不同；④定义域相同，且对应法则相同；⑤定义域不同．2．0或1解析 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．3. 3解析 该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.4．(－1,1) 5．∅或{1}解析 由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}． 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 3116 8．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3. ………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， ∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 当x ＝1时，y ＝48×0.9＝43.2； 当x ＝2时，y ＝48×0.85＝40.8； 当x ＝3时，y ＝48×0.8＝38.4；当3<x ≤10，x ∈N 时，y ＝48×0.75＝36. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 43.2， x ＝1，40.8， x ＝2，38.4， x ＝3，36， 3<x ≤10，x ∈N .……………………………………………………(8分)图象如图所示．……………………………………………………………………………………………(14分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.…………………………………………………………………(8分)当x >5时，有8.2－x >0，得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．………………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(13分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.…………………………………………………………(15分) 所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R(4)4＝ 2.4(万元/百台)＝240(元/台)．…………………………………………………………………………（16分）。
高考数学(理科)一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学习型教学案
高考数学（理科）一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p．四种命题间的关系四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．自我检测．下列命题中的假命题是A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1c．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0答案 c解析对于c选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x ∈R，x3>0是假命题．2．“a>0”是“|a|>0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．“x>0”是“x≠0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s 是p的逆命题t的A．逆否命题B．逆命题c．否命题D．原命题答案 c解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．与命题“若a∈m，则bm”等价的命题是A．若am，则bmB．若bm，则a∈mc．若am，则b∈mD．若b∈m，则am答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．实数的平方是非负数；等底等高的两个三角形是全等三角形；弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．p：x－2＝0；q：＝0.p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．解∵x－2＝0⇒＝0；而＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分不必要条件．∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.∴p是q的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p是q的充要条件的是①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1；q：y＝f是偶函数；③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③c．③④D．①④答案 D解析①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4>0⇔q：m<－2或m>6⇔p；②当f＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋π2，k∈Z时，显然cosα＝cosβ，但tanα≠tanβ；④p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB.故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a，b，c为△ABc的三边，求证：方程x2＋2ax ＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即＝0.故两方程有公共根x＝－．所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.变式迁移3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝－＝＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即＝0.又ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a2－ab＋b2＝2＋34b2>0.∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.转化与化归思想的应用例已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.[2分]另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，∴Δ1＝161－m≥0，Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，解得m∈[－54，1]．[6分]∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2－4m－5∈Z，∴m为4的约数，[8分]∴m＝－1或1，当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，而当m＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.[12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．一、选择题．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABc中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是A．①B．②c．③D．④答案 c解析对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．设0<x<π2，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵0<x<π2，∴0<sinx<1.∴xsinx<1⇒xsin2x<1，而xsin2x<1xsinx<1.故选B.3．“α＝π6＋2kπ”是“cos2α＝12”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ可得到cos2α＝12.由cos2α＝12得2α＝2kπ±π3．∴α＝kπ±π6．所以cos2α＝12不一定得到α＝π6＋2kπ．4．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是A．都真B．都假c．否命题真D．逆否命题真答案 D解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.故选B.二、填空题6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．答案充要7．已知p：＝0，q：2＋2＝0，则p是q的____________条件．答案必要不充分解析由＝0得x＝1或y＝2，由2＋2＝0得x＝1且y ＝2，所以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分条件．8．已知p：x2＋2x－m>0，如果p是假命题，p是真命题，则实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；若ab＝0，则a＝0或b＝0；若x2＋y2＝0，则x、y全为零．解逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．0．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p 是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.则{x|綈q}{x|綈p}，而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，则3a≥－2，a<0或a≤－4，a<0.综上，可得－23≤a<0或x≤－4.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．当n＝1时也成立．于是an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，即数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．∵p≠0，p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p －1＝p.∵{an}为等比数列，∴a2a1＝an＋1an＝p，即pp－1p＋q ＝p，即p－1＝p＋q.∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案4
第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x ∈B}．设全集为S，则∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}；③M ＝{4,5}，N ＝{5,4}；④M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)}．答案 ③2．(2009·辽宁改编)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N ＝________.答案 {x |－3<x <5}解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖南)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m ，4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.答案 3解析 ∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3.4．(2010·常州五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N ＝________.答案 [－1,3]解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________.答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1① 或⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解． ∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0. ∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P Q .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用 例 (14分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；[2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ,[4分]为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.[6分]故所求集合为{0，13，－12}．[7分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；[9分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[13分] 故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．[14分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x }表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，可以利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅.的情况,然后取补集.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京改编)集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则P ∩M ＝________.答案 {0,1,2}解析 由题意知：P ＝{0,1,2}，M ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}．2．(2011·南京模拟)设P 、Q 为两个非空集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q ＝________________.答案 {1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．3．满足{1} A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________． 答案 3解析 A ＝{1}∪B ，其中B 为{2,3}的子集，且B 非空，显然这样的集合A 有3个，即A ＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．4．(2010·天津改编)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是______________． 答案 a ≤0或a ≥6解析 由|x －a |<1得－1<x －a <1，即a －1<x <a ＋1.由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．答案 {x |1<x ≤2}解析 题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为 {x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．6．(2011·泰州模拟)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为________．答案 4解析 由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________. 答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____.答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1.二、解答题(共42分)9．(14分)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B .解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分) 如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R .(10分) A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(14分)10．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，(6分)∴⎩⎨⎧ a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(8分)当a >0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，(11分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(13分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(14分)11．(14分)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 由x －5x ＋1≤0， 所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。
2014理科数学一轮复习学案 命题及其关系
麦档网 命题及其关系年级：高三 主备人：余洁娜 审核人：曹丽荣 编号：3一．学习目标：1.了解命题的概念；2.了解“若p,则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.1．完成课本P 8 - A 组1、2、3、4；2．《东方骄子》 阅读P 4 –例1，完成小试身手1，课时强化作业一 1、3、10(1).四．技能提升1. 命题p:若A B B =，则A B ⊆，命题q:若A B ⊄，则A B B ≠.那么命题p 和命题q 的关系是（ ）A. 互为否命题B. 互为逆命题C. 互为逆否命题D. 不能确定. 2. 若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（ ）A. 逆命题B. 否命题C. 逆否命题D. 以上都不正确 3. 下列四个命题中，是真命题的是__________________.(填序号)①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 4. m ，n 是空间两条不同的直线，αβ，是空间两个不同的平面，有下列四个命题： (1) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (2) ,,////m m n n ααββ⊥⊥⇒; (3) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (4) ,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥. 其中真命题的序号是( ) A. (1) (2) B. (3) (4) C. (2) (3) D. (1) (4)5. 用反证法证明命题：“,abN ∈，ab 能被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ）A. a,b 都能被5整除B. a,b 都不能被5整除C. a,b 不都能被5整除D. a 不能被5整除，或b 不能被5整除 6. 设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m ) x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.命题及其关系年级：高三 主备人：余洁娜 审核人：曹丽荣 编号：3一．学习目标：1.了解命题的概念；2.了解“若p,则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.1．完成课本P 8 - A 组1、2、3、4；2．《东方骄子》 阅读P 4 –例1，完成小试身手1，课时强化作业一 1、3、10(1).四．技能提升1. 命题p:若A B B =，则A B ⊆，命题q:若A B ⊄，则A B B ≠.那么命题p 和命题q 的关系是（ ）A. 互为否命题B. 互为逆命题C. 互为逆否命题D. 不能确定. 2. 若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（ ）A. 逆命题B. 否命题C. 逆否命题D. 以上都不正确 3. 下列四个命题中，是真命题的是__________________.(填序号)①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 4. m ，n 是空间两条不同的直线，αβ，是空间两个不同的平面，有下列四个命题： (1) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (2) ,,////m m n n ααββ⊥⊥⇒; (3) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (4) ,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥. 其中真命题的序号是( ) A. (1) (2) B. (3) (4) C. (2) (3) D. (1) (4)5. 用反证法证明命题：“,a b N ∈，ab 能被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ） A. a,b 都能被5整除 B. a,b 都不能被5整除 C. a,b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除，或b 不能被5整除6. 设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m ) x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.。
【三维设计】2014届高考数学一轮 (基础知识+高频考点+解题训练)命题及其关系、充分条件与必要条件教学案-推
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识能否忆起]
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为
真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
二、四种命题及其关系
1．四种命题
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
命题
原命题
逆命题
否命题 若綈 p，则綈 q
逆否命题 若綈 q，则綈 p
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、充分条件与必要条件
1．如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
2．如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件．
1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( )
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件． 解析：①由 2>－3⇒/ 22>(－3)2 知，该命题为假；②由 a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知， 该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又 a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要 条件为真命题．
答案：②③
1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
11 A．若x＝y，则 x＝y C．若 x＝y，则 x＝ y
表述形式
若 p，则 q
若 q，则 p
[小题能否全取]
B．若 x2＝1，则 x＝1 D．若 x<y，则 x2<y2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014理科数学一轮复习学案 集合关系及运算
2014理科数学一轮复习学案集合与集合间的基本关系一．学习目标：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；二．回归课本，梳理知识点集合与元素集合间的基本关系三．习题训练1．完成课本P 11 - A 组1、2，P 5 -2，P 12 -4； 2．完成课本P 7 -1、2、3，P 12 -5； 3．P 12 -B 组2；四．技能提升1．若集合M ＝{a ，b ，c}，M 中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集。
A ．个B ．个C ．个D ．个 3．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ⊇∅，则A =∅.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．《东方骄子》 阅读P 2 –例1(1)，完成小试身手1，课时强化作业一 9；6．《东方骄子》 阅读P 2 –例2，完成小试身手2；课时强化作业一 4、12 (1)； 7．变式题：(1)已知集合，,,求的值。
(2)已知集合,,,且,求的取值范围。
2014理科数学一轮复习学案集合与集合间的基本关系一．学习目标：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；集合与元素集合间的基本关系1．完成课本P 11 - A 组1、2，P 5 -2，P 12 -4； 2．完成课本P 7 -1、2、3，P 12 -5； 3．P 12 -B 组2；四．技能提升1．若集合M ＝{a ，b ，c}，M 中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集。
2014高三数学一轮复习：1.2命题及其关系
“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是：
若是“f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”． 答案：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
π 4．(2012· 湖南高考)命题“若 α＝ ，则 tan α＝1”的逆否命 4 题是________________．
π 解析：命题“若 α＝ ，则 tan α＝1”的逆否命题是 4 π “若 tan α≠1，则 α≠ ”． 4 π 答案：若 tan α≠1，则 α≠ 4
③若 A⊆B 且 B⊆A，即 A＝B 时，则 p 是 q 的充要条 件． (3)等价转化法．
p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件.
创新交汇——与充要条件有关的交汇问题 1．充分条件、必要条件和充要条件的判断是每年高 考的热点内容，多与函数、不等式、向量、立体几何、 解析几何等交汇命题． 2．突破此类问题的关键有以下四点： (1)要分清命题的条件与结论； (2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理；
怎 么 考 2.对充要条件的考查，主要从以下三个方面命题： (1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，多
以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的
直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置 关系等为主．
(2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤
其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题． (3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取 值范围，如2008年高考T20第(1)问.
从集合的观点看，建立命题 p，q 相应的集合：p：A ＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：
①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A 时，则 p B 是 q 的充分不必要条件；
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命题及其关系
年级：高三 主备人：余洁娜 审核人：曹丽荣 编号：3
一．学习目标：
1.了解命题的概念；
2.了解“若p,则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
命题
四种命题及其关系
1．完成课本P 8 - A 组1、2、3、4；
2．《东方骄子》 阅读P 4 –例1，完成小试身手1，课时强化作业一 1、3、10(1).
四．技能提升
1. 命题p:若A B B =，则A B ⊆，命题q:若A B ⊄，则A B B ≠.那么命题p 和命题q 的关系是（ ）
A. 互为否命题
B. 互为逆命题
C. 互为逆否命题
D. 不能确定. 2. 若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（ ）
A. 逆命题
B. 否命题
C. 逆否命题
D. 以上都不正确 3. 下列四个命题中，是真命题的是__________________.(填序号)
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 4. m ，n 是空间两条不同的直线，αβ，是空间两个不同的平面，有下列四个命题： (1) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (2) ,,////m m n n ααββ⊥⊥⇒;
(3) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (4) ,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥. 其中真命题的序号是( ) A. (1) (2) B. (3) (4) C. (2) (3) D. (1) (4)
5. 用反证法证明命题：“,a b N ∈，ab 能被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ） A. a,b 都能被5整除 B. a,b 都不能被5整除 C. a,b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除，或b 不能被5整除
6. 设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m ) x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 命题及其关系
年级：高三 主备人：余洁娜 审核人：曹丽荣 编号：3
一．学习目标：
1.了解命题的概念；
2.了解“若p,则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
命题
四种命题及其关系
1．完成课本P 8 - A 组1、2、3、4；
2．《东方骄子》 阅读P 4 –例1，完成小试身手1，课时强化作业一 1、3、10(1).
四．技能提升
1. 命题p:若A
B B =，则A B ⊆，命题q:若A B ⊄，则A B B ≠.那么命题p 和命题q 的关系是（ ）
A. 互为否命题
B. 互为逆命题
C. 互为逆否命题
D. 不能确定. 2. 若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（ ）
A. 逆命题
B. 否命题
C. 逆否命题
D. 以上都不正确 3. 下列四个命题中，是真命题的是__________________.(填序号)
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 4. m ，n 是空间两条不同的直线，αβ，是空间两个不同的平面，有下列四个命题： (1) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (2) ,,////m m n n ααββ⊥⊥⇒;
(3) ,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥; (4) ,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥. 其中真命题的序号是( ) A. (1) (2) B. (3) (4) C. (2) (3) D. (1) (4)
5. 用反证法证明命题：“,a b N ∈，ab 能被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ） A. a,b 都能被5整除 B. a,b 都不能被5整除 C. a,b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除，或b 不能被5整除
6. 设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m ) x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个
是真命题，求实数m的取值范围.。