吉林省北大附属长春实验学校2020届高三数学上学期第三次月考试题 文
2020-2021学年长春实验中学高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年长春实验中学高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={y|y=|x|+1,x∈R}，则A∩∁R B=()A. (0,2)B. [1,2)C. (0,1]D. (0,1)2.已知复数z=2+i，则z⋅z−=()A. √3B. √5C. 3D. 53.已知e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是单位向量，m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ ，若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，则e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为()A. π4B. π3C. 23π D. 34π4.已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知集合A={(x,y)|x=−√1−y2}，集合B={(x,y)|kx−y+2−k=0}，且A∩B≠⌀，则实数k的取值范围是()A. [34,+∞) B. [34,1] C. [34,3] D. (34,1]6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，主视图与左视图是边长为1的正三角形，则其表面积是()A. 2B. 3C.D.7.一次函数与二次函数在同一直角坐标系中大致的图象可能是A. B.C. D.8.下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是()A. f(x)=3x−2B. f(x)=9−x2C. f(x)=1x−1D. f(x)=log2x9.5、函数的一个单调减区间是()A.B.C.D.10.已知球O在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球O的表面积最大值为()A. 12πB. 9πC. 8πD. 6π11.若抛物线y=ax2(a>0)的焦点与椭圆x22+y2=1的上顶点重合，则a=()A. 12B. 14C. 2D. 412.已知为上的可导函数，且，均有，则有()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件{2x−y≥23x+4y≤12y≥−2，则z=x−3y的最大值为______ ．14.函数f(x)=x3+(a−2)x2+2x，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．15.设定义域为R的函数f(x)={1x,x>0−x2−2x,x≤0，若关于x的方程2f2(x)+2af(x)+1=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是______ ．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c=√2,b=√6，B=120°，则a=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}中，a1=1，S10=100(1)求数列{a n}的通项，以及前n项和S n(2)设b n=1a n a n+1，求{b n}的前n项和T n．18.已知向量a⃗=(cos3x2,sin3x2)，b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2].(1)已知a⃗//b⃗ ，求x；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |+2λ的最小值等于−3，求λ的值．19.某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分).公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．(1)如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？(2)若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．20.如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=√2，AD=2√2，G是EF的中点．(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；(2)求三棱锥A−GBC的体积．21.已知函数f(x)=2x2−1−alnx(a∈R)．x(Ⅰ)若a>0时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=f(x)−2x，若g(x)有两个零点，求a的取值范围．22.已知直线垂直于直线2x−3y−4=0，并且与点A(1,1)的距离为2，求该直线的方程．23.求不等式|x2−5x|≥6的解集．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由不等式x2−2x<0解得：0<x<2∴集合A={x|0<x<2}，由函数y=|x|+1，x∈R，可得值域为[1+∞),∴集合B=[1+∞),∴∁R B=(−∞,1)．那么：A∩∁R B=(0,1)故选D求解不等式可得集合A，求B的值域可得集合B，根据集合的基本运算即可求A∩∁R B. 本题考查了不等式的计算，值域的问题和集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．直接由z⋅z−=|z|2求解．解：∵z=2+i，∴z·z−=|z|2=(√22+12)2=5．故选D．3.答案：B解析：解：因为e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是单位向量，m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ ，因为m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )⋅(5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ )=5+6e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ −8=0，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =12，设e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=e1⃗⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ ||e2⃗⃗⃗⃗ |=12，因为θ∈[0,π]，故θ=π3．。
2020-2021学年吉林长春高三上数学月考试卷及答案
2020-2021学年吉林长春高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =log 2(x +1)}，B ={y|y =(12)x ，x >0}，则A ∩B =( ) A.(−1, 1) B.(1, +∞) C.(0, +∞) D.(0, 1)2. 在区间[−2,2] 上任意取一个数x ，使不等式x 2−x <0成立的概率为（ ） A.13B.16C.14D.123. 下列说法正确的是( )A.若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题B.“x >1”是“x ≥1”的充分不必要条件C.命题p:∃x ∈R ，使得x 2+x +1≤0，则￢p:∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0D.命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x 2−3x +2≠0，则x ≠1”4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=9，a 3=0，则公差d =( ) A.2 B.−2 C.−3 D.35. 已知f (x )={−1+log 2(−2x ),x <0，g (x ),x >0为奇函数，则f(g (2))+g(f(−8))=( )A.−log 23B.0C.2+log 23D.16. 二项式(2x −1x )5的展开式中x 3项的系数是( )A.48B.80C.−80D.−407. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8+8πB.16+8πC.16+16πD.8+16π8. 已知向量a →，b →满足|a →|=1，(a →+b →)⊥a →，(2a →+b →)⊥b →，则向量a →，b →的夹角为( ) A.π4 B.π6C.π3D.3π49. 若函数y =√3sin x −cos x 的图象向右平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π4 B.π6C.2π3D.π310. 直线ax +2by −4=0被圆x 2+y 2+4x −2y +1=0截得的弦长为4，则a 2+b 2的最小值是（ ） A.2 B.3C.√2D.√311. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)单调递增．若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( ) A.(0, 2] B.(0,12]C.[12，2]D.[1, 2]12. 已知函数f (x )=x 2+2x +a ．若g (x )=1e x ，对任意x 1∈[12,2] ，存在x 2∈[12 ,2]，使f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A.[√2,e ）B.(−∞,√ee−8]C.(−√33 , e 2]D.[√e e−8,+∞）二、填空题已知复数(3+2i )2=a +bi (a,b ∈R )，则a +b =________．已知实数x ，y 满足条件，则{x +2y ≥0，x −y ≤0，0≤y ≤2，则z =x +y 的最小值为________.已知离心率为e 1的椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)和离心率为e 2的双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)有公共的焦点 F 1，F 2，P 是它们在第一象限的交点，且 ∠F 1PF 2=60∘，则e 12+e 22的最小值为________.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为________．（用数字作答） 三、解答题在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a cos C =(2b −c)cos A ． (1)求角A 的大小；(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ， ∠DAB =90∘，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =DC =12AB =1，M 为PB 中点．(1)证明： CM//平面PAD ；(2)求二面角A −MC −B 的余弦值．某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为13，12；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为12，13，且两人租用的时间都不超过4小时． (1)求甲、乙两人所付费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过A (a,0),B (0,1)，O 为坐标原点，线段AB 的中点在圆O:x 2+y 2=1上．(1)求C 的方程；(2)直线l:y =kx +m 不过曲线C 的右焦点F ，与C 交于P ，Q 两点，且l 与圆O 相切，切点在第一象限，△FPQ的周长是否为定值？并说明理由．已知函数f(x)=ln x +ax −1(a ∈R ). (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)图像过点(1,0)，求证：e −x x+ln x +x −1≥0.在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l: {x =2+t cos α,y =√3+t sin α （t 为参数）与曲线C ：{x =2cos φ,y =sin φ （φ为参数）相交于不同的两点A ，B ．(1)若α=π3，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，求直线AB 的极坐标方程；(2)若直线的斜率为√54，点P(2,√3)，求|PA|⋅|PB|的值．设函数f(x)=|x −1|+12|x −3|. (1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若不等式f(x)≤a(x+1)的解集非空，求实数a的取值范围．2参考答案与试题解析2020-2021学年吉林长春高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质函数奇明性研性质函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】二项正开形的来定恰与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】求两角因与差顿正弦函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】对数射数长单介性与滤殊点奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】全称量根与存在盖词函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数三最本概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯求线性目于函数虫最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆的来义和筒质双曲体的某性双曲根气离心率椭圆水明心率余于视理基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式余于视理正因归理三角函来值的阿号【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相互常立事簧的车号乘法公式互三事实清概西加法公式离散来随机兴苯的期钱与方差离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用都数资究不长式化成立问题利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆的较坐标夏程直线的都连标方程直线表参声方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等明的钙合绝对常不等至的保法与目明其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
吉林省长春实验高中2020届高三数学第三次月考试题 理
吉林省长春实验高中2020届高三数学第三次月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|12}A x x =<-≤，B ＝{x|x ＞－2}，则A B =UA ．（－2，－1）B ．（－2，－1]C ．（－4，＋∞）D ．[－4，＋∞）2．设复数z ＝1＋2i ，则A ．z 2＝2z －3B ．z 2＝2z －4C ．z 2＝2z －5D ．z 2＝2z －63．若双曲线221y x m-=的一个焦点为（－3，0），则m ＝ A ．22 B ．8 C ．9 D ．644．设向量a 、b 满足|a |＝1，||2=b ，且a ·b ＝1，则|a －2b |＝A ．2B ．5C ．4D ．55．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．5B．6 C．6.5 D．76．设x，y满足约束条件320,6120,4590,x yx yx y+-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≤≥则z＝2x－y的最小值为A．－3B．4C．0D．－47．执行如图的程序框图，若输入的k＝11，则输出的S＝A．12B．13C．15D．188．若函数f（x）＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为A．（0，4）B．（0，＋∞）C．（3，4）D．（3，＋∞）9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝1，则“a3＞5”是“S3＋S9＞93”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．函数，f（x）＝Acos（wx＋φ）（A＞0，w＞0，－π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝Asinwx的图象，只需将函数y＝f（x）的图象A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度11．在四面体ABCD 中，AD⊥底面ABC ，10AB AC ==BC ＝2，E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足AG ＝2GE ，若四面体ABCD 的外接球的表面积为244π9，则tan∠AGD＝ A ．12B ．2C ．22D 212．已知函数f （x ）的导数为f′（x ），f （x ）不是常数函数，且（x ＋1）f （x ）＋xf′（x ）≥0对x∈[0，＋∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是 A ．f （1）＜2ef （2） B ．ef （1）＜f （2） C ．f （1）＜0D ．ef （e ）＜2f （2）第Ⅱ卷二、填空题13．若函数f （x ）＝log 8x ＋log 2x 2，则，f （8）＝________．14．在（x ＋a ）9的展开式中，若第四项的系数为84，则a ＝________．15．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若5AF FB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为________．16．在数列{a n }中，a 1＝12，且133431nn a a n n +=++．记131n n i aiS i ==+∑，13ni i i a Tn ==∑，则下列判断正确的是________．（填写所有正确结论的编号） ①数列31n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列；②存在正整数n ，使得a n 能被11整除； ③S 10＞T 243；④T 21能被51整除．三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos (23)cos c A b a C =-． （1）求角C ； （2）若π6A =，△ABC 的面积为3，D 为AB 的中点，求sin∠BCD． 18．某家电公司根据销售区域将销售员分成A ，B 两组．2020年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]内对应的年终奖分别为2万元，2.5万元，3万元，3.5万元．已知200名销售员的年销售额都在区间[90，110]内，将这些数据分成4组：[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]，得到如下两个频率分布直方图：以上面数据的频率作为概率，分别从A 组与B 组的销售员中随机选取1位，记X ，Y 分别表示A 组与B 组被选取的销售员获得的年终奖． （1）求X 的分布列及数学期望；（2）试问A 组与B 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AC⊥BD，AC∩BD＝O ，PO ⊥AB，△POD 是以PD 为斜边的等腰直角三角形，且11123OB OC OD OA ====．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD ； （2）求二面角A －PD －B 的余弦值．20．已知椭圆2222:1y x W a b+=（a ＞b ＞0）的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA （O 为坐标原点）垂直，且l 与W 交于M ，N 两点． （1）求W 的方程；（2）求△MON 的面积的最大值．21．已知a∈R ，函数2()2(2)x x xf x xe e ax xe =+-+．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））21，判断函数，f （x ）在1(,)2-∞上的单调性；（2）若1(0,)a e∈，证明：f （x ）＞2a 对x∈R 恒成立． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线C 2的方程为3y x =，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； （2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求11||||OA OB +． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x|＋|x －3|． （1）求不等式()62x f <的解集；（2）若k ＞0，且直线y ＝kx ＋5k 与函数f （x ）的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围．高三数学试卷参考答案（理科）1．D 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．7 14．115．2±16．①②④17．解：（1cos (2cos A b C =，得2cos cos cos )b C c A a C =+，由正弦定理可得，2sin cos cos sin cos )B C C A A C =+)A C B =+=，因为sinB≠0，所以cos C =，因为0＜C ＜π， 所以π6C =． （2）因为π6A =，故△ABC 为等腰三角形，且顶角2π3B =，故21sin 2ABCS a B ===△ 所以a ＝2，在△DBC 中，由余弦定理可得，CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BCcosB ＝7，所以CD =中，由正弦定理可得，sin sin CD DBB BCD=∠，1sin 2BCD =∠，所以sin BCD ∠=． 18．解：（1）A 组销售员的销售额在[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]的频率分别为：0．2，0．3，0．2，0．3，P0.2 0.3 0.2 0.2故E （X ）＝20000×0.2＋25000×0.3＋30000×0.2＋35000×0.3＝28000（元）． （2）B 组销售员的销售额在[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]的频率分别为：0．1，0．35，0．35，0．2， 则Y 的分布列为：X （元） 20000 25000 30000 35000 P0.10.350.350.2故E （Y ）＝20000×0.1＋25000×0.35＋30000×0.35＋35000×0.2＝28250（元）． ∵E（X ）＜E （Y ），∴B 组销售员获得的年终奖的平均值更高． 19．（1）证明：∵△PO D 是以PD 为斜边的等腰直角三角形， ∴PO⊥DO．又PO⊥AB，AB∩DO＝B ，∴PO⊥平面ABCD ， 则PO⊥AC，又AC⊥BD，BD∩PO＝O ， ∴AC⊥平面PBD ．又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC⊥平面PBD ．（2）解：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A （3，0，0），D （0，－2，0），P （0，0，2），则(3,2,0)DA =u u u r ，(0,2,2)DP =u u u r，设n ＝（x ，y ，z ）是平面ADP 的法向量，则00DA DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg n n ，即320220x y y z -=⎧⎨+=⎩， 令y ＝3得n ＝（2，3，－3）．由（1）知，平面PBD 的一个法向量为(1,0,0)OC =-u u u r，∴22cos ,11||||22OC OC OC <>===-u u u ru u u r g u u u r n n n ，由图可知，二面角A －PD －B 的平面角为锐角， 故二面角A －PD －B的平面角的余弦值为11． 20．解：（1）由题意可得22241a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，∴2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故W 的方程为22143y x +=． （2）联立222214314y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223613413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2219y x =，又A 在第一象限，∴13OA y k x ==． 故可设l 的方程为y ＝3x ＋m ．联立223143y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则121831mx x +=，21231231m x x -=，∴||MN ==又O 到直线l的距离为d =，则△MON的面积1||2S d MN ==，∴2231)S m m =+-=，当且仅当m 2＝31－m 2，即2312m =，满足Δ＞0，故△MON． 21．（1）解：∵()()(x xf x e ax xe =-+，∴()()(()(1)x x x xf x e a xe e ax x e '=-+-+，∴(0))11f a '=-+=，∴ａ＝0．∴2()(21)x xf x x e '=++，当1(,)2x ∈-+∞时，2x ＋1＞0，e 2x ＞0，e x ＞0，∴f′（x ）＞0， ∴函数f （x ）在1(,)2-+∞上单调递增．（2）证明：设()xg x xe =+x ）＝（x ＋1）e x，令g′（x ）＞0，得x ＞－1，g （x ）递增；令g′（x ）＜0，得x ＜－1，g （x ）递减．∴min 1()(1)g x g e =-=- 2.7，∴11e->，∴g（x ）＞1． 设h （x ）＝e x－ax ，令h′（x ）＝0得x ＝lna ，令h′（x ）＞0，得x ＞lna ，h （x ）递增；令h′（x ）＜0，得x ＜lna ，h （x ）递减． ∴h（x ）min ＝h （lna ）＝a －alna ＝a （1－lna ）， ∵1(0,)a e∈，∴lna＜－1，∴1－lna ＞2，∴h（x ）min ＞2a ，∴h（x ）＞2a ＞0． 又g （x ）＞1，∴g（x ）h （x ）＞2a ，即f （x ）＞2a ．22．解：（1）曲线C 1的普通方程为（x －2）2＋（y －2）2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标为π3θ=（ρ∈R ）（或tan θ=．（2）由24cos 4sin 70,π3ρρθρθθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得22)70ρρ-++=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||2||||||||7OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===g ． 23．解：（1）由()62xf <即|||3|622x x+-<得， 3236x x ⎧⎪⎨⎪-<⎩≥或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0236xx ⎧⎪⎨⎪-+<⎩≤， 解得－3＜x ＜9，∴不等式()62xf <的解集为（－3，9）．（2）作出函数23,0()3,0323,3x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩≤≥的图象，如图所示，∵直线y＝k（x＋5）经过定点A（－5，0），∴当直线y＝k（x＋5）经过点B（0，3）时，35 k=，∴当直线y＝k（x＋5）经过点C（3，3）时，38 k=．∴当33(,]85k∈时，直线y＝kx＋5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形．。
2020年吉林省长春市市实验中学高三数学文月考试卷含解析
2020年吉林省长春市市实验中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体中,分别为和的中点,则与平面所成的角为( ).A. B.C. D.参考答案：答案：C2. 已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．3. 曲线y＝在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A、1B、2C、D、参考答案：D4. 已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略5. 若集合= （）A. B. C. D.参考答案：A6. 已知椭圆C．：的短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆C的离心率为（）A． B． C． D ．参考答案：A略7. “”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D略8. 在△ABC中，则∠BAC=A．30° B． 120° C．15 0° D． 30°或150参考答案：C9. 由不等式组，表示的平面区域(图中阴影部分)为（）参考答案：A略10. 已知是定义在R上的函数，对任意，都有，若函数的图像关于直线x=1对称，且，则（）A．6 B．4 C．3 D．2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：正方形的面积S=0.5×0.5=0.25，若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S=π×12=π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P==，故答案为：．12. 已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则_______ ．参考答案：1或13. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t =0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d (cm)表示成t (秒)的函数，则d=______________其中参考答案：14. 在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________．参考答案：【知识点】余弦定理C84解析：由余弦定理，得，.【思路点拨】由余弦定理可求.15. 已知，则的取值范围是_________________.参考答案：16. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______.参考答案：略17.已知，则的值为参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知向量，满足，，且，则A. B. C. 5 D. 43.已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为A. 7B. 8C. 9D. 105.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3 C. D. 46.函数的图象大致为A. B.C. D.7.设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.9.已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D.11.已知双曲线与椭圆有相同焦点，，离心率为若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为线段的中点，O为坐标原点，则等于A. 4B. 3C. 2D.12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则______ ．14.已知长方形ABCD中，，，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为______．15.若，是函数的两个极值点，则______；______．16.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，设，为数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌优等品和合格品，某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x，，质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀张进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；Ⅱ试估计该公司生产宣纸的年利润单位：万元．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求tan B；Ⅱ若，的面积为6，求BC．19.四棱锥中，，，，，平面ABCD，E在棱PB上．Ⅰ求证：；Ⅱ若，求证：平面AEC．20.已知O为坐标原点，抛物线E的方程为，其焦点为F，过点的直线1与抛物线相交于P、Q两点且为以O为直角顶点的直角三角形．Ⅰ求E的方程；Ⅱ设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．21.已知函数，，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l．Ⅰ求切线l的方程；Ⅱ若关于x的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线1的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，，，且，则有，解可得，即，则，故；故选：C．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：由，得，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：B解析：解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知．由茎叶图可知乙班学生的总分为，又乙班学生的平均分是86，总分又等于所以，解得，可得．故选：B．对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到的值．5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，，由等比数列的性质可得：．故选：B．利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B．先判断函数的奇偶性，可排除选项CD，再由，可排除选项A，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图．故选：C．根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．属于基础题．8.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．9.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，函数是在上是增函数，又，，由，得或，或．的取值范围是．故选：D．由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，，，，所以或，即或，故选：B．当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11.答案：B解析：解：如图，为线段的中点，，双曲线的离心率为，，椭圆与双曲线的焦点相同，，则，即，．故选：B．由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，，，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得．故选：A．根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．13.答案：解析：解：，，，，则，故答案为：由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.答案：解析：解：长方形ABCD中，，，可得，，作于E，可得，所以，，因为平面平面BCD，面ABD，平面平面，所以面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点，且外接圆的半径，过作垂直于底面BCD，所以，所以，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作于F，则四边形为矩形，，，则，在中，即；在中：，即；由可得，，即外接球的球心为，所以外接球的表面积，故答案为：．由长方形中，，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面平面BCD 可得面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．15.答案：2解析：解：函数，，，令得：，，是方程的两个根，，，，故答案为：2，．先求出导函数，由题意可得，是方程的两个根，利用韦达定理可得，，代入即可求出．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题．16.答案：880解析：解：，当时，，解得或舍去，当时，，，得：，整理得：，数列的各项均为正数，，即，数列是首项为2，公差为2的等差数列，，，，故答案为：880．利用公式可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以，进而，再利用并项求和法即可算出结果．本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得：一刀张宣纸有正牌宣纸张，有副牌宣纸张，有废品张，该公司一刀宣纸的利润为元，估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．解析：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得一刀张宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润．本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，．，，可得，．．，可得：．又，可得．，解得．解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出．由，，可得，，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：证明：Ⅰ过A作于F，，，，四边形ABCF为正方形，则，，得，又底面ABCD，平面ABCD，，又PA，平面PAD，，平面PAD，又平面PAD，；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，则，得．又，则PB：：：1．，，，连接DB交AC于O，连接OE，∽，：：1，得DB：：1，：：OB，则．又平面AEC，平面AEC，平面AEC．解析：Ⅰ过A作于F，推导出，，从而平面PAD，由此能求出；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：：：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：：1，可得PB：：OB，得到，再由直线与平面平行的判定可得平面AEC．本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设，，联立直线l与抛物线的方程，整理可得：，所以，所以，因为是以O为直角顶点的直角三角形，所以，即，所以，解得，所以抛物线的方程为：；Ⅱ证明：由Ⅰ得，准线方程为：，设，则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．解析：Ⅰ由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由是以O为直角顶点的直角三角形，所以，可得p的值，进而求出抛物线的方程；Ⅱ由Ⅰ可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M 的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论．本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率，切线l的方程为，即，Ⅱ由Ⅰ可得，，设，即，对任意恒成立，从而，，当时，，在上单调递减，又，显然不恒成立，当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．解析：Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；Ⅱ构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为为参数，．直线1的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．Ⅱ设，，所以点P到直线l的距离，由于，所以，所以，故等边三角形的边长的取值范围：．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。
吉林省长春市市省实验中学高三数学文月考试卷含解析
吉林省长春市市省实验中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C.D.参考答案：A2. 等差数列的前n项和为，已知.则等于（）A．100 B．50 C. 0 D．－50参考答案：C设等差数列的公差为，又，所以，解得，所以，故选C.3. 已知复数是正实数，则实数a的值为( )A. 0B. 1C. －1D. ±1参考答案：C【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为为正实数，所以且，解得. 故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.4. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点.若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率等于A． B．C．2 D．参考答案：C5. 函数的图像可能是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。
【详解】当时，，故排除D；由于函数的定义域为，且在上连续，故排除B；由，由于，，所以，故排除C;故答案为A。
【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题。
6. （5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的侧面积为（）A． 6+4 B． 9+2 C． 12+2 D． 20+2参考答案：C【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形，一侧面垂直于底面的四棱锥，利用题目中的数据求出它的侧面积即可．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，一侧面PCD垂直于底面ABCD的四棱锥，如图所示；∴该四棱锥的侧面积为S=S△PCD+2S△PBC+S△PAB=4×+2××3×2+×4×=2+12．故选：C．【点评】：本题考查了利用几何体的三视图求几何体侧面积的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何模型，是基础题目．7. 已知函数的导函数是,且,则实数a的值为( )A. B. C. D. 1参考答案：B【分析】先对函数求导得，再根据得到a的方程，解方程即得a的值.【详解】由f(x)=ln(ax-1)可得,由,可得=2,解得a=.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查对复合函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作8. 若，则a的取值范围是（）A.（0，1）B.C.D.参考答案：B因为函数满足，所以函数为递减函数，所以有，即，所以，解得，选B.9. 已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=?B．A∪B=RC．B?AD．A?B参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求出集合A，B，根据集合包含关系的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|y=}=（﹣∞，2]，B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），故B?A，故选：C．10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为（）A.2B.4C.10D.6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每大能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为________元.参考答案：设甲种设备需要租赁生产天，乙种设备需要租赁生产天，该车间所需租赁费为元，则，且，满足关系为作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线，的交点时，目标函数取得最小值元，即最少租赁费用为元.试题立意：本小题考查线性规划问题等基础知识；考查应用意识，化归转化思想，数形结合思想. 12. 在中，，则的取值范围是________．参考答案：13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.参考答案：，，切线方程，即14. 设，向量，，，且，，则．参考答案：. 故答案为：15. 设满足约束条件组，则的最大值为________参考答案：5略16. 已知函数f（x）=为奇函数，则a= ．参考答案：2【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先求出函数的定义域，利用f（﹣1）=﹣f（1），即可得出结论．【解答】解：显然定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由f（﹣1）==﹣（1﹣2）（1+a），所以a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用函数的奇偶性定义，考查赋值法的运用，比较基础．17. 设函数，则f（f（﹣1））的值是．参考答案：﹣16【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f （﹣1））=f （1+3）=f （4）=﹣24=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届吉林省普通高三第三次联合模拟数学(文)试题(解析版)
本题主要考查函数的性质，函数的性质综合考查时一般是作出函数的简图，结合图像可得结论.
二、填空题
13．已知函数 ，若 ，则 _____．
【答案】-2
【解析】从内到外，逐个代入相应关系式可得.
【详解】
.
【点睛】
本题主要考查分段函数的求值问题，分段函数求值时，一定要“对号入座”.
14．已知向量 满足 ， ，且 在 方向上的投影是 ，则实数 ____．
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别求解集合A,B，再求两个集合的交集.
【详解】
由题可知，集合 ， ，则 .选D.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，正确描述集合是求解关键，关注代表元素对集合的影响.
3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1） ，女生人数为 ；（2）列联表见解析，有 的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）
【解析】（1）利用公式：每层抽取数 总人数 抽样比计算；
（2）利用 公式计算即可；
（3）采用枚举法，枚举出基本事件总数以及事件“2人中至少有1名女生”所包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.
性别
选择物理
选择历史
总计
男生
50
女生
30
总计
（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.
吉林省高三数学上学期第三次月考试题文(new)
高三年级第三次月考数学(文科）试题第Ⅰ卷一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设{},2,1,0,1,2,{|1}U R A B x x ==--=≥ ，则U A C B ⋂= A. {}1,2 B. {}1,0,1- C 。
{}2,1,0-- D. {}2,1,0,1--2．下列说法正确的是 A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为:“若21x =，则1x ≠" B 。
命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题C 。
命题“存在x R ∈，使得210x x ++<"的否定是:“对任意x R ∈， 均有210x x ++<”D 。
ABC ∆中， A B >是sin sin A B >的充要条件 3．已知向量a 与b 的夹角是3π，且|a ｜＝1，|b ｜＝4，若（3a ＋λb ）⊥a ,则实数λ＝ A 。
32- B. 32C. －2 D 。
24。
若定义在R 上的函数()y f x =在2x =处的切线方程1y x =-+则f （2）+f’（2）= A 。
2- B. 1- C. 0 D. 15．定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+,且()11f -=,则()2017f =A 。
2B 。
1C 。
-1 D. -2 6．若把函数cos 3sin (0)y x x ωωω=->的图象向左平移6π个单位长度后,所得到的图象关于原点对称，则ω的最小值是A 。
1 B. 2 C 。
3 D. 47．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++= A 。
8 B. 12 C. 16 D.208．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 中点，点F 满足2,AF FD EF x AC y AB ==+ ，则x y +=A. 13- B 。
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吉林省北大附属长春实验学校2020届高三数学上学期第三次月考试题文第Ⅰ卷一、选择题1．设集合A＝{x|y=，B＝{x|－1＜2x＜4}，则A∩B＝A．[0，2）B．（0，2）C．（12-，2）D．[0，4）2．设复数z＝1＋2i，则A．z2＝2z－3B．z2＝2z－4C．z2＝2z－5D．z2＝2z－63．若双曲线221yxm-=的一个焦点为（－3，0），则m＝A．B．8C．9D．644．设向量a、b满足|a|＝1，||=b a·b＝1，则|a－2b|＝A．2B．5C．4D5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．5B ．6C ．6.5D ．76．函数f （x ）＝sin （πx＋θ）（||2θπ<）的部分图象如下图，且1(0)2f =-，则图中m 的值为A ．1B ．43C ．2D ．43或27．设x，y满足约束条件320,6120,4590,x yx yx y+-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≤≥，则z＝2x－y的最小值为A．－3B．4C．0D．－48．执行如图的程序框图，若输入的k＝－11，则输出的S＝A．12B．13C．15D．189．若函数f（x）＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为A．（0，4）B．（0，＋∞）C．（3，4）D．（3，＋∞）10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＋acosC ＝0，sinA －2sin （A ＋C ），则2bc a=AB ．2C ．2D11．已知圆C 过抛物线y 2＝4x 的焦点，且圆心在此抛物线的准线上．若圆C 的圆心不在x 轴上，且与直线30x +-=相切，则圆C 的半径为A ．B ．12C ．D ．1412．若函数f （x ）＝（4－a ）[（x 2－2x －2）e x －ax 3＋12ax]（a ∈R ）在（2，3）上有极大值，则a 的取值范围为A ．（213e ，4）B ．（4，313e ） C ．2311(,)33e eD ．（213e ，＋∞） 第Ⅱ卷二、填空题13．某地区有1000家超市，其中大型超市有150家，中型超市有250家，小型超市有600家．为了了解各超市的营业情况．从中抽取一个容量为60的样本．若采用分层抽样的方法，则抽取的小型超市共有________家．14．若函数f （x ）＝log 8x ＋log 2x 2，则f （8）＝________．15．若29cos 13θ=，且θ为钝角，则tan()________4θπ-=． 16．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，10AB AC ==，BC ＝2，E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足AC ＝2GE ，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan ∠AGD ＝________． 三、解答题17．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝4，a n ＝2n ＋1（n≥2）．（1）证明：当n≥2时，S n ＝a n ＋n 2；（2）若等比数列{b n }的前两项分别为S 2， S 5，求{b n }的前n 项和T n ．18．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm ）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．（i ）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率P ；（ii ）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？19．如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BD ＝1，2AD =，AA 1＝BC ＝2，AD ∥BC ．（1）证明：BD ⊥平面ABB 1A 1．（2）比较四棱锥D —ABB 1A 1与四棱锥D —A 1B 1C 1D 1的体积的大小．20．如图，椭圆W ：22221y x a b +=（a ＞b ＞0）的焦距与椭圆Ω：2214x y +=的短轴长相等，且W －与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 经过Ω在y 轴正半轴上的顶点B 且与直线OA （O 为坐标原点）垂直，l 与Ω的另一个交点为C ，l 与W 交于M ，N 两点．（1）求W 的标准方程；（2）求||||BC MN ． 21．已知函数f （x ）＝x －a 2lnx （a ＞0）．（1）讨论函数f （x ）在（a ，＋∞）上的单调性；（2）证明：x 3－x 2lnx≥x 2且2x 3－x 2lnx －16x ＋20＞0．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线C 2的方程为3y x =，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求11||||OA OB +． 23．已知函数f （x ）＝|x|]＋|x －3|．（1）求不等式()62x f 的解集；（2）若k ＞0，且直线y ＝kx ＋5k 与函数f （x ）的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围．高三数学试卷参考答案（文科）1．A2．C3．B4．D5．B6．B7．A8．C9．C10．A11．D12．B13．3614．715．－516．217．（1）证明：当n≥2时，∵S n ＝4＋（5＋7＋…＋2n ＋1）2(521)(1)44232n n n n ++-=+=++-， ∴S n ＝2n ＋1＋n 2＝a n ＋n 2．（2）解：由（1）知S 2＝9，S 5＝36，∴{b n }的公比3649q ==， 且b 1＝9，∴9(14)3(41)14n n n T -==--． 18．解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为19519419619319419719619519319719510x +++++++++==甲（mm ） 乙厂这批轮胎宽度的平均值为 195196193192195194195192195193194(mm)10x +++++++++==乙． （2）甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，（i ）63105P ==． （ii ）甲厂标准轮胎的平均数为195，方差为23． 乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为195，方差为13． 由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好． 19．（1）证明：∵AB 2＋BD 2＝AD 2＝2，∴AB ⊥BD ．又AA 1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥BD ．∵AB∩AA 1＝A ，∴BD ⊥平面ABB 1A 1．（2）解：∵AB ＝BD 且AB ⊥BD ，∴∠ADB ＝45°．又AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠ADB＝45°，∴1sin 4522BCD S BD BC =⨯⨯︒=△． ∴四边形ABCD的面积为122+．∴11111112(3223D A B C D V -=⨯⨯+=． 又1111112112333D ABB A ABB A V BD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形．∵1233+>， ∴111111D A B C D D ABB A V V -->．20．解：（1）由题意可知22241a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，∴2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 故W 的标准方程为22143y x +=． （2）联立22221,4314y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得223613413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2219y x =，∴13OA k =． 易知B （0，1），∴l 的方程为y ＝－3x ＋1． 联立2231,14y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得13x 2－24x ＝0，∴x ＝0或2437，∴24|||0|37BC =-=． 联立2231,143y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得31x 2－18x －9＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则121831x x +=，12931x x =-，∴120||31MN ==，故||||185BC MN =． 21．（1）解：令2'()0x a f x x-==，得x ＝a 2＞0， 当0＜a≤1时，a 2≤a，f'（x ）＞0，∴f （x ）在（（a ，＋∞）上单调递增．当a ＞1时，a 2＞a ，令f'（x ）＞0，得x ＞a 2；令f'（x ）＜0，得a ＜x ＜a 2．∴f （x ）在（a ，a 2）上单调递减，在（a 2，＋∞）上单调递增．（2）证明：令a ＝1，得f （x ）＝x －lnx ，当x ＞1时，f'（x ）＞0；当0＜x ＜1时，f'（x ）＜0．∴f （x ）min ＝f （1）＝1，∴x －lnx≥1，∴x 3－x 2lnx≥x 2．设g （x ）＝2x 3－x 2lnx －16x ＋20，则g （x ）＝x 3＋（x 3－x 2lnx ）－16x ＋20≥x 3＋x 2－16x ＋20， 当且仅当x ＝1时取等号．设h （x ）＝x 3＋x 2－16x ＋20（x ＞0），则h'（x ）＝3x 2＋2x －16＝（3x ＋8）（x －2）， 令h'（x ）＞0，得x ＞2；令h'（x ）＜0，得0＜x ＜2．∴h （x ）min ＝h （2）＝0．∴g （x ）≥h（x ）≥0，易知此不等式中两个等号的成立条件不同，故g （x ）＞0，从而2x 3－x 2lnx －16x ＋20＞0得证．22．解：（1）曲线C 1的普通方程为（x －2）2＋（y －2）2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为3θπ=（ρ∈R ）（或tan θ=．（2）由24cos 4sin 70,,3ρρρθθ⎧--+=⎪⎨π=⎪⎩得22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，ρ1ρ2＝7，∴121211||||2||||||||7OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===⋅． 23．解：（1）由()62xf <即|||3|622x x +-<得， 3236x x ⎧⎪⎨⎪-<⎩≥或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0236x x ⎧⎪⎨⎪-+<⎩≤， 解得－3＜x ＜9，∴不等式()62xf <的解集为（－3，9）． （2）作出函数23,0()3,0323,3x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩≤≥的图象，如图所示，∵直线y ＝k （x ＋5）经过定点A （－5，0），∴当直线y ＝k （x ＋5）经过点B （0，3）时，35k =， ∴当直线y ＝k （x ＋5）经过点C （3，3）时，38k =． ∴当33(,]85k ∈时，直线y ＝kx ＋5k 与函数f （x ）的图象可以围成一个三角形．。