第十单元 三角形的计数问题
教你数三角形的个数
教你数三角形的个数作者：来源：《初中生(一年级)》2008年第04期在几何计数问题上，经常见到很多同学要么重复计数了，要么漏数了，那么有什么方法可以做到计数时不重不漏？相信下面例题中的方法会给你带来启发.如右图，锐角△ABC的三条高线相交于H.问图中共有多少个三角形？方法一：直接在图上数(容易产生重复与遗漏).方法二：逐步添点法.（1）△ABC本身是一个三角形.（2）如图1，取点H，其与A、B、C的连线组成3个三角形：△HAB、△HBC、△HCA.（3）如图2，再取点D，一方面AD把△ABC分成2个三角形，另一方面HD又把△HBC分成2个三角形，共增加4个三角形：△ABD、△ACD、△HBD、△HCD.（4）如图3，同理，取点E、F，又各增加了4个三角形：△BCE、△BAE、△HCE、△HAE、△CAF、△CBF、△HAF、△HBF.总计有1+3+3×4=16个三角形.方法三：分类计算.考虑以A、B、C、D、E、F、H为顶点的各类三角形（钝角三角形、直角三角形、锐角三角形）.（1）钝角三角形的钝角顶点只能为H，以H为顶点的钝角三角形有三个：△HAB、△HBC、△HCA.（2）直角三角形的直角顶点只能为D、E、F，每个点对应着2个直角，每个直角对应着2个直角三角形，共有2×2×3=12个直角三角形.（3）锐角三角形只能由A、B、C组成，有1个.总计有3+12+1=16个三角形.另外，也可以按顶点是否取H分类，以H为顶点的三角形有9个，不以H为顶点的三角形有7个，共计9+7=16.方法四：逐步拼组法.（1）△ABC被3条高线剖分为6个互不重叠的小三角形，称为素三角形.（2）由2个相邻的素三角形组成的三角形有3个：△AHB、△BHC、△CHA.（3）由3个相邻的素三角形组成的三角形有6个：对△AHB而言，可以添上△HBD，也可以添上△HAE组成三角形，分别得△ABD、△ABE.同理，有△BCE、△BCF、△CAD、△CAF.（4）4个相邻的素三角形不能组成三角形.（5）5个相邻的素三角形不能组成三角形.（6）6个相邻的素三角形组成△ABC.因此，共计有6+3+6+1=16个三角形.。
分类数三角形个数
分类数三角形个数
数三角形个数的具体方法如下：
1. 暴力枚举法：通过枚举每一个三角形的顶点，判断是否能够构成三角形，从而统计个数。
这种方法适用于小规模的三角形计数，但对于大规模的三角形计数则不太实用。
2. 组合计数法：利用组合数学的知识，将三角形的计数问题转化为选取一定数量的点，然后从中选出三个点构成三角形的问题。
具体来说，假设有n个顶点，选取3个顶点构成三角形的个数为C(n,3)。
但需要注意的是，这种方法只适用于顶点数量比较少的情况，因为顶点数量一旦增加，组合数就会非常大，计算难度也会增加。
3. 利用类型分类计数：将三角形分成不同的类型进行分类计数，然后将不同类型的三角形个数相加即可。
常见的分类包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。
这种方法需要对三角形的性质和构成规律有比较深入的了解，同时需要注意分类的准确性和完备性。
4. 利用图形转化：将原始图形转化为另一种具有更易于计数的形式，然后再进行计数。
例如，将正方形分成若干个小三角形、小正方形和小菱形，然后计算各种小图形的个数，最后将其相加即可得到三角形的个数。
这种方法需要灵活运用图形转化的思想，找到适合的转化方法。
以上方法仅供参考，具体应用时需根据实际情况选择合适的方法。
三角形个数题目
三角形个数题目请问你是想要一个关于计算三角形个数的题目吗？如果是的话，以下是一个例子：题目：在一个正方形的格点图中，正方形的边长为4，每个格点上都有一个点，连接这些点可以得到许多三角形。
那么，这个正方形格点图中一共有多少个三角形？解析：我们可以通过计算不同类型的三角形的个数来得到最终答案。
在正方形格点图中，有四种类型的三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形和一般三角形。
我们可以按照这四种类型逐个计算，并将它们的个数相加得到最终答案。
1. 直角三角形：对于每个格点，它可以与右上方和右下方的两个格点组成直角三角形。
因此，每个格点都可以构成2个直角三角形，共有16个格点，所以直角三角形的个数为16×2=32。
2. 等腰三角形：由于正方形的边长为4，格点图中的三角形的底边长度可以是1、2或3。
对于底边长度为1的等腰三角形，每个格点都可以与它的右上方或右下方的格点组成，所以底边长度为1的等腰三角形个数为2×16=32。
同理，对于底边长度为2和3的等腰三角形，个数也分别为2×9=18和2×4=8。
所以等腰三角形的个数为32+18+8=58。
3. 等边三角形：由于正方形的边长为4，格点图中的等边三角形的边长为4。
只有正中间的4个格点可以构成等边三角形，所以等边三角形的个数为4。
4. 一般三角形：一般三角形的个数等于总的三角形个数减去前面三种类型的三角形个数。
总的三角形个数等于正方形格点图中任意3个点确定一个三角形的个数。
正方形格点图中一共有16个格点，所以总的三角形个数为C(16, 3) = 560。
综上所述，正方形格点图中一共有32+58+4+560=654个三角形。
计数问题和解答(排列与组合)Microsoft Word 文档
计数法（排列与组合）【四年级计数问题：加乘原理难度：中难度/高难度】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？【分析与解答】分类计数一共分成三类：第一类两个点在圆弧上另一点在直径上C72×25=105(个)；第二类两个点在直径上另一个点在圆弧上共有C5×7=70（个）；第三类三个点都在圆弧上共有C73共有35个。
三类共105+70+35=210（个）【四年级乘法原理问题：难度：低难度】从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不相同的票价？【分析与解答】共有8个站．每个站到其它7个站各需1种车票，共有7×8=56种车票．因为A站到B 站与B站到A站的票价相同，所以最多有56÷2=28种票价．【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【分析与解答】要写出这个三位数分三步走，第一步我们写受限制的个位只能从2、4、8中选一个放在个位上，有三种方法。
第二步从剩下的4个数字中选一个放在百位上有4种方法，第三步，再从剩下的三个数字中选出1个放在十位上，有3种方法。
所以一共有3×4×3=36个。
【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有5张卡片分别写着2、3、4、5、6。
如果允许把6当做9来用，那么从中任意抽取3张卡片组合成三位数。
（1）一共可以组成多少个三位数？（2）一共可以组成多少个三位偶数？【分析与解答】（1）这些三位中分成两类，有6参加和没有6参加的。
有6参加的情况：从其他的4个数中选2个数，所以有C42=6种，每一种和6组成的三位数都是3的全排列共6个数，那么6种组合方式一共会有6×6=36个数，而且6可以当成9看，所以可以组成36×2=72个数。
计数01讲_三上10_枚举法
三年级上学期第十讲，计数问题第01讲枚举法【内容概述】掌握枚举的一般方法，解决整数的分柝、数字的排列与选取、几何图形剪拚等相关计数问题．注意到有序并按规律进行，做到不重不漏．【典型问题】1.【11001】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）数一数，下图中有多少个三角形。
我们将图形的各部分编上号（见下图）单个的三角形有6个：1，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14个。
2.【11002】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）某单位获得25张奥运门票，把这些票分给4位部门主管，要求每人得到的票数都不一样。
问得到票数最多的一人至少有多少张票？8张。
25÷4＝6…1，所以得到票数最多的一人至少有7张。
但每人票数不同，且7＋6＋5＋4＝22 < 25，所以7张不对。
由于25＝8＋7＋6＋4，所以得票最多的一人至少有8张票。
3.【11003】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）某综艺节目把艺人分成甲、乙两个队比赛，比赛依次进行下列六项：对联，乒乓球，层层叠，吃寿司，知识问答，柔道。
有特殊规定：六局中谁先胜四局谁获胜，比赛立即结束；若各胜三局，则谁先胜三局谁获胜。
已知甲队在对联中胜出，但乙队最终获胜。
问：各项比赛的胜负情况有多少种可能？将六场比赛依次记为1，2，3，4，5，6。
乙队可以胜出2，3，4或2，3，5或2，4，5或3，4，5或2，3，4，5或2，3，4，6或2，3，5，6或2，4，5，6或3，4，5，6。
共有9种可能。
4.【11004】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？上珠一个表示5，下珠一个表示1。
小学数学青岛版(2014秋)一年级下册第十单元 儿童乐园——总复习图形与几何-章节测试习题
章节测试题1.【答题】数一数，缺了______块砖.【答案】10【分析】此题考查的是长方形的认识.利用补全和有序计数的方法数出缺了几块砖，解答时可以从上往下数，也可以从下往上数.【解答】第一层缺了2块，第二层缺了3块，第三层缺了3块，最下面一层缺了2块，这样一共缺了2+3+3+2=10（块）.故此题的答案是10.2.【答题】下图有______个三角形.【答案】3的个数.【解答】图中，基本的三角形有2个，和.有两个三角形组成的复合三角形有1个，，这样一共有2+1=3（个）三角形.故此题的答案是3.3.【答题】下图有______个正方形.【答案】5【分析】此题考查的是正方形的认识.利用有序思考和分类计数的方法来判断图形的个数.【解答】图中4个角各有一个正方形，中间有1个正方形，这样一共有5个正方形.故此题的答案是5.4.【答题】下图一共有______个长方形.【答案】9的个数.【解答】最小的长方形有4个；2个小长方形组成的长方形有4个；4个小长方形组成的大长方形有1个.这样一共有4+4+1=9（个）长方形.故此题的答案是9.5.【答题】我的试卷是______形.【答案】长方【分析】此题考查的是长方形的认识.【解答】试卷符合长方形的特征.故此题的答案是长方.6.【答题】下图中有______个三角形，______个正方形，______个长方形，______个圆，______个平行四边形.【答案】6,3,5,7,2【分析】此题考查的是图形的认识.【解答】如下图，蓝色的是三角形，有6个；棕色的是正方形，有3个；红色的是长方形，有4个，从左边数第2个长方形和上面的正方形也可以组成一个长方形，所以长方形总共有5个；黄色的是圆，有7个；紫色的是平行四边形，有2个.故此题的答案是6，3，5，7，2.7.【答题】用同样的拼成一个，需要______个.【答案】4【分析】此题考查的是图形的认识.长方形中有几个三角形就需要几个.【解答】由可知，中有4个，所以用同样的拼成一个，需要4个.8.【答题】下面的图形中，可以拼成的是______，______，______.（填序号）【答案】1,3,5【分析】此题考查的是认识平面图形.【解答】如图，将进行划分可知，可以拼成的是、、.故此题答案为1，3，5.9.【综合题文】看图填空.10.【答题】下图中拼成的图形没有用到（）.A. B. C. D.【答案】A【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】如下图，蓝色的是正方形，红色的是三角形，黄色的是圆，所以没有用到平行四边形.选A.11.【答题】把一张正方形的纸对折两次，不能折出的是（）.A.长方形B.正方形C.三角形D.圆【答案】D【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】把一张正方形的纸对折两次，不可能折出曲线，所以不能折出的是圆.选D.12.【答题】拼成下图没有用到的图形是（）.A. B.C. D.【答案】B【分析】此题考查的是平面图形的认识.观察图形，在图形中找出相似图形，根据选项推出没有的图形.【解答】如下图，蓝色的是三角形，红色的是正方形，黄色的是平行四边形.所以没有用到的图形是长方形.选B.13.【答题】有一种四巧板由4块拼板组成，各种拼板的形状如下图.下面图形（）由四巧板拼成.A.可以B.不可以【答案】A【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】对照四巧板的各种拼板，将标上编号，所以可以由拼成.选A.14.【答题】下面图形中（）和其他不同类.A. B.C. D.【答案】D【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】、、是平面图形，是立体图形.选D.15.【答题】下图是由正方形和长方形拼成的.（）【答案】×【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】正方形和三角形可以拼成的.故此题是错误的.16.【答题】和都是长方形.（）【答案】×【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】是平行四边形，不是长方形.是长方形.故此题是错误的.17.【答题】一副里面有7种不同的图形.（）【答案】×【分析】此题考查的是七巧板.【解答】一副里面有三角形、正方形、平行四边形，共3种不同的图形.故此题是错误的.18.【答题】左图是由6个红色部分的小三角形组成的.（）【答案】✓【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】由图可知，图案中间是1个，1个可以由2个相同的组成.四周还有4个，一共是6个.故此题是正确的.19.【答题】用七巧板可以拼出下面的图形.（）【答案】×【分析】此题考查的是七巧板.【解答】如图，七巧板中没有形如的三角形，所以不能拼成题目中的图形.故此题是错误的.。
三年级数三角形数量的题目
三年级数三角形数量的题目这是一个经典的数学问题，通常被称为“三角形计数问题”。
题目：一个等边三角形的每一边上都有 n 个点（包括两个端点）。
这些点中任意三个点都不共线。
那么这个三角形内有多少个三角形？解答：1. 当 n = 2 时，每条边上只有两个点，所以总共有 2 个三角形。
2. 当 n = 3 时，每条边上都有三个点，因此总共有 6 个三角形。
3. 当 n = 4 时，每条边上都有四个点，因此总共有 12 个三角形。
4. 当 n = 5 时，每条边上都有五个点，因此总共有 20 个三角形。
5. 当 n = 6 时，每条边上都有六个点，因此总共有 30 个三角形。
6. 当 n = 7 时，每条边上都有七个点，因此总共有 42 个三角形。
7. 当 n = 8 时，每条边上都有八个点，因此总共有 56 个三角形。
8. 当 n = 9 时，每条边上都有九个点，因此总共有 72 个三角形。
9. 当 n = 10 时，每条边上都有十个点，因此总共有 90 个三角形。
通过观察可以发现以下规律：1. 当 n = 1 时，总共有 1 个三角形。
2. 当 n = 2 时，总共有 2^2 - 2 = 2 个三角形。
3. 当 n = 3 时，总共有 3^2 - 3 = 6 个三角形。
4. 当 n = 4 时，总共有 4^2 - 4 = 12 个三角形。
5. 当 n = n 时，总共有 n^2 - n 个三角形。
这个规律可以解释为：每个顶点都可以与另外两个顶点构成一个三角形，但是要减去三个在边的交点处生成的重复的三角形。
所以总共的三角形数量就是顶点的数量减去三。
4.2解三角形中计数问题的常用方法
3．看图填空．
(1)如图①，当△ABC 内部有 1 条线段(AD)时，共有____3____个 三角形；
(2)如图②，当△ABC 内部有 2 条线段(AD，AE)时，共有___6_____ 个三角形；
3．看图填空．
(3)如图③，当△ABC 内部有 3 条线段(AD，AE，AF)时，共有 ____1_0___个三角形；
设 S＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1，① 即 S＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n＋1)．② ①＋②，得：
所以 S＝（n＋2）2（n＋1）.
4．(中考·连云港)如图，观察图中的四个图形，根据其变化规律， 可知第 10 个图形中三角形的个数为____3_7___________．
5．阅读材料，并填表． 在△ABC 中，有一点 P，当 P，A，B，C 没有任何三点在同 一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图)．当 △ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互 不重叠的小三角 形的个数情况怎样？
1．如图，过 A，B，C，D，E 五个点中任意三点画三角形． (1)其中以 AB 为一边可以画出____3____个三角形； (2)其中以 C 为顶点可以画出____6____个三角形．
2．如图，在△ABC 中，M，N，P，Q，E 为 BC 边上的点，连 接 AM，AN，AP，AQ，AE.数一数，图中共有多少个三角形？ 并说明你是怎样数的．
期末提分练案
第4讲 三角形及其相关概念 第2课时 解三角形中计数问题的常用方
法
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答案显示
1 (1)3 (2)6 2 见习题
6 1＋3＋5＋7＝42； 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
（n＋2）（Biblioteka ＋1）3 (1)3 (2)6 (3)10 (4)15 (5)
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ΔABD、ΔABE、ΔABF、ΔABC四个三角形。
在数以AD为一条边的三角形共有：
ΔADE、ΔADF、ΔADC三个三角形。
以AE为一条边的三角形共有：ΔAEF、B D E F
C
ΔAEC两个三角形。
最后以AF为一条边的三角形共有
ΔAFC一个三角形。
所以三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）
例题3
形。
图形计数过程中我们首先要对 图形有一个整体观察，然后进行有 序地枚举，这样就可以有效地避免 重复和遗漏。
练一练（第67页） 1、2
练一练 1、数一数图中共有多少个三角形？
练一练 1、下图共有多少个三角形？
综合运算
例题3
数一数，右图中共有多少个三角形？ A
分析
方法一：
先数以AB为一条边的三角形共有：
数一数下图中共有多少个三角形？
分析
可以“退”到最原始的地方，把 中间的两个小正方体先“拿”掉。
含有一部分的三角形有：8个。 含有两部分的三角形有：4个。 含有四部分的三角形有：4个。
合计共有：8+4+4=16（个）
例题6
数一数下图中共有多少个三角形？
分析
再套进一个正方形看看三角形的 个数有什么变化？
通过对图（1）图（2）的观察可以发现，每增加一个正
方形就增加4个等腰三角形。所以图（3）中共有4×3=12个
三角形，图（4）中共有4×4=16个三角形。
例题2
请观察下图中三角形个数变化与正方形的个数变 化有什么关系，图（4）中共有多少个等腰直角三角形。
（1）
分
（2）
（3）
（4）
析
如果还按照这个规律下去，第n个图形应该有4n个三角
数一数，右图中共有多少个三角形？ A
分析
方法二：
先数图中单个的小三角形共有：
ΔABD、ΔADE、ΔAEF、ΔAFC四个三角形。
再数由两个小三角形组合在一起的三角形
共有：
ΔABE、ΔADF、ΔAEC三个三角形。 B D E F
C
以三个小三角形组合在一起的三角形共有：
ΔABF、ΔADC两个三角形。
最后数以四个小三角形组合在一起的只有
在下图中，可以看出除了原有 的16个三角形外，在套进的正方形 中又增加了16个三角形，而且在套 进正方形的外边又增加了12个三角 形，共增加了28个三角形，同理套 进第三个正方形时也增加了28个三 角形，所以，原图中共有： 28+28+16=72个三角形。
同学们都听说过我国古代兵法中的三十 六计吧，其中第三十六计是“走为上计”。走 为上，指在敌我力量悬殊的不利形势下，采取 有计划的主动撤退，避开强敌，寻找战机，以 退为进。这在谋略中也应是上策。对于比较复 杂的计数题目，我们通过对图形的观察， 利用“退”的方法把一个复杂的题目变 成一个简单题目，使问题得到巧解。
ΔABC一个。
所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）
通过两种不同的分类方法计算，可以 发现计算三角形的总数等于从1开始的几个连 续自然数的和，其中最大的加数就是三角形BC 边上分成的基本线段的条数。利用对应的思想 不难发现，BC边上的每一条线段都和A点对应 一个三角形，所以三角形的个数就等于基本线 段数。我们学过的求基本线段数的方法有： （1）线段条数=1+2+3……+（点数-1） （2）线段条数=点数×（点数-1）÷2
例题4
数一数右图中有多少 个三角形？
分 方法一： 析
用分类；的方法从边长为1的 三角形开始数。边的长为1的三角 形尖朝上的有3+2+1=6（个）， 尖朝下的有2+1=3（个）；边长 为2的三角形尖朝上的有2+1=3 （个）；边长为3的三角形只有1 个。
所以图中共有三角形： 6+3+3+1=13（个）
走进乐园
同学们，下面的图案什么？都是由什么图形组成的？
对了，它像一只美丽的白天鹅，是由我们上一单元 所研究的三角形组成的，这里边有多少三角形呢？
这一讲我们就学习和三角形有关的计数单位。
基础知识
例题1
数一数有图中共有多少个三角形？
分析
A
B
C
D
图形共分为4个小块（如图 所示）。由1小块组成的三角形 有ＡＢＣ共３个；由２个小块组 成的三角形有ＡＢ、AC、ＢＤ、 CD共有4个；由4小块组成的三 角形有ＡＢＣＤ共１个。
在分类计数时我们要按同一个 标准进行分类，分类后各种情况互 不重复，也不能有所遗漏。
练一练（第69页） 3、4
练一练
3、数一数五角星一共有多少个三角形？
A
J 1F
E
B
5
2
6
I
G
4
3
H
D
C
练一练 4、数一数下图共有多少个三角形？
挑战奥数
例题5
数一数图中一共有多少个三角形？
分 析
根据图中三角形的形状和大 小分为六类： （1）与ΔABE相同的三角形共
所以图中共有三角形： 3+4+1=8（个）
例题2
请观察下图中三角形个数变化与正方形的个数变 化有什么关系，图（4）中共有多少个等腰直角三角形。
（1）
（2）
（3）
（4）
分
在图（1）中一个大正方体中间又斜放进一个小正方体，
析 图中共有4个等腰三角形。
通过对观察可以发现，图（2）比图（1）又多了一个小
正方形，而三角形的个数多了4个，共有4×2=8个三角形。
有5个；
（2）与ΔABP相同的三角形共 B
A
F
PE
有10个；
（3）与ΔABF相同的三角形共 有5个；
G
Q
（4）与ΔAFP相同的三角形共 有5个；
H
（5）与ΔACD相同的三角形共 有5个； （6）与ΔAGD相同的三角形共 有5个；
C
D
所以图中共有三角形为： 5+10+5+5+5+5=35（个）
例题6
练一练（第72页） 5、6
练一练 5、数一数下图共有多少个三角形？
练一练
6、数一数图中共有多少个三角形？
A
H
D
E
G
O
B
C
F
思维练习 （第50、51、52页）
THANKS