人教版数学九年级上册22.1.4.3二次函数的图象和性质综合应用教案
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数的图象和性质》比赛说课稿一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22.1.3节的内容。
本节主要介绍二次函数的图象和性质，是学生在学习了二次函数的定义、标准式、顶点式的基础上进行的。
通过本节的学习，使学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质，为学生进一步解决实际问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念和性质有所了解。
但学生在学习过程中，对二次函数的图象和性质的理解还不够深入，尤其对一些概念的内涵和外延认识不清晰。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从直观的图象中感知二次函数的性质，让学生在动手实践、合作交流中理解知识，提高学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生从图象中感知二次函数的性质，提高学生的数学观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特征，二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
2.教学难点：二次函数性质的灵活运用，对一些特殊函数图象的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用“引导发现法”、“案例教学法”和“合作学习法”。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合学习卡、练习题等辅助教学手段。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生关注二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解二次函数的图象特征，引导学生从图象中感知二次函数的性质。
通过典型案例，使学生了解二次函数的增减性、对称性、周期性等性质。
3.课堂练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章22.1.2 二次函数的图象和性质教案
22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.【过程与方法】通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2）2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？学生自主思考.（二）探索新知探究一：二次函数y=ax2的图象的画法出示课件4：画出二次函数y=x2的图象.学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5）⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．当取更多个点时，函数y=x 2的图象如下：（出示课件6）教师归纳：二次函数y=x 2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y 轴对称,y 轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.出示课件7：画出二次函数y=-x 2的图象.学生分组画y=-x 2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：⑵描点：⑶连线：x …-3-2-10123…y =-x 2……探究二：二次函数y=ax2的图象性质出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质：1.顶点都在原点（0,0）;2.图像关于y轴对称;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．师生共同探究：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？（出示课件11）教师强调：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.探究三：二次函数y=ax2的性质出示课件12：观察图形，y随x的变化如何变化？教师归纳：（出示课件13）对于抛物线y=ax2（a＞0），当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.师生共同探究：观察图形，y随x的变化如何变化？（出示课件14）教师归纳：（出示课件15）对于抛物线y =ax 2（a＜0）当x＞0时，y 随x 取值的增大而减小；当x<0时，y 随x 取值的增大而增大.出示课件16：在同一直角坐标系中，画出函数221,22y x y x ==的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ...－4－3－2－101234 (212)y x =······x ···－2－1.5－1－0.500.51 1.52···22y x =······出示课件17：师生共同探究：二次函数2221,,22y x y x y x ===的图象开口大小与a 的大小有什么关系？教师归纳：当a>0时，a 越大，开口越小.出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数221,22y x y x =-=-的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ···－4－3－2－101234···212y x =-······x ···－2－1.5－1－0.500.51 1.52···22y x =-······出示课件19：师生共同探究：二次函数2221,,22y x y x y x =-=-=-的图象开口大小与a 的大小有什么关系？教师归纳：当a<0时，a 越小（即a 的绝对值越大），开口越小.对于抛物线y=ax 2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．师生共同完善认知：（出示课件20）出示课件21：填一填：（1）函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;（2）函数y=－3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是，顶点是抛物线的最点;⑶函数32的图象的开口,对称轴是,顶点是，顶点是抛物线的最点;⑷函数y=－0.2x2的图象的开口,对称轴是,顶点是.学生独立思考后，口答如下：⑴向上；y轴；(0,0)⑵向下；y轴；(0,0)；高⑶向上；y轴；(0,0)；低⑷向下；y轴；(0,0)出示课件22：例已知y=(m+1)x m2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.学生自主思考后，师生共同解答如下：解:依题意有:解②,得m 1=－2,m 2=1.由①,得m>－1.因此m=1.此时,二次函数为y=2x 2.出示课件23：已知24(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当x＞0时，y 随x 增大而增大，则k=.学生独立思考后，自主解答如下：解：24(2)k k y k x+-=+是二次函数，即二次项的系数不为0，x 的指数等于2.又因当x＞0时，y 随x 增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，24220k k k ⎧+-=⎨+⎩＞，解得k=2.探究四：二次函数y =ax 2的实际应用出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax 2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.出示课件25：例已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm 2，（1）求S 与C 之间的二次函数关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm 2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C 取何值时，S≥4cm 2.学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26）解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为4Ccm，∴S 与C 之间的关系式为S=216C ；（2）作图如图：（3）当S=1cm 2时，C 2=16，即C=4cm；（4）若S≥4cm 2，即216C ≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥8cm.出示课件27：已知二次函数y＝2x 2.(1)若点(－2，y 1)与(3，y 2)在此二次函数的图象上，则y 1_____y 2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD 的顶点A、B 在x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．学生独立思考后，自主解答：（出示课件28）(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB,∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.教师总结如下：（出示课件29）二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．（三）课堂练习（出示课件30-34）1.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A.y1＞0＞y2B.y2＞0＞y1C.y1＞y2＞0D.y2＞y1＞02.函数y=2x2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而.3.函数y=-3x 2的图象的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y 随x 的增大而,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而.4.如图，观察函数y=（k-1）x 2的图象,则k 的取值范围是.5.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：6.已知二次函数y=x 2，若x≥m 时，y 最小值为0，求实数m 的取值范围．开口方向对称轴顶点坐标23x y =23x y -=231x y =231x y -=7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x 2交于A、B 两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．参考答案：1.C2.向上；y 轴；(0,0)；减小；增大3.向下；y 轴；(0,0)；增大；减小4.k>15.6.解：在二次函数y=x 2中，a=1＞0因此当x=0时，y 有最小值.∵当x≥m 时，y 最小值=0，∴m≤0．7.解：由题意得234,,y x y x =+⎧⎨=⎩开口方向对称轴顶点坐标23x y =向上y 轴（0,0）23x y -=向下y 轴（0,0）231x y =向上y 轴（0,0）231x y -=向下y 轴（0,0）解得4,1,16,1,x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y 轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC .在△BOC 中，OC 边上的高就是B 点的横坐标值的绝对值1；在△ACO 中，OC 边上的高就是A 点的横坐标值的绝对值4.因此S △ABO ＝S △ACO ＋S △BOC ＝12×4×1+12×4×4＝10.（四）课堂小结1.画二次函数y=ax 2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax 2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材41页习题22.1第3,4题2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第4课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第4课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第4课时，主要讲述了二次函数的图象和性质。
这部分内容是整个二次函数学习的核心，对于学生理解二次函数的本质，以及解决实际问题具有重要意义。
教材通过本节课的学习，使学生掌握二次函数的图象和性质，能够熟练运用二次函数的图象和性质解决一些简单问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对于函数的概念、性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，部分学生可能会感到抽象难懂，需要通过具体实例和动手操作来加深理解。
此外，学生的数学思维能力、逻辑推理能力参差不齐，需要在教学过程中给予不同程度的学生以关注和引导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的图象和性质解决一些简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的数学思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数的图象和性质的推导和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，结合多媒体辅助教学，引导学生主动探究、合作交流，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.多媒体课件：制作二次函数的图象和性质的课件，以便于直观展示和讲解。
2.教学素材：准备一些关于二次函数的图象和性质的实例，用于引导学生分析和探究。
3.学生活动材料：提供一些关于二次函数的图象和性质的练习题，用于学生巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些实际问题，引导学生思考如何利用二次函数的图象和性质解决这些问题。
例如，展示一个抛物线形的跳台，让学生思考如何利用二次函数的性质确定跳台的高度。
第22章 人教版数学九年级上册教案1 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数课题22.1.1 二次函数授课人知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，让学生归纳二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.数学思考学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.问题解决通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来于生活，又服务于生活的辩证观点.教学目标情感态度通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.教学重点对二次函数的理解.教学难点由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下.2.下列函数是什么函数？有不认识的吗？能说说你所认识的函数的图象和性质吗？（1）y＝2x＋1；（2）y＝－4x；（3）y＝3x2＋1.3.学习函数应从哪几个方面进行探究呢？师生活动：教师提出以上问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结.问题解析：1.学习过的函数有一次函数，正比例函数是其特殊形式.2.（2）是正比例函数；（1）（2）是一次函数.3.学习函数一般是从函数的定义、函数的一般形式、函数的图象及其性质、函数的实际应用等方面进行学习.由回顾旧知识入手，通过回顾已经学习过的函数的相关知识对要学习的新知识有明确的方向，通过类比进行延伸，符合学生的认知规律.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】图22－1－5问题：如图22－1－5，正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x以学生熟悉、感兴趣的问题作为课题引入，激发学生学习新知识的兴趣，同时为引入新课奠定基础.之间的函数解析式是什么？它是一次函数吗？有什么特点？学生思考后回答，教师点拨：这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型.活动二：实践探究交流新知1.探究新知（1）n个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，场数m与球队数n之间有什么关系？每个队要与几个队各比赛一场？（2）某产品今年的年产量是20 t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？教师提问：（1）以上问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？列出问题中的函数解析式；（2）观察上面的函数解析式，分析解析式有什么特点.让学生独立思考完成解答，教师适当地引导与点拨，共同得到问题的结论.教师板书：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.2.解析新知教师指导学生观察二次函数的定义，交流、讨论二次由现实中的实际问题入手，给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，学生通过分析、交流探究二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础.函数的特征，并进行总结：①等式左边是函数y，右边是关于自变量的整式；②a，b，c都是常数，a≠0；③等式右边自变量的最高次数为2，一次项和常数项可以为0，但是必须保留二次项；④自变量x的取值范围是任意实数.教师做好归纳：二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b叫做一次项系数，c是常数项.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 下列函数中，属于二次函数的是（ C ）A.y＝2x－3B.y＝（x＋1）2－x2C.y＝2x2－7xD.y＝－x例2 关于函数y＝（500－10x）（40＋x），下列说法不正确的是（ C ）A.y是x的二次函数B.二次项系数是－10C.一次项是100D.常数项是20000例3 若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数，则m的值为 7 .师生活动：学生自主进行解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，应用举例有利于学生对二次函数概念的理解，能起到及时巩固的作用.共同得到正确的结论，并获得解题的经验.【拓展提升】例4 李师傅要在一张长、宽分别为50 cm和30 cm 的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个大小相同的小正方形，用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子，小正方形的边长为x cm，长方体箱子的底面积为ycm2.求：（1）y与x之间的函数解析式；（2）自变量x的取值范围；（3）当x＝5 cm时，长方体箱子的底面积.教师重点关注：学生对已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考、充分讨论，争取让学生自己得到解答方法，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.例4中的三个问题层层递进，在复习旧知识的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.下列函数中是二次函数的是（ B ）A.y＝x＋12 B.y＝3（x－1）2C.y＝（x＋1）2－x2D.y＝3x－12.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是关于x的二次函数，则（ C ）A.a＝1B.a＝±1C.a≠1D.a≠－13.已知关于x的函数y＝(m2－1)xm2－m是二次函数，求m的值.从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得对二次函数深层次的理解，从多个角度进行检测，达到学有所成的目的.4.已知二次函数y＝2x2＋x－3.（1）当x＝1时，求它所对应的函数值y；（2）当y＝0时，求它所对应的自变量x的值.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.1.课堂总结：（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？（2）本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.教师进行总结：二次函数的定义及各部分名称；根据实际问题列二次函数解析式及求函数值.2.布置作业：（1）教材第29页练习第1，2题.（2）教材第41页习题22.1第1，2题.学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾环节中，教师引导学生复习一次函数和一反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.元二次方程的知识，为学习二次函数做好铺垫；在探究新知过程中，通过类比学习使知识简单化，思路清晰化，学习效果较好；在课堂训练环节中，选用例题典型且有思维深度，学生能够运用所学新知进行解答，能够圆满完成教学任务.②[讲授效果反思]对于二次函数的认识，强调几点：（1）一般形式中各项的名称；（2）二次项系数不能为0；（3）二次函数解析式的多种形式.③[师生互动反思]从课堂氛围和课堂效果分析，学生能够积极投入新知学习中，能够集中精力完成学习任务.④[习题反思]好题题号 错题题号 典案二导学设计学习目标：1、通过观察发现二次函数的特点，得出二次函数的定义，能区分二次函数；2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》教案
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.4.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.【教学重点】结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.【教学难点】1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=12n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t ，第三年产量为20(1+x)(1+x)t ，得到y=20（1+x)2.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.思考函数y=6x 2，m=12n 2-12n,y=20x 2+40x+20有哪些共同点？ 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数.其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a ≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax 2,二次项系数则仅是指a 的值；同样，一次项与一次项系数也不同.教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x 2; (3)y=21x -2x+1;(4)y=1-3x 2.2.若y=(m+1)xm 2+1-2x+3是y 关于x 的二次函数，试确定m 的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系m=162-2x ，试写出商场销售这种商品的日销售利润y （元）与每件商品的销售价x （元)之间的函数关系式，y 是x 的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式（不要求写自变量n 的取值范围）.【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x 2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.（2）y=3x(2-x)+3x 2=6x,该函数不是二次函数.（3）该函数不是二次函数.（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.2.解：∵()21123m y m x x +=+-+是y 关于x 的二次函数.∴m+1≠0且m 2+1=2,∴m≠-1且m2=1，∴m=1.3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30)即y=-3x2+252x-4860由此可知y是x的二次函数.4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.3.通过画出简单的二次函数y=x2，y=-12x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.4.使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.一、情境导入，初步认识问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？【教学说明】学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.二、思考探究，获取新知问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论叙述较好的给予肯定，对不够完整的或叙述欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.问题2请在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.y=12x2与y=2x2.【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.问题3（1）在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后回答，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论.【归纳结论】1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：（1）a 的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；（2）对于函数的增减性及最大（小）值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.若抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，则a= .2.下列关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的是（）A.它的图象的顶点是原点B.当a<0，在x=0时，y取得最大值C.a 越大，图象开口越小;a 越小，图象开口越大D.当a>0，在x>0时，y 随x 的增大而增大3.请在同一坐标系中画出函数y 1=x 和y 2=-x 2的图象，结合图象，指出当x 取何值时，y 1>y 2；当x 取何值时，y 1<y 2.4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点（-1，14）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）根据图象指出，当x>0时，若x 增大，y 怎样变化？当x<0时，若x 增大，y 怎样变化？（4）当x 取何值时，y 有最大（或最小）值，其值为多少？【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步体现数形结合的思想.【答案】1.42.C 【解析】当a>0时，a 值越大，开口越小，a 值越小，开口越大；当a<0时，a 值越大，开口越大，a 值越小，开口越小.所以C 项说法不对.3.列表如下：如图所示：根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1<x<0时，y2>y1.4.解：（1）设这个二次函数解析式为y=ax2,将（-1，14）代入得a=14,所以y=14x2.(2)略(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.(4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0.四、师生互动，课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪部分没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.4.通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.5.在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.一、情境导入，初步认识问题1请同学们谈谈一次函数y=x与y=x+2的图象之间的关系；问题2同样地，你能猜想出二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间有何关系吗？【教学说明】问题1既是复习旧知识，同时又为解决本节知识起到抛砖引玉的作用.学生的回答也许形式多样，教师适时诱导，并设疑，为后面的解惑作铺垫.二、思考探究，获取新知问题1在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.请观察图象，谈谈它们有哪些相同点和不同点，并指明这两个图象的关系如何？【教学说明】在学生自主操作时，教师应指导它们在画平面直角坐标系时的单位长度要稍大一些，如选取0.8cm或1cm为一个单位长度为好，这样学生们所画出的图形才有可能清晰些.教师应巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.问题2（教材第33页练习）在同一直角坐标中，画出下列二次函数的图象y=12x2，y=12x2+2，y=12x2-2，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y=12x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y=12x2有什么关系？【教学说明】设计问题2，一方面进一步增强学生的画图能力，另一方面加深学生的感性认识，从而形成对二次函数y=ax2+k的图象及其性质的初步认识.同伴间应相互交流，教师巡视指导，然后完成课本第33页练习.【归纳结论】1.二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象通过上、下平移得到.2.y=ax2与y=ax2+k的性质如下：三、运用新知，深化理解1.抛物线y=3x2可以看作是抛物线y=3x2-4向平移得到的.2.已知抛物线y=ax2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，且图象到x轴的最近点的距离为3，求a、k的值，并指出抛物线y=ax2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.【教学说明】针对本节所学内容及学生掌握的情况，设计训练题1，2，目的是加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题.教师在这个过程中要予以诱导.【答案】略四、师生互动，课堂小结本环节师生共同回顾所学知识，如y=ax2+k的图象特征，函数的增减性等，并对可能出现的困难、疑问给予整理，进行辨析.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.第2课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象；2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系；3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.4.通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.5.在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望.【教学重点】1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质；2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.【教学难点】利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.一、情境导入，初步认识我们知道，二次函数y=ax2-2的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移得到，那么函数y=12(x-2)2的图象是否可以由函数y=12x2的图象经过平移而得到呢？二、思考探究，获取新知问题在同一坐标系中画出二次函数y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的图象，指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线y=-12x2, y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的关系.【教学说明】在教学过程中，学生独立思考后，合作完成.教师巡视指导，针对学生在画图、探究过程中可能出现的错误给予指正，对好的给予表扬，并展示其图象，在合作交流过程中探索出抛物线y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2与y=-12x2的联系.【归纳结论】函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象及其性质如下表：三、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节知识，设计了以下几道题，及时了解学生运用新知解决问题的能力，查漏补缺.1.抛物线y=3(x-3)2的开口方向是向，对称轴是，顶点是.2.若抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0），它是由抛物线y=-2x2通过平移而得到的，则a= ,h= .【教学说明】这两道题可采用抢答的形式来处理，可适当让学生说明其解题思路或依据.【答案】1.上x=3 (3,0)2.-2-3四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2与y=ax2+c和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？同伴间可相互交流.2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？3.课本第35页练习.【设计及教学说明】对所给两个问题的思考，让学生亲历知识的自主建构，不断完善自己的知识结构.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识.第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.4.通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题.5.进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.【教学难点】1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.一、情境导入，初步认识问题将抛物线y=-12x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？【教学说明】学生通过对前两节课所学习的上、下平移和左、右平移规律的回顾与思考，在尝试解决问题的过程中，可增强他们的学习兴趣，激发求知欲望，也为新知识的学习做好铺垫.学生们可相互交流，教师对其结论可暂不作评价.二、思考探究，获取新知问题1 画出二次函数y=-12(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-12x2，及抛物线y=-12（x+1）2，y=-12x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？问题3请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a ≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【教学说明】教师可给予15~20分钟的时间让学生自主探究，画出图象，并让学生们交流，获得感性认识.教师巡视，鼓励每个学生积极参与进来，针对个别同学，应适时予以点拨.如果条件允许，对学生的成果可通过多媒体展示.【归纳结论】1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k ＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k 左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.2.抛物线y=a(x-h)2+k的性质：（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.【教学说明】1.通过探究，师生共同交流，达成共识后，教师在黑板上与学生一道进行归纳，了解并掌握本课时知识.2.此时教师可对问题情境中的问题1作出评价，让学生体验成功的快乐.3.归纳结论完成后，教师引导学生做第37页练习，可让学生采取举手抢答的形式进行.三、典例精析，掌握新知例（教材第36页例4）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）.由这段抛物线经过点（3，0）可得0=a(3-1)2+3,解得a=-34.因此y=-34(x-1)2+3（0≤x≤3）.当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.【教学说明】教师讲解此例时，可向学生提问：（1）坐标系的原点为什么建立在池中心点？（2）自变量的取值范围为什么是0≤x≤3？（3）设函数解析式有什么诀窍？四、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节所学知识，通过几道小题进行演练，巩固所学新知识，并依据学生的完成情况，教师可适时予以查漏补缺.1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是，当x 时，函数值y随x的增大而增大.2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物线与x轴的另一个交点是.3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是.4.已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=-12(x+1)2+3.（1）试确定a,h,k的值；（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.5.将抛物线y=2(x-1)2+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向.【教学说明】第1，2题较为简单，可采用抢答形式来处理，第3小题应引导学生设出所求的二次函数表达式为y=a(x-h)2+k的形式，第4、5题为选做题，教师可根据教学实际选择做或不做.五、师生互动，课堂小结1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？2.如果解抛物线的顶点坐标（或对称轴或最低点等），要想确定该抛物线表达式，如何设出这个表达式更有利于求解呢？【设计及教学说明】问题1侧重于所学知识回顾，而问题2侧重于应用，为后继学习做好铺垫.教学时，教师应予以评讲.1.布置作业：教材习题22.1第5题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索，已初步对二次函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.4.通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.5.经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.【教学重点】用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.【教学难点】用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.一、情境导入，初步认识问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.问题2你知道二次函数y=12x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.。
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(3)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（3）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（3）》的内容包括：二次函数的顶点坐标、开口方向和增减性。
这部分内容是整个九年级数学的重要内容，也是中考的热点。
通过这部分的学习，学生能够掌握二次函数的基本性质，从而更好地解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和性质，对本节课的内容有一定的了解。
但学生在理解和运用方面还存在一些问题，如对顶点坐标、开口方向和增减性的理解不够深入，解决实际问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.理解二次函数的顶点坐标、开口方向和增减性的含义。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标、开口方向和增减性的理解。
2.运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的性质。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。
3.采用小组合作学习，培养学生团队合作精神。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.小组合作学习的相关材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生运用二次函数的知识解决。
例如，一个物体从地面上升，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。
让学生思考，如何根据这个二次函数的图象，求出物体上升到最高点的时间和高度。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示二次函数的图象，引导学生观察和分析图象的顶点坐标、开口方向和增减性。
同时，让学生结合之前的学习经验，总结二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生分成小组，进行合作学习。
每个小组选一个二次函数，分析其顶点坐标、开口方向和增减性。
然后，让学生互相交流，分享各自的成果。
4.巩固（10分钟）针对学生总结的二次函数性质，进行一些巩固性的练习。
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。
但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。
2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。
2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。
2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。
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《二次函数y＝ax2＋bx＋c 图像与系数a、b、c的关系》
教学目标：
知识技能：
1、能熟练根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像确定系数a、b、c 的符号；
2、能灵活利用图像开口方向、直线对称轴、抛物线与x轴交点情况和特殊值确定a、b、c的符号。
情感态度
1、通过解决二次函数图像与系数之间的关系，增强学生解决二次函数综合型题目的信心，提高学生解决问题的能力。
2、通过对系数a、b、c的符号探究过程，体验学习数学的乐趣。
教学重点和难点
重点：
1、熟练运用二次函数的图像确定系数a、b、c的符号；
2、能根据函数图像和直线对称轴、抛物线与x轴交点情况等确定系数的符号。
难点：灵活运用二次函数的图像确定系数的符号。
教学内容：
一、知识复习
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号的确定：
（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；开口向下,则a ＜0。
（2）b 和a 共同决定对称轴的位置.(由对称轴公式 判断符号．)a,b 同号时, 对称轴在y 轴左侧;a,b 异号时,对称轴在y 轴右侧;简称“左同右异”。
（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；交点在y 轴负半轴, 则c ＜0．交点在原点, c=0.
（4）b2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a -b+c 的符号．
（6）由对称轴公式
，可确定2a+b 或2a -b 的符号 二、例题讲解：
a b
x 2-=
例题1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，对称轴是直线 x=-1,有以下结论：①abc>0;②
;③ 2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
（学生分组合作讨论，教师根据情况引导得出答案）
（1）由开口方向得a ＜0,由对称轴直线 在y 轴左侧，
得b ＜0（左同右异）,图像与y 轴正半轴相交，得c ＞0 故正确；
(2)抛物线与 x 轴有两个交点，所以b 2-4ac ＞0故正确；
(3)对称轴 =－1 化简得 2a －b ＝0 故错误；
(4)当 x ＝－1 时所对应的 y 值>2,故正确
综上所述，选择C 。
学生练习：
如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图
象如图所示，下列4个结论：①abc ＜0；②b ＜a+c ；
③4a+2b+c ＞0；
④b 2-4ac ＞0其中正确结论的有（ ）
a b
x 2-=a b
x 2-=
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（学生分组讨论得出答案，教师根据情况补充。
）
1.由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
2.把x=-1代入y=ax2+bx+c得：y=a-b+c，由函数图象可以看出当x=-1时，二次函数的值为正，即a-b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
3.把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
4.由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2-4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．
例题2：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x
＜3 ⑤当x＜1时，y随x增大而增大其中结论
正确的个数是（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
（学生讨论,并由学生代表说出正确答案，教师加以补充。
）
1、由抛物线与x 轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2-4ac ＞0，所以①正确.
2、令方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2， 由对称轴
=1，得x 2=3，所以②正确.
3、由
=1得b=-2a,当x=-1时，y=a-b+c=0,即3a+c=0，
所以③错误. 4、由图可知，当 y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3 ,所以④错误.
5、因为抛物线的对称轴直线x=1，所以当x ＜1时，y 随x 的
增大而增大，所以⑤正确。
综上所述，选择B 答案。
学生练习：
如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2﹣4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中错误的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
a b x 2-=
课堂小结：
1、本课你获得了什么知识？
2、学习本课之后，你能熟练的根据图像确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c的符号了吗？。