云南师范大学2008年考研数学分析真题
2008年数四 考研数学真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（ ）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分） 设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． （20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。
2008考研数一真题答案及详细解析
nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时 ， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时 ， 几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开 ， 得 矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解 若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此
2008年考研数学三真题及全面解析
1 / 122008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=ò的（的（） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.解：B分析：()()0()lim ()lim lim 0x x x xf t dtg x f x f x®®®===ò，所以0x =是函数()g x 的可去间断点。
的可去间断点。
（2）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()()2222,Df u v F u v dudv u v+=+òò，则Fu ¶=¶（） ()A ()2vf u ()B ()v f u()C ()2v f u u ()D ()vf u u解：选A分析；用极坐标得()()222()22211,()v uuf r rDf u v F u v dudv dv rdr vf r dr uv+===+òòòòò()2F vf u u¶=¶ （3）设24(,),x y f x y e+=则函数在原点偏导数存在的情况是() ()A (0,0),(0,0)x y f f ¢¢存在存在 ()B (0,0),(0,0)x y f f ¢¢存在不存在 ()C (0,0),(0,0)x y f f ¢¢不存在存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ¢¢不存在不存在解：C分析：2400011(0,0)lim lim 00xx xx xe ef x x +®®--¢==--00011lim lim 100x x x x e e x x ®+®+--==--， 001lim10x x e x -®--=--故000011lim lim 00x x x x e e x x -®+®---¹--，所以偏导数不存在。
2008年数四 考研数学真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（ ）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分） 设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． （20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。
2008年数学三_考研数学真题及解析
2008年考研数学（三）真题一、选择题：（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x =⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分0()a taf x dx ⎰等于（） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =，则（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uv D f u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则F u ∂=∂（ ）（A ）2()vf u （B ）2()vf u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭. ()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x . ()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦. ()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=.()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=. ()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = . （10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()D xy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分） 求极限201sin lim ln x x x x→. (16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时. （1）求dz（2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()220t t f x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． (19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -. （22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度．（23） （本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n=-. （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。
2008数学考研真题答案
2008数学考研真题答案2008年的数学考研真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分，每个部分都包含了一定数量的题目。
由于这是一个非常广泛的话题，我将提供一些典型的题型和解题方法，而不是提供完整的真题答案。
# 高等数学部分1. 极限问题：通常涉及求函数在某一点的极限，或者无穷远处的极限。
解决这类问题时，需要掌握洛必达法则、夹逼定理等基本极限求解技巧。
2. 导数与微分：考查导数的定义、几何意义以及导数的应用，如求曲线的切线斜率、函数的单调性、极值和最值等。
3. 积分问题：包括不定积分和定积分的计算，以及积分的应用，如计算面积、体积等。
4. 级数问题：考查数列和函数的级数收敛性，以及级数求和。
5. 微分方程：包括一阶微分方程和高阶微分方程的求解。
# 线性代数部分1. 矩阵运算：涉及矩阵的加法、乘法、转置、求逆等基本运算。
2. 向量空间：考查向量组的线性相关性、基和维数，以及向量空间的子空间。
3. 特征值和特征向量：求解矩阵的特征值和特征向量，以及利用它们进行矩阵对角化。
4. 二次型：包括二次型的规范型和惯性指数的计算。
# 概率论与数理统计部分1. 随机事件的概率：涉及古典概型、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式。
2. 随机变量及其分布：包括离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，以及它们的期望值和方差。
3. 大数定律和中心极限定理：考查这两个定理的表述和应用。
4. 统计量的分布：涉及样本均值、样本方差等统计量的分布。
5. 参数估计：包括点估计和区间估计，以及假设检验。
由于考研真题涉及的题目类型和内容非常广泛，这里只是简要概述了一些常见的题型和解题思路。
如果需要具体的题目和答案，建议参考相关的考研辅导书籍或历年真题解析。
同时，考研复习时，理解概念、掌握方法、多做练习是提高解题能力的关键。
希望这些信息对你有所帮助。
2008年考研数学三真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）跳跃间断点. 可去间断点.无穷间断点.振荡间断点.（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ）曲边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）已知（A ），都存在 （B ）不存在，存在 （C ）不存在，不存在 （D ），都不存在 （4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ） （A ） （B ）（C ） （D ） （5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ） ....（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）....（8）随机变量，且相关系数，则（ ）()f x [1,1]-0x =0()()xf t dtg x x=⎰()A ()B ()C ()D ()y f x =()f x [0,]a 0()at af x dx ⎰()A ABCD ()B ABCD ()C ACD ()D ACD (,)f x y =(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f 'f 22(,)uvD f u v =⎰⎰uvD Fu∂=∂2()vf u 2()v f u u ()vf u ()vf u uA E 30A =()A E A -E A +()B E A -E A +()C E A -E A +()D E A -E A +1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭A ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭,X Y X ()F x {}max ,Z X Y =()A ()2F x ()B ()()F x F y ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()~0,1X N ()~1,4Y N 1XY ρ=. . ..二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 .（10）设，则.（11）设，则. （12）微分方程满足条件的解.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则. （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限. (16) （本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时. （1）求 （2）记，求. (17) （本题满分11分）计算其中.(18) （本题满分10分）设是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）()A {}211P Y X =--=()B {}211P Y X =-=()C {}211P Y X =-+=()D {}211P Y X =+=21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩(,)-∞+∞c =341()1x x f x x x ++=+2()______f x dx =⎰22{(,)1}D x y x y =+≤2()Dx y dxdy -=⎰⎰ 0xy y '+=(1)1y =y = A 14_____A E --=X {}2P X EX== 21sin limln x xx x→(,)z z x y =()22x y z x y z ϕ+-=++ϕ1ϕ'≠-dz ()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭u x ∂∂max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤()f x t ()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰0.05r =设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证;（2）为何值，方程组有唯一解; （3）为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， 证明（1）线性无关；（2）令，求. （22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求； （2）求的概率密度． （23） （本题满分11分）是总体为的简单随机样本.记，，. （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求.2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A AX B =()1,,Tn X x x =()1,0,,0B =()1n A n a =+a a A 12,a a A 1,1-3a 323Aa a a =+123,,a a a ()123,,P a a a =1P AP -X Y X {}()11,0,13P X i i ===-Y ()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它Z X Y =+102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭Z 12,,,n X X X 2(,)N μσ11n i i X X n ==∑2211()1n ii S X X n ==--∑221T X S n =-T 2μ0,1μσ==DT2008年考研数学（三）真题解析一、选择题 (1)【答案】【详解】 ，所以是函数的可去间断点． (2)【答案】 【详解】其中是矩形ABOC 面积，为曲边梯形ABOD 的面积，所以为曲边三角形的面积．(3)【答案】【详解】 ， 故不存在．所以存在．故选. (4)【答案】【详解】用极坐标得所以. (5)【答案】【详解】，. 故均可逆． (6)【答案】【详解】记，则又， 所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确. (7)【答案】【详解】. (8)【答案】B ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰0x =()g x C 0()()()()()()aaa aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰()af a 0()af x dx ⎰()axf x dx '⎰B 000(,0)(0,0)11(0,0)limlim lim 0xx x x x f x f e f x xx→→→---'===-0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==-(0,0)x f'220000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y f y f e y f y yy y→→→→---'=====-(0,0)y f 'B A ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰()2Fvf u u∂=∂C 23()()E A E A A E A E -++=-=23()()E A E A A E A E +-+=+=,E A E A -+D 1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()2121421E D λλλλ--==---()2121421E A λλλλ---==----A D A D A D A D D A ()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==D【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、 由，得所以 所以. 排除. 故选择. 二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知，所以因为 ， 又因为在内连续，必在处连续所以 ，即. (10)【答案】【详解】，令，得 所以. (11)【答案】【详解】. (12)【答案】 【详解】由，两端积分得，所以，又，所以. (13)【答案】3【详解】的特征值为，所以的特征值为， 所以的特征值为，， 所以. (14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 .三、解答题Y aX b =+1XY ρ=,X Y 0a >()A ()C ~(0,1),~(1,4)X N Y N 0,1,EX EY ==()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+=1b =()B ()D ||0c x ≥≥22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+()22lim lim x c x cf x x c++→→==()f x (,)-∞+∞()f x x c =()()lim lim ()x cx cf x f x f c +-→→==2211c c c+=⇒=1ln 32222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭1t x x =+()22t f t t =-()()()22222111ln 2ln 6ln 2ln32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰4π()22221()2DDD x y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性21200124d r rdr ππθ==⎰⎰1y x=dy y dx x -=1ln ln y x C -=+1x C y =+(1)1y =1y x=A 1,2,21A -1,12,1214A E --4113⨯-=41211⨯-=41211⨯-=143113B E --=⨯⨯=112e -22()DX EX EX =-22()EX DX EX =+X 1DX EX ==2112EX =+={}21111222P X e e --===！(15) 【详解】 方法一： 方法二： (16) 【详解】(I)(II) 由上一问可知， 所以 所以 . (17) 【详解】 曲线将区域分成两 个区域和，为了便于计算继续对 区域分割，最后为(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数，令，则所以22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-223001sin cos sin cos sin limln lim lim2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim66x x x x →-=-洛必达法则()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-22,11z x z y x y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++1xy =1D 23D D +()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+t ()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰2x u =+()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰O 0.5 2(II) 由(1)知，对任意的有，记，则. 所以，对任意的，所以是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设，由于，所以为常数，从而有. 而，所以，即.(II) 由(I)知，对任意的有，记，则，由于对任意，， 所以 ，从而 是常数 即有 所以是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设为用于第年提取万元的贴现值，则故 设因为 所以 (万元) 故 (万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第年取款后的余款是，由题意知满足方程， 即 (1)(1)对应的齐次方程 的通解为 设(1)的通解为 ，代入(1)解得 ， 所以(1)的通解为 由，得t ()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰()2a f x dx =⎰()0()2xG x f u du ax =-⎰x ()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰()G x 2()()t tF t f x dx +=⎰()(2)()0F t f t f t '=+-=()F t ()(0)F t F =2(0)()F f x dx =⎰2()()F t f x dx =⎰22()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰t ()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰()2a f x dx =⎰()0()2xG x f u du ax =-⎰()2(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰x ()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-()()2()G x f x a '=-()(2)()0G x G x '+-=(2)()G x G x +-(2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-=()G x n A n (109)n +(1)(109)n n A r n -=++1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑1()(1,1)nn S x nx x ∞==∈-∑21()()()(1,1)1(1)n n x xS x x x x x x x ∞=''=== ∈---∑11()()4201 1.05S S r ==+20094203980A =+⨯=t t y t y 1(10.05)(109)t t y y t -=+-+11.05(109)t t y y t --=-+11.050t t y y --=(1.05)t t y C =*t y at b =+180a =3980b =(1.05)1803980t t y C t =++0y A =0t y ≥3980A C =+0C ≥故至少为3980万元．(20) 【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得A 2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nn n aa aa a a aa aA r ar aa a aa a a n a a n ar ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++||n D A =(1)n n D n a =+1n =2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nn n aa aa a a aa aA r ar aa a aa a a n a a n ar ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++12D a =2n =2222132a D a aa==n n D故证法三：记，将其按第一列展开得 ，所以即(II) 因为方程组有唯一解，所以由知，又，故． 由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以 (III) 方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a aD aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+||(1)n A n a =+||n D A =2122n n n D aD a D --=-211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+Ax B =0A ≠(1)n A n a =+0a ≠n D b 2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===11(1)n n D nx D n a-==+0A =0a =12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1n -()()10000100,TTk k +123,,ααα12,αα12,αα3α12,αα31122l l ααα=+12,l l 12,l l 3α323A ααα=+20α=，又 ，整理得：则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.证法二：设存在数，使得 (1)用左乘(1)的两边并由得(2)(1)—(2)得 (3)因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.(II) 记，则可逆，所以 .(22)【详解】(I) (II)所以(23) 【详解】(I) 因为，所以，从而．因为11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++311221122()A A l l l l ααααα=+=-+∴112221122l l l l ααααα-+=++11220l αα+=12,αα123,,ααα123,,k k k 1122330k k k ααα++=A 11,A αα=-22A αα=1123233()0k k k k ααα-+++=113220k k αα-=12,ααA 12,αα130k k ==220k α=20α≠20k =123,,ααα123(,,)P ααα=P 123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤={1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-={1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-[]1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它2(,)XN μσ2(,)XN nσμ2,E X D X nσμ= =221()()E T E X S n =-221()E X E S n=-11所以，是的无偏估计(II) 方法一：，，所以 因为，所以， 有， 所以 因为，所以，又因为，所以,所以 所以 . 方法二：当时(注意和独立)221()()D X E XE S n =+-222211n nσμσμ=+-=T 2μ22()()D T ET ET =-()0E T =22()1E S σ==2()D T ET =442222()S E X X S n n =-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+(0,1)X N 1(0,)X N n10,E X DX n ==()221E X DX E X n =+=2242222()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n ⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+=⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--2(1)DW n =-22(1)DW n DS =-22(1)DS n =-4211(1)1n ES n n +=+=--2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-0,1μσ==221()()D T D X S n=-X 2S 222222221111(1)(1)DX DS D D n S n n n n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。
2008-2014历年考研数学一真题及答案详解.pdf
0
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(2) 函数 f (x, y) arctan x 在点 (0,1) 处的梯度等于
y
(A) i
(B)- i
(C) j
(D) j
(3) 在下列微分方程中 , 以 y C1ex C2 cos2x C3 sin 2x ( C1,C2 , C3 为任意常数 ) 为
通解的是
(A) y y 4 y 4 y 0
文档鉴赏
(22)( 本题满分 11 分)
设随机变量 X 与 Y 相互独立 , X 的概率分布为 P X i
1 i
3
率密度为 fY y
1 0 y 1, 记 Z X Y,
0 其它
1,0,1 , Y 的概
(1) 求 P Z 1 X 0 .
2
(2) 求 Z 的概率密度 .
(23)( 本题满分 11 分)
设 X1, X 2,L , X n 是总体为 N ( , 2 ) 的简单随机样本 .
文档鉴赏
(6) 设 A 为 3 阶 实对 称 矩 阵 , 如 果二次 曲 面 方 程
x
( x, y, z)A y 1 在正交变换下的标准方程的图形如图 , 则
z
A 的正特征值个数为 (A)0
(B)1
(C)2
(D)3 (7) 设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F x , 则 Z max X ,Y 分布
n0
an x 3 n 的收敛域为
பைடு நூலகம்
.
n0
(12) 设曲面 是 z 4 x2 y2 的上侧 , 则 xydydz xdzdx x2dxdy
.
(13) 设 A 为 2 阶矩阵 , α1, α2 为线性无关的 2 维列向量 , A α1 0, A α2 2α1 α2 ,
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5，求 ，其中S： + + =1,y 0 。
二（10分），设函数f（x）在区间（- ）连续，且在有理点处该函数取值为0，证明在区间（-∞，+∞）上f（x） 0 。
三（15分），设{ }是一单调数列，{ }是其收敛的子列，证明数列{ }收敛 。
四（15分），若函数 [a，b]上连续，令
云南师范大学
2008年硕士研究生入学考试自命题科目试卷
报考专业：基础数学应用数学概率论与数理统计
考试科目及代码：数学分析615
（答案必须写在答题纸上，写在卷面上无效）
一，计算下列各题（每小题10分，共50分）：
1，求极限 。
2，求函数y=arctan 的导数，其中 (x)与 是可导的函数。
3，求定积分 。
七（15分），计算I（a）= ，其中a 。
八 （15分），设函数f（x）的二阶导数 （x）在点a的领域U（a）内连续， （x） 0 ，对于a+h U（a），由微分中值定理存在 （0 1），使得
f（a+h）- f（a）= h （a+ ），
试证明 = 。
f（x，y）=φ（x），（x，y） D=[a，b] （-∞，+∞），
试讨论函数f（x，y）在域D上是否连续？是否一致连续？
五（15分），设函数f（x）在区间（-∞，+∞）上有定义，且对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，
如果 （0）存在，求 （x） 。
六（15分），讨论函数项级数 在区间[0，+ 的一致收敛性 。