2017-2018年江西省宜春市丰城市九年级上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年江西省宜春市丰城市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项.）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0 C．k＜D．k≥且k≠03．（3分）将抛物线y=x2+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+4 B．y=（x+2）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=（x﹣2）2﹣2 4．（3分）如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10 B．9 C．8 D．75．（3分）在△ABC中，∠CAB=40°，在同一平面内，将△ABC绕着A点逆时针旋转α° 得到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则α的数值是（）A．130 B．120 C．110 D．1006．（3分）如图，在⊙A中，已知弦BC=8，DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则⊙A 的半径长为（）A．10 B．6 C．5 D．8二、填空题（每小题3分，共18分）7．（3分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．8．（3分）已知点A（a，m）、B（b，m）、P（a+b，n）为抛物线y=x2﹣2x﹣2上的点，则n=．9．（3分）一元二次方程（x﹣2）2=6﹣3x的解为．10．（3分）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为．11．（3分）如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B、D两点，C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是．12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b=0；②abc＞0③4ac﹣b2＜0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＜0．其中正确的结论有．三、（本大题共五个小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x2+4x﹣1=0（2）解方程：3x2+x=3x+1．14．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．15．（6分）抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），且与y轴的交点为（0，2），求此抛物线的解析式．16．（6分）作图题：在⊙O 中，点D是劣弧AB的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完下列作图：在图（1）中作出∠C的平分线；在图（2）中画一条弦，平分△ABC的面积．17．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=2，CD=3AD，求DE的长．四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．（8分）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD 恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．22．（9分）如图，等腰△ABC中，AB=BC，将△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a 度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△BA1D（2）当∠C=a度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．六、（本大题共一个小题，共12分）23．（12分）如图，点A、点E的坐标分别为（0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=﹣x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1﹣y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．2017-2018学年江西省宜春市丰城市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项.）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．2．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0 C．k＜D．k≥且k≠0【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，∴k＞且k≠0．故选：B．3．（3分）将抛物线y=x2+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+4 B．y=（x+2）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=（x﹣2）2﹣2【解答】解：∵将抛物线y=x2+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2+1+3，即y=（x﹣2）2+4．故选：A．4．（3分）如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．5．（3分）在△ABC中，∠CAB=40°，在同一平面内，将△ABC绕着A点逆时针旋转α° 得到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则α的数值是（）A．130 B．120 C．110 D．100【解答】解：∵AB∥CC′，∴∠ACC′=∠CAB=40°，又由旋转的性质可得AC=AC′，∴∠AC′C=∠ACC′=40°，∴∠CAC′=180°﹣40°﹣40°=100°，∴α=100°，故选：D．6．（3分）如图，在⊙A中，已知弦BC=8，DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则⊙A 的半径长为（）A．10 B．6 C．5 D．8【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵CF是直径，∴∠CBF=90°，∴CF===10．∴⊙A的半径为5．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）7．（3分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．8．（3分）已知点A（a，m）、B（b，m）、P（a+b，n）为抛物线y=x2﹣2x﹣2上的点，则n=﹣2．【解答】解：∵抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，又∵点A（a，m）和B（b，m）关于直线x=1对称，∴=1，∴a+b=2，把（2，n）代入抛物线的解析式得，n=22﹣2×2﹣2=﹣2．故答案是：﹣2．9．（3分）一元二次方程（x﹣2）2=6﹣3x的解为x1=2，x2=﹣1．【解答】解：（x﹣2）2=6﹣3x，（x﹣2）2+3（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣2+3）=0，x﹣2=0，x﹣2+3=0，x1=2，x2=﹣1，故答案为：x1=2，x2=﹣1．10．（3分）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为10．【解答】解：当a=2或b=2时，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得4﹣12+n﹣1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去；当a=b时，△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10，所以n为10．故答案为10．11．（3分）如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B、D两点，C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是100°．【解答】解：过点B作直径BE，连接OD、DE．∵B、C、D、E共圆，∠BCD=140°，∴∠E=180°﹣140°=40°，∴∠BOD=80°．∵AB、AD与⊙O相切于点B、D，∴∠OBA=∠ODA=90°．∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．故答案为100°12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b=0；②abc＞0③4ac﹣b2＜0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＜0．其中正确的结论有②③④．【解答】解：①抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，所以2a+b=0，故①错误；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣＞0故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；⑤由图知：当x=﹣2时y＞0，所以4a﹣2b+c＞0，因为b=﹣2a，所以4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故⑤错误；所以这结论正确的有②③④3个．故答案为②③④．三、（本大题共五个小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x2+4x﹣1=0（2）解方程：3x2+x=3x+1．【解答】解：（1）∵a=1，b=4，c=﹣1，∴△=16+4=20＞0，∴x==﹣2x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）3x2﹣2x﹣1=0（x﹣1）（3x+1）=0，∴x﹣1=0或3x+1=0，x1=1，x2=﹣．14．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，解得k＞﹣；（2）当k=﹣2时，方程为x2﹣3x+2=0，因式分解得（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2．15．（6分）抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），且与y轴的交点为（0，2），求此抛物线的解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+1）2+3，把A（0，2）代入得a•（0+1）2+3=2，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+3．16．（6分）作图题：在⊙O 中，点D是劣弧AB的中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完下列作图：在图（1）中作出∠C的平分线；在图（2）中画一条弦，平分△ABC的面积．【解答】解：如图1，CD为所作；如图2，CE为所作．17．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=2，CD=3AD，求DE的长．【解答】解：（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠A=∠ACB=45°．根据旋转的性质可知：CE=AD、∠BCE=∠A=45°，∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°．（2）∵BA=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=4．∵点D在AC上，CD=3AD，∴CE=AD=1，CD=3．在Rt△DCE中，DE==．四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=，∴方程的另一根为﹣a﹣1=﹣﹣1=﹣．答：a的值为，方程的另一根为﹣．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．（8分）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y=ax2+bx．（1分）依题可知：当x=1时，y=2.44；当x=3时，y=0．∴，（3分）∴，∴y=﹣1.22x2+3.66x．（5分）（2）不能．理由：∵y=4.88，∴4.88=﹣1.22x2+3.66x，（6分）∴x2﹣3x+4=0．∵（﹣3）2﹣4×4＜0，∴方程4.88=﹣1.22x2+3.66x无解．∴足球的飞行高度不能达到4.88m．（7分）（3）∵y=2.44，∴2.44=﹣1.22x2+3.66x，（8分）∴x2﹣3x+2=0，∴x1=1（不合题意，舍去），x2=2．∴平均速度至少为（m/s）．（9分）20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD 恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．22．（9分）如图，等腰△ABC中，AB=BC，将△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a 度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△BA1D（2）当∠C=a度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D（ASA）；（2）四边形A 1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=a，∴∠DEC=180°﹣a，∵∠C=a，∴∠A1=a，∴∠A1BC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣a，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠A1EC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形．六、（本大题共一个小题，共12分）23．（12分）如图，点A、点E的坐标分别为（0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=﹣x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1﹣y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．【解答】解：（1）根据题意将点A（0，3）代入y1=﹣x2+n，得：n=3，∴y1=﹣x2+3；∵抛物线C2的顶点坐标为（1，2），∴设抛物线C2的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将点P（0，）代入，得：a+2=，解得：a=，∴抛物线C2的解析式为y2=（x﹣1）2+2=x2﹣x+，当x=1时，y1=﹣12+3=2，∴抛物线C1经过点E；（2）在y1=﹣x2+3，当x＞0时，y随x的增大而减小，在y2=（x﹣1）2+2中，当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当0＜x＜1时，抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小；（3）y3=y1﹣y2=﹣x2+3﹣（x2﹣x+）=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+，∵0＜x＜1，∴当x=时，函数y3有最大值，最大值为．。