全国2004年10月高等教育自学考试 高等数学(一)试题 课程代码00020
自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版
自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2.为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx，c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根:当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理):2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当a,0时，开口向下. 对称轴顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解;当时，方程组无解;当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组 (1)若方程组有无穷多解，求a的值; (2)当a,6时，求方程组的解.解:(1)因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a,4.(2)当,6是，原方程组变为, a解得 3.不等式 (1)一元二次不等式 22考虑不等式ax，bx，c,0，如果记一元二次方程ax，bx，c=0的两个不同实根分别为x，x，且x,x，根据一元二次函数的图形可知: 1212当a,0时，这个不等式的解集是{x?x,x或x,x}; 12当a,0时，它的解集是{x?x,x,x}. 12222用类似的方法可以求解不等式ax，bx，c?0，ax，bx，c,0和ax，bx，c?0. 2例3.解不等式x,5x，6?0. 2解:令,5，6,0,xx(x,2)(x,3),0, 得,2或=3, xx? 解集为(,?，2]?[3，，?). 2例4.解不等式x，(1,a)x,a,0. 2解:令x，(1,a)x,a,0, (x,a)(x，1),0, 得x,a或x,,1, ?若a,,1，解集为(a，,1), ?如a,,1，解集为Φ, ?若a,,1，解集为(,1，a). (2)绝对值不等式不等式?f(x)?,a,0等价于f(x),a或f(x),,a; 不等式?f(x)?,a等价于,a,f(x),a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式: (1)?2x,3??5 (2)?3x,1??7 解:(1)原不等式等价于,5?2x,3?5 解得:,1?x?4. 所以解集为[,1，4]. (2)原不等式等价于3x,1?,7或3x,1?7， 3x,1?,7的解集为x?,2，3x,1?7的解集为x?, 1小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以解集为(,?，,2]?[，，?). 2例6.解不等式?x,2x,5?,3. 解:原不等式等价于2x,2x,5,,3的解集为(,?，]?[，，?)， 2x,2x,5,3的解集为(,2，4)，所以原不等式的解集为(,2，]?[，，4). 4.数列 (1)等差数列:相邻两项的差为定值，即a,a,d，d称为公差. n，1n通项公式:a,a，(n,1)d n1前n项和公式:当m，n,k，l时，a，a,a，a mnkl特别地有例7.设{a}是一个等差数列，且a，a，a，a,64，求a，a和S. 2310116712n解:因为 2，11,3，10,13 所以a，a,a，a,32, 211310又因为 6，7,13，所以a，a,32, 67S,(a，a)×12?2,6(a，a),6×32,192. 12112112(2)等比数列:相邻两项的商为定值，即，q称为公比. n-1通项公式:a,aq n1前n项和公式: 当m，n,k，l时，aa,aa mnkl特别地有例8.设{a}是一个等比数列，且a,12，a,48，求a，a和aa的值.n3511026解: 所以q,?25a,a?q,48×(?2),?1536 1055因为2，6,3，5,8 所以a?a,a?a,12×48,576. 26351.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类: N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a?A;否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A,B. 2例9.A,{1，2}，C,{x?x,3x，2,0}，则A和C是什么关系, 2解:解方程x,3x，2,0，得x,1或x,2. 所以C,{1，2}，从而A,C. 4.空集不含任何元素的集合称为空集(记作Φ).规定空集为任何集合的子集. 2例10.{x?x?R，x，1,0},Φ 5.集合的表示方法:列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间:[a，b],{x?a?x?b，x?R}; 开区间:(a，b),{x?a,x,b，x?R}; 半开半闭区间: 左开右闭区间:(a，b],{x?a,x?b，x?R}，左闭右开区间:[a，b),{x?a?x,b，x?R}; (,?，b],{x?x?b，x?R}，[a，，?],{x?x?a，x?R}; 点a的邻域:U(a，ε),(a,ε，a，ε)，ε,0，即U(a，ε)是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U表示; a点a的去心邻域:N(a，ε),(a,ε，a)?(a，a，ε)，ε,0.点a的去心邻域也可以表示为N. a6.集合之间的运算 (1)并:由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A?B. A?B,{x?x?A或x?B}，A?B,B?A. 例11.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A?B. 解:A?B,{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知:,{?1,,5}，,{?,3,?2}，求:?. AxxBxxAB解:A?B,{x?,3,x,5}. (2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A?B. A?B,{x?x?A且x?B}，A?B,B?A 例13.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2、4、6、8、10、12}，求:A?B. 解:A?B,{2，4}. 例14.已知:A,{x?1,x,4}，B,{x?,3,x?3}，求:A?B. 解:A?B,{x?1,x?3}. (3)余集(差集):由中不属于的元素组成的集合称为与的差集，记为,. ABABABA,B,{x?x?A但xB}. 例15.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A,B. 解:A,B,{1，3}. 7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp 同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件(充要条件)，记作pq. 1.2 函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义设D是一个非空数集，f 是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x?D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y,f(x)，x?D. 也称是的函数，其中称为自变量，称为因变量.当?时，称()为函数在点处的函数值.数集叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数,{?,()，?}称为函数的值域. yxxyxDfxxDWyyfxxD000例1.已知:，求:y的定义域、值域. 2解:令1,x?0，解得:,1?x?1, 所以定义域为[,1，1]. 2因为0?1,x?1，所以0??1，所以值域为[0，1].例2.已知:，求:y的定义域、值域.解:根据题意，得，解得,1,x,1，所以定义域为(,1，1)， 2小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问因为 0,?1，从而，所以值域为[1，，?). 2.函数的三要素:定义域、对应法则、值域. 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等，(1)y,x，3; (2).例4.求函数的定义域. 解:根据题意，得解得:2?x,3或3,x,5，所以定义域为[2，3)?(3，5). 3.函数的表示法:表达式法(解析法)、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念函数y,f(x)，x?D的图形是指在xOy平面上的点集{(x,y)?y,f(x)，x?D}. 常见的几个幂函数的图形:2.函数的性质 (1)有界性函数f(x)，x?D，存在两个实数m、M，满足条件:对于D中所有的x都有不等式m?f(x)?M，则称函数f(x)在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，(1)y=sinx， (2). (2)单调性设函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x及x，当x,x时，恒有f(x),f(x)，则称函数f(x)在区间D上是单调增加，称f(x)是D上的单调增加函数，称D是函数f(x)的单调增加区间. 121212设函数及，当,时，恒有),)，则称函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点xxxxf(xf(xf(x)在区间D上是单调减少，称f(x)是D上的单调减少函数，称D是函数f(x)的单调减少区间. 1212122例6.求的单调性. y, x解:任取,,0， xx1222,,)(，),0, xx,(xxxx121212所以y,x在(,?，0)上单调减少.22同理可得:y, x在(0，，?)上单调增加. 例7.求y ,sinx的单调性. 解:y,sinx的图像如图，y=sinx在(2kπ,，2kπ，)上单调增加，在(2kπ，，2kπ，)上单调减少. (3)奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),f(x)，称 f(x) 为偶函数;设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),,f(x)，称 f(x) 为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性(1)(2)解:(1)因为，所以定义域为R.3小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以f(x)为奇函数.(2) x-x因为a,a?0，故x ?0，所以定义域为(,?，0)?(0，，?).所以()为奇函数. fx(4)幂函数的性质α形如y,x的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质: α对任意实数α，曲线y,x都通过平面上的点(1，1);αα,0时，y,x在(0，+?)单调增加; αα,0时，y,x在(0，+?)单调减少; ，+?); α为正整数时，幂函数的定义域是(,?αα为偶数时，,为偶函数; yxαα为奇数时，, 为奇函数; yxα为负整数时，幂函数的定义域是 (,?，0)?(0，+?). α幂函数y,x(α是常数)的图形:1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形:例10.画出下面分段函数的图形:例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数… … (剩余部分略)完整免费版请访问—— 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f(x)，g(x)都在D上有定义，k?R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外)，而函数值的对应定义如下: (1)加法运算 (f，g)(x),f(x)，g(x)，x?D . (2)数乘运算(kf)(x),kf(x)，x?D. (3)乘法运算 (fg)(x),f(x)g(x)，x?D .(4) 除法运算 g(x)?0， x?D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f(x)=ln(1，x)，g(x)=1,cosx，求 . 因为函数f(x)=ln(1，x)的定义域为(,1，+?)，函数g(x)=1,cosx 的定义域为(,?，+?)，且当x=2 kπ(k为整数)时，g(x)=0，所以，解，x?(,1， +?)\{2kπ}(k为整数) 1.4.2复合函数如有函数()和(),它们的定义域分别为和，值域分别是和当时，对于任意?,都有唯一的()?,，从而有唯一的(())?与?对应，这样就确定了一个从到的函数，此函数称fxgxDD ZZ.ZD xDgxZDfgxZxDDZfgf g.gfggffggf为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。
00020高等数学(一)自考历年真题
课程代码：00020一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。
A ．x sinB ．x x sinC ．x x cos sin +D ．)2cos(+x 2．已知极限2211lim e x bxx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，则=b （ D ）。
A ．1B ．2C ．3D ．43．设函数)(x f 二阶可导，则极限=⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆-→∆bxx x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。
A ．)(''0x f -B ．)(''0x fC ．)(''20x f -D ．)(''20x f 4．函数C x F dx x f +=⎰)()(，则=⎰xdx x f cos )(sin （ C ）。
A ．C x x F +sin )(sinB ．C x x f +sin )(sinC ．C x F +)(sinD ．C x f +)(sin5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。
A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f xx314+。
7．极限()=⋅+∞→xx x 1sin1ln lim 0 。
8．某产品产量为q 时总成本22001200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。
9．极限=-→xx x x ln 1lim11 。
10．设函数xxy +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。
11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线xe x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。
12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。
高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(一)
高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(一)(课程代码 00020)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效。
第一部分选择题一、单项选择题(本大题共l0小题。
每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
Q1．方程x2-3x+2=0的根为3. 极限A．-2 B．0 C．2 D. ∞4．函数的所有间断点是A．x=0 B. x=-1 C． z=0，z=1 D．x=-1，z=16．曲线y=sinx在点(0，O)处的切线方程是A，y=x B．y=-X C．y=1/2 x D．y=-1/2 x7．设函数f(x)可导，且f’(x0)=0，则f(x)在x=x0处A．一定有极大值 B．一定有极小值C．不～定有极值 D．一定没有极值8．曲线y=x3—3x2+2的拐点为A．(0，1) B．(1，O) C．(0，2) D．(2，O)9．不定积分A．see x+x B．sec x+x+CC．tan x+x D．tan x+x+C10．设函数A．6+e B．6+e-1 C．4+e D. 4+e-1第一分非选择题二、简单计算题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在答题卡上作答。
11．判断函数f(x)=2x一2-x的奇偶性．12．求极限13．求函数，f(x)=sin(2x2+3)的导数f’(x)．14．求极限15．求函数z=x2+y2—3x一5y一2的全微分dz.三、计算题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)请在答题卡上作答。
2020年10月全国自考《00020高等数学(一)》真题和答案
2020年10月全国自考《00020高等数学(一)》真题和答案1、方程x3-4x=0的实根个数为A、1B、2C、3D、4正确答案C解析因为x3-4x=x（x2-4）=x（x+2）（x-2）=0，所以x1=0，x2=-2，x3=2,实根个数为3。
参见教材P21。
2、函数f(x)=(x+cosx)(1+x2)A、是奇函数B、是偶函数C、是奇函数也是偶函数D、是非奇非偶函数正确答案B解析（2+cosx）是偶函数，（1+x2）是偶函数，所以f（x）就是偶函数。
参见教材P30。
3、正确答案A解析当x趋近于0时函数的值等于0，则称函数f(x)在趋近0时时一个无穷小量，只有A符合，参见教材p59正确答案A解析因为是无穷比无穷型，可以使用洛必达法则，分子分母分别同时求导，一直求导直到求到72/1800x2的极限等于0。
参见教材P95。
5、正确答案C解析dy/dx=5(3x+2)4×3=15(3x+2)4。
参见教材P79。
6、函数f(x)=(x+1)3的区间（-1，2）内A、单调增加B、单调减少C、不增不减D、有增有减正确答案A解析因为f（-1）=0，f（2）=27，所以f（-1）7、正确答案D正确答案B解析题目中的公式先对arcsinx进行求导在积分，积分后就是arcsinx，又因为是不定积分，所有再加一个常数是arcsinx＋C。
参见教材P120。
9、正确答案C10、正确答案D11、答案答案13、答案14、答案15、答案16、答案17、答案18、答案19、答案20、答案21、答案22、答案23、答案24、答案。
高等数学一课程描述
第三部分：课程描述高等数学（一）1. 课程代码： 000202. 课程名称：高等数学（一）3. 课程类别：公共必修课4. 教学时数：周学时： 4 总学时： 1365. 学分： 66. 教学目标与要求：《高等数学（一）微积分》是经济管理类各专业高等专科自学考试计划中的一门重要的基础理论课程，是为培养各种与经济管理有关的人才而设置的。
在当今科技飞速发展，特别是计算机科学及其应用日新月异的时代，数学科学已渗透到各个科技领域（包括经济科学和管理学），学习任何一门科学或经济管理专业都要用到许多数学知识，而其中最基本的则是微积分学。
学习本课程不仅为学习自学考试计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是提高自身科学素养的一个重要组成部分。
本课程的重点是一元函数的导数和积分概念、计算及其应用。
各章节教学目标具体如下：函数及其图形：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表现法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合与分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常见的经济函数；能从比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。
极限和连续：理解极限和无穷小量的概念以及它们之间的关系；掌握无穷小量的基本性质和极限的运算法则；清楚无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；熟练掌握两个重要极限；理解无穷小量的阶的比较和高阶无穷小量的概念；理解函数的连续性和间断点；知道初等函数的连续性；清楚闭区间上连续函数的基本性质。
一元函数的导数和微分：理解导数和微分的定义，清楚它们之间的关系；知道导数的几何意义和实际意义；知道平面曲线的切线方程的求法；理解函数可导与连续之间的关系；熟练掌握函数求导的各种法则，特别是复合函数的求导法则；熟记基本初等函数的求导公式；会求函数的高阶导数；掌握微分的基本公式和运算法则；理解函数的边际函数和弹性函数及其意义。
微分中值定理和导数的应用：能准确陈述微分中值定理；熟练掌握洛必达法则；会用导数的符号判定函数的单调性；理解函数的极值概念并掌握其求法；清楚函数的最值及其求法并能解决简单的应用问题；了解曲线的凹凸性和拐点的概念，会用函数的二阶导数判定曲线的凹凸性和计算拐点的坐标；会求曲线的水平和铅直渐近线。
2020年年10月全国高等教育自学考试高等数学(一)试题
xx年10月全国高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题干的括号内。
每小题1分，共40分）1.设A={x|-3}，B={x|0}，则有（）A.ABB.ABC.（AD.（A2.设f（x）的定义域是[0，4]，则f（x2）的定义域是（）A.[0，16]B.[0，2]C.[-2，2]D.[-16，16]3.函数y=sinx-sin|x|的值域是（）A.{0}B.[-1，1]C.[0，1]D.[-2，2]4.设f（x）=，g（x）=1-x，则f（g（x））=（）A.B.C.D.2+x5.设函数f（x）=ax2+c在（0，+）内严格单调减少，则a，c 应满足（）A.a＞0且c=0B.a＞0且c0C.a＜0且c为任意实数D.a＞0且c为任意实数6.=（）A.0B.1C.xD.7.=（）A.aB.lnaC.eaD.18.下列区间中为函数f（x）=（）A.（-，-2）B.（-2，+）C.（-，-1）D.（-1，+）9.函数f（x）=在x=1处间断是因为（）A.f（x）在x=1处无定义B.不存在C.不存在D.不存在10.当x时，sin与x相比是（）A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.等价无穷小量11.已知函数f（x）=，则f（x）在x=0处（）A.间断B.导数不存在C.导数f‘（0）=-1D.导数f’（0）=112.设f（x）=sin（3x+），则=（）A.-3B.3C.0D.-113.设f（x）=ex+2，则f‘（x+2）=（）A.ex+2B.ex+4C.2ex+2D.2ex+414.当||很小且f‘（x0），函数在x=x0处改变量y和微分dy 的关系是（）A.y＜dyB.y＞dyC.y=dyD.ydy15.设y=sin2x+cosx2，则dy=（）A.sin2x-2xsinx2dxB.（sin2x-2xsinx2）dxC.sin2x+2xsinx2dxD.（sin2x+2xsinx2）dx16.设y=ln（1+2x），则=（）A.B.17.函数y=（x+1）3在区间（-1，2）内（）A.单调增B.单调减C.不增不减D.有增有减18.函数y=x3+4在区间（-1，1）内是（）A.下凸B.上凸C.既有下凸又有上凸D.直线段19.函数y=|lnx|的拐点是（）A.（1，0）B.（e，1）C.（2，ln2）D.不存在20.函数y=的水平渐近线方程是（）A.y=0B.y=1C.y=3D.不存在21.，则f（x）=（）A.3B.9C.+CD.22.=（）A.axlna+CB.C.D.ax+lna+C23.（）A.B.-C.-D.-224.（）A.B.C.D.arctgx+C25.（）A.0B.1C.+D.不存在A.＞0B.＜0C.=0D.不能确定27.（）A.-B.C.2D.-228.（）A.sint2B.cosx2C.2xcosx2D.sinx229.广义积分（）A.-2B.2C.0D.发散30.下列广义积分中发散的是（）A.B.C.D.31.下列级数中，收敛的是（）A.B.C.D.32.下列级数中，条件收敛的是（）A.B.C.D.33.级数的和是（）A.1B.C.D.34.函数ln（1+x）的展开式ln（1+x）=的收敛区间是（）A.（-1，1）B.[-1，1]C.[-1，1]D.（-1，1]35.函数lnx按（x-1）幂的级数展开式是（）A.B.C.D.36.设z=ln（x+e），则（）A.B.C.D.37.设z=sin（x2-y2）则（）A.-sin（x2-y2）B.sin（x2-y2）C.-4x2sin（x2-y2）D.-4x2sin（x2-y2）+2cos（x2-y2）38.设z=则dz（）A.B.C.D.39.设D：x2+y2，则=（）A.B.4C.D.240.下列函数中为的解的是（）A.x=y3B.x=C.y=x3D.y=二、计算题（一）（共3小题，每小题4分，共12分）41.求42.求不定积分43.求微分方程的通解。
2014年10月全国自考高等数学(一)真题及答案
2004年下半年高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（一） 试题课程代码：0020一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ）A ．y=sin |x|B ．y=3sin 2x+1C ．y=-x 3sin xD ．y=x 2sin x2．下列各函数中，互为反函数的是（ ）A ．y=e x y=e x -B ．y=log 2x, y= log 21xC ．y=tan x, y=cot xD ．y=2x+1, y=21 (x-1) 3．）（n n e 11lim -∞→sin n=（ ） A ．0 B ．1C ．不存在D ．∞4．设f(x)=ln(9-x 2)，则f(x)的连续区间是（ ）A ．（-∞, -3）B ．(3, +∞)C ．[-3, 3]D ．(-3, 3) 5．设f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-21,3310,12x x x x , 则f +′(1)=（ ） A ．2 B ．-2C ．3D ．-36．设y=sin 2x, 则y）（n =（ ） A ．2sin(2x+2πn ) B ．2n sin(2x+2πn ) C ．2n sin(x+2πn ) D ．2sin(2x+2πn )7．设y=ex 1-，则dy=（ ） A ．e x 1-dx B ．e x 1dxC ．-21xe x 1-dx D ．21x e x 1-dx8．=-242)3(dx x x d （ ） A ．1-6x 2 B ．2-36x 2C ．2x-12x 3D ．x-6x 3 9．=-→xe x x sin 1lim 20（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．∞10．函数y=42)1(422+++x x x 的水平渐近线方程是（ ） A ．y=1 B ．y=2C ．y=4D ．不存在11．设⎰+=C x dx x f sec )(，则f(x)=（） A ．tan x B ．tan 2xC ．secx· tan xD ．secx· tan 2 x12．=-⎰dx xx 621（ ） A ．arcsin x 3＋C B ．31arcsin x 3+C C ．3arcsin x 3+C D ．261x -+C13．下列广义积分中，收敛的是（ ）A ．dx x ⎰101 B ．dx x ⎰101 C ．dx x ⎰1021 D ．dx x x ⎰101 14．设⎰=xt e dt e 0，则x=（ ）A ．e+1B ．eC ．ln (e+1)D ．ln (e-1)15．下列级数中条件收敛的是（ ）A ．n n n )32()1(11∑∞=-- B ．∑∞=--11)1(n n nC ．n n n )31()1(11∑∞=-- D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n16．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ ）A ．(-23 , 21) B ．[-23 , 21]C ．[-23 , 21) D ．(-23 , 21]17．设z=ln(x-y 2)，则y z∂∂=（ ）A ．21y x - B ．22y x y--C ． 221y x y --D ．22y x yx --18．函数z=x 2+2xy-y 2-4x+2y-9的驻点是（ ）A ．)23,21(B ．)23,21(-C ．)23,21(- D ．)23,21(--19．⎰⎰≤≤≤≤+1010y x y x dxdy e =（ ）A ．e-1B ．eC ．(e-1)2D ．e 220．设y=y(x)满足微分方程e o y x =-1'，且当x=0时，y=0，则x=-1时，y=（）A ．1-eB ．1+eC ．-eD ．e二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．讨论函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-o x x x x ,10,12在点x=0处的连续性.22．设y=x x+-11，求y′|4=x23．求不定积分 ⎰xdx x x cos sin .24．设z=(ysinx)31，求dz.25．判断级数n n n n )12(1∑∞=+的敛散性. 三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 26．求z=x 4+y 4-4(x-y)+1的极值. 27．计算定积分I=⎰-π03)sin 1(dx x .28．计算二重积分⎰⎰D y dxdy xe 3，其中D ：x≤y≤1，0≤x≤1. 29．求微分方程cosx x x y dxdy 2cos sin +=满足初始条件y|π=x =1的特解. 四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）30．用薄铁皮做成一个容积为V 0的有盖长方匣，其底为正方形，由于下底面无需喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方匣的底面边长为多少时，才能使匣子的造价最低？31．求抛物线y 2=4x 与直线x=1所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积V x 和V y .。
自考大专高等数学00020试题
自考大专高等数学00020试题的回答应基于对课程内容的深入理解，以及对考试要求的细致研究。
以下是一个可能的回答，长度约500-800字：题目一：微分法1. 写出函数y=x^2+2x+3的微分，并求出当x=2时的导数值。
答：dy=(2x+2)dx当x=2时，dy=62. 求函数y=cos(x^2)的导数，并求出当x=π时的导数值。
答：dy=-sin(x^2)当x=π时，dy=-cosπ^2=-1题目二：极限与连续性3. 证明函数f(x)=x^3在点x=0处连续。
答：根据定义，f(x)=lim(h→0)[f(h)-f(0)]/h即lim(h→0)(h^3)/h=lim(h→0)h^2=0因此函数f(x)=x^3在点x=0处连续。
4. 证明函数f(x)=1/x在点x=1处不连续，并说明原因。
答：根据定义，f(x)=lim(h→1)[f(h)-f(1)]/h即lim(h→1)(1/h-1)/h=-∞因此函数f(x)=1/x在点x=1处不连续。
题目三：不等式与函数性质5. 证明对于任意实数a，b，c，不等式a^3+b^3≥ab+bc+ca成立。
答：将不等式变形为a^3-ab-(bc+ca)=(a-b)^3≥0因此不等式成立。
6. 证明函数y=sinx在区间[0,π]上单调递增，且函数值介于-1和1之间。
答：根据正弦函数的性质，可知函数在区间[0,π]上单调递增。
且根据定义域的性质，可知函数值介于-1和1之间。
题目四：积分法7. 求定积分∫(上限为π，下限为0) (sinx)^4 dx的值。
答：根据定积分的性质和三角函数的性质，有∫(上限为π，下限为0) (sinx)^4 dx = (cosπ-cos0) = -3 \sqrt{3} / 6题目五：级数收敛性8. 证明级数∑(n=1,∞)((-1)^n/n^3)是收敛的。
答：根据级数的性质和收敛的定义，可知级数∑(n=1,∞)((-1)^n/n^3)是收敛的。
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全国2004年10月高等教育自学考试
高等数学（一）试题
课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ） A ．y=sin |x| B ．y=3sin 2x+1 C ．y=-x 3sin x
D ．y=x 2sin x 2．下列各函数中，互为反函数的是（ ）
A ．y=e x , y=e -x
B ．y=log 2x, y=2
1log x
C ．y=tan x, y=cot x
D ．y=2x+1, y=
2
1
(x-1) 3．)e (1lim 1n n
-
∞
→sin n=（ ）
A ．0
B ．1
C ．不存在
D ．∞ 4．设f(x)=ln(9-x 2)，则f(x)的连续区间是（ ） A ．（-∞, -3） B ．(3, +∞) C ．[-3, 3]
D ．(-3, 3)
5．设f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-21331012x ,x x ,x , 则f +′(1)=（ ）
A ．2
B ．-2
C ．3
D ．-3 6．设y=sin 2x, 则y (n) =（ ） A ．)22sin(2π
+n x
B ．)2
2sin(2π+n x n C ．)2
sin(2π+n x n
D ．)2
sin(2π+
n x 7．设x
e y 1-
=，则dy=（ ） A ．dx
e
x 1-
B ．dx e x 1
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C ．dx e
x
x 1
2
1-
-
D ．
dx e
x
x 1
2
1-
8．
=-2
423dx )
x x (d （ ）
A ．261x -
B ．2362x -
C ．3122x x -
D ．36x x -
9．=-→x
e x x sin 1
lim
20（ ） A ．2 B ．1 C ．0
D ．∞
10．函数4
2142
2
+++=x x )x (y 的水平渐近线方程是（ ） A ．y=1 B ．y=2 C ．y=4
D ．不存在
11．设
C x dx )x (f +=⎰sec ，则f(x)=（ ）
A ．tan x
B ．tan 2 x
C ．sec x ·tan x
D ．sec x ·tan 2 x
12．
=-⎰
dx x
x 6
21（ ）
A ．arcsin x 3＋C
B ．31
arcsin x 3+C
C ．3arcsin x 3+C
D ．2C x +-61
13．下列广义积分中，收敛的是（ ）
A ．⎰101dx x
B ．⎰
1
01dx x C ．
⎰
1
2
1dx x D ．
⎰
1
1
dx x
x
14．设
e dt e x
t =⎰
，则x =（ ）
A ．e+1
B ．e
C ．ln (e+1)
D ．ln (e-1)
15．下列级数中条件收敛的是（ ）
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A ．
∑∞
=--11
)32()
1(n n n B ．
∑
∞
=--1
1
)1(n n n
C ．
∑∞
=--1
1
)3
1()
1(n n
n D ．
∑
∞
=-+-1
2
12
)1(n n n n
16．幂级数
∑
∞
=++1
1)21(n n
n x 的收敛区间是（ ） A ．)21
23(,-
B ．]2
123[,-
C ．)2
123[,-
D ．]2
1
23(,-
17．设z=ln(x-y 2)，则=∂∂y
z
（ ） A ．2
1y x - B ．2
2y x y -- C ．
2
21y x y
--
D ．
2
2y x y x --
18．函数924222-+--+=y x y xy x z 的驻点是（ ）
A ．)2
321(,
B ．)2321(--,
C ．)2321(-,
D ．)2
321(--
, 19．
=⎰⎰≤≤≤≤+1
010y x y
x dxdy e
（ ）
A ．e-1
B ．e
C ．(e-1)2
D ．e 2
20．设y=y(x)满足微分方程01=-'y e x ，且当x=0时，y=0，则x=-1时，y=（ ） A ．1-e B ．1+e C ．-e
D ．e
二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=0
10
12
x ,x x ,x y 在点x=0处的连续性.
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22．设x
x y +-=
11，求y ′|x=4
23．求不定积分 ⎰xdx x x cos sin .
24．设31
)sin (x y z =
，求
dz.
25．判断级数
∑
∞
=+1
)1
2(
n n
n n 的敛散性. 三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 26．求1)(444+--+=y x y x z 的极值.
27．计算定积分⎰
π
-=
03)sin 1(dx x I .
28．计算二重积分⎰⎰D
y dxdy xe
3
，其中D ：x ≤y ≤1，0≤x ≤1.
29．求微分方程x x y dx
dy
x
2cos sin cos +=满足初始条件y π
=x =1的特解.
四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
30．用薄铁皮做成一个容积为V 0的有盖长方匣，其底为正方形，由于下底面无需喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方匣的底面边长为多少时，才能使匣子的造价最低？
31．求抛物线x y 42=与直线x=1所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积V x 和V y .。