陕西省安康市紫阳中学中考指导课件 第5讲 二次根式及其运算
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中考复习浙教版数学课件：第5讲 二次根式及其运算(共34张PPT)
.
自主演练
1. 二次根式 a－2中字母 a 的取值范围是 a≥2
解
由二次根式中的被开方数是非负数，可得出 a－2≥0，即 a≥2.
解
答案
2. 如果 2a－12＝1－2a，则( B ) 1 A. a＜2 1 C. a＞2
解
1 B. a≤2 1 D. a≥2
∵ 2a－12＝1－2a，
1 ∴1－2a≥0，解得：a≤2.
6－3m ＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6，
∴m－3＝0 且 n－5＝0， ∴m＝3，n＝5， ∴m－n＝3－5＝－2.
解
答案
x－2＋ 2－x (3)已知 y＝ ＋5，求 yx 的值． 2017x＋2
解
∵x－2≥0,2－x≥0，∴x－2＝0，
∴x＝2，y＝5， ∴yx＝52＝25.
解
∵x＝1－ 2，y＝1＋ 2，
∴x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝－2 2， xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1， ∴x2＋y2－xy－2x＋2y ＝(x－y) －2(x－y)＋xy
2
＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋4 2.
解
课堂 课堂
题型剖析 题型剖析
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题型一
使分式有意义的条件 二次根式的非负性
第 一 单 元
数 与 式
第5讲 二次根式及其运算
内容 索引
课前
基础诊断
回归教材，夯实基础
课堂
题型剖析
分类讲练，以例求法
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课前
基础诊断
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知识梳理
1. 二次根式的有关概念 (1)二次根式： 表示
算术平方根
的代数式叫做二次根式． 二次根式
自主演练
1. 二次根式 a－2中字母 a 的取值范围是 a≥2
解
由二次根式中的被开方数是非负数，可得出 a－2≥0，即 a≥2.
解
答案
2. 如果 2a－12＝1－2a，则( B ) 1 A. a＜2 1 C. a＞2
解
1 B. a≤2 1 D. a≥2
∵ 2a－12＝1－2a，
1 ∴1－2a≥0，解得：a≤2.
6－3m ＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6，
∴m－3＝0 且 n－5＝0， ∴m＝3，n＝5， ∴m－n＝3－5＝－2.
解
答案
x－2＋ 2－x (3)已知 y＝ ＋5，求 yx 的值． 2017x＋2
解
∵x－2≥0,2－x≥0，∴x－2＝0，
∴x＝2，y＝5， ∴yx＝52＝25.
解
∵x＝1－ 2，y＝1＋ 2，
∴x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝－2 2， xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1， ∴x2＋y2－xy－2x＋2y ＝(x－y) －2(x－y)＋xy
2
＝(－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋4 2.
解
课堂 课堂
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题型一
使分式有意义的条件 二次根式的非负性
第 一 单 元
数 与 式
第5讲 二次根式及其运算
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知识梳理
1. 二次根式的有关概念 (1)二次根式： 表示
算术平方根
的代数式叫做二次根式． 二次根式
二次根式概念PPT课件
第31页/共38页
练习一
例1、把下列各式化成最简二次根式：
（1） 32 4 2
（2）
2 a3b3 2ab ab
例2.计算：
.
1.
14
3 3 2
1 2
1 4
8 3
2
3
2.
a 1 a
4b
a 2
b
1
b
第32页/共38页
上一页
例题选讲二
（1）
例3 把下列各式化成最简二次根式：
；4（21）1 2
（2） 25m4 225m2 5m m2 9
（3） 0.04 0.01
5 10
（4） a 1
a1ຫໍສະໝຸດ a1a3 2a2 a
第36页/共38页
a 上a一2 页
第37页/共38页
感谢您的观看！
第38页/共38页
(1)
(2)
(a为任何实数)
(1)
(2)
(a=1)
第11页/共38页
已知 有意义,那么a_____
第12页/共38页
?
2x+6≥0
∵ -2x＞0
∴
x≥-3
x＜0
第13页/共38页
?
2-X≥0 X-2≥0
x ≤2 x≥2
第14页/共38页
∴x=2,
y=5
?
第15页/共38页
第16页/共38页
x
y x3
解（1）
4 11 4 2
34
2
3 4 2
3 2
2 2
46 2
2
6
（2）
x
y x3
x y x3
x y xx
练习一
例1、把下列各式化成最简二次根式：
（1） 32 4 2
（2）
2 a3b3 2ab ab
例2.计算：
.
1.
14
3 3 2
1 2
1 4
8 3
2
3
2.
a 1 a
4b
a 2
b
1
b
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例题选讲二
（1）
例3 把下列各式化成最简二次根式：
；4（21）1 2
（2） 25m4 225m2 5m m2 9
（3） 0.04 0.01
5 10
（4） a 1
a1ຫໍສະໝຸດ a1a3 2a2 a
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a 上a一2 页
第37页/共38页
感谢您的观看！
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(1)
(2)
(a为任何实数)
(1)
(2)
(a=1)
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已知 有意义,那么a_____
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?
2x+6≥0
∵ -2x＞0
∴
x≥-3
x＜0
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?
2-X≥0 X-2≥0
x ≤2 x≥2
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∴x=2,
y=5
?
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x
y x3
解（1）
4 11 4 2
34
2
3 4 2
3 2
2 2
46 2
2
6
（2）
x
y x3
x y x3
x y xx
陕西省安康市紫阳县紫阳中学八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除(第1课时)教案 (新版)新人教版
16.2 二次根式的乘除（第1课时）教学内容a≥0，b≥0），a≥0，b≥0）及其运用。
教学目标知识技能1、会进行简单的二次根式的乘法运算。
2、能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算。
情感态度培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。
重难点、关键重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算。
难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。
a≥0，b≥0）并运用它进行计a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简。
教学准备教师准备：制作课件，精选习题。
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容。
教学过程一、复习引入根据算术平方根的意义完成下列各题。
1、填空（1；（2=_______。
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空。
2、利用计算器计算填空（1（2（3（4，【活动方略】教师给出题目。
学生根据所学知识回答问题。
【设计意图】请学生自己计算出结果,并力争独立发现规律。
二、探索新知【提出问题】计算的结果有什么规律？你能用含字母的式子表示吗？【活动方略】教师提出问题学生总结出二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质。
一般地，对二次根式的乘法法则为反过来: 积的算术平方根的性质为【设计意图】．（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）注意：a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。
在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数。
三、X例点击例1 化简： ( 1 ) 53⨯ ( 2 ) 2731⨯ 例2 例2 化简： ( 1 ) 8116⨯ ( 2 ) 324b a 例3： 计算：（1） 714⨯ （2）10253⨯（3） •x 3xy 31 【活动方略】教师将例1、例2、例3给出，组织学生讨论。
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，能用二次根式的乘法法则进行具体计算，能用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简。
四、反馈练习课本P7 练习1，2，31、化简:（1）612⨯； （2）15432⨯； （3）ab a 216⋅。
二次根式及其运算ppt课件
15
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
第5章 二次根式
知识点 最简二次根式
知识点 最简二次根式
二次根式运算的结果必须化成最简二次根式.
第5章 二次根式
5.2 二次根式的乘法和除法
知识点 二次根式的乘法
某小区物业为改善小区居民的生活环境,在小
区的中心广场处建有一长方形水池,其长为√160π, 宽为√40π .为美化环境,给小区增加绿色,物业决
定把这个长方形水池改建成一个面积相等的圆形花 坛,求改建的圆形花坛的半径需要进行二次根式的 乘法运算.
知识点 商的算术平方根的性质
现有一张边长为5 cm的正方形彩 纸,欲从中剪下一个面积为其一半的正方 形,要求剪下的正方形的边长,则需要利 用商的算术平方根的性质进行计算.
知识点 二次根式的除法
河北省非物质文化遗产项目无极剪纸的传承人 牛世民,在巡展现场手把手教市民剪纸的技艺.张萌当 时也在现场,她用一个长方形彩纸和一个正方形彩纸
各剪了一个图案,若长方形彩纸的长为4√3cm,宽为 2√6cm,且长方形彩纸的面积是正方形彩纸的√10
倍,求正方形彩纸的面积需要进行二次根式的乘除运 算.
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
知识点 二次根式的加法和减法
如图所示,某学校计划在校园内修建一个正方形 的花坛,在花坛中央还要修一个圆形的小喷水池.设 计时需要考虑有关的周长,如果小喷水池的面积为8 平方米,花坛的绿化面积为10平方米,要求花坛的外 周与小喷水池的周长一共是多少米,则需要进行二次 根式的加减法运算.
知识点 二次根式的混合运算
佛山陶瓷艺术节在石湾南风古灶举办,陶艺节有 陶艺空间展览、制陶等超过30项活动让市民享受陶 瓷文化盛会.在制陶这项活动中,某市民制作了一个
圆柱形花瓶,该花瓶的底面的半径r=2√6cm,高h比 半径多√6 cm,要求该花瓶的体积,则需要进行二次
中考数学复习考点研究课件：5.第5课时 二次根式(PPT课件)
分母中不含根号
二次根式的估值ຫໍສະໝຸດ 非负性( a )2 a(a 0)
a2 | a | a
(a≥0)
③ -a (a<0)
ab ④ a· b .(a≥0,b≥0)
a b
⑤
a b
.(a≥0,b>0)
加减运算：先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式
乘除运算
a· b ⑥ ab (a≥0,b≥0) a a （a≥0,b>0） bb
2
然数之间
（B ）
A. 5和6 C. 7和8
B. 6和7 D. 8和9
解决根式估值类问题有两种方法： 1．记住常见的无理数的近似值，如 2≈1.414， 3 ≈1.732， 5≈2.236等； 2．估计无理数在哪两个整数之间，通常所采用的方法 详见“考点精讲”．
1、先对根式平方 2、找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数 3、对以上两个整数平方 4、确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间
常见的非负数：| a | 、a2、a (a 0) ，其中a 为实数
常见的非负式： | A | 、B2、C ，其中A、B、C 均为整式，
即若 | A | B2 C 0, | A |≥ 0, B2≥ 0, C≥ 0, A 0.B 0,C 0
第一章 数与式
第5课时 二次根式
考点精讲
二次
概念：一般地，式子 a（a≥0）叫做二次根式，
a叫做被开方数
根式 二次根式有意义的条件：被开方数为① 非负数 .
二
的概
二次根式值为零的条件：被开方数为：② 0 .
次
念及
被开方数中不含能开得尽方
根 式
性质
初三复习5-二次根式课件
初三复习5-二次根式 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 易错点与难点解析
01
二次根式的定义与 性质
定义
总结词
明确二次根式的定义
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中"√"表示平方根运算，a是非 负实数。
3
解决最优化问题
利用二次根式找到使某个函数取得最大值或最小 值的x值，解决最优化问题。
在几何图形中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，可以利用二 次根式表示和证明。
圆的性质
圆的周长和面积公式中的π可以用 二次根式表示，从而利用二次根 式研究圆的性质。
在代数式变形中的应用
根式的无理数幂运算
对根式进行无理数幂运算，利用幂的性质和运算法则进行化简。
01
二次根式的应用
解决实际问题
1 2
计算物体的高度或长度
通过已知的物体高度和影子的长度，利用相似三 角形的性质计算其他物体的高度或长度。
计算面积和体积
利用二次根式计算已知半径的圆的面积和球的体 积，以及已知三边长的三角形的面积。
根式除法
将被除数和除数都化为根 式，进行除法运算，得到 新的二次根式。
乘除混合运算
在乘除混合运算中，应先 进行乘法运算，再进行除 法运算。
混合运算
根式与代数式的混合运算
将根式与代数式进行混合运算，注意运算次序和化简。
根式与方程的混合运算
在解方程时，需要进行根式与方程的混合运算，注意运算次序根式混合运算时，容易出错，主要是运算顺序出错。
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的定义与性质 • 二次根式的化简 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 易错点与难点解析
01
二次根式的定义与 性质
定义
总结词
明确二次根式的定义
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中"√"表示平方根运算，a是非 负实数。
3
解决最优化问题
利用二次根式找到使某个函数取得最大值或最小 值的x值，解决最优化问题。
在几何图形中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，可以利用二 次根式表示和证明。
圆的性质
圆的周长和面积公式中的π可以用 二次根式表示，从而利用二次根 式研究圆的性质。
在代数式变形中的应用
根式的无理数幂运算
对根式进行无理数幂运算，利用幂的性质和运算法则进行化简。
01
二次根式的应用
解决实际问题
1 2
计算物体的高度或长度
通过已知的物体高度和影子的长度，利用相似三 角形的性质计算其他物体的高度或长度。
计算面积和体积
利用二次根式计算已知半径的圆的面积和球的体 积，以及已知三边长的三角形的面积。
根式除法
将被除数和除数都化为根 式，进行除法运算，得到 新的二次根式。
乘除混合运算
在乘除混合运算中，应先 进行乘法运算，再进行除 法运算。
混合运算
根式与代数式的混合运算
将根式与代数式进行混合运算，注意运算次序和化简。
根式与方程的混合运算
在解方程时，需要进行根式与方程的混合运算，注意运算次序根式混合运算时，容易出错，主要是运算顺序出错。
第5课 二次根式及其运算
A. 9
B. 7
C. 20
1 D. 3
首
解析 判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法
页
是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方
数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开
方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解
后再观察．
第5课 二次根式及其运算
基础自测
2．(2013·上海)下列式子中，属于最简二次根式的是( B )
首
页
(1)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
(2)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做
题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解．
第5课 二次根式及其运算
助学微博
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定a的大小，应注意利用
等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小
时就要分类讨论；
( C)
A．4 3－3 3＝1
B. 2＋ 3＝ 5
首C．2 12＝ 2来自D．3＋2 2＝5 2
页 A．4 3－3 3＝ 3，原式计算错误，故本选项错误；
B. 2与 3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
1 C．2 2＝ 2，计算正确，故本选项正确；
D．3＋2 2≠5 2，原式计算错误，故本选项错误．故选C.
bbaa＝＝________ab__(__a__≥__ab__0(__，a__≥__b__>0__0，__)__b．．>0)
第5课 二次根式及其运算
助学微博
“双重非负性”
算术平方根 a 具有双重非负性，一是被开方数a必须是 非负数，即a≥0；二是算术平方根的值是非负数，即 a ≥0.
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解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b ＝ 10－3.∴a2 －b2＝32 －( 10－3)2 ＝9－(10－6 10 ＋9) ＝－10＋6 10
二次根式运算中的技巧
2 2 4 (1) x 2 3 y 2 3 x xy y 【例 】 已知 ＝ － ， ＝ ＋ ，求 ＋ ＋
的值；
2 2 (1) x xy y 【点评】 ＋ ＋ 是一个对称式，可先求出基本 2 2 2 4 1 ( ) x y xy x xy y x y 对称式 ＋ ＝ ， ＝ ， 然后将 ＋ ＋ 转化为 ＋
12 12 －xy，整体代入即可；(2)注意到(x－x) ＝(x＋x) －4，可 12 1 得(x－x) ＝5，x－x＝± 5.
影响求解过程的附加条件和隐含条件．要特别注意，问 题中的条件没有主次之分，都必须认真对待．
求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4) 巧用换元；(5)巧用倒数．
二次根式概念与性质
2k－1 【例 1】 (1)等式 ＝ k－3 2k－1 成立，则实数 k 的 k－3
【点评】
(1)二次根式混合运算，把若干个知
识点综合在一起，计算时要认仔细；(2)可以
运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．
3．(1)(2014· 荆门)计算： 24×
1 3－4×
1 0 (1 2) . × － 8
3 2 解：原式＝2 6× －4× ×1＝2 2－ 2＝ 2 3 4
(2)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
范围是( D )
1 A．k＞3 或 k＜2 1 C．k≥2 B．0＜k＜3
D．k＞3
(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长 ，试化简：
2 2 2 a b c a b c b c a （ ＋ ＋ ）＋ （ － － ） ＋ （ － － ） ＋
（ c － a－ b ）
2
.
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋
次根式．最简二次根式，需满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
“双重非负性”
算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须
是非负数，即 a≥0；二是算术平方根 a的值是非负数， 即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面： (1)某些二次根式的题目中隐含着 “a≥0”这个条件 ，做
数
学
第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
要点梳理
1．二次根式的概念 a(a≥0) 式子 2．二次根式的性质 (1)( a)2＝
(2) a2＝|a|＝
叫做二次根式．
a(a≥0)
a（a＞0） ； 0（a＝0） ； －a（a＜0） Ｗ.
。
要点梳理
3．二次根式的运算
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；
题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零．
两个防范
(1)求 a 时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等
2 式 a ＝|a|， 当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时
2
就要分类讨论； (2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探
求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接
(2)二次根式的乘法： a· b＝
ab(a≥0，b≥0)
；
(3)二次根式乘法的反用： ab＝ a· b(a≥0，b≥0) ； a (a≥0，b＞0) a b (4)二次根式的除法： ＝ ； b a (a≥0，b＞0) a b (5)二次根式除法的反用： ＝ ． b
要点梳理 4．最简二次根式
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二
解： (1)∵x＝2－ 3， y＝2＋ 3， x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3) ＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2 －xy＝42－1＝15 1 1 (2)已知 x＋ ＝－3， 求 x－x的值． x 12 12 1 2 (2)∵(x－ ) ＝(x＋ ) －4＝(－3) －4＝5，∴x－ ＝± 5 x x x
2．(1)(2012· 安顺 )计算 27的结果是 ( D ) A．± 3 3 B．3 3 C．± 3 D． 3
3
(2)(2012· 福州 ) 若 20n 是整数 ， 则正整数 n 的最小值为
5 ． ____
(3)(2014· ____ 抚州 )计算： 27－ 3＝2 3 ．
二次根式混合运算
【例 3】 计算： (1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；
4．(1)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的 值为( C ) A．9 B．±3 C．3 D．5
1 x－4＋ 4－x y (2)(2014· 德州)若 y＝ －2，则(x＋y) ＝____ 4 ； 2
(3)已知|6－3m|＋(n－5)2＝3m－6－ （m－3）n2，则 m－n＝
；9 的算术平方根是
-4 是－64 的立方根． 3 ；____ ____
(2)(2014· 达州)二次根式 －2x＋4有意义，则实数 x 的取 值范围是( D )
A．x≥－2
C．x＜2
B．x＞－2
D．x≤2
(3)如果 （2a－1） ＝1－2a，则( B ) 1 A．a＜2 1 C．a＞2 1 B．a≤2 1 D．a≥2
|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋
(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方
数大于或等于 0；(2)注意二次根式性质( a) ＝a(a≥0)， a ＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
2
2
1．(1)(－ 2)2 的平方根是 ± 2
(3)(2012· 南通)计算： 48÷ 3－
1 2× 12＋ 24.
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】
b≥0)，
(1)二次根式化简 ，依据 ab＝ a · b (a≥0 ， a a ( 0 0) b＝ b a≥ ，b＞ ，前者将被开方数分解，后
者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平 方数，即可将其移到根号外； (2)二次根式加减，即化简 之后合并同类二次根式；(3)二次根式乘除结果要化为最 简二次根式．
2
二次根式的运算
【例 2】 各式：① (1)(2014· 济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面
a a b ＝ b， ②
a b a · ＝1，③ ab÷ ＝－ b， b a b
其中正确的是 ( B )
A．①②
C．①③
B．②③
D ．①②③
(2)计算： 24－
3 2＋
2 3－2
1 6.
1 1 1 3 解：原式＝2 6－ 6＋ 6－ 6＝ 6 2 3 3 2
解：(1)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8 ＋4 2－1＝8＋4 2
(2)( 10－3)2012· ( 10＋3)2013.
原式＝( 10－3)2012×( 10＋3)2012×( 10＋3)＝ [( 10－3)( 10＋3)]2012×( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
－2． ____
试题 a2－1 a2－2a＋1 已知 a＝2－ 3，求 － 的值． a＋1 a－1 错解 （a＋1）（a－1） （a－1）2 解：原式＝ － ＝ （a＋1） a－1 a－1 a－1－ ＝a－2. a－1 ∴当 a＝2－ 3时， 原式＝2－ 3－2＝－ 3.
剖析 (1) 题目中的隐含条件为 a ＝ 2 － 3 ＜ 1 ， 所以 （a－1）2＝|a－1|＝1－a，而不是 a－1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一， 上题中的隐含条件 a＝2－ 3＜1 是进行二次根式化简的依据，应 注重分析能力的培养，提高解题的正确性． 正解 解：∵a＝2－ 3＜1，∴a－1＜0. ∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a. （a＋1）（a－1） 1－a ∴原式＝ － ＝a－1＋1＝a. （a＋1） a－1 ∴当 a＝2－ 3时，原式＝2－ 3－1＋1＝2－ 3. a2－2a＋1＝
二次根式运算中的技巧
2 2 4 (1) x 2 3 y 2 3 x xy y 【例 】 已知 ＝ － ， ＝ ＋ ，求 ＋ ＋
的值；
2 2 (1) x xy y 【点评】 ＋ ＋ 是一个对称式，可先求出基本 2 2 2 4 1 ( ) x y xy x xy y x y 对称式 ＋ ＝ ， ＝ ， 然后将 ＋ ＋ 转化为 ＋
12 12 －xy，整体代入即可；(2)注意到(x－x) ＝(x＋x) －4，可 12 1 得(x－x) ＝5，x－x＝± 5.
影响求解过程的附加条件和隐含条件．要特别注意，问 题中的条件没有主次之分，都必须认真对待．
求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4) 巧用换元；(5)巧用倒数．
二次根式概念与性质
2k－1 【例 1】 (1)等式 ＝ k－3 2k－1 成立，则实数 k 的 k－3
【点评】
(1)二次根式混合运算，把若干个知
识点综合在一起，计算时要认仔细；(2)可以
运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．
3．(1)(2014· 荆门)计算： 24×
1 3－4×
1 0 (1 2) . × － 8
3 2 解：原式＝2 6× －4× ×1＝2 2－ 2＝ 2 3 4
(2)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
范围是( D )
1 A．k＞3 或 k＜2 1 C．k≥2 B．0＜k＜3
D．k＞3
(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长 ，试化简：
2 2 2 a b c a b c b c a （ ＋ ＋ ）＋ （ － － ） ＋ （ － － ） ＋
（ c － a－ b ）
2
.
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋
次根式．最简二次根式，需满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
“双重非负性”
算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须
是非负数，即 a≥0；二是算术平方根 a的值是非负数， 即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面： (1)某些二次根式的题目中隐含着 “a≥0”这个条件 ，做
数
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第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
要点梳理
1．二次根式的概念 a(a≥0) 式子 2．二次根式的性质 (1)( a)2＝
(2) a2＝|a|＝
叫做二次根式．
a(a≥0)
a（a＞0） ； 0（a＝0） ； －a（a＜0） Ｗ.
。
要点梳理
3．二次根式的运算
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；
题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零．
两个防范
(1)求 a 时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等
2 式 a ＝|a|， 当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时
2
就要分类讨论； (2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探
求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接
(2)二次根式的乘法： a· b＝
ab(a≥0，b≥0)
；
(3)二次根式乘法的反用： ab＝ a· b(a≥0，b≥0) ； a (a≥0，b＞0) a b (4)二次根式的除法： ＝ ； b a (a≥0，b＞0) a b (5)二次根式除法的反用： ＝ ． b
要点梳理 4．最简二次根式
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二
解： (1)∵x＝2－ 3， y＝2＋ 3， x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3) ＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2 －xy＝42－1＝15 1 1 (2)已知 x＋ ＝－3， 求 x－x的值． x 12 12 1 2 (2)∵(x－ ) ＝(x＋ ) －4＝(－3) －4＝5，∴x－ ＝± 5 x x x
2．(1)(2012· 安顺 )计算 27的结果是 ( D ) A．± 3 3 B．3 3 C．± 3 D． 3
3
(2)(2012· 福州 ) 若 20n 是整数 ， 则正整数 n 的最小值为
5 ． ____
(3)(2014· ____ 抚州 )计算： 27－ 3＝2 3 ．
二次根式混合运算
【例 3】 计算： (1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；
4．(1)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的 值为( C ) A．9 B．±3 C．3 D．5
1 x－4＋ 4－x y (2)(2014· 德州)若 y＝ －2，则(x＋y) ＝____ 4 ； 2
(3)已知|6－3m|＋(n－5)2＝3m－6－ （m－3）n2，则 m－n＝
；9 的算术平方根是
-4 是－64 的立方根． 3 ；____ ____
(2)(2014· 达州)二次根式 －2x＋4有意义，则实数 x 的取 值范围是( D )
A．x≥－2
C．x＜2
B．x＞－2
D．x≤2
(3)如果 （2a－1） ＝1－2a，则( B ) 1 A．a＜2 1 C．a＞2 1 B．a≤2 1 D．a≥2
|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋
(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方
数大于或等于 0；(2)注意二次根式性质( a) ＝a(a≥0)， a ＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
2
2
1．(1)(－ 2)2 的平方根是 ± 2
(3)(2012· 南通)计算： 48÷ 3－
1 2× 12＋ 24.
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】
b≥0)，
(1)二次根式化简 ，依据 ab＝ a · b (a≥0 ， a a ( 0 0) b＝ b a≥ ，b＞ ，前者将被开方数分解，后
者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平 方数，即可将其移到根号外； (2)二次根式加减，即化简 之后合并同类二次根式；(3)二次根式乘除结果要化为最 简二次根式．
2
二次根式的运算
【例 2】 各式：① (1)(2014· 济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面
a a b ＝ b， ②
a b a · ＝1，③ ab÷ ＝－ b， b a b
其中正确的是 ( B )
A．①②
C．①③
B．②③
D ．①②③
(2)计算： 24－
3 2＋
2 3－2
1 6.
1 1 1 3 解：原式＝2 6－ 6＋ 6－ 6＝ 6 2 3 3 2
解：(1)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8 ＋4 2－1＝8＋4 2
(2)( 10－3)2012· ( 10＋3)2013.
原式＝( 10－3)2012×( 10＋3)2012×( 10＋3)＝ [( 10－3)( 10＋3)]2012×( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
－2． ____
试题 a2－1 a2－2a＋1 已知 a＝2－ 3，求 － 的值． a＋1 a－1 错解 （a＋1）（a－1） （a－1）2 解：原式＝ － ＝ （a＋1） a－1 a－1 a－1－ ＝a－2. a－1 ∴当 a＝2－ 3时， 原式＝2－ 3－2＝－ 3.
剖析 (1) 题目中的隐含条件为 a ＝ 2 － 3 ＜ 1 ， 所以 （a－1）2＝|a－1|＝1－a，而不是 a－1； (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一， 上题中的隐含条件 a＝2－ 3＜1 是进行二次根式化简的依据，应 注重分析能力的培养，提高解题的正确性． 正解 解：∵a＝2－ 3＜1，∴a－1＜0. ∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2＝|a－1|＝1－a. （a＋1）（a－1） 1－a ∴原式＝ － ＝a－1＋1＝a. （a＋1） a－1 ∴当 a＝2－ 3时，原式＝2－ 3－1＋1＝2－ 3. a2－2a＋1＝