纠错码 (1)

g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-ar)， ai≠aj，ai∈GF(qm) 每一码多项式必以a1,a2,…,ar为根。则 C(ai)=cn-1ain-1+cn-2ain-2+…+c1ai+c0=0
a a ... n−1 ar
n−1 1 n−1 2
... a1 ... a2 ... ... ... ar
h0 h1 0 h0 H = M M 0 L L hk−1 hk 0 h1 hk−1 hk L 0 0 L 0 M M hk−1 hk (n−k)×n
M 0
M h0
M h1
M M L hk−2
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循环码是模x 的剩余类线性结合代数中的一个 循环码是模 n-1的剩余类线性结合代数中的一个 理想。 理想。
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问题二 如何从多项式剩余类环中 寻找理想？ 寻找理想？
由于 1、多项式剩余类环中任何一个理想都是主理 、 想——主理想中的所有元素可由某一个元素的 主理想中的所有元素可由某一个元素的 倍式构成 倍式构成 2、在主理想的所有元素中，至少可找到一个 、在主理想的所有元素中， 次数最低的首一多项式g(x),即生成多项式 次数最低的首一多项式 即 定义：生成多项式g(x)是模 n-1剩余类代数中， 是模x 剩余类代数中 剩余类代数中， 定义：生成多项式 是模 一个理想的次数最低的非零首一多项式， 一个理想的次数最低的非零首一多项式，它是 理想或循环码的生成元。 理想或循环码的生成元。
c a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + L + a 0
= ca n −1 x n −1 + ca n − 2 x n − 2 + L + ca 0 , c ∈ GF ( p )
(
)
则模F(x)的剩余类构成一个 维线性空间，定义为剩余类 的剩余类构成一个n维线性空间 则模 的剩余类构成一个 维线性空间， 线性结合代数。 线性结合代数。
循环码的编码原理(2)
可选择k个线性无关的信息组 可选择 个线性无关的信息组 (1,0,0,…,0) xk-1， (0,1,0,0,…0) xk-2, …(0,0,0,…,0,1) 1
r1 (x) = x x
k −1 n−k
=x
n−1
mod( (x)) g
mod( g ( x))
mod( g ( x))
Examples GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 试求一个[7,4]循环码。
g(x)、 xg(x)、x2 g(x)、 x3g(x)、 、 、 、 、
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三、循环码的生成矩阵和校验矩 阵
二、生成多项式和校验多项式
两个定理
定理1:GF(q)(q为素数或素数的幂 上的 为素数或素数的幂)上的 定理 为素数或素数的幂 上的[n,k]循环 循环 码中，存在唯一的n-k次首一多项式 次首一多项式g(x)，每一个 码中，存在唯一的 次首一多项式 ， 码多项式C(x)必是 必是g(x)的倍式，每一个小于等于 的倍式， 码多项式 必是 的倍式 (n-1)次的 次的g(x)的倍式一定是码多项式 次的 的倍式一定是码多项式
两个结论
结论1:找一个[n,k]循环码，即是找一个n-k次首一多 项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。
结论2:若C(x)是一个码多项式，则 g(x) C(x) 是一个码多项式， 结论 若 是一个码多项式 必是一个码多项式 反之， 反之，若 g (x ) C (x ) ，则C(x)必是一个码多项式
= (a n −1 , a n − 2 , L , a 0 ) ∈ V n , k
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问题一 如何寻找k维循环子空间？ 如何设计[n,k]循环码？
—— 利用多项式和有限域的概念
注： 1、GF(p)上的 维向量与 上的n维向量与 、 上的 维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对 上的多项式之间有一一对 应的关系
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第五章 循环码
要求掌握的内容
根据多项式会写循环码的生成矩阵和校验矩阵 会写循环码生成和校验矩阵的系统形式 会画循环码的编码电路 由生成多项式的根定义循环码
第一节 循环码
定义 循环码的生成多项式和校验多项式 循环码的生成矩阵和校验矩阵 循环码的系统码形式
g0 0 L 0 gn−k gn−k−1 L g1 g1 g0 0 L 0 0 gn−k gn−k−1 G= M M M M M M M M M 0 L 0 gn−k gn−k−1 L g2 g1 g0 k×n
h * ( x) = h0 x k + h1 x k −1 + L + hk x n − k −1 h * (x ), x n − k − 2 h * (x ), L , h * (x )
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问题三 如何寻找生成多项式g(x)？ 如何寻找生成多项式 ？
循环码
模多项式x 剩余类线性结合代数中的理想 模多项式 n-1剩余类线性结合代数中的理想
生成多项式
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x n − 1 = g (x )h(x )
g(x) = gn−k x
n−k
+ gn−k−1x
n−k −1
+ L+ g0
h(x) = hk x + hk −1 x
k
k −1
+ L+ h0
g(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵 决定生成矩阵， 决定生成矩阵 决定校验矩阵
x k −1 g (x ), x k − 2 g (x ), L , g (x )
两个定理
定理2:GF(q)(q为素数或素数的幂 上[n,k]循环码的 为素数或素数的幂)上 定理 为素数或素数的幂 循环码的 次因式： 生成多项式g(x)一定是 n-1的n-k次因式： xn-1= 一定是x 的 生成多项式 一定是 次因式 g(x) h(x)。 。 反之， 次多项式， 能被g(x)整除， 整除， 反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被 为 次多项式 能被 整除 一定能生成一个[n,k]循环码 则g(x)一定能生成一个 一定能生成一个 循环码
四、循环码的系统码
—— 模g(x)的除法问题
C (x ) = m(x )x
n−k
+ r (x ) ≡ 0
mod(g (x ))
(x) = C(x) + m(x)x n−k ≡ m(x)x n−k −r
mod(g(x))
由于生成矩阵G中的 行要求线性无关 由于生成矩阵 中的k行要求线性无关，因此 中的 行要求线性无关， 在求余式时，可选择k个线性无关的信息组 在求余式时，可选择 个线性无关的信息组 (1,0,0,…,0) xk-1， (0,1,0,0,…0) xk-2, …(0,0,0,…,0,1) 1
r1 ( x) = x k −1 x n−k = x n−1
r2 ( x) = x k − 2 x n − k = x n − 2 rk ( x) = x 0 x n − k = x n − k
mod(g ( x))
mod( g ( x)) mod( g ( x))
1 0 L 0 − ~ (x ) r1 ~ ( x ) 0 1 L 0 − r2 G = M M M M M 0 0 L 1 − ~ ( x ) rk
r2 ( x) = x k − 2 x n − k = x n − 2
rk ( x) = x 0 x n − k = x n − k
1 0 L 0 − ~ (x ) r1 ~ ( x ) 0 1 L 0 − r2 G = M M M M M 0 0 L 1 − ~ ( x ) rk
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一、循环码定义
定义1： 是一个[n.k]线性分组码，C1是其 线性分组码， 定义 ：设CH是一个 线性分组码 中的一个码字， 的左(右 循环移位得到的 循环移位得到的n 中的一个码字，若C1的左 右)循环移位得到的 维向量也是C 中的一个码字，则称C 是循环码。 维向量也是 H中的一个码字，则称 H是循环码。 维空间的一个k维子空间 定义2： 维空间的一个 维子空间， 定义 ：设V n , k ∈ V n是n维空间的一个 维子空间， 若对任一v 恒有 v 1 = (a n − 2 , a n −1 , L , a 0 , a n −1 ) ∈ V n , k 则称V 循环子空间或 则称 n,k为循环子空间或循环码
cn−1 1 cn−2 1 T M = HC = 0 ... c1 1 c 0
~ (x ) 表示r (x)的系数 ri i
H = −ห้องสมุดไป่ตู้P I n−k
T
[
]
I n−k
~ ( x) T , ~ ( x) T , L ~ ( x) T = r1 r2 rk