复合函数的性质探究
函数的复合与反函数的性质分析
函数的复合与反函数的性质分析函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个集合之间的对应关系。
而函数的复合和反函数是函数学中常见的操作和性质。
本文将对函数的复合和反函数的性质进行分析。
一、函数的复合函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
函数的复合可以推广到多个函数之间，形成一个函数链。
设有函数 f(x) 和 g(x)，其中 f 以 g 的输出为输入，记作 f(g(x))。
在复合函数中，g(x) 先作用于 x，然后再将结果作为输入传递给 f(x)。
这样，函数的复合可以用数学表示为：(f ∘ g)(x) = f(g(x))。
函数复合的性质:1. 结合律：对于函数 f(x), g(x), h(x)，有 (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)，即函数复合满足结合律。
2. 存在单位元：对于任意函数 f(x)，总有 f(x) ∘ 1(x) = f(x)，即单位函数 1(x) 满足函数复合的单位元性质。
3. 函数复合不满足交换律：一般而言，函数复合的结果与复合的顺序有关，即f(g(x)) ≠ g(f(x))。
函数复合的示例：设有函数 f(x) = x^2 和 g(x) = 2x，则 f(g(x)) = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2。
这个例子展示了函数复合的过程和结果。
二、反函数的性质反函数是指满足函数 f 的逆映射的函数，即将函数的输入和输出互换位置的函数。
若函数 f 的逆映射存在，则称 f 是可逆的。
设函数 f 的定义域为 X，值域为 Y。
若存在函数 g，定义域为 Y，值域为 X，且满足 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x，则 g 称为函数 f 的反函数，记作 g = f^(-1)。
反函数的性质：1. 反函数的定义域和值域互换：设函数 f 的定义域为 X，值域为 Y，则反函数 g 的定义域为 Y，值域为 X。
2. 函数与反函数的复合：函数 f 与其反函数 g 的复合为单位函数，即 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x。
函数的复合深入理解函数的复合及其应用
函数的复合深入理解函数的复合及其应用函数的复合——深入理解函数的复合及其应用函数的复合是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题以及数学推导过程中起到了重要的作用。
本文将深入探讨函数的复合及其应用，并通过具体的例子来说明其作用和运用方法。
一、函数的复合概念函数的复合可以理解为将一个函数的输出作为另一个函数的输入，即通过将一个函数的结果代入到另一个函数中，从而得到最终的输出结果。
复合函数的定义如下：设有函数f(x)和g(x)，则复合函数可以表示为：f(g(x))。
在复合函数中，g(x)先于f(x)进行操作，即先将x代入g(x)中得到中间结果，再将中间结果代入f(x)中，最终得到输出结果。
二、函数的复合性质函数的复合具有以下性质：1. 与运算顺序有关：函数的复合与复合的顺序有关，即f(g(x))不等于g(f(x))，除非f(x)和g(x)是同一个函数。
2. 不满足交换律：一般情况下，函数的复合不满足交换律，即f(g(x))不等于g(f(x))。
这是因为在复合函数中，函数的执行顺序是固定的，不能随意交换。
3. 结合律成立：函数的复合满足结合律，即f(g(h(x)))等于(f∘g)(h(x))等于f(g(h(x)))。
这个性质可以方便我们简化复合函数的书写和计算。
三、函数的复合应用函数的复合在数学推导和实际问题求解中具有广泛的应用。
下面通过几个具体的例子来说明函数的复合的应用。
例1：函数的复合在代数中的应用考虑函数f(x) = 2x + 1和函数g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))。
首先将x代入g(x)得到中间结果：g(x) = x^2 + 1将中间结果代入f(x)得到最终结果：f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) + 1 = 2x^2 + 3因此，复合函数f(g(x))为2x^2 + 3。
例2：函数的复合在几何中的应用考虑两个函数f(x) = 2x和g(x) = x + 3，表示变量x的平移和缩放。
探索三角函数的复合与反函数
探索三角函数的复合与反函数复合函数和反函数是三角函数中重要的概念之一。
它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨三角函数的复合和反函数的性质及应用。
一、复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在三角函数中，我们常常将一个三角函数的输出作为另一个三角函数的输入，形成一个新的函数。
以正弦函数和余弦函数为例，设函数f(x)是正弦函数，g(x)是余弦函数，那么它们的复合函数可以表示为f(g(x))或者g(f(x))。
复合函数的性质有以下几点：1. 结合律：对于任意的函数f(x)、g(x)和h(x)，有f(g(h(x))) =(f◦g)◦h(x)。
也就是说，复合函数的结果不依赖于计算的顺序。
2. 嵌套型复合函数：对于任意的函数f(x)和g(x)，f(g(x))不一定等于g(f(x))，也就是说，复合函数不满足交换律。
3. 存在恒等函数：对于任意的函数f(x)，有f(x) = f(x)，即可以将恒等函数作为复合函数的组合之一。
4. 若f(x)和g(x)都是可逆函数，那么它们的复合函数(f◦g)(x)也是可逆函数，并且它的反函数是g的反函数与f的反函数的复合函数，即[(f◦g)(x)]^(-1) = g^(-1)◦f^(-1)(x)。
复合函数在三角函数的计算与求导中具有重要的应用。
例如，在级数展开式中，我们常常需要使用复合函数来推导出特定函数的展开形式。
二、反函数反函数是指如果一个函数f(x)的定义域和值域被交换，同时保持函数的映射关系不变，那么就称其反函数为f^(-1)(x)。
在三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数都有其对应的反函数，分别为反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）。
反函数的性质如下：1. 反函数是原函数的镜像：如果点(x，y)在函数f(x)上，那么点(y，x)在反函数f^(-1)(x)上。
2. 对于定义域中的每个x，反函数f^(-1)(x)都与正函数f(x)互为映射。
复合函数的几个性质及其应用
复合函数的几个性质及其应用2复合函数的性质及其应用有关函数的知识是高中数学的重要内容，也是高考及竞赛的重点、热点，同时也是难点。
由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的几个性质及其应用。
复合函数的定义：一般地，若函数y=f(u)的定义域为P ，而函数u=g(x) 的定义域为M ，值域为C ，并且C 包含在P 内，那么对于M 内的每一个值x 经过中间变量u ，相应地得到唯一确定的一个值y ，于是y 经过中间变量u 而成为x 的函数，记为：y=f[g(x)]。
这种函数称为复合函数。
（函数u=g(x)的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的）。
y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数。
一、 定义域 ：复合函数y=f[g(x)]的定义域是函数u=g(x)的定义域中使值属于y=f(u)的定义域的部分。
例1， 设函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f(2x )的定义域解：∵f(x)的定义域为[0，4] ∴0≤2x ≤4， 即-2≤x ≤2∴f(2x )的定义域为 [-2，2]二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定义域。
例2 求函数)32(log 25.0+-=x x y 的值域解：∵ 44)1(3222≥+--=+-x x x 又0322>+-x x∴43202≤+-<x x345得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=≥+-=≤-≤>-045)1(01)0(1230023k g k g k k k 解得：0≤k ≤54若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论：1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异;2、若f(x)≠0则y=f(x)与)(1x f y =的单调性相异; 3、若f(x)＞0则y=f(x)与)(x f y =的单调性一致. 例5 讨论 21x xy += 的单调性 解：∵21x xy += 是奇函数∴在(-∞, 0)与(0, +∞)上具有相同的单调性， 当x ＞0时2111x y +=2x y = 递增 ⇒ 21x y =递减 ⇒211x y +=递减⇒2111x y +=递增。
函数的基本性质与复合函数问题解析
函数的基本性质与复合函数问题解析函数是数学中的重要概念，在数学和应用领域中广泛应用。
了解函数的基本性质以及如何解析复合函数问题对深入理解数学的应用至关重要。
本文将从函数的定义、性质以及复合函数问题解析三个方面进行讨论。
首先，我们需要理解函数的基本定义。
函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
通常，我们用f(x)表示函数，其中x是输入变量，而f(x)是输出变量。
函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而值域是所有可能的输出值的集合。
其次，函数具有一些基本性质。
首先是单值性，即函数的每个输入只能对应一个输出。
其次是定义域和值域的关系，定义域内的每一个元素都有对应的输出值。
再次是奇偶性，根据函数的图像是否对称于y轴可以确定函数是奇函数还是偶函数。
最后是周期性，即函数图像在某一区间内重复出现。
对于复合函数问题，我们需要理解如何解析和求解。
复合函数是由多个函数组合而成的新函数。
当两个函数相互关联时，我们可以通过复合函数的方式来表示这种关系。
例如，如果有函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))。
在求解复合函数时，我们将内部函数的输出作为外部函数的输入。
解析复合函数问题有几种常用的方法。
第一种方法是通过代数计算。
在这种方法中，我们将内部函数的输出代入外部函数中，进行代数运算，最终得到复合函数的解析式。
第二种方法是通过图像进行分析。
我们可以绘制内部函数和外部函数的图像，然后将内部函数的图像代入外部函数的图像，观察得到的复合函数的图像。
在解析复合函数问题时，还需要注意一些常见的问题。
首先是复合函数的定义域问题。
当两个函数复合时，我们需要确保内部函数的输出在外部函数的定义域内。
如果不在定义域内，那么复合函数在这些点上是没有定义的。
其次是复合函数的性质问题。
我们可以利用函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等，来分析复合函数的特点。
最后是复合函数的求导问题。
三角函数的复合函数与反函数
三角函数的复合函数与反函数三角函数是高等数学中重要的基础概念之一，而复合函数和反函数则是处理函数关系中常见的操作。
本文将介绍三角函数的复合函数和反函数的概念及其在数学中的应用。
一、复合函数的定义与性质复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的操作。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的复合函数可以表示为(g∘f)(x)，读作g 的f。
复合函数的定义如下：设函数f(x)的定义域为A，值域为B，函数g(x)的定义域为B，值域为C，则f和g的复合函数(g∘f)(x)定义如下：(g∘f)(x) = g(f(x)), x∈A复合函数的性质如下：1. 复合函数满足结合律，即(h∘(g∘f))(x) = ((h∘g)∘f)(x)2. 复合函数满足分配律，即(h∘(g+f))(x) = (h∘g + h∘f)(x)二、三角函数的复合函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，割函数sec(x)，余割函数csc(x)，和余切函数cot(x)。
三角函数的复合函数在数学中有着广泛的应用，例如在解析几何、三角方程以及物理学等领域。
以正弦函数sin(x)为例，我们可以讨论其与其他函数的复合函数。
设函数f(x)为x的平方根函数，函数g(x)为x的倒数函数，则sin(f(x))和sin(g(x))分别表示正弦函数和平方根函数，以及正弦函数和倒数函数的复合函数。
类似地，我们还可以讨论其他三角函数与不同函数之间的复合函数。
三、反函数的定义与性质反函数是指将一个函数的输入和输出进行互换得到的新函数。
对于函数f(x)，如果存在函数g(x)，使得f(g(x))=x且g(f(x))=x，那么称g(x)为f(x)的反函数，记作f^(-1)(x)。
反函数的定义如下：设函数f(x)的定义域为A，值域为B，则函数g(x)的定义域为B，值域为A，且满足以下条件：f(g(x)) = x, x∈Ag(f(x)) = x, x∈B反函数的性质如下：1. 函数与其反函数互为镜像，即y=f(x)与y=f^(-1)(x)关于y=x对称；2. 函数与其反函数的图像关于直线y=x对称；3. 函数与其反函数的复合函数等于自变量，即(f∘f^(-1))(x) = x，(f^(-1)∘f)(x) = x；4. 函数为一对一函数时，才存在反函数。
复合函数与简单函数的区别
复合函数与简单函数的区别摘要：一、引言二、复合函数与简单函数的定义及区别1.简单函数2.复合函数三、复合函数的性质与应用四、总结与展望正文：一、引言在数学领域，函数是研究各种变量之间关系的重要工具。
根据函数的复杂程度，我们可以将其分为简单函数和复合函数。
本文将对这两种函数的区别进行详细阐述，并探讨复合函数的性质与应用。
二、复合函数与简单函数的定义及区别1.简单函数简单函数是指仅包含一个变量或几个变量之间简单关系的函数。
它们通常具有直观、易于理解的特点。
例如，线性函数、二次函数、指数函数等都属于简单函数。
简单函数在实际应用中有着广泛的作用，如描述某一现象的规律、求解数学问题等。
2.复合函数复合函数是指由两个或多个简单函数通过特定运算组合而成的函数。
复合函数的结构更为复杂，通常需要一定的数学分析能力来理解和运用。
例如，三角函数、对数函数、反函数等都属于复合函数。
复合函数在高等数学、应用数学等领域具有重要意义，可以用于解决更复杂的问题。
三、复合函数的性质与应用1.性质复合函数的性质取决于其组成函数的性质。
例如，若组成函数为奇函数，则复合函数也为奇函数；若组成函数为单调递增（或递减）函数，则复合函数也为单调递增（或递减）函数。
2.应用复合函数在数学建模、物理、工程等领域具有广泛的应用。
例如，在电路分析中，复合函数可用于描述电阻、电容、电感等元件的电压、电流关系；在经济学中，复合函数可用于描述成本、收益等变量之间的关系。
四、总结与展望本文从定义、性质和应用三个方面对复合函数与简单函数的区别进行了详细阐述。
通过对复合函数的研究，我们可以更好地理解和解决实际问题。
在今后的学习中，我们需要不断加强对复合函数的理解和应用能力，提高解决复杂数学问题的能力。
复合函数y=f(kx+b)的性质探究
复合函数y =f （kx +b ）的性质探究郝浚博（重庆市南川区第一中学校408422）摘要：在函数的学习中，我们经常遇到y =f （kx +b ）这一类函数的有关问题，下面对它的性质作探究．关键词：复合函数；性质；探究中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2020）07－0007－02收稿日期：2019－12－05作者简介：郝浚博（2000．5－），男，重庆南川人，在校学生．题1若y =f （x ）的图象关于直线x =a 对称，则y =f （kx +b ），k ≠0的图象关于直线x =a －bk对称．证明：令F （x ）=f （kx +b ）．因为y =f （x ）的图象关于直线x =a 对称 定义域内的任意x ，f （x ）=f （2a －x ）恒成立．所以f （kx +b ）=f 2a －（kx +b []）=f （2a －2b －kx +b ）=f k （2ˑa －bk－x ）+[]b ，所以F （x ）=F 2（a －b ）k －[]x ，所以F （x ）的图象关于直线x =a －bk对称，所以y =f （kx +b ），k ≠0的图象关于直线x =a －b k对称．在解题时，由kx +b =a 解出x =a －bk，就可求出对称轴方程．题2若y =f （x ）的图象关于点a ，()m 对称，则y =f （kx +b ），k ≠0的图象关于点a －bk，()m 对称．证明：令F （x ）=f （kx +b ）．因为y =f （x ）的图象关于点a ，()m 对称 定义域内的任意x ，f （x ）=2m －f （2a －x ）恒成立．所以f （kx +b ）=2m －f 2a －（kx +b []）=2m －f （2a －2b －kx +b ）=2m －f k （2ˑa －bk －x ）+[]b ，所以F （x ）=2m －F 2（a －b ）k －[]x ，所以F （x ）的图象关于点a ，()m 对称．所以y =f （kx +b ），k ≠0的图象关于点a ，()m 对称．在解题时，由kx +b =a 解出x =a －bk，就可求出对称中心的横坐标．题3若y =f （x ）的周期为T ，则y =f （kx +b ），k ≠0的周期为Tk．证明：因为y =f （x ）的周期为T ，所以f （x +T ）=f （x ），所以f （kx +b ）=f （kx +b +T ）=f k （x +Tk ）+[]b ，所以y =f （kx +b ），k ≠0的周期为T k．题4由复合函数的单调性性质可得：若f （x ）的单调递增区间为m ，[]n ，则当k ＞0时，f （kx +b ）的单调递增区间为m －b k ，n －b []k ；当k ＜0时，f （kx +b ）的单调递减区间为n －b k ，m －b[]k ．若f （x ）的单调递减区间为m ，[]n ，则当k ＞0时，f （kx +b ）的单调递减区间为m －b k ，n －b[]k ；当k ＜0时，f （kx +b ）的单调递增区间为n －b k ，m －b[]k ．在解题时，由m ≤kx +b ≤n 解出x 的范围，即为相应—7—的单调区间．题5f （x ）与f （kx +b ），k ≠0的图象间的关系：f （x ）的图象沿x 轴方向平移b 个单位（b ＞0向左，b ＜0向右），再把所得图象上每个点的纵坐标变为原来的1k倍（横坐标不变），得到y =f （kx +b ），k ≠0的图象．例已知函数f （x ）=sin （2x +π4），求函数f （x ）的最小正周期、对称轴、对称中心、单调递减区间．解f （x ）的最小正周期为2π2=π；由2x +π4=π2+k π，k ∈Z 得x =π8+k π2，k ∈Z ．所以f （x ）的对称轴为x =π8+k π2，k ∈Z ；由2x +π4=k π，k ∈Z 得x =－π8+k π2，k ∈Z ，所以f （x ）的对称中心为（－π8+k π2，0），k ∈Z ．由π2+2k π≤2x +π4≤3π2+2k π，k ∈Z ，得π8+k π≤x ≤5π8+k π，k ∈Z ，所以f （x ）的单调递减区间为π8+k π，5π8+k []π，k ∈Z ．参考文献：［1］张月华．复合函数求导探析［J ］．漯河职业技术学院报，2011，10（02）：123－124．［责任编辑：杨惠民］已知函数的最值求参数值或取值范围问题的一种解法甘志国（北京市丰台二中100071）摘要：已知函数的最值求参数值或取值范围问题的通常解法是对参数进行分类讨论．本文将介绍一种避免分类讨论的解法，使用方便．关键词：函数最值；参数；分类讨论中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2020）07－0008－03收稿日期：2019－12－05作者简介：甘志国（1971－），湖北省竹溪人，高级教师，特级教师，从事高中数学教学研究．题1已知函数y =x 2－2（a －1）x +4（1≤x ≤5）的最小值为2，求常数a 的值．一般解法（分类讨论）分抛物线的对称轴x =a －1在定义域［1，5］的左侧、右侧及定义域上，进而可求得答案为a 槡=1+2．简解（分离常数法）题意即“x +2x≥2（a －1）（1≤x ≤5）恒成立且等号能取到”，也即x +2()xmin=2（a －1）（1≤x ≤5）．进而可求得答案为a 槡=1+2．题2已知函数f （x ）=ln x －ax（1≤x ≤e ）的最小值为32，求常数a 的值．一般解法（分类讨论）得f '（x ）=x +ax 2（1≤x ≤e ），接下来分－a ≤1，1＜－a ＜e ，－a ≥e 三种情形讨论，可求—8—。
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复合函数的性质探究作者：王莹玉来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第09期王莹玉在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？一、概念复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g （x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数.在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f（x）+b·g（x）或a·f（x）·g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=f[g（x）]，称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y=f[g（x）]为函数f和g复合一次得到.二、定义域1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域思路：设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为y=f[g（x）]的定义域.例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的定义域为.解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u∈（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f 对lnx的作用范围不变，所以02.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.例2已知f（3-2x）的定义域为x∈[-1，2]，则函数f（x）的定义域为.解：f（3-2x）的定义域为[-1，2]，即x∈[-1，2]，由此得3-2x∈[-1，5].所以f的作用范围为[-1，5]；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈[-1，5]，即函数f（x）的定义域为[-1，5].3.已知f[g（x）]的定义域，求f[h（x）]的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用范围为E；在f[h（x）]中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f[h（x）]的定义域.例3若函数f（2x）的定义域为[-1，1]，则f（log2x）的定义域为.解：f（2x）的定义域为[-1，1]，即x∈[-1，1]，由此得2x∈[12，2]，所以f的作用范围为[12，2].在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x∈[12，2]，解得x∈[2，4]，即f（log2x）的定义域为[2，4].评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.三、值域1.可以化归为二次函数的复合函数求值域例4求函数y=2x+41-x的值域.分析：含根式的函数关键是去根号，可以利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.解：令t=1-x（x≤1），则x=1-t2，其中t≥0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，∵x≤1，∴t≥0，∴y=-2（t-1）2+4（t≥0）∈（-∞，4]，即原函数的值域是（-∞，4].2.可以化归为一次函数的复合函数求值域例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t≠-1）与t=sinx+cosx复合而成.因为t=sinx+cosx=2sin（x+π4），所以t∈[-2，-1）∪（-1，2].结合一次函数图像可知函数值域为[-2-12，-1）∪（-1，2-12].评注：求函数值域要注意函数定义域，本题很容易遗漏t≠-1的限制，导致求值域出错，产生错误的原因是忽视了转化的等价性，所以解题过程中必须紧扣定义域.3.可以化归为反比例函数的复合函数求值域例6求函数y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.解：函数y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1，令t=x2+x+1，则原函数可以看成由函数y=2+1t和t=x2+x+1复合而成.因为x∈R，所以t=x2+x+1=（x+12）2+34≥34，结合反比例函数图像可知y=2+1t∈（2，103]，所以原函数的值域为（2，103].4.可以化归为y=ax+bx（a，b∈R*）型函数的复合函数求值域例7求函数y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.解：令t=2-sinx，则原函数可以看成由函数y=-（t+4t）+2和t=2-sinx复合而成.∵sinx∈[-1，1]，∴t=2-sinx∈[1，3]，由u=t+4t的图像可知u∈[4，5]，故y=-（t+4t）+2∈[-3，-2]，所以原函数的值域为[-3，-2].评注：求复合函数值域的关键是把复杂的函数通过换元转化为由简单函数y=f（t）和t=g （x）复合而成，其中t是中间变量，具有双重身份：在函数y=f（t）中，t是自变量；在函数t=g（x）中，t是函数值.要求原函数的值域，必先求出中间变量t的取值范围，而求t的范围，就是求函数t=g（x）的值域，从而将求原函数的值域化归为求两个简单函数的值域，使得问题得到解决.四、单调性复合函数的单调性是由两个函数共同决定，我们把其规律归纳如下表：y=f（u）增↗减↘u=g（x）增↗减↘增↗减↘y=f（g（x））增↗减↘减↘增↗以上规律还可描述为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例8已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a>0且a≠1，（1）若a>1，内函数t=2-ax是减函数，外函数y=logat是增函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a1>0，解得a∴1（2）若0内函数t=2-ax是增函数，外函数y=logat是减函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a0>0，恒成立，∴0综上所述，0评注：复合函数y=f（g（x））的单调性判断步骤：①确定函数的定义域；②将复合函数分解成两个简单函数：y=f（t）与t=g（x）；③分别确定分解成的两个函数的单调性；④若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为减函数.当然复合函数的单调性还可以用求导的方式来研究，同学们一定要熟练掌握复合函数的求导法则.五、考题回顾复合函数问题是高考中的一个热点问题，具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和转化化归等重要数学思想，对同学们的思维能力、运算能力、耐心细致处变不惊的心理品质等都有较高的要求.例9（2013年江苏省）平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P，A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.解：由题意设P（x0，1x0），（x0>0）则有PA2=（x0-a）2+（1x0-a）2=x20+1x20-2a（x0+1x0）+2a2=（x0+1x0）2-2a（x0+1x0）+2a2-2.令x0+1x0=t（t≥2），则PA2=f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2（t≥2）.当a≤2时，PA2min=f（2）=2a2-4a+2，∴2a2-4a+2=8，∴a=-1，a=3（舍去）.当a>2时，PA2min=f（a）=a2-2，∴a2-2=8∴a=10，a=-10（舍去）.∴综上所述：a=-1或a=10.评注：此题的最值若用求导的方法来研究，过程会过于繁琐，而用复合函数的观点来研究则相对简单.例10（2012年江苏省）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数.解：（1）a=0，b=-3.（2）略.（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况：d∈[-2，2].当|d|=2时，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2.当|d|0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d∴-2，-1，1，2都不是f（x）=d的根.由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）.①当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f（2）=2，此时f（x）=d在（2，+∞）无实根.②当x∈（1，2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数.又∵f（1）-d0，y=f（x）-d的图像不间断，∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根.同理，f（x）=d在（-2，-1）内有唯一实根.③当x∈（-1，1）时，f′（x）又∵f（-1）-d>0，f（1）-d∴f（x）=d在（-1，1）内有唯一实根.因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|现在考虑函数y=h（x）的零点：（ⅰ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2.而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点.（ⅱ）当|c|而f（x）=ti（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点.综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|评注：解决本题的关键还是通过换元的方法把复合函数分解为两个简单函数，而这两个简单函数是我们熟悉的三次函数.当然也可通过研究复合函数h（x）=f（f（x））-c的单调性来解决此题.复合函数往往是由简单函数“组合”而成的，解决其有关问题时，常用“逐步分解术”，“化整为零”，各个击破，最后解决问题.（作者：王莹玉，苏州大学附属中学）。