利用图形计算器探究复合函数的性质
辽宁省沈阳市第十五中学2020年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 浅谈卡西欧图形计算器在常用函

浅谈卡西欧图形计算器在常用函数图象上的应用摘要:指出形象思维的重要性,给出了高考高频函数题图象定量具体分析的方法,应用图形计算器在集中复杂函数题中灵活运用,使复杂抽象函数简单化具体化,方便加深印象,使函数的学习方法更加灵活便捷,学习效率大大提高。
本文从函数定义及出发,将具体常用常见函数的图象性质进行总结,归纳类比,得出普遍结论。
在已知函数基础上进行扩展,体会极坐标中图象的魅力,以及图像绘制的,简便性、优越性,由以推广至其他学科领域中的广泛应用。
关键词:形象思维、指数函数、幂函数、复合函数、高斯函数、极坐标系下的曲线、图像特点对于数学学科来说,我们在学习上主要运用的是左脑的抽象思维,但从数学思维模式呈现出的事实来看,我们图形理解能力的形象思维是最早出现的,而它也是数学不断发展至今的前提,并在数学的研究学习中骑着举足轻重的作用。
可见如果人们不具备形象思维能力,很难会有较高的抽象思维能力,其发展也将会受到限制。
正像数学家柯尔莫戈洛夫所言:“只要有可能,数学学者都应该尽力把他们正尽力研究的问题从几何图形上视觉化。
”因此在有技术设备支持下的今天,图形的精准绘制给我们带来了一场深刻的变革——应用图形计算器解决图象问题,在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图,但手工绘图有不精确、速度慢的弊端;应用图形计算器速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端,大大提学习效率、拓宽我们的认知范围、开拓我们的解题思路,培养我们的想象力和形象思维的理解能力。
直观、准确、全面地针对考试中的问题给予完备解答。
那么,在高中数学的学习中图形计算器有哪些应用呢?作为一名高中生笔者在此予以介绍:一、图形计算器在指幂对函数及其简单复合函数中的应用1.指数函数的一般形式是y=a^x(a>0且≠1) (x∈R),值域为(0, )。
a=1时也可以,此时值域恒为1。
是在定义域上的单调下凸,连续函数。
当a>1时,指数函数对于x的负数值平坦,对于x的正数值迅速攀升。
高中数学《利用图形计算器探究复合函数的性质》公开课优秀教学设计

《利用图形计算器探究复合函数的性质》教学设计一.教学内容解析本节课旨在引导学生掌握研究问题的方法:“观察—归纳—猜想—证明”,选取的知识载体是复合函数的性质,辅助探究工具是图形计算器。
“观察—归纳—猜想—证明”是我们认识事物的一种重要的方法,可以探索发现事物的本质和规律,也是一种完整的思维方式,这种思维方法对于分析和解决问题具有重要而且有效的作用,掌握这种思维方法对提高中学生思维能力有直接的作用。
在知识载体上,函数是高中数学的主体内容,而函数性质是函数研究的核心。
函数研究有两种途径:“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”。
本节课我们主要实践第一种途径:“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”即“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法。
二.教学目标设置1.知识与技能:(1)会用图形计算器作出函数的图象和含参数的动态图象;(2)会观察函数的图象特征并归纳函数的性质;(3)会用代数的方法判断或证明函数的性质;(4)能对含参数的问题进行分类讨论;2.过程与方法:(1) 掌握“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法;(2)了解函数研究的两种途径“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”;(3)了解科学研究的两种途径:“理论研究→实验验证”和“实验探究→理论证明”;3.情感态度与价值观:(1)培养学生观察、类比、联想、归纳的数学探索的思维方法,提高学生的思维能力;(2)激发学生自主探究的积极性,体验探究的乐趣;(3)引导学生在探究活动中有意识的总结数学研究活动的一般过程和方法,培养学生的动手实践能力和创新精神;三.学生学情分析本节课的授课对象为我校高二选修课《用图形计算器学数学》的学生,通过高一学段的学习已经具备了以下三个方面的条件:1.工具方面:学生可以熟练地操作图形计算器实现相关的功能,如输入函数解析表达式并画出图象、利用图形计算器动态图功能对含参数的函数进行动态演示;2.知识方面:学生已经学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图象和性质,也具备了讨论由基本初等函数复合或四则运算而构成的初等函数性质的能力,会求出初等函数定义域、值域,会判断和证明函数的单调性、奇偶性、周期性,会求解或证明函数的对称中心、对称轴、渐近线等;3.数学思想方法方面:学生已经掌握了数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等常见的数学思想方法;基于以上基础,可以展开本节课的教学。
函数的复合运算

函数的复合运算函数的复合运算是数学中的重要概念,它描述了将一个函数作为另一个函数的输入,并产生新函数的过程。
函数的复合运算在各个学科领域中都有广泛的应用,包括数学、物理、计算机科学等。
本文将介绍函数的复合运算的定义、性质和应用,并探讨一些实际问题的例子。
一、函数的复合运算的定义在数学中,两个函数的复合运算可以简单地理解为一个函数作为另一个函数的输入。
设有两个函数f(x)和g(x),则它们的复合函数表示为g(f(x)),读作g合f。
具体而言,对于g(f(x)),先用f(x)计算出一个数值,再将该数值代入g(x)中计算得到函数的输出。
二、函数的复合运算的性质1. 结合律:对于三个函数f(x)、g(x)和h(x),(h∘g)∘f=h∘(g∘f)。
这意味着函数的复合运算满足结合律,即复合函数的运算顺序不影响最终的结果。
2. 等价性:若f(x)和g(x)的定义域和值域相同,并且对于定义域内的任意x,有f(x)=g(x),则它们的复合函数也相等,即g(f(x))=f(g(x))。
3. 单位元素:对于任意函数f(x),存在一个称为恒等函数的函数I(x),使得对于定义域内的任意x,有g(x)∘I(x)=g(x)和I(x)∘g(x)=g(x)。
恒等函数是函数的复合运算中的单位元素。
三、函数的复合运算的应用函数的复合运算在数学中有广泛的应用,可以用来描述各种各样的问题。
1. 函数的复合模型:复合运算可以用于建立函数之间的关系模型。
例如,在经济学中,可以通过将需求函数与供给函数进行复合运算,来描述市场价格的变化。
2. 函数的复合逆运算:复合运算可以用于计算函数的逆运算。
根据函数的复合逆运算,可以将一个函数的输出通过逆运算还原为输入。
这在密码学中有重要应用,用于设计加密算法。
3. 函数的复合运算与微积分:函数的复合运算在微积分中有着重要的地位。
复合函数的导数可以通过链式法则来计算,这对于描述变化率、求解极值等问题非常有用。
如何利用图形计算器辅助高一数学学习

如何利用图形计算器辅助高一数学学习对于刚刚踏入高一的同学们来说,数学学习的难度和深度都有了明显的提升。
在这个阶段,合理利用工具来辅助学习能够起到事半功倍的效果,图形计算器就是其中一个非常有用的工具。
图形计算器是一种专门用于数学和科学计算的电子设备,它具有强大的绘图和计算功能,可以帮助我们更直观地理解数学概念,解决数学问题。
那么,具体该如何利用图形计算器来辅助高一数学学习呢?一、帮助理解函数概念函数是高一数学中的重要概念,也是后续学习的基础。
图形计算器可以通过绘制函数图像,让我们直观地看到函数的性质,如单调性、奇偶性、周期性等。
例如,对于一次函数 y = 2x + 1,我们可以在图形计算器中输入函数表达式,然后立即得到它的图像。
通过观察图像的走向,我们能清楚地看到函数是单调递增的。
再比如二次函数 y = x² 2x 3,我们可以通过图形计算器观察它的对称轴、顶点坐标以及与 x 轴的交点,从而更好地理解二次函数的性质。
二、探索三角函数三角函数在高一数学中也是一个重点和难点。
利用图形计算器绘制正弦函数、余弦函数的图像,能够帮助我们直观地理解它们的周期性、值域、对称轴等性质。
我们可以在图形计算器中同时绘制多个三角函数的图像,比如 y =sin x 和 y = cos x,观察它们之间的关系。
还可以通过改变函数的参数,如振幅、周期等,来深入理解三角函数的变化规律。
三、解决不等式问题不等式是高一数学中的常见题型。
图形计算器可以帮助我们快速地找到不等式的解集。
例如,对于不等式 x² 3x + 2 > 0,我们可以先将其对应的函数 y= x² 3x + 2 绘制出来,然后观察函数图像在 x 轴上方的部分,对应的x 值就是不等式的解集。
四、进行数据统计与分析在学习概率与统计这部分内容时,图形计算器可以帮助我们处理和分析数据。
比如,我们可以输入一组数据,然后利用图形计算器计算均值、方差、标准差等统计量。
浅谈卡西欧计算器的函数图形功能—让数形结合更简单论文

浅谈卡西欧计算器的函数图形功能—让数形结合更简单目的:通过一些例题与图形计算器结合的例子来说明在数形结合高数学学习中的作用.形计算器是具有画图,解方程和许多强大的功能。
在高中的数学学习中,总会遇见许多的难题,通过使用图形计算器,让我认识到了数形结合的妙处,让我受益匪浅!早在学习二次函数时我们就知道了在遇见一些难题或者需要大量去讨论的题的时候,我们就总是通过画图去解决它,通过数形结合思想,但是当我们的数形结合思维还不够时,图形计算器就起了不可代替的作用。
通过那强大的画图功能,可以把一些复杂函数或者较为陌生的函数呈现在屏幕上面,通过那图形我们就可以利用图形根据问题进行求解,而图形计算器我们数形结合思维养成里面起了一个推动引导的作用,不久,在我们的脑海中数形结合思想就逐步建立起来了! 下面我们就通过一些我们认为是我们不能解决的难题为列子讲解图形计算器是如何快速有效的解决他们,问题1、如果不等式-ln x m x >x 恒成立,数M取值组合成的集合.(“卡西欧杯”2011年全国高中数学图形计算器应用能力测试题)【解题思路】解决这类型的题的关键方法是讨论,①当x ∈(0,1)时,-ln x m x >x ⇔x <x ln x .令()=g x x -x ln x ,再利用图形计算器的绘图功能就会变得十分简单,可以通过图像知道在()=g x (0,1)上②当x ∈(1,﹢∞)时,xM x ln ->x ⇔M >x ln x .由上图可知,当x ∈(1,﹢∞)函数也为增函数,所以()g x >g(1),所以M≤1为增函数,所以()g x <(1)g ,于是M≥1综合①②,只有M=1时不等式恒成立.所以实数M的取值组成的集合{1}.1的解集为_______________?问题2、不等式2x>3-x【解题思路】1的表达式然后画出利用图形模块功能,分别输入y=2x和y=3-x图像,并且通过shift和G-solv键,按F5求交点,就可以轻松的求出不等式的解.问题3、已知关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0.(1).若k=-1时,方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0有几个不同的实根?(2)是否存在实数K,使方程恰有6个不同实根?解题步骤:【解】(1)当k=-1时,令()=g x(x2-1)2-|x2-1|-1,做出函数图象可知,当k=1时,()f x有两个不等实根.(2)令()=g x(x2-1)2-|x2-1|,通过图形计算器画图可以知道在实数围,不存在k使得()g x有6个不同实根.x-y+2≥0已知x+y-4≥0求z=x+2y-4的最大值.2x-y-5≤0x-y+2≥0已知x+y-4≥0求z=x+2y-4的最大值.2x-y-5≤0问题4、已知2502040x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,求24z x y=+-的最大值.将图形画出,如下图之后画出41 2y x=-,将函数变形,通过在可行域中的图像,知道之后就可以根据交点来计算出z的最大值【结论感想】通过这些例题相信我们都已经明白了数形结合在数学学习中的重要性,而图形计算器正好是一个可以帮助我们的好工具,在以后的学习中我会继续利用好图形计算器,在不断的探索求知中,让我的思维变得灵敏,在学习中得到开发,总结经验,享受在用图形计算器的过程中的快乐。
图形计算器在复合函数单调区间教学中的应用

函数单调性和单调区间的认识更加深刻,另一方面
也加强了对复合函数概念的理解.
由此看出,数学实验充分展示了数学知识的形
成过程,为学生发现新知识、验证新知识、掌握新
知识提供了很广阔的探索平台.遇到一个数学问
题,学生利用图形计算器的实验活动进行一些计算
和作图,帮助自己直观感性的认识新的问题,有了
足够的具体例证表明猜想的正确性,然后再进一步
实验目的 用图形计算器的画图功能来讲解使 学生掌握复合函数单调性.
实验仪器 图形计算器 实验过程 我们先明确函数单调性的概念:对 于定义域 I 的某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1,x2 ,当 x1 < x2 时,都有 f (x1) < f (x2 ) ,那么就 说 f (x) 在区间 D 上是增函数;当 x1 < x2 时,都有 f (x1) > f (x2 ) 恒成立,那么就说 f (x) 在区间 D 上是 减函数.反映在图象上从左到右上升的是增函数, 下降的是减函数. (1)我们先用图形计算器画出 y = x2 − 2x −1 ,
y = x 的图象,如图 1,2,通过图象我们发现单
调性和我们用定义证明得到的结果是一样的.
图1
图2
(2)我们来看指数型复合函数的单调区间,
下面是复合函数 y = 2x2 , y = ( 1 )x2 −2x , y = 2x2 −2x 的 2
图象,如图 3,4,5.
图3
图4
图5
从图形中我们可以通过移动坐标来发现图形
通过逻辑推理的方式去证明它或返回来再看推理,
那就明白的多了,有的时候证明的许多方法都可能
来自具体例证的实验.
实验结果 复合函数的单调区间由内外层函数
TI图形计算器实验报告-北京市第十八中学

使用TI图形计算器尝试新的教学模式北京十八中王丽敏一、改变传统教学模式,实施探究式教学的必要性:(一)素质教育要求改革教学模式:《中共中央国务院关于深化教育改革,全面推进素质教育的决定》明确指出:实施素质教育的重点,是培养学生创新精神和实践能力。
为了使教学更好地达到素质教育的要求,更好地改善学生的学习,更好地提高教学质量,利用TI图形计算器辅助课堂教学,构建新型的中学数学教学模式是一种值得尝试的研究。
(二)新课标要求注重信息技术和数学课程的整合:《普通高中数学课程标准》提出:现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习方面产生深刻影响。
高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合。
高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,在保证笔算训练的前提下,尽可能利用科学型计算器、各种数学教育技术平台,加强数学教学与信息技术结合,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。
(三)学校以及学校教师发展的需要:我校是北京市的一所区属重点中学,利用多媒体辅助教学已有相当年头,由最初的设备不足到闲置,总不尽如人意。
多年来数学教学仍以传统教学模式为主,不能有较大突破与创新。
教师在教学中往往偏重教师讲,学生反复操练;重视解题教学而轻视知识形成过程,忽视了学生的创新精神和实践能力的培养。
2004年我校步入北京市示范性高级中学行列。
上级领导、家长、学生对于教育资源的期望值明显增高,如何在教学过程中体现我们的先进性、示范性,如何满足社会对高质量教学的要求,成为摆在我们面前的课题。
(四)学生发展的需要:学校的招生情况决定了我校学生的学习方法单一,缺乏学习热情,一些学生在学习上有困难。
教师以传统的教学方式,用一支粉笔单纯展示数学抽象的美,对于多数学生来讲,形式过于简单,某些抽象的问题很难真正理解。
另外教材的变化,课时数的减少,各种各样的矛盾促使我们思考,如何走出低谷?如何唤醒学生的学习热情,寻找一种新的教学模式实现学生自主学习?二、利用TI图形计算器作为信息工具辅助课堂教学的原因:TI图形计算器近年来发展迅速,在功能上有了很大的突破。
图形计算器——高中数学有效教学的利器

195教育视窗2020年第8期高中数学课堂是重要的科学之一,其在教学上的重要性不言而喻,是高考必考的科目之一。
高中数学教学方式的创新和改革是教学中重要发展内容,在传统教学中,很多学生对高中数学存在力不从心感受,对数、图、形基本是一篇模糊,而图形计算则是数学教学利器,可以非常巧妙有效解决这一困难问题。
图形计算器应用于数学教学中是数学教学中的新形式,可以将数学中的一些函数绘制图像、方程组等进行准确计算,而且功能非常强大,所含括的范围比较广,在图形计算器上可以同时显示多行文本的功能。
另外图形计算器还具备符号代数、几何操作以及数据分析系统等,能将各个图形更直观绘制出来,是数学学习的重要工具。
本人认为图形计算器是高中数学教学的利器,主要是图形计算器具有小巧便捷的特点,利于数学课堂上的应用开展,助推数学进一步发展,为数学教学提供了更大工具性支持。
1 图形计算器的功能及特点1.1 图形计算器的功能数学课堂教学中图形计算器提供一种更直观的教学手段和研究环境,尤其是数学符号上,可以更直观、准确的借助图形计算的基本功能。
图形计算器可以快速进行数学的实践和应用,提高教学研究的效率。
图形计算器主要功能体现在其的数值预算、作图、统计、金融、程序、计算应用等多种功能。
在数学课堂上,还可以提供更直观的教学研究,引导学生能更深入理解数学的一些结论、定义或是法则,理解到数学知识的本质内容,并不断给学生创设更好自主学习的教学环境,通过自主学习合作探究,获取更多的知识和运用能力。
1.2 图形计算器的特点图形计算器在数学中的应用具有几个特点。
(1)便携性:图形计算器是针对数理研究学习的工具,其本身的就特点就需要够方便、体积不大,这样携带起来比较便捷。
数学教学可以作为课堂的必备教材工具之一,可以在课堂上随时体验它的价值和意义。
(2)网络性:可以通过端口连接,可以展示计算器之间的数据交互特点,利于数据的整合运用。
(3)专业性:图形计算器是针对数理应用的新型技术产物,可以通过收集、分析、分类进行各个学科研究,比如数学、物理、化学、生物等的研究,更显其专业的特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《利用图形计算器探究复合函数的性质》教学设计
西北师大附中曹岩
一.教学内容解析
本节课旨在引导学生掌握研究问题的方法:“观察—归纳—猜想—证明”,选取的知识载体是复合函数的性质,辅助探究工具是图形计算器。
“观察—归纳—猜想—证明”是我们认识事物的一种重要的方法,可以探索发现事物的本质和规律,也是一种完整的思维方式,这种思维方法对于分析和解决问题具有重要而且有效的作用,掌握这种思维方法对提高中学生思维能力有直接的作用。
在知识载体上,函数是高中数学的主体内容,而函数性质是函数研究的核心。
函数研究有两种途径:“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”。
本节课我们主要实践第一种途径:“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”即“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法。
二.教学目标设置
1.知识与技能:
(1)会用图形计算器作出函数的图象和含参数的动态图象;
(2)会观察函数的图象特征并归纳函数的性质;
(3)会用代数的方法判断或证明函数的性质;
(4)能对含参数的问题进行分类讨论;
2.过程与方法:
(1) 掌握“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法;
(2)了解函数研究的两种途径“函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”;
(3)了解科学研究的两种途径:“理论研究→实验验证”和“实验探究→理论证明”;
3.情感态度与价值观:
(1)培养学生观察、类比、联想、归纳的数学探索的思维方法,提高学生的思维能力;
(2)激发学生自主探究的积极性,体验探究的乐趣;
(3)引导学生在探究活动中有意识的总结数学研究活动的一般过程和方法,培养学生的动手实践能力和创新精神;
三.学生学情分析
本节课的授课对象为我校高二选修课《用图形计算器学数学》的学生,通过高一学段的学习已经具备了以下三个方面的条件:
1.工具方面:学生可以熟练地操作图形计算器实现相关的功能,如输入函数解析表达式并画出图象、利用图形计算器动态图功能对含参数的函数进行动态演示;
2.知识方面:学生已经学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图象和性质,也具备了讨论由基本初等函数复合或四则运算而构成的初等函数性质的能力,会求出初等函数定义域、值域,会判断和证明函数的单调性、奇偶性、周期性,会求解或证明函数的对称中心、对称轴、渐近线等;
3.数学思想方法方面:学生已经掌握了数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等常见的数学思想方法;
基于以上基础,可以展开本节课的教学。
但是对于结构比较复杂的函数,尤其是复合函数,部分学生直接对函数性质的讨论和求解存在困难,因此可以借助于图形计算器,先画出函数图象,观察函数图象特征,进而归纳函数抽象的代数性质,得到关于性质的猜想后再做证明。
这样变抽象的函数问题为形象的图形问题、变未知的探索为已知猜想的证明,降低了学习的难度。
根据以上对学情的分析,并结合学生的认知水平和思维特点,确定了本节课的教学重点与难点:
教学重点:
“函数图象→函数性质”的“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法;
教学难点:函数性质的代数研究方法;
有图形计算器函数图象的辅助大大降低了函数性质的代数研究的难度,教学的难点得以突破。
四.教学策略分析
本节课采用问题引导驱动、启发自主探究的教学方法。
通过问题引导、分组合作、自主探究、辨析讨论、成果展示的过程,达到深化理解的目的,图形计算器的辅助使得学生自主探究贯穿本节课的始终,学生研究成果在投影上的展示更加激励了学生自主探究的动力。
本节课的特点主要有以下几方面:
1.以问题驱动式教学,激发学生的探求欲,体现了以学生为主体的教学理念;
2.恰当地利用现代信息技术,帮助学生洞察数学本质;
3.“问题串”的设计以引导学生的数学思维活动,注重学生参与探究的全过程,是学生有所思,也有所获。
五.教学过程
1.复习已学知识:
(1)函数常用性质有哪些? 定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性
(2)函数性质在函数图象上是如何反映的?
定义域—————函数图象向x 轴投影的数集合
值 域—————函数图象向y 轴投影的数集合
奇偶性—————函数图象关于原点或y 轴的对称性
单调性—————函数图象沿x 轴的上升或下降变化趋势
周期性—————函数图象周而复始的重复性
2.新课探究
1()lg 1x f x x
-=+例1:已知函数 (1)求函数的定义域;
(2)画函数的图象,并观察图象特征,猜想函数有哪些性质?
(3)证明函数的性质
(求解过程和结果由学生现场展示)
设计意图:
(1)这是一个“对数型”复合函数,外函数是对数函数,内函数是分式函数。
通过三个问题逐步引导学生经历并掌握“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”的研究方法;
(2)引导学生利用信息工具(图形计算器)辅助学习;
(3)进一步强化训练学生观察图象特征的能力,并与函数性质对应;
(4)复习巩固相关的数学知识和方法,如对数函数的性质、分式不等式解法、奇偶性的定义、单调性的两种判断方法(定义法、复合函数判断法)、函数图象变换、分离常数法等
()ln(sin )f x x =例2:已知函数
(1)求函数的定义域;
(2)画函数的图象,并观察图象特征,猜想函数有哪些性质?
(3)证明函数的性质
(4)观察ln(cos )ln(tan )y x y x ==和的图象,你能得出什么结论?
(求解过程和结果由学生现场展示)
设计意图:
(1) 前三个问题的设置目的仍然逐步引导学生经历并掌握“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质”的研究方法;
(2) 与例1相比,将“对数型”复合函数的内函数变为正弦函数,增加了问题研究的难度,主要体现在不连续性和周而复始的重复性。
学生图象特征的观察能力进一步提高;函数性质的研究除了值域和单调性,增加了两类对称轴和周期性。
(3)第(4)问进一步将内函数变化为余弦函数和正切函数,开放性问题的设置打开学生的思维,可能得到丰富的研究结果;
(4)本题涉及的数学知识和方法可能有对数函数和三角函数的性质、奇偶性和周期性的定义、单调性的两种判断方法(定义法、复合函数判断法)、函数图象变换等
2()lg f x x =∈例3:已知函数(+a )(a R)
(1)讨论函数的定义域;
(2)讨论函数的单调性和奇偶性;
(3)用图形计算器的动态图功能验证讨论的结果;
(求解过程和结果由学生现场展示)
设计意图:
(1) 函数解析式中引入了字母参数,方法上需要分类讨论法;
(2) 代数上分类讨论结果用图形计算器的动态图功能验证;
(3) 该题体现了函数研究的另一种途径:“函数性质→函数图象”;
3.课堂小结
本节课的例1和例2展示了研究函数性质一种途径:“作函数图象→观察图象特征→归纳猜想函数性质→证明函数性质” 即“观察→归纳→猜想→证明”
的研究方法;例3展示了研究函数性质的另一种途径,即先研究函数性质再画出图象验证。
这是函数研究的两种途径: “函数图象→函数性质”和“函数性质→函数图象”。
推而广之,一般科学研究也有类似的两种途径:“实验探究→理论证明”和“理论研究→实验验证”。
希望同学们能掌握这两种研究问题的方法。
4.课后作业
请研究以下函数的性质
22(1)log (23)y x x =--
2(2)ln(1)y x x =+-
(3),,22x x x x x x
x x e e e e e e y y y e e
-----+-===+ 六.教学效果预测
本节课利用图形计算器对复合函数性质展开了探究,使学生主动地参与到数学课堂中来,成为课堂的主体。
对函数性质的研究方法和基本初等函数的性质达到了很好的复习和巩固作用,掌握了“观察→归纳→猜想→证明”的研究方法,从而顺利地完成教学目标。
另外,由于图形计算器显示屏较小,坐标不能出现π相关的无理数,给例2中函数图象特征的观察带来不便,这一切都会影响教学目标的达成。
由于本校的选修课《用图形计算器学数学》开设才一年多,处于探索阶段,教学组织过程中可能会出现一些不太成熟的地方,恳请各位专家不吝批评和指正,谢谢!。