数学必修3第一章综合能力测试

第一章综合能力测试一、选择题(每小题5分，共60分)1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2500名城镇居民．这个问题中“2500名城镇居民的寿命的全体”是() A．总体B．个体C．样本D．样本容量[解析]每个人的寿命是个体，抽出的2500名城镇居民的寿命的全体是从总体中抽取的一个样本．[答案] C2．下列说法中不正确的是()A．系统抽样是先将差异明显的总体分成几小组，再进行抽取B．分层抽样是将差异明显的几部分组成的总体分成几层，然后进行抽取C．简单随机抽样是从个体无差异且个数较少的总体中逐个抽取个体D．系统抽样是从个体无差异且个数较多的总体中，将总体均分，再按事先确定的规则在各部分抽取[解析]当总体中个体差异明显时，用分层抽样；当总体中个体无差异且个数较多时，用系统抽样；当总体中个体无差异且个数较少时，用简单随机抽样．所以A不正确．[答案] A3．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人；甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法：①应该采用分层抽样法；②高一、高二年级应分别抽取100人和135人；③乙被抽到的可能性比甲大；④该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生．其中正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]①②正确，③错误，因为每个学生被抽到的可能性相等，④错误，总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故选B.[答案] B4．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法抽样的是()A．某市的4个区共2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样[解析]A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法，宜用分层抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数表法；D总体容量很小，适宜用抽签法．当总体容量较大，样本容量也较大时，适宜用系统抽样法抽样．[答案] C5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A. 18B. 36C. 54D. 72[解析]本题考查了对频率分布直方图的识图能力以及利用频率分布直方图估计总体的方法．易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36，选B.[答案] B6.下图是2011年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为()A．84,85 B．84,84C．85,84 D．85,85[解析]七位评委为某选手打出的分数按从小到大的顺序排列是：79,84,84,85,86,87,93，所以最高分是93，最低分是79，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据是84,84,85,86,87，则所剩数据的众数是84，中位数是85.[答案] A7．某市A，B，C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行“学习兴趣”调查，则在A区应抽取()A．200人B．205人C．210人D．215人[解析]抽样比是60020000＝3100，则在A区应抽3100×7000＝210(人)．[答案] C8．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则()A. m e＝m0＝xB. m e＝m0<xC. m e<m0<xD. m0<m e<x[解析]本题主要考查中位数、众数与平均数，以及识图能力和计算能力．能正确区分中位数、众数与平均数是求解本题的关键．由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e＝5.5,5出现次数最多，故m0＝5.x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m0<m e<x.故选D.[答案] D9．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()A. 直线l过点(x，y)B. x和y的相关系数为直线l的斜率C. x和y的相关系数在0到1之间D. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同[解析]本题考查线性回归的知识，针对此知识点考查不以计算为重点，而是以知识的记忆和理解为重点．回归直线过样本中心点(x，y)．[答案] A10．已知施肥量与水稻产量之间的回归直线方程为y ^＝4.75x ＋257，则施肥量x ＝30时，对产量y 的估计值为( )A ．398.5B ．399.5C ．400D ．400.5[解析] 成线性相关关系的两个变量可以通过线性回归方程进行预测，本题中当x ＝30时，y ^＝4.75×30＋257＝399.5，故选B.[答案] B11．甲、乙两人在同样条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲：8 8 9 9 8，乙：10 7 7 7 9，则两人射击成绩的稳定程度是( )A ．甲比乙稳定B ．乙比甲稳定C ．甲、乙稳定程度相同D ．无法进行比较[解析] 比较两人射击成绩的稳定程度需计算两人射击成绩的方差，因为x 甲＝8.4，x 乙＝8，故s 2甲＝15×[(8－8.4)2×3＋(9－8.4)2×2]＝0.24，s 2乙＝15×[(10－8)2＋(9－8)2＋(7－8)2×3]＝1.6，故s 2甲<s 2乙，所以甲比乙稳定，答案为A.[答案] A12．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法将零件编号为00,01，…，99.用抽签法取出20个．方法2：采用系统抽样，将零件编号为0,1,2，…，99，分为20组，每组5个，然后在第一组编号为0,1,2,3,4的零件中随机抽取1个，如抽的是3号，则3,8,13,18,23，…，98号对应的零件即为所抽取的样本．方法3：采用分层抽样，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是( )①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述三种抽样方法中，方法3抽到的样本比方法1和方法2抽到的样本更能反映总体的特征；④在上述三种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1和方法3抽到的样本更能反映总体的特征．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③[解析] 根据三种抽样方法的定义可知，方法3抽到的样本更能准确地反映总体的特征．[答案] B二、填空题(每小题5分，共20分)13．北京奥运会组委会要在学生比例为2∶3∶5的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 高校恰好抽出了60名志愿者，那么n ＝________.[解析]22＋3＋5×n ＝60，解得n ＝300.[答案] 30014．将容量为50的样本数据，按从小到大的顺序分成4组，如下表：则第3[解析] 第3组的频数是50－11－14－13＝12，所以第3组的频率为1250＝0.24.[答案] 0.2415．将容量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组的频率为__________．[解析] 设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x ，则另两组的频率分别为x －0.05，x －0.1.因为频率总和为1，所以0.79＋(x －0.05)＋(x －0.1)＋x ＝1，解之得x ＝0.12.[答案] 0.1216．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试得分情况如下图所示．则甲得分的方差为__________，乙得分的方差为__________，从而你得出的结论是__________．[解析]甲五次得分依次是：10,13,12,14,16，乙五次得分依次是：13,14,12,12,14，由方差计算公式得s2甲＝4，s2乙＝0.8即s2乙<s2甲，故乙成绩较稳定．[答案]40.8乙的成绩比较稳定三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17．(10分)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解他们对政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本．试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．[解]因机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样方法为妥．10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4.所以从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．因副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人按00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．18．(12分)已知40个数据中的前20个数据的平均数和方差分别为60、20，后20个数据的平均数和方差分别为80、40，求这40个数据的平均数和方差．[解]设前20个数据为x1，x2，…，x20，则有120(x1＋x2＋ (x20)＝60，120(x21＋x22＋…＋x220)－602＝20，从而有x1＋x2＋…＋x20＝1200，x21＋x22＋…＋x220＝72400，设后20个数据为x21，x22，…，x40，则有120(x21＋x22＋…＋x40)＝80，120(x221＋x222＋…＋x240)－802＝40，从而有x21＋x22＋…＋x40＝1600，x221＋x222＋…＋x240＝128800.而这40个数据的平均数为140(x1＋x2＋…＋x40)＝140(1200＋1600)＝70，方差为140(x21＋x22＋…＋x240)－702＝140(72400＋128800)－4900＝130.19．(12分)为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图．(3)求全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？[解](1)M＝10.02＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1，n＝250＝0.04.(2)频率分布直方图，如下图所示．(3)观察频率分布直方图知，最高小矩形对应的小组是153.5～157.5，所以全体女生中身高在153.5～157.5范围内最多．20．(12分)某农场为了从两种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在5块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下表所示，问哪一种西红柿既高产又稳定？[解] x 1＝15×(21.5＋20.4＋22.0＋21.2＋19.9)＝21.0， x 2＝15×(21.3＋18.9＋18.9＋21.4＋19.8)＝20.06， s 1＝15×[(21.5－21.0)2＋…＋(19.9－21.0)2]≈0.756， s 2＝15×[(21.3－20.06)2＋(18.9－20.06)2＋…＋(19.8－20.06)2] ≈1.104.因为x 1>x 2，s 1<s 2，所以甲西红柿品种既高产又稳产． 21．(12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． [解] (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝109，y ＝23.2，∑i ＝15(x i －x )2＝1570，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308，设所求的回归直线方程为y ^＝bx ＋a ， 则b ＝3081570≈0.1962，a ＝y －b x ＝23.2－109×3081570≈1.8166，故所求回归直线方程为y ^＝0.1962x ＋1.8166.(3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．22．(12分)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)6s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．[解]本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算．(1)由这6位同学的平均成绩的75分，建立关于x6的方程，可求得x6，然后求方差，再求标准差；(2)用列举法可得所求古典概型的概率．(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90.这6位同学成绩的方差s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.。