数学3.1.1《函数的平均变化率》教案(1)(新人教B版选修1-1)
新人教B版高中数学(选修1-1)3.1.1《函数的平均变化率》
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3
3V . 4
当空气容积V从 0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从 V1 增加到V2时, 气球的平 均膨胀率是多少 ?
1.1变化率与导数
丰富多彩的变化率问题随处可见. 让我们从其中的两个问题, 开始变 化率与导数的学习吧!
2019/2/12
1.1.1函数的平均变化率
2019/2/12
问题1 气球膨胀率 很多人都吹过气球 .回忆一下吹气球的过程 , 可以发现, 随着气球内空气容量的 增加, 气球 的半径增加得越来越慢 .从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是 V r r , 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
x是一个整体符号 , 而不是与 x相乘.
可把x 看作是相对于x1 的一个" 增量" , 可用 x1 x代替x2 ; 类似地, f f x2 f x1 . f 于是, 平均变化率可表示为 . x
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y
y f x f x 2 f x 1 f x2 f x1
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问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s 2 存在函数关系 h t 4.9t 6.5t 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率教案新人教B版选修1_1
3.1.1 函数的平均变化率预习导航平均变化率思考1直线的斜率k ，倾斜角θ及直线上两点坐标之间有什么关系？提示：设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)(x 0≠x 1)，自变量x 的改变量x 1－x 0记为Δx ，函数值的改变量y 1－y 0记为Δy ，即Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0. 直线AB 的倾斜角为α，斜率为k ，则有k ＝tan_α＝y 1－y 0x 1－x 0＝Δy Δx. 思考2平均变化率的取值一定是正数吗？提示：不一定．平均变化率可正、可负，也可以为零，平均变化率为0，函数f (x )并不一定没有发生变化．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率(第1课时)
1．如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在 t 到 t＋Δt 这段 时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率，即 v ＝ Δs Δt.
2．解答此类题目，首先要明确自变量与函数值的实际意义， 然后利用定义求平均变化率，并结合题意回答有关问题．
一质点作直线运动，其位移 s 与时间 t 的关系为 s(t)＝t2＋1， 该质点在 2 到 2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于 5，求 Δt 的取值 范围．
题目类型二、平均变化率的比较
试比较正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变 化率的大小．
【思路探究】 先求出 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变 化率，再作差比较．
【自主解答】 当自变量从 0 变到 Δx 时，函数的平均变化率
为
k1＝sin
Δx－sin Δx
2．函数 f(x)＝2x 在 x1＝1 到 x2＝1＋Δx 的平均变化率怎样计算 呢？
【提示】 fxx22－ －fx1x1＝f11＋＋ΔΔxx－ －1f1＝21＋ΔΔxx－2×1＝2.
已知函数 y＝f(x)在点 x＝x0 及其附近有定义，令 Δx＝x－x0； Δy＝y－y0＝ f(x)－f(x0) ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) ，则当 Δx≠0 时，比 值fx0＋ΔΔxx－fx0＝ΔΔyx叫做函数 y＝f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均 变化率.
2．求函数 f(x)的平均变化率的步骤： (1)求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
1．下列说法错误的是( ) A．函数的平均变化率可以大于零 B．函数的平均变化率可以小于零 C．函数的平均变化率可以等于零 D．函数的平均变化率不能等于零 【解析】 根据比值：fx0＋ΔΔxx0－fx0，当 Δx0≠0 时，f(x0＋Δx) －f(x0)可以为零，所以函数的平均变化率可以等于零． 【答案】 D
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。
教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。
教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。
Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。
Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。
Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。
Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。
3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。
3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。
2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。
讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。
3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。
4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。
九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。
版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 函数的平均变化率学案(含解析)新人教B版选修1-1
3．1.1 函数的平均变化率学习目标1。
理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．知识点函数的平均变化率1．函数的平均变化率的定义已知函数y＝f（x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0；Δy＝y－y0＝f（x)－f(x0）＝f（x0＋Δx）－f(x0)．则当Δx≠0，比值错误!＝错误!叫做函数y＝f（x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．2．平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．3．作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx］上变化的快慢．4．几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f（x2))是函数y＝f（x）的图象上两点，则平均变化率错误!＝错误!表示割线P1P2的斜率．1．在平均变化率的定义中,自变量x的增量Δx＞0。
( ×)2．对于函数f(x)在区间［x1，x2］内的平均变化率也可以表示为错误!。
( √)3.错误!＝错误!是f(x）在区间[x0,x0＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率,也可以说是f（x)在x＝x0处的变化率．（×）题型一函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数f（x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率,取Δx的值为错误!，哪一点附近的平均变化率最大？考点题点解在x＝1附近的平均变化率为k1＝错误!＝错误!＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝错误!＝错误!＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝错误!＝错误!＝6＋Δx。
若Δx＝错误!,则k1＝2＋错误!＝错误!，k2＝4＋错误!＝错误!，k3＝6＋错误!＝错误!，由于k1<k2〈k3,故在x＝3附近的平均变化率最大．反思感悟求平均变化率的主要步骤（1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．（2）再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1。
（3)得平均变化率错误!＝错误!.跟踪训练1 已知函数f（x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6）及邻近一点B（－1＋Δx，－6＋Δy)，则错误!＝________.考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案Δx解析错误!＝错误!＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6Δx＝Δx。
2018-2019学年人教B版选修1-1函数的平均变化率教案
函数的平均变化率学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)定义式：Δx Δy ＝x2－x1f(x2.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δx Δy ＝x2－x1f(x2表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？[提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δx Δy ＝lim Δx →0 Δx f(x0＋Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δx Δy ＝lim Δx →0Δx f(x0＋Δx .[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零． ( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )(3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1D [Δ＝Δt Δs ＝ 2.1－23＋2.12－(3＋22＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的平均变化率2则Δx Δy＝( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．[解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1)＝2(Δx )2＋4Δx∴Δx Δy＝2Δx ＋4，故选C.(2)由题意知，＝k OA ，＝k AB ，＝k BC .根据图象知<<.(3)Δv ＝34π×23－34π×13＝328π.∴Δr Δv ＝328π.[答案] (1)C (2)<< (3)328π1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δx Δy ＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为(x0＋Δx f(x0＋Δx＝Δx ＋2＝Δx 6x0·Δx ＋3(Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx )2＋3Δx ，∴Δx Δy ＝Δx －(Δx＝－Δx ＋3.]求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝3t2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度；(2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据＝Δt Δs求解．(2)先求Δt Δs ，再求lim Δx →0 Δt Δs . [解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δt Δs ＝248＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δt Δs ＝Δt 3(Δt ＝3Δt －12(m/s)， 则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 Δt Δs＝lim Δx →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.[解] v ＝lim Δx →0 Δt s(2＋Δt ＝lim Δx →0Δt 2×(2＋Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)， ＝3－1s(3＝22×32＋3－(2×12＋3＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δt Δy；②求t 1＝4时的导数．[思路探究] (1)→Δx Δy →Δy Δx(2)①→Δt Δy②→Δt Δy →Δy Δt[解析] (1)Δy ＝－1，Δx Δy ＝Δx 1＋Δx －1＝＋11，lim Δx →0 ＋11＝21，所以y ′|x ＝1＝21.[答案] 21(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 12·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，Δt Δy＝48.120 1.②lim Δx →0 Δt Δy ＝lim Δx →0 [3t 12＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 12＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.3．求函数y ＝x －x 1在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－1＋Δx 1－11＝Δx ＋1＋Δx Δx ，∴Δx Δy ＝1＋Δx ＝1＋1＋Δx 1.当Δx →0时，Δx Δy→2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －x 1在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δx Δy 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 C [Δx Δy ＝Δx f(1＋Δx ＝Δx 2(1＋Δx ＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4ΔtB [＝Δt 4－2(1＋Δt ＝Δt －4Δt －2(Δt ＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________. 8 [s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2－2×22＝2(Δt )2＋8Δt .∴lim Δt →0 Δt s(2＋Δt ＝lim Δt →0 Δt 2(Δt ＝lim Δt →0 (2Δt ＋8)＝8.]4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.2 [f ′(1)＝lim Δt →0 Δx f(1＋Δx ＝lim Δt →0 Δx a(1＋Δx ＝a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.]5．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[解] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δx Δy ＝Δx 2(Δx ＝2Δx ＋16.y ′|x ＝3＝lim Δt →0 Δx Δy ＝lim Δt →0 (2Δx ＋16)＝16.。
人教B版高中数学选修函数的平均变化率学案
§3.1.1变化率问题【学习目标】了解平均变化率的定义。
理解公式并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
【自学点拨】[问题1] 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x 的___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________[问题2] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________[问题3]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________在21≤≤t 这段时间里，v =_________________在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________ [问题4]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。
（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题5] 平均变化率=∆∆x f12)()(x x x f x f --表示什么?【课前练习】1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） x 2 AA 、4B 、2C 、41D 、43 2、经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________3、如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______【课后练习】1、 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1] (3)[0.99,1] (4)[1,1.001]2、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
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变化率
一．内容与内容解析
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。
以气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题为背景，引出平均变化率的概念。
设函数在上有定义，设，，则称为函数从
到的平均变化率。
记（自变量的增量），（函数的增量），
则平均变化率可表示为。
本质是对应函数的增量与自变量的增量的比值；表示函数在某一范围内平均的变化趋势（增减）和快慢程度。
在高台跳水问题中，通过从平均速度到瞬时速度的过程抽象出瞬时速度的概念，再抽象出瞬时变化率的概念。
设函数在及其附近有定义，在附近给自变量以增量，
则函数有相应的增量，若趋近于0时，
趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为当趋近于0时的极限，记作。
设函数在及其附近有定义，若存在，则称它为函数在的瞬时变化率，也称它为函数在的导数，记作或
，即。
本质是函数在某一点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，而瞬时变化率就是函数在这一点附近平均变化率的极限（当自变量增量趋近于0）。
二．目标和目标解析
本节课要求学生能借助对气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题的研究，提炼出平均变化率的概念，并能正确理解平均变化率的定义。
通过实例、直观感知、讨论、探究，理解瞬时速度的含义、感受逼近的思想。
通过探究归纳出瞬时变化率的概念，并能理解瞬时变化率就是导数。
三．教学问题诊断分析
学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．
但是由于新教材是以模块的形式进行展开教学的，文科学生选修这一系列。
文科学生的数学一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。
教学的难点是对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释，概括抽象函数的平均变化率，逼近思想下的瞬时变化率的理解。
教学重点是平均变化率、瞬时变化率的理解。
方式是特殊到一般、具体到抽象、实际问题到数学问题的过程。
四．教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，可以借助计算机辅助教学，增加课堂上知识之间的交互性，用气球做试验，提高学生的兴趣和课堂效率．
五．教学设计
（ⅰ）课题引入
利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。
导数是微积分的核心概念之一。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。
引出学习本章的意义及重要性。
设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。
(ⅱ) 问题链设计
（1）老师吹气球，学生观察，思考每次吹入差不多大小的气体，气球变大的速度一样吗？
设计意图：从简单的背景出发，利用学生原有的知识经验培养学生观察、总结的能力，激发学生求知欲望。
（2）从数学的角度如何研究呢？
（3）从图象上观察：取相同的观察的变化情况？取相同的观察变化相同吗？那
哪段上气球变大得快呢，为什么？
（4）若取不同的、那哪段上气球变大得快呢，为什么？
设计意图：从特殊到一般进一步理解平均膨胀率
（5）气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，能否归纳出函数的平均变化率？
设计意图：从平均膨胀率抽象出平均变化率，引出平均变化率的概念。
（6）观看十米跳台，那么在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少，在1秒到2秒时间段内呢，在时间段内？
（7）在某一段时间里的平均变化率分别为正数，负数，0的时候，其运动状态是怎样的？
（8）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
设计意图：体会平均速度可以描述运动员某段时间内运动的快慢，但不能表示运动员的运动状态，激发学生的求知欲，自然的引出瞬时速度的概念。
（9）根据物理中的知识，运动员在每一个时刻必有瞬时速度，那么如何求瞬时速度呢？（10）当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
（11）从物理角度看趋近于0，平均速度趋近于什么？
设计意图：从实例出发引出平均速度与瞬时速度的关系
（12）运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？
（13）函数在处的瞬时变化率怎样表示？
设计意图：从特殊到一般抽象出函数瞬时变化率（导数）的概念。
让学生体会从一般到特殊。
（14）请同学们回想一下，我们这节课都进行了哪些活动？学习了哪些概念？
设计意图：通过复习本节课的内容，使学生对所学的知识有一个系统的认识。