高考数学一轮复习： 专题8.4 直线、平面平行的判定与性质(练)

第04节直线、平面平行的判定与性质A 基础巩固训练1.【福建卷】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．2.【陕西五校一模】已知直线a 和平面α，那么a ∥α的一个充分条件是()． A ．存在一条直线b ，a ∥b 且b ⊂αB ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥α C ．存在一个平面β，a ⊂β且α∥βD ．存在一个平面β，a ∥β且α∥β 【答案】C3.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是()A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 【答案】C【解析】对于图形①：平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ，对于图形④：AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ，图形②，③都不可以，故选C. 4.已知a ，b 为异面直线，下列结论不正确的是（） A ．必存在平面α使得//a α，//b α B ．必存在平面α使得a ，b 与α所成角相等 C ．必存在平面α使得a α⊂，b α⊥ D ．必存在平面α使得a ，b 与α的距离相等 【答案】C.【解析】若C 成立，则可知b a ，故C 不正确，A ，B ，D 均正确，故选C.5.如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD,BC ⊥BD,平面ABD ⊥平面BCD,点E,F(E 与A,D 不重合)分别在棱AD,BD 上,且EF ⊥AD.求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC.【答案】D(第15题)ADBC EFB能力提升训练1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G 分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形【答案】B【解析】如图，由题意知EF ∥BD ， 且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12BD .∴EF ∥HG ，且EF ≠HG . ∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行．故选B.2.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为() A ．3B ．2C ．1 D ．0【答案】C3.对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题是真命题的是() A ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n【答案】D【解析】正三棱锥P－ABC的侧棱PA、PB与底面成角相等，但PA与PB相交应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行或相交，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C．∵m、n共面，设经过m、n的平面为β，∵m⊂α，∴α∩β＝m，∵n∥α，∴n∥m，故D正确．4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为______．【答案】平行5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，12BC CD AD==.P（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，只要在平面ABCD上作//CM AB交AD于M即得；（Ⅱ）要证面面垂直，先证线面垂直，也就要证线线垂直，本题中有PA BD⊥（由线面垂直的性质或定义得），另外可以由平面几何知识证明BD AB ⊥，从而有线面垂直，再有面面垂直． 试题解析：P（I ）取棱AD 的中点M(M ∈平面PAD)，点M 即为所求的一个点.理由如下： 因为AD‖BC,BC=12AD ，所以BC‖AM,且BC=AM. 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM‖AB. 又AB ⊂平面PAB,CM ⊄平面PAB, 所以CM ∥平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N,则所找的点可以是直线MN 上任意一点) （II ）由已知，PA ⊥AB,PA ⊥CD, 因为AD ∥BC,BC=12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥BD. 因为AD ∥BC,BC=12AD ， 所以BC ∥MD,且BC=MD. 所以四边形BCDM 是平行四边形. 所以BM=CD=12AD ，所以BD ⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD ⊥平面PAB. 又BD ⊂平面PBD,所以平面PAB ⊥平面PBD.z.x..xkC 思维扩展训练1.已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n⇒n ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中正确命题的序号是()A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④【答案】B【解析】①不正确，n 可能在α内． ②正确，垂直于同一平面的两直线平行． ③正确，垂直于同一直线的两平面平行． ④不正确，m 、n 可能为异面直线．故选B.2.若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内与过B 点的所有直线中() A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线 【答案】A【解析】当直线a 在平面β内且经过B 点时，可使a ∥平面α，但这时在平面β内过B 点的所有直线中，不存在与a 平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a 平行的直线． 3.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若m α，n β，m ∥n ，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ则α∥β；④若m ，n 是异面直线，m α，m ∥β，n β，n ∥α，则α∥β. 其中真命题的序号是________． 【答案】①④4.如图，在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA ⊥AC ，AB ⊥BC ．设D 、E 分别为PA 、AC 中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求证：BC ⊥平面PAB ；(3)试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．【解析】(1)证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC．(2)证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC．所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB．(3)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．5.如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AD BC //，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）82． 【解析】试题解析：MFH QNPABCDEMH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD=1．在△PCD 中，由PC=2，CD=1，PD=2得CE=2， 在△PBN 中，由PN=BN=1，PB=3得QH=41， 在Rt△MQH 中，QH=41，MQ=2， 所以sin∠QMH=82，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是82．。