1.2.2 单位圆与三角函数线

2π 3π 和的正弦线、余弦线和正切线. 3 4
解：在直角坐标系中作单位圆 如图所示.以Ox轴正方向为始边 2π 作 的终边与单位圆交于P点， 3 作PM ⊥ Ox轴，垂足为M，由单位 圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的 垂线与OP的反向延长线交于T点，
2π 2π 2π 则sin = MP,cos = OM,tan = AT. 3 3 3 2π 即 的正弦线为MP，余弦线为OM，正 3 切线为AT.
点的横、纵坐标，也分别等于 OM , ON 的数量, 即
cos x OM sin y ON
一般结论：角α的余弦和正弦值分别等于角α的终边与 单位圆交点的横坐标，纵坐标，即 cosα=x=OM
sinα=y=ON
我们把向量OM,ON(MP)叫做角α 的余弦线，正弦线.
y
T1
M2
5 7 解： sin sin 4 6
T2
cos
M1
5 7 cos 4 6
P2 P1
o
A
x
5 7 tan tan 4 6
1 3. 已知sinx= ，求角x的大小.(0º<x<360º) 2 y 解：由在y轴上找到
y=0.5的点，做x轴的
平行线，交单位圆于
点P和P′两点，由三 角函数线知x1=30º, x2=150º.
x
三角函数线的作法如下：
1.建立平面直角坐标系，画出单位圆. 2.找出 终边所在位置，设 的终边与单位圆交于点P, 作 PM x轴 于M，作 PN y轴 于N ，则 MP或ON 是正弦 线， OM 是余弦线. 3.设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A切线与角的终
3π 的正弦线、余弦线和 4
同理可作出
正切线，如图，
sin(3π 3π 3π )= M P,cos()= OM ,tan()= AT . 4 4 4
3π 即 4
的正弦线为 MP ，余弦线为 OM ,正切线为 AT .
例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.
4 2
A. sinθ>cosθ>tanθ C. tanθ >sinθ>cosθ
B. cosθ> tanθ>sinθ D. sinθ>tanθ>cosθ
2.利用三角函数线比较三角函数值的大小.
5 7 sin 与sin 4 6
5 7 cos 与cos 4 6
5 7 tan 与tan 4 6
N o
P（x,y）
向量MP的数量MP = y
M
x
当终边在第一象限时，角α 的正余弦与Ｐ的纵、横坐标y、
x之间有何关系？
y
y sin y 1
x cos = x 1
N o
P
由问题１、２你得到角α 的正余弦值 与向量的数量有什么关系？
M
x
结论： 第一象限角α 的余正弦值分别等于终边与单位圆交
正切线在单位圆与x轴正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外.
y P o T P MA x
y
A
y
y
Mo
x
T
M P
T
o
A
x
o
M A P T
x
(2)三角函数线的方向: 正弦线由垂足指向α 的终边与单位圆的交点,
余弦线由原点指向垂足；
正切线由切点指向与α 终边的交点.
例1.分别作出
y
解：由三角函数线得
sin1<sin1.5 cos1>cos1.5
x
y tan2<tan3 x
1、如果 MP和 OM 分别是角 7 的正弦线和余弦线，
那么下列结论中正确的是（
D ）
8
A. MP<OM<0 B. OM>0>MP C. OM<MP<0 D. MP>0>OM 2、若 则下列各式中正确的（ C ）
当角α的终边落在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成
了一点.数量为零,正切线不存在.
角α 的终边在三、四象限时也能用类似的方法找到一 个向量，使其数量为tanα .(如下图所示）
以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α 角的终
边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tanα =AT(或
3、情感目标:
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数 形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空 间.
对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表
示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正 弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示 法
知识回顾 （1）角 α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
边交于点T（或其反向延长线交于点
2.三角函数线的应用： （1）利用三角函数线比较三角函数值的大小； （2）已知三角函数值求角.
把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读
一本书。 ——麦考莱
y
α 终边
y p
p(x , y)
o
M
x
M
o
x
一二象限正、余弦线
y
y
M o p
M
x
o p
x
三四象限正、余弦线
α是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于x轴向
量，使它的数量为α的正切？
Ｔ点是过单位圆与x轴正半轴交点Ａ作圆的切线与α 终边
的交点．tan AT y P o M A x T
角α 是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴向量，
负.
A B
从定义看出：角α 的三角函数是两个变量的比值.为了简 单地计算其正余弦、正切我们可以使分母为1. 当r=1时，即p点到原点的距离为1.所有满足条件的点P构 成什么图形？
以原点为圆心，半径为１的圆.
我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与 坐标原点重合，如图所示，设任意角α 与单位圆交于 点p(x , y)，则r = |op| = 1.
其数量为tanα ？ T1的坐标为（-1，y1）则 y1 y1 tanα = 1 能否找到一个以Ａ点为起点在过A 的 y α 的终边 ·T1（-1，y1 ） A A1 o (Ⅱ) T′
切线上的向量，使这一向量的数量为
tanα ？
tan AT '
α 终边在x轴上 在y轴上时，三角函数线有何特点？数量 值是什么？ 解答：角α的终边在x轴上时,点P与点M 重合,点T与点A 重合,此时,正弦线和正切线变成了一点,它们的数量为0, 而余弦线OM=1或-1
y
P(x,y)
o
α
x
x y y cos ， sin ， tan . r r x
（2）角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置 是否有关？ 与点P位置无关，与角α 大小有关 (3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？
数轴上的向量 AB 的坐标是一个实数，这个实数的绝对 值为线段的长度，如果方向与轴方向相同取正，反之取
1.2.2 单位圆与三角函数线
1、知识目标: (1)了解单位圆的概念. (2)能够用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函 数值.
2、能力目标：
(1)理解并掌握单位圆、有向线段的概念. (2)正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α 的 正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦 线、正切线表示出来.
y
y sinα = cosα =
α 终边 p(x , y)
1 x
1
= y = x o
x
当角α 是第一象限角时，能否在坐标轴上找两个以原点为 起点的向量,使p点的坐标分别是这两个向量的数量？ 过Ｐ作ＰＭ垂直于X轴于Ｍ，作ＰＮ垂直于Y轴于Ｎ，则点 Ｍ，Ｎ分别是Ｐ点在X轴和Y轴上的正射影（简称射影)
向量ON的数量ON = y 向量OM的数量OM = x
AT′)
我们把轴上向量 AT (或AT ') 叫做α 的正切线.
y P
y' T (1,tan ) x A(1,0) T'

一、二象限正切线
O 三、四象限正切线
1
y
P o T
y
y
y T
A
P Mo
A
MA x
x
T
M P
o
x
o
M A P T
x
(1)三角函数线位置: 正弦线为α 的终边与单位圆的交点到x轴的垂直的有向线 段，余弦线在x轴上;