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第25 题

专题复习训练 ( 含答案）

1.已知△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ADE=90°，点 F 为 BE的中点，连接 DF、CF。（1）如图 1，当点 D 在 AB上，点 E 在 AC中点，DE 2 ,求CF；

（2）如图 2，在（ 1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转45°时，线段 DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；

（3）如图 3，在（1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；

2. 如图所示，△ ABC ，△ ADE 为等腰直角三角形，∠ ACB= ∠AED=90°．F 为线段 BD 的中点．（ 1）

如图 1，点 E 在 AB 上，点 D 与 C 重合， EF=2，求 AB 的长 .

（ 2）如图 2，当 D、 A 、 C 在一条直线上时．线段EF 与 FC 有何数量关系和位置关系？证明你的结论；

（ 3）如图③，连接EF、 FC，线段 EF 与 FC 又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．

3.如图 1，△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED= ∠ ACB=90 °，点 D 在 AB 上，连 CE，M 、N 分别为

BD 、 CE 的中点．

（1）求证： MN ⊥CE；

（2）如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°， CE 与 MN 有何数量关系和位置关系？证明你的结论．

4. 已知，如图1，等腰直角△ ABC 中， E 为斜边 AB 上一点，过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F，连接 AF， G为 AF 的中点，连接EG， CG。

（1）如果 BE=2，∠ BAF=30°，求 EG， CG的长；

（2）将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°，得如图 2 所示，取 AF 的中点 G，连接 EG，CG。延长 CG 至 M ，使GM=GC ，连接 EM=EC ，求证：△ EMC 是等腰直角三角形；

（3）将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度，得如图 3 所示，取 AF 的中点 G，再连接 EG， CG，问线段 EG 和

GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

M

A A

A

G

F

G

G

E E

F E

B F

C B C B C

图 1图 2图 3

5.已知正方形 ABCD中，点 E在BC上，连接 AE，过点 B作 BF⊥ AE于点 G，交 CD

于点 F。（ 1）如图 1，连接 AF，若 AB＝ 4， BE＝1，求 AF的长；

（ 2）如图 2，连接 BD，交 AE于点 N，连接 AC，分别交 BD、BF于点 O、M，连接 GO，求证： GO平分∠ AGF；（ 3）如图 3，在第（ 2）问的条件下，连接CG，若 CG⊥ GO，求证：AG2CG .

6.在△ ABC中， AB=AC，点 F是BC延长线上一点，以 CF为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF与点 A在 BC的同侧，连结 BE，点 G是 BE的中点，连结 AG、 DG．

（1）如图①，当∠ BAC=∠ DCF=90°时，已知 AC=3 2， CD=2，求 AG的长度；

（2）如图②，当∠ BAC=∠ DCF=60°时， AG与 DG有怎样的位置和数量关系，并证明；

（3）当∠ BAC=∠ DCF=α时，试探究 AG与 DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．

图 1图2图3

7. 已知等腰Rt △ABC 和等腰 Rt △ AED 中，∠ ACB= ∠AED=90 °，且 AD=AC

（ 1）发现：如图1，当点 E 在 AB 上且点 C 和点 D 重合时，若点M 、 N 分别是 DB 、 EC 的中点，则MN 与 EC

1

的位置关系是 ______， MN 与 EC 的数量关系是 MN= 2

EC

（ 2）探究：若把（ 1）小题中的△ AED 绕点 A 旋转一定角度，如图 2 所示，连接 BD 和 EC，并连接 DB 、 EC 的中点 M 、N ，则 MN 与 EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转 45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，

请说明理由．

8.重庆一中初 2016九上期末

如图 1，在等腰Rt ACB中，ACB 90 ， AC BC ；在等腰 Rt DCE 中，DCE 90 ， CD CE ；点 D 、 E 分别在边 BC 、 AC 上，连接 AD 、 BE ，点 N 是线段 BE 的中点，连接 CN 与 AD 交于点 G .

（ 1）若

CN 6.5，CE5，求BD的值 .

（ 2）求证： CN AD .

（ 3）把等腰Rt DCE 绕点 C 转至如图2位置，点 N 是线段 BE 的中点，延长NC 交 AD 于点 H ，请问（ 2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.

图 2

9.(西南大学附属中学初2016 级九年级第七次月考 )

已知，如图1，等腰直角△ ABC 中， E 为斜边 AB 上一点，过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F，连接 AF，G 为 AF 的中点，连接EG， CG。

（1）如果 BE=2，∠ BAF=30°，求 EG， CG的长；

（2）将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°，得如图 2 所示，取 AF 的中点 G，连接 EG，CG。延长 CG 至 M ，使GM=GC ，连接 EM=EC ，求证：△ EMC 是等腰直角三角形；

（3）将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度，得如图 3 所示，取 AF 的中点 G，再连接 EG， CG，问线段 EG 和

GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

M

A A

A

G

F

G

G

E E

F E

B F

C B C B C

图 1图 2图 3

10.( 重庆实验外国语学校 2015-2016学年度下期第一次月考)

已知四边形 ABCD是正方形，△ AEF是等腰苴角三角形，∠ AFE=90°，点 M是 CE的中点，连接DM.(1) 如图 1，当点E、

F分别在 AD、AC上时，若 AD=4，EF= 2 ，求DM的长；(2)如图2，当点E在BA延长线上时，连接DF、FM，求

证:DM=FM,DM

⊥FM； (3) 如图 3，当点 E不在 BA延长线上且点 F在 DE上时 , 过点 A作 AG⊥ EC，垂足为 G，连接 FM，试探究 DM

与 FM的关系。

5

11.( 重庆八中初 2016 级初三（下）第三次月考 )

以 A 为顶角顶点的等腰三角形

ABC 和等腰三角形 ADE ，D 在 BC 边上， E 在 AB 边上， F 为线段 AD 上一点，

连接 FC ，

BDE

1

FCA ．

2

(1) 如图 1．若 AB=

6 ，∠ BAC= 30°，求 S ABC

(2) 如图 1，求证： FA=FC ．

(3) 如图 2，延长 CF 交 AB 于 G ，延长 AB 到 M 使 GM=AC ，连接 CM ，∠ BAD= ∠ BCG ， N 是 GC 的中点，探究 AN 与 CM 之间的数量关系并证明．

A

A

G

F

F

E

C

E B

N

D

B D

C

图 1

M

图 2

2016 重庆中考数学第25 题专题复习训练答案

1.已知△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ADE=90°，点 F 为 BE的中点，连接 DF、CF。（4）如图 1，当点 D 在 AB上，点 E 在 AC中点，DE 2 ,求CF；

（5）如图 2，在（ 1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转45°时，线段 DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；

（6）如图 3，在（1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；

(1) CF5(2)CF DF ,CF DF(如图)(3)CF DF ,CF DF （如图）

2. 如图所示，△ ABC ，△ ADE 为等腰直角三角形，∠ ACB= ∠AED=90°．F 为线段 BD 的中点．（ 1）如图 1，点 E 在 AB 上，点 D 与 C 重合， EF=2，求 AB 的长 .

（ 2）如图 2，当 D、 A 、 C 在一条直线上时．线段EF 与 FC 有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（ 3）如图③，连接EF、 FC，线段 EF 与 FC 又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．

3.如图 1，△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED= ∠ ACB=90 °，点 D 在 AB 上，连 CE，M 、N 分别为BD 、 CE 的中点．

（1）求证： MN ⊥CE；

（2）如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°， CE 与 MN 有何数量关系和位置关系？证明你的结论．

4. 已知，如图1，等腰直角△ ABC 中， E 为斜边 AB 上一点，过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F，连接 AF， G为 AF 的中点，连接EG， CG。

（1）如果 BE=2，∠ BAF=30°，求 EG， CG的长；

（2）将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°，得如图 2 所示，取 AF 的中点 G，连接 EG，CG。延长 CG 至 M ，使GM=GC ，连接 EM=EC ，求证：△ EMC 是等腰直角三角形；

（3）将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度，得如图 3 所示，取 AF 的中点 G，再连接 EG， CG，问线段 EG 和

GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

M

A A

A

G

F

G

G

E E

F E

B F

C B C B C

图 1图 2图 3

5.在△ ABC中， AB=AC，点 F是BC延长线上一点，以 CF为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF与点 A在 BC的同侧，连结 BE，点 G是 BE的中点，连结 AG、 DG．

（1）如图①，当∠ BAC=∠ DCF=90°时，已知 AC=3 2， CD=2，求 AG的长度；

（2）如图②，当∠ BAC=∠ DCF=60°时， AG与 DG有怎样的位置和数量关系，并证明；

（3）当∠ BAC=∠ DCF=α时，试探究 AG与 DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．

图 1图2图3

6. （2014? 密云县二模）已知等腰Rt △ ABC 和等腰 Rt △ AED 中，∠ ACB= ∠AED=90 °，且 AD=AC

（ 1）发现：如图1，当点 E 在 AB 上且点 C 和点 D 重合时，若点M 、 N 分别是 DB 、 EC 的中点，则MN 与 EC

1

的位置关系是 ______， MN 与 EC 的数量关系是 MN= 2 EC

的中点 M 、N ，则 MN 与 EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，

请说明理由．

1

（1） MN ⊥ EC， MN= 2 EC；

理由：∵当点 E 在 AB 上且点 C 和点 D 重合时，点M 、 N 分别是 DB 、EC 的中点，

1

∴ MN 是三角形BED 的中位线，∴MN ∥2

BE，∵等腰Rt△ ABC 和等腰 Rt△AED 中，∠ ACB= ∠ AED=90°，

且 AD=AC ，∴ BE=DE ，∠ AED=90°，

1

∴ MN 与 EC 的位置关系是：MN ⊥ EC， MN 与 EC 的数量关系是：MN= 2 EC．

1

（ 2） MN ⊥ EC， MN= 2

EC；

理由：如图3，连接 EM 并延长到 F，使 EM=MF ，连接 CM 、 CF、 BF．

在△ EDM和△ FBM 中， DM ＝ MB∠ EMD ＝∠ FMB ME ＝ FM ，∴△ EDM ≌△ FBM （ SAS），

∴BF=DE=AE ，∠ FBM= ∠ EDM=135°，∴∠ FBC= ∠ EAC=90°，

在△ EAC 和△ FBC 中， AE ＝ BF∠ EAC＝∠ FBC AC ＝ BC ，∴△ EAC ≌△ FBC （ SAS），

∴FC=EC ，∠ FCB= ∠ECA ，∴∠ ECF= ∠ FCB+∠ BCE= ∠ ECA+ ∠ BCE=90°，∴ EC⊥ FC，

又∵点 M 、N 分别是 EF、 EC 的中点，∴ MN ∥ FC，∴ MN ⊥ EC，

如图 4，连接 EM 并延长交BC 于 F，∵∠ AED= ∠ ACB=90°，∴ DE ∥ BC，

∴∠ DEM= ∠ BFM ，∠ EDM= ∠ MBF ，在△ EDM 和△ FBM 中，

7.如图 1，△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED= ∠ ACB=90 °，点 D 在 AB 上，连 CE，M 、N 分别为BD 、 CE 的中点．

（1）求证： MN ⊥CE；

（2）如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°，求证： CE=2MN ．

解：（ 1）证明一：

延长 DN 交 AC 于 F，连 BF，∵ N 为 CE 中点，∴ EN=CN ，

∵△ ACB 和△ AED 是等腰直角三角形，∠AED= ∠ ACB=90°， DE=AE ，AC=BC ，

∴∠ EAD= ∠ EDA= ∠ BAC=45°，∴ DE∥AC ，∵ EN=NC∴△ EDN≌△ CFN，

∴DN=FN ， FC=ED ，∴ MN 是△ BDF 的中位线，∴ MN ∥BF ，∵ AE=DE ， DE=CF ，

∴AE=CF ，∵∠ EAD= ∠ BAC=45°，∴∠ EAC= ∠ ACB=90°，

在△ CAE 和△ BCF 中， CA ＝ BC∠ CAE＝∠ BCF AE ＝ CF∴△ CAE≌△ BCF（SAS），

∴∠ ACE= ∠ CBF ，∵∠ ACE+ ∠ BCE=90°，∴∠ CBF+ ∠ BCE=90°，即 BF ⊥ CE，

∵ MN ∥BF，∴ MN ⊥ CE．

证明二： (如图 )证明三：（如图）

(2)证明一：

延长 DN 到 G，使 DN=GN ，连接 CG，延长 DE 、 CA 交于点 K，

∵M 为 BD 中点，∴ MN 是△ BDG 的中位线，∴ BG=2MN ，

在△ EDN 和 ?CGN 中， DN＝ NG∠DNE＝∠ GNC EN＝ NC∴△ EDN≌△ CGN（SAS），∴DE=CG=AE ，∠ GCN= ∠ DEN ，∴ DE ∥ CG，∴∠ KCG= ∠ CKE ，

∵∠ CAE=45° +30°+45°=120°，∴∠ EAK=60°，∴∠ CKE= ∠ KCG=30°，∴∠

BCG=120°，在△ CAE 和△ BCG 中， AC ＝BC ∠ CAE ＝∠ BCG AE ＝ CG

∴△ CAE ≌△ BCG（ SAS），∴ BG=CE ，∵ BG=2MN ，∴ CE=2MN ．

B

M

D

E

N

C

A

G

8.( 重庆南开初 2016级九年级（上）期末 ) 已知正方形 ABCD中，点 E在 BC上，连接 AE，过点 B作 BF⊥AE于点 G，交CD 于点 F。

（1）如图 1，连接 AF，若 AB＝ 4， BE＝1，求 AF的长；

（2）如图 2，连接 BD，交 AE于点 N，连接 AC，分别交 BD、BF于点 O、M，连接 GO，求证： GO平分∠ AGF；（ 3）如图 3，在第（ 2）问的条件下，连接CG，若 CG⊥ GO，求证：AG2CG .

9. 重庆一中初

2016 九上期末 如图 1，在等腰 Rt ACB 中， ACB 90 ， AC BC ；在等腰 Rt DCE 中，

DCE 90 ， CD CE ；点 D 、 E 分别在边 BC 、 AC 上 ，连接 AD 、 BE ，点 N 是线段 BE 的中点，连接

CN 与 AD 交于点 G .

BD

（ 3 ）若 CN

6.5

CE 5

，求 的值 .

，

（ 4 ）求证： CN AD .

（ 3）把等腰 Rt DCE 绕点 C 转至如图 2 位置，点 N 是线段 BE 的中点，延长 NC 交 AD 于点 H ，请问

（ 2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由 .

解：

(1)Q ACB 90

BN NE

∴ BN 2CN

2 6.5 13