04-05春工数试卷
九年级数学4月教育质量检测试题扫描版
吉林省长春市农安县2017届九年级数学（4月）教育质量检测试题2017年初中毕业生第一次试考 数学参考答案及评分标准一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBDCABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 6a ； 10. )3)(3(2+-x x ；11. π65；12. 4；13. 1＜a ＜3 ；14. 4.三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解：2)1()1(--+a a a=1222-+-+a a a a （2分） =13-a （4分） 当32=a 时 原式= 1323-⨯=1 （6分） 16. 解：画树状图如下：（不计算和不扣分）（4分）∴P (两张扑克牌上的数字之和是9)=92． （6分）（列表略） 17．解：设骑自行车的速度为x 千米/时，则驾车的速度为4x 千米/时． （1分）根据题意，得15154x x -＝4560． （3分） 解得x ＝15. （5分） 经检验，x ＝15是原方程的解，且符合题意． （6分） 答：骑自行车的速度为15千米/时． 18．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D . 由题意可知在Rt△ADC 中，107 第一张第二张 和49 67689 4 2 4 4 5 2 5 45∠ADC =90°，∠CAD =45°，CD =98， ∴∠ACD =∠CAD =45°.∴AD =CD =98. （3分） 在Rt△ABD 中，BD =AD ×tan ∠BAD =98×1.28=125.44.∴BC =BD +CD =125.44+98=223.44≈223.4（米）.答：塔高BC 约为223.4米. （7分）19.．(1)1+1+3+5+4+3+2+1=20(户),所以小丽一共调查了20户家庭. (2分) (2)4 4.5 (4分) (3)1×1+2×1+3×3+4×5+5×4+6×3+7×2+8×1=92(吨). ∴2002092⨯2=920(吨). 所以这个小区4月份的用水总量约为920吨. (7分) 20．（1） ∵AE ∥BC ，DE ∥AB ．∴四边形ABDE 是平行四边形．（2分） ∴AE=BD 又∵BD=DC∴AE=DC （3分） 又∵AE ∥DC∴四边形AD CE 是平行四边形 （4分） （2）∵四边形ADCE 是平行四边形，AC=6， ∴AG=GC=3 （5分） 又∵AE ∥BC ∴△AEF ∽△CBF ∴21==BC AE CF AF ∴ AF=2 （6分）∴ FG=1` （7分） 21．解：（1）840128560÷⨯=（米）．第8天时，甲队修了560米． （2分） （2）设所求函数关系式为y kx b =+0k ≠（）．将点（4，360），（8，560）代入，得85604360.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得50160.k b =⎧⎨=⎩，50160(416)y x x =+≤≤． （5分）（3）当16x =时，=5016160960y ⨯+=甲． （6分） 当12x =时，=840y 乙． （7分）∴=9608401800y y ++=乙甲． （8分） 答：这条公路的总长度1 800米．22. 初步探究：△BCD 的面积为212a . （2分）如图，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E . ∴∠BED=∠ACB=90º.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90º得到线段BE ， ∴AB=BD ，∠ABD=90º. ∴∠ABC+∠DBE=90º. ∵∠A +∠ABC =90º. ∴∠A=∠DBE .∴△ABC ≌△BDE .（5分）∴DE=BC=a .∴△BCD 的面积为212a .（7分）_ 简单应用：214a .(9分)23．解：（1）∵PQN ∆与ABC ∆都是等边三角形，∴当点N 落在边BC 上时，点Q 与点B 重合． ∴23t =． 解得32t =． （2分） （2）∵当点N 到点A 、B 的距离相等时，点N 在边AB 的中线上，∴PD DQ =． ∴62t t =-．解得2t =． （4分）E AED（3）如图①，当305t <≤时，2932PQMN S S t ==菱形． （6分） 如图②，当3352t <≤时，22933(53)24PQMN MEF S S S t t ∆=-=--菱形．27315393424S t t =-+-．（8分） （4）1t =或157t =． （10分） 24．（1）把(1,0)A 、(5,0)B 代入2+5y ax bx =+50,25550.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩ （2分） ∴26 5.y x x =-+ （2）对称轴为：63.22b x a -=-=-= 由3223m -=，得53m =．由3123m -=，得73m =． （4分）（3）当6x =时，22656665 5.y x x =-+=-⨯+=∴点D 的坐标为（6,5）．射线AD 所对应的函数表达式为1y x =-(x ＞1)． ∴2(,65)P m m m -+，(,1)Q m m -． 当1＜m ＜6时，222(762)2148.d m m m m =-+-+=-+- （6分）当m ＞6时，222(762)21416.d m m m m =-++=-+ （8分）又2273321482).22d m m m =-+-=--+（ ∴d 随m 的增大而减小时d 的取值范围是4＜d ≤332． （9分） （4）917917933,,.222+-+ （12分） M NE F 图① 图②A MN。
高一数学春期模块4结业考试试卷
高一数学春期模块4结业考试试卷时量:120分钟 满分:100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、210sin 的值是 （ ） A. 21-B. 21C. 23-D. 232、函数12sin()26y x π=-的周期是（ ）A ．12π B ．π C ．2π D. 4π 3、化简式子cos72cos12sin 72sin12+的值是（ ）A ．12 B．2 C．3D4、如果点)cos ,(tan θθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5、已知平面向量)1,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则向量→→-b a 2321的坐标是（ ）Ａ．(21)--，B ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 6、将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是 （ ） Ａ 1sin 2y x = B 1sin()22y x π=-C 1sin()26y x π=-D sin(2)6y x π=-7、已知向量()1,3=→a ，()3,-=→x b ，且→→⊥b a ，则实数x 的值为（ ）A. 3-B. 3C. 1-D. 18、如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA BC AB ++等于(A ．−→−CD B ．−→−OC C ．−→−DA D ．−→−CO9、已知5||=→a ，)2,1(=→b ，且→→b a //，则→a 的坐标为．（ ）A ．(1,2) 或(－1,－2)B ．(－1,－2)C ．(2,1)D ．(1,2)10、已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ）Ａ．10π116ωϕ==， Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==， Ｄ．π26ωϕ==-，二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上。
2021年北京市春天普通高中会考数学试卷
2021年北京市春天普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}2．（3分）已知直线l通过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．33．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C．D．lgx＞04．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3分）要取得函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向上平移个单位 D．向下平移个单位7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．158．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，若是a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．610．（3分）若是α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．3212．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对利用共享单车人群的年龄散布进行了统计，取得的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车利用满意率情况，线采用分层抽样的方式从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．9114．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+415．（3分）已知向量知足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行“生涯计划”体验活动，要求每名学生选择持续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的持续两天中，有一天是礼拜二的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离19．（3分）如图，平面区域（阴影部份）对应的不等式组是（）A． B．C． D．20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“此刻有良马和驽马同时从长安起身到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，以后天天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，以后天天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．（3分）为了增进经济结构不断优化，2021年中央财经领导小组强调“着力增强供给侧结构性改革”.2021年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效越发凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2021年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相较较，；例如2021年第二季度与2021年第二季度相较较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相较较，例如2021年第二季度与2021年第一季度相较较．按照上述信息，下列结论中错误的是（）A．2021年第三季度和第四季度环比都有提高B．2021年第一季度和第二季度环比都有提高C．2021年第三季度和第四季度同比都有提高D．2021年第一季度和第二季度同比都有提高25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G别离为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=；（2）数列{b n}知足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部份交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．30．（5分）同窗们，你们是不是注意到：在雨后的早晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的参观索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有普遍的应用．下面咱们来研究一类与悬链线有关的函数，这种函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=；（2）若是f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）若是f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．2021年北京市春天普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．（3分）已知直线l通过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．3【解答】解：直线l的斜率k==，故选：C．3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C． D．lgx＞0【解答】解：A．x2≥0，因此不正确；B.≥0，因此不正确；C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；D.0＜x≤1时，lgx≤0，因此不正确．故选：C．4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：向量，，且，则6x﹣3×4=0，解得x=2．故选：A．5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①知足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f （x），为偶函数；③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不知足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．故选A．6．（3分）要取得函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可取得函数的图象，故选：B．7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．15【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0知足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2知足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3知足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4不知足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．故选：B．8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，若是a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解：{a n}的前n项和为S n，若是a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），则数列{a n}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则其中最小值为S4．故选：D．9．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．6【解答】解：原式===2．故选：B．10．（3分）若是α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为锐角，，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选：B．12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，故选：D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对利用共享单车人群的年龄散布进行了统计，取得的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车利用满意率情况，线采用分层抽样的方式从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．91【解答】解：由分层抽样的概念得应抽取20﹣30岁的人数为200×45.5%=91人，故选：D14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．15．（3分）已知向量知足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：按照题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则cosθ==，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选：B．16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行“生涯计划”体验活动，要求每名学生选择持续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的持续两天中，有一天是礼拜二的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行“生涯计划”体验活动，要求每名学生选择持续的两天参加体验活动，大体事件有4个，别离为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），（礼拜三，礼拜四），（礼拜四，礼拜五），有一天是礼拜二包括的大体事件有2个，别离为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），∴某学生随机选择的持续两天中，有一天是礼拜二的概率为p=．故选：D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：按照题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），若t==2，则x=4，即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．18．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；|MN|==，且﹣＜＜+，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．19．（3分）如图，平面区域（阴影部份）对应的不等式组是（）A． B．C． D．【解答】解：通过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，通过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，通过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，则阴影部份在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0阴影部份在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0阴影部份在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，即对应不等式组为，故选：A20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，，则：，解得：．故选：B．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“此刻有良马和驽马同时从长安起身到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，以后天天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，以后天天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，以后天天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，以后天天比前一天少行0.5里，∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=（4×193+）+[4×]=1235．故选：A．22．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中，A1C1与AD1成60°角，故①错误；在②中，∵A1C1∥AC，AC⊥BD，∴A1C1⊥BD，故②正确；在③中，∵A1C1∥AC，AD1∥BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩AD1=A，A1C一、BC1⊂平面A1C1B，AC、AD1⊂平面ACD1，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故③正确；在④中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故④正确．故选：C．23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴•=•（+）=•（+）=•（+﹣）=•（+）=2+•=×9+0=6，故选：C24．（3分）为了增进经济结构不断优化，2021年中央财经领导小组强调“着力增强供给侧结构性改革”.2021年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效越发凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2021年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相较较，；例如2021年第二季度与2021年第二季度相较较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相较较，例如2021年第二季度与2021年第一季度相较较．按照上述信息，下列结论中错误的是（）A．2021年第三季度和第四季度环比都有提高B．2021年第一季度和第二季度环比都有提高C．2021年第三季度和第四季度同比都有提高D．2021年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在A中，2021年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2021年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2021年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2021年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．【解答】解：f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，∵x∈[﹣1，3]，∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]故选：B．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G别离为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G别离为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G别离为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣4；（2）数列{b n}知足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．【解答】解：（1）数列{a n}是等比数列，且，公比q=2，可得a n=•2n﹣1=2n﹣4；故答案为：2n﹣4；（2）b n=log2a n=log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）=[（n﹣）2﹣]，可得n=3或4时，S n取得最小值，且为﹣6．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部份交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部份交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（5分）同窗们，你们是不是注意到：在雨后的早晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的参观索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有普遍的应用．下面咱们来研究一类与悬链线有关的函数，这种函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=1；（2）若是f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）若是f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e﹣x+be x=e x+be﹣x，则b=1．（2）当a=1时，b=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，为增函数．（3）当ab≤0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a＞0，b＞0，此时f（x）=ae x+be﹣x≥2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b≥2=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1。
2004年上海市春季高考数学试卷
2004年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若复数z满足z（1+i）=2，则z的实部是．2．（4分）方程lgx+lg（x+3）=1的解x=．3．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，∠A=105°，∠B=45°，b=22，则c=．4．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆的方程是．5．（4分）已知函数f(x)=log3(4x+2)，则方程f﹣1（x）=4的解x=．6．（4分）如图，在底面边长为2的正三棱锥V﹣ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是14，则侧棱VA与底面所成角的大小为．（结果用反三角函数值表示）7．（4分）在数列{a n}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n−1)在直线x−y−3=0上，则a n=．8．（4分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有个点．9．（4分）一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是．（结果用分数表示）10．（4分）若平移椭圆4（x+3）2+9y2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是．11．（4分）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．12．（4分）在等差数列{a n }中，当a r =a s （r ≠s ）时，{a n }必定是常数数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s （r ≠s ），当a r =a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是 ．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）下列函数中，周期为1的奇函数是（ ） A ．y=1﹣2sin 2πxB ．y =sin (2πx +π3)C ．y =tg π2x D ．y=sinπxcosπx14．（4分）若非空集合M ⊂N ，则“a ∈M 或a ∈N”是“a ∈M ∩N”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（4分）在△ABC 中，有命题 ①AB →−AC →=BC →； ②AB →+BC →+CA →=0→；③若(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →⋅AB →＞0，则△ABC 为锐角三角形． 上述命题正确的是（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④16．（4分）若p =a +1a+2（a ＞0），q=arccost （﹣1≤t ≤1），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．p ≥π＞qB ．p ＞q ≥0C ．4＞p ≥qD ．p ≥q ＞0三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知点P （2cosx +1，2cos2x +2）和点Q （cosx ，﹣1），其中x ∈[0，π]．若向量OP →与OQ →垂直，求x 的值．18．（12分）已知实数p 满足不等式2x +1x +2＜0，试判断方程z 2﹣2z +5﹣p 2=0有无实根，并给出证明．19．（14分）某市2003年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？20．（14分）如图，点P 为斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N ． （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2﹣2DF•EFcos ∠DFE ．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．21．（16分）已知函数f （x ）=|x ﹣a |，g （x ）=x 2+2ax +1（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等． （1）求a 的值；（2）求函数f （x ）+g （x ）的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：10f (n )⋅(45)g (n )＜4．22．（18分）已知倾斜角为45°的直线l 过点A （1，﹣2）和点B ，B 在第一象限，|AB |=3 2．（1）求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线C ：x 2a2−y 2=1（a ＞0）相交于E 、F 两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值；（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P 与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P（t，0）到线段AB的距离h关于t的函数关系式．2004年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若复数z满足z（1+i）=2，则z的实部是1．【分析】方程两边同乘1﹣i，然后化简可得z，即可得答案．【解答】解：∵z（1+i）=2∴z（1+i）（1﹣i）=2﹣2i，∴z=1﹣i故答案为：12．（4分）方程lgx+lg（x+3）=1的解x=2．【分析】先进行对数运算都化成同底数的对数，再根据同底数的对数相等只要真数相等即可．【解答】解：∵lgx+lg（x+3）=lg[x（x+3）]=lg（x2+3x）=1=lg10∴x2+3x=10∴x=2或﹣5∵x＞0∴x=2故答案为：2．3．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，∠A=105°，∠B=45°，b=22，则c=2．【分析】先根据A，B的值，求出角C的值，再由正弦定理csinC=bsinB，将题中所给数据代入即可得到答案．【解答】解：∵∠A=105°，∠B=45°，b=22∴C=30°根据正弦定理可知c=b∴c=2故答案为：24．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+y2=4．【分析】先根据抛物线的方程求得其焦点的坐标，把x=1代入抛物线方程求得A，B的纵坐标，进而求得AB的长即圆的直径，进而求得圆的方程．【解答】解：∵y2=4x，∴p=2，F（1，0），把x=1代入抛物线方程求得y=±2∴A（1，2），B（1，﹣2），∴|AB|=2+2=4∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．5．（4分）已知函数f(x)=log3(4x+2)，则方程f﹣1（x）=4的解x=1．【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵f(x)=log3(4x+2)，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．6．（4分）如图，在底面边长为2的正三棱锥V﹣ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是14，则侧棱VA与底面所成角的大小为arcsin1717．（结果用反三角函数值表示）【分析】由题意知VA与底面所成角是∠VAE，由△VAE的面积求出sin∠VAE，再用反三角函数值表示．【解答】解：在正三棱锥V﹣ABC中，E是BC的中点；∴VA与底面所成角是∠VAE；∵△VAE的面积是14，∴14=12VA•AE•sin∠VAE；∵正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2，∴AE=3，∴VAsin∠VAE=3 6；即三棱锥的高为36，又顶点在底面上的投影是底面的中心，令为O，则AO=233∴VA=(AO)2+(VO)2=(36)2+(233)2=1712∴sin∠VAE=36VA=3612=17=1717，则所求的角为arcsin1717；故选arcsin17 17．7．（4分）在数列{a n}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n−1)在直线x−y−3=0上，则a n=3n2．【分析】根据一个点在一条直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理成一个等差数列，看出首项和公差，写出数列的通项公式，两边开方，点的要求的结果．【解答】解：∵点(n，n−1)在直线x−y−3=0，即a n−a n−1=3，又a1=3，∴{a n}是以3为首项，3为公差的等差数列，∴a n=3+(n−1)×3，即a n=3n2故答案为：3n28．（4分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有n2﹣n+1个点．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个图形进行分析找出规律．观察图形点分布的变化规律，发现每一个图形有一个中心点，且从中心点出发的边数在增加，边上的点数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点； 第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点； 第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点；依此类推，第n 个图形中除中心外有n 条边，每边n ﹣1个点，故第n 个图形中点的个数为n （n ﹣1）+1． 故答案为：n 2﹣n +1．9．（4分）一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是514．（结果用分数表示）【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生时的总事件是把8篇论文排列，总的排法有A 88种．而满足条件的最先和最后排试点学校的排法有A 52A 66种．根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， ∵试验发生时的总事件是把8篇论文排列， 总的排法有A 88种．而满足条件的最先和最后排试点学校的排法有A 52A 66种． 由古典概型公式得到概率P=A 52⋅A 66A 88=514．故答案为：514．10．（4分）若平移椭圆4（x +3）2+9y 2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是(x−3)29+(y−2)24=1 ． 【分析】先把平移前椭圆的方程整理成标准方程，进而可得椭圆的长半轴的长度和短半轴的长度，进而根据平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，可得平移后椭圆的中心坐标，进而可得平移后椭圆的方程．【解答】解：先整理4（x +3）2+9y 2=36，得(x +3)29+y 24=1∴椭圆的长半轴为3，短半轴为2，∵平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点， ∴椭圆的中心到y 轴的距离为椭圆的长半轴的长度3，到x 轴的距离为短半轴的长度2∴平移后椭圆的中心坐标（3，2），长半轴和短半轴的长度不变， ∴平移后的椭圆方程是(x−3)29+(y−2)24=111．（4分）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 34 行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．【分析】由于杨辉三角是反映二项式展开式中系数从左到右的一个规律，且通项为T r +1=C n r a n ﹣r b r ，由此列出第14个和第15个二项式系数之比为C n13C n 14=23，由此解出n 的值为34．【解答】解：∵二项式展开式第r +1项的系数为T r +1=C n r ， ∴第n 行的第14个和第15个的二项式系数分别为C n 13与C n 14，∴C n13C n 14=23，整理得14n−13=23，解得n=34故答案为3412．（4分）在等差数列{a n }中，当a r =a s （r ≠s ）时，{a n }必定是常数数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s （r ≠s ），当a r =a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是 a ，﹣a ，a ，﹣a ，…（a ≠0），r 与s 同为奇数或偶数 ．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质与等比数列的性质，在等差数列中，若a r =a s 时，a r ﹣a s =（r ﹣s ）d=0，∵r ≠s ，所以公差d 必然等0，故数列，{a n }必定是常数数列，但在等比数列{a n }中，若a r =a s 时，a ra s =q r−s =1，若r ﹣s 为偶数时，q=±1，由于数列不是常数列，则数列的公比必为﹣1． 【解答】解：在等比数列{a n }中， 若a r =a s ， 则a ra s =q r−s =1， 当r ﹣s 为偶数时， q=±1，∵数列不是常数列， ∴数列的公比q=﹣1 则r ，s 同为奇数或偶数 且奇数项为偶数项互为相反数故答案为：a ，﹣a ，a ，﹣a ，…（a ≠0），r 与s 同为奇数或偶数二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）下列函数中，周期为1的奇函数是（ ） A ．y=1﹣2sin 2πxB ．y =sin (2πx +π3)C ．y =tg π2x D ．y=sinπxcosπx【分析】对A 先根据二倍角公式化简为y=cos2πx 为偶函数，排除；对于B 验证不是奇函数可排除；对于C 求周期不等于1排除；故可得答案． 【解答】解：∵y=1﹣2sin 2πx=cos2πx ，为偶函数，排除A ．∵对于函数y =sin (2πx +π3)，f （﹣x ）=sin （﹣2πx +π3）≠﹣sin （2πx +π3），不是奇函数，排除B ．对于y =tg π2x ，T=ππ2=2≠1，排除C ．对于y=sinπxcosπx=12sin2πx ，为奇函数，且T=2π2π=1，满足条件．故选D ．14．（4分）若非空集合M ⊂N ，则“a ∈M 或a ∈N”是“a ∈M ∩N”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】先根据并集的定义求{a |a ∈M }∪{a |a ∈N }，然后根据交集的定义求出M ∩N ，最后根据充要条件的判定方法进行判定即可． 【解答】解：∵非空集合M ⊂N ，{a |a ∈M }∪{a |a ∈N }=N M ∩N=M 而M ⊂N∴“a ∈M 或a ∈N”⇐“a ∈M ∩N”即“a ∈M 或a ∈N”是“a ∈M ∩N”的必要非充分条件 故选：B15．（4分）在△ABC 中，有命题 ①AB →−AC →=BC →； ②AB →+BC →+CA →=0→；③若(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →⋅AB →＞0，则△ABC 为锐角三角形． 上述命题正确的是（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④【分析】利用向量的运算法则；锐角三角形需要三个角全为锐角．【解答】解：由向量的运算法则知AB →−AC →=CB →；AB →+BC →+CA →=0→故①错②对又(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=AB →2−AC →2 ∵(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0 ∴AB →2=AC →2即AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形故③对 ∵AC →⋅AB →＞0∴∠A 为锐角但三角形不是锐角三角形 故选项为C16．（4分）若p =a +1a +2（a ＞0），q=arccost （﹣1≤t ≤1），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．p ≥π＞qB ．p ＞q ≥0C ．4＞p ≥qD ．p ≥q ＞0【分析】先由基本不等式确定p 的范围，再由arccost 的值域确定q 的范围即可得到答案．【解答】解：∵p =a +1a +2≥2+2=4当a=1时等号成立q=arccost ∈[0，π] ∴p ＞q ≥0 故选B ．三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知点P （2cosx +1，2cos2x +2）和点Q （cosx ，﹣1），其中x ∈[0，π]．若向量OP →与OQ →垂直，求x 的值．【分析】先根据点P ，Q 的坐标确定向量OP →与OQ →的坐标，再由OP →⊥OQ →等价于OP →•OQ →=0代入运算整理，即可得到2cos 2x ﹣cosx=0，进而可求出cosx 的值，最后根据x 的范围确定其取值．【解答】解：由题意可知OP →=（2cosx +1，2cos2x +2），OQ →=（cosx ，﹣1）， 由OP →⊥OQ →，得OP →•OQ →=0，即cosx （2cosx +1）﹣（2cos2x +2）=0，即得2cos 2x﹣cosx=0，于是cosx=0或cosx =12，∵x ∈[0，π]，∴x =π2或π3．18．（12分）已知实数p 满足不等式2x +1x +2＜0，试判断方程z 2﹣2z +5﹣p 2=0有无实根，并给出证明． 【分析】解不等式2x +1x +2＜0可得实数p 的范围，再由△判断方程有无实根． 【解答】解：由2x +1x +2＜0，解得﹣2＜x ＜﹣12．∴﹣2＜p ＜﹣12．∴方程z 2﹣2z +5﹣p 2=0的判别式△=4（p 2﹣4）．∵﹣2＜p ＜﹣12，14＜p 2＜4，∴△＜0．由此得方程z 2﹣2z +5﹣p 2=0无实根．19．（14分）某市2003年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？【分析】（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1=128，q=1.5，由此可知答案； （2）记S n =a 1+a 2+…+a n ，依据题意，得S n 10000+S n＞13．于是S n =128(1−1.5n)1−1.5＞5000（辆），解可得答案．【解答】解：（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }， 其中a 1=128，q=1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a 7=a 1•q 6=128×1.56=1458（辆）． （2）记S n =a 1+a 2+…+a n ，依据题意，得S n10000+S n ＞13．于是S n =128(1−1.5n)1−1.5＞5000（辆），即1.5n ＞65732，则有n ≈7.5，因此n ≥8．所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13．20．（14分）如图，点P 为斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N ． （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2﹣2DF•EFcos ∠DFE ．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【分析】（1）由题意和三棱柱的性质，证出 CC 1⊥平面PMN ，再证 CC 1⊥MN ． （2）利用类比推理边“对应侧面面积”得出结论，证明用到余弦定理平行四边形的面积公式和题中的垂直关系．【解答】（1）证：由题意知，CC 1∥BB 1，PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，且PM ∩PN=P ， ∴CC 1⊥平面PMN ，MN ⊂平面PMN ， ∴CC 1⊥MN ；（2）解：在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有S ABB 1A 12=S BCC 1B 12+S ACC 1A 12−2S BCC 1B 1⋅S ACC 1A 1cosα，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角．∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP ， 在△PMN 中，PM 2=PN 2+MN 2﹣2PN•MNcos ∠MNP∴PM 2•Cc 12=PN 2•Cc 12+MN 2•Cc 12﹣2（PN•Cc 1）•（MN•Cc 1）cos ∠MNP ， ∵S BCC 1B 1=PN•CC 1，S ACC 1A 1=MN•CC 1，S ABB 1A 1=PM•BB 1，∴S ABB 1A 12=S BCC 1B 12+S ACC 1A 12−2S BCC 1B 1⋅S ACC 1A 1cosα其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角．21．（16分）已知函数f （x ）=|x ﹣a |，g （x ）=x 2+2ax +1（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等． （1）求a 的值；（2）求函数f （x ）+g （x ）的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：10f (n )⋅(45)g (n )＜4．【分析】（1）由题意知，f （0）=g （0），解出a 的值．（2）分类讨论的方法化简f （x ）+g （x ）的解析式，再求出他们的单调增区间． （3）把不等式的左边看成是一个数列，分析此数列的变化规律是c 1≤c 2≤c 3≤c 4，而c 4＞c 5＞c 6＞…，故左边的最大值是c 4，而c 4＜4，不等式得到证明． 【解答】解：（1）由题意，f （0）=g （0）， |a |=1又a ＞0， 所以a=1．（2）f （x ）+g （x ）=|x ﹣1|+x 2+2x +1当x ≥1时，f （x ）+g （x ）=x 2+3x ，它在[1，+∞）上单调递增；当x ＜1时，f （x ）+g （x ）=x 2+x +2，它在[−12，1)上单调递增．（3）设c n =10f (n )⋅(45)g (n )，考查数列{c n }的变化规律：解不等式c n +1c n ＜1，由c n ＞0，上式化为10⋅(45)2n +3＜1解得n ＞12lg 0.8−32≈3.7，因n ∈N 得n ≥4，于是，c 1≤c 2≤c 3≤c 4，而c 4＞c 5＞c 6＞…所以，10f (n )⋅(45)g (n )≤10f (4)⋅(45)g (4)=103⋅(45)25＜4．22．（18分）已知倾斜角为45°的直线l 过点A （1，﹣2）和点B ，B 在第一象限，|AB |=3 2．（1）求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线C ：x 2a2−y 2=1（a ＞0）相交于E 、F 两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a 的值；（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称|PQ |的最小值为P 与线段AB 的距离．已知点P 在x 轴上运动，写出点P （t ，0）到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式．【分析】（1）先设直线AB 方程为y=x ﹣3，设点B （x ，y ），由 y =x −3(x −1)2+(y +2)2=18及B 在第一象限求解．（2）先联立直线方程与双曲线方程，消元转化为：(12−1)x 2+6x −10=0，再由韦达定理求解．（3）先设线段AB 上任意一点Q 坐标为Q （x ，x ﹣3），根据两点间的距离公式建立二次函数模型，|PQ |= 2+(x −3)2，记f (x )= (t −x )2+(x −3)2= 2(x −t +32)2+(t−3)22（1≤t ≤4），再根据对称轴和区间的相对位置，分类讨论求解．【解答】解：（1）直线AB 方程为y=x ﹣3，设点B （x ，y ），由 y =x −3(x −1)2+(y +2)2=18及x ＞0，y ＞0得x=4，y=1，点B 的坐标为（4，1）． （2）由 y =x −3x 2a2−y 2=1得(1a 2−1)x 2+6x −10=0， 设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=−6a 21−a 2=4，得a=2．（3）设线段AB 上任意一点Q 坐标为Q （x ，x ﹣3），|PQ |= (t −x )2+(x −3)2，记f (x )= (t −x )2+(x −3)2= 2(x −t +32)2+(t−3)22（1≤t ≤4），当1≤t +32≤4时，即﹣1≤t ≤5时，|PQ |min =f (t +32)=|t−3| 2，当t +32＞4，即t ＞5时，f （x ）在[1，4]上单调递减，|PQ |min =f (4)= (t −4)2+1；当t +32＜1，即t ＜﹣1时，f （x ）在[1，4]上单调递增，|PQ |min =f (1)=(t −1)2+4．综上所述， (t )={(t −1)2+4，t ＜−1|t−3|2，−1≤t ≤5 (t −4)2+1，t＞5。
春季高考数学试题及答案(北京理)
2004年普通高等学校春季招生考试数学（理工）（北京卷）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在函，最小正周期函数是（） C.2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. ）A. B.4. ）A. C.5. ）A.C. D.6. ）A. D.7. a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）A.9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A. B. C.10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（）A. B. 1 D. 2二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
11. _________。
12. ____________。
13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨。
由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨。
14. m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P点有_________个。
三. 解答题：本大题共6小题，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）x16. （本小题满分13分）a，b，c知a，b，c17. （本小题满分15分）1的正方形，SD垂直于底面ABCD（I （II ）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（III ）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小。
2019年春季高二文科数学4月月考试题9999
2019年春季高二文科数学4月月考试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于()A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，42．以下说法，正确的个数为()①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0B．2C．3D．43．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据，计算得到K 2的观测值k ≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是()A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关4．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中可取的是()A.立项→广州调研→北京调研→上海调研→投产B.立项→→上海调研→投产C.立项→上海调研→→投产D.立项→→投产5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误6．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”.则假设的内容是()A.a ，b 都能被5整除B.a ，b 都不能被5整除C.a 不能被5整除D.a ，b 有1个不能被5整除7．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，若z 1－z 2是纯虚数，则()A ．a －c ＝0，且b －d ≠0B ．a －c ＝0，且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0，且b －d ≠0D ．a ＋c ＝0，且b ＋d ≠08．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换为()A ′＝5x ′＝2yB ′＝x ′＝2yC ′＝2x ′＝yD 2x ′＝y9．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是()A ．3B ．4C ．5D ．610．在极坐标系中与点A()11．若一元二次实系数方程x 2＋px ＋q ＝0有一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则p ＋q 的值是()A.－1B.0C.2D.－212．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρ4的距离的最小值是()A ．1B ．32C ．52D ．72二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．复平面内，复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点位于第三象限，则实数k 的取值范围是__．14．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：x 24568y3040605070若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________15．在极坐标系中，已知两点A 、B AOB (其中O 为极点)的面积为________．16．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.三、解答题（本大题有6小题，共70分）17．设z ＝（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i3＋4i，求|z |.18．已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ－π31，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，判断两曲线的位置关系．19．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线X 2－Y 2－4X ＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)参考公式：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝a ^＝y ^－b ^x －.21．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．22．已知Q2=称为x，y的二维平方平均数，A2=称为x，y的二维算术平均数，G2=称为x，y的二维几何平均数，H2=称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数．（1）试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想．（2）令M=A2﹣G2，N=G2﹣H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想．（3）令M=A2﹣G2，N=G2﹣H2，P=Q2﹣A2，试判断M、N、P三者之间的大小关系，并证明你的猜想．。
北京市春季普通高中毕业会考数学试卷
北京市2004年春季普通高中毕业会考数学试卷第I 卷(机读卷共60分)1.考生要认真埴写座位序号.2.第I 卷为选择藏，只有一道大题，共3页.答题前要认真审题，者活题目要求，按要求认真作答. 3 .第I 卷各题均须按规定要求在“机读答题卡”上作答，题号要对应，埴谕要规 范.4・考试结束后，考生应将试卷和“机读答题卡” 一并交监考密师收回。
一、选择鬼(共20个小题，每题3分，共60分)在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所炫答案前的 字母按规定要求涂拣在“机读答题卡”第1- 20熟的相应位查上・1 .函数y = J2-X 的定义欢A ・{x|0 < x < 2) C. {x\x < 2}2・函数y - 2x-l(xe R)的反函数为A.- 2z + l(xe R)B. ^ = | + |(xeR) c. 7 = ^-l(xeR) D. A ■ ： * 2(ze R) 3 .复数尸3问・那么卜|等于A . 5 B. 25C.V7D.74.函数/(X )= X 3+X (X6R)A ・是奇函数■但不是偶■数B ・是偶函数，但不是奇场数 C.既是奇函数■又是偶函数 D ・不是奇函数，也不是偶函数考生 须 知D . {x\x > 2)5 .巳知函数/(x) =『-2x,那么/(OX /(IX /(3X 六5)中最大的是B./( 1) D.8.函数y =4$in xcosx 的最小值等于B. -1D. 一310・如果直携ax + 2y +1 = 0与宜线x + W - 2 = 0互才辞行，丹吆Q 的值等于B. 1D.211.如果回的一条直径的两个端点是才(0. 0人B(2>0)>另吆风的方程是r-212 .不等式——2 0的解集为x + 1A. (x| -1 < x < 2)13 .以下命题中正确的选项是A ・如果一条直践和一个平面内的一条直践垂直，那么这条直践和这个平面垂直B ・如果一条直统和一个平面内的两条相交直统郡秀直，丹吆这条宜线和这个平面卷宜 C.如果一条百姓和一个平面内的两条平行直统都垂百，那么这条直线和这个平面垂直 D・如果一条直蜴和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直歧和这个平面垂直 14.假设悬禳的母浅长为底面半径的2倍，那么El 销的母线与底面所成的角为A. 0 C. -2C. -2A. x 2+O-l)2-lB. ("1)2 或.]C.X 2 +0 + 1)2 1=81 D. (x-1)2 或=1C. ｛市 < T 或 x > 2)D. (x| -1 < x < 2) 9 .在向一坐镣系中，函数W =(!)'与函数A = log 2工的囹俊都是正确的选项是A. 30-B. 45°C・60. D・75・ 15・己知。
市春季普通高中会考数学试卷[001]
![市春季普通高中会考数学试卷[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/3504b2999b6648d7c0c746d7.png)
2016年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1 .函数y=3sinx+2的最小正周期是（）A. 1B. 2C. nD. 2 n2. 已知集合A={1, 2}, B={1, m, 3}，如果A A B=A那么实数m等于（）A. - 1B. 0C. 2D. 43. 如果向量, L"「一：幻，那么等于''（）A. （9, 8）B. （- 7,- 4）C. （7, 4）D. （- 9,- 8）4. 在同一直角坐标系xOy中，函数y=cosx与y= - cosx的图象之间的关系是（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线y=x对称2D.关于直线y=- x对称5. 执行如图所示的程序框图.当输入- 2时，输出的y值为（）L«SjA. - 2B. 0C. 2D. ± 26 .已知直线l经过点P （2, 1）,且与直线2x- y+2=0平行，那么直线I的方程是（）A. 2x- y - 3=0B. x+2y- 4=0C. 2x- y- 4=0D. x- 2y - 4=07 .某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000 , 90000, 81000 ,为了解该市学生参加开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。
A. 800B. 900C. 1000D. 1100&在△ ABC 中，/ C=60° AC=2, BC=3,那么AB等于（）A. =B. 7：C. =D. 79.口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。
丄丄丄丄A. B. C. D.10 .如果正方形ABCD的边长为1，那么：匸「匚等于（）A. 1B. 「C.D. 211. 2015年9月3 日,纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京天安门广场隆重举行，大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程过程中第一天产生的数据量为倍，那么训练n天产生的总数据量为（a,其后每大产生的数据量都是前天的）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈尔滨工业大学 2004/2005学年 春季学期
工科数学分析（答案） 试题卷（A 班）
考试形式（开、闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 %
一、填空题（每题2分，共20分）
1．设x
y x e
x y x f y
arcsin
)1(),(2
2
-+=，则=')1,0(x f 2．若),(2
2xy y x f z -=且f 可微，则=∂∂22
x
z
3．曲面
z
x y z ln
+=在点)1,1,1(p 处的切平面方程是
法线方程是：
4．函数2
2442),(y xy x y x y x f ---+=的极大值为 ： 5．交换积分⎰⎰
⎰
⎰
--+
1
02
1
)
1(10
2
2
2
2
y y
ydx x dy dx y x dy 的次序为：
6．区域D 由直线0,==y x y 及2
π
=
x 所围成，则二重积分
=+⎰⎰
D
dxdy y x )cos(
7．函数x z z y y x u 2
2
2
++=在点)1,1,1(处沿向量k j i l
+-=2方向的方向导
数为 ：
8．级数∑
∞
=-++1
2
)1(2
312n n
x n n 的收敛域为：
遵 守 考 试 纪 律
注 意 行 为 规 范
姓名: 班级： 学号：
9．已知级数∑∞
=1
)(n n n x f a 的收敛域为{}1<x x ，则=∞→)21
(lim n n n f a
10．函数⎩⎨
⎧≤≤<≤=2
12100)(x x
x x f 在[]2,0上展开的余弦级数和函数为：
二、选择题：（每题2分，共10分）
1．函数4
4
2
2),(y
x y x y x f +=
在)0,0(点处极限
(A) 存在 （B ）不存在 （C ）等于1 （D ）等于3
2．函数⎪⎩
⎪⎨⎧==>++-=000
,),(22222
2y x y x y x y x xy y x f 在)0,0(点处
（A ）)0,0(xy
f ''不存在 （B ）)0,0(yx f ''不存在 （C ）)0,0()0,0(yx xy
f f ''='' （D ）)0,0()0,0(yx xy f f ''≠'' 3．函数⎪⎩
⎪⎨
⎧=+≠+++=0
001sin
)(2
2
2
22
2
2
2y
x y x y
x y x u 在)0,0(点处
（A ）偏导数不存在 （B ）偏导数存在且连续 （C ）可微且偏导数连续 （D ）偏导数存在不连续 4．二型曲线积分⎰
+-c
c y
x ydx xdy ,2
2
是任一条件简单封闭曲线正向
（A ）等于0 （B ）等于π2 （C ）等于1 （D ）等于0或者π2 5．积分方程x
e x y y -+='+''4的通解为
（A ）x
e
C C -+21 （B ）x
e
x ---42
（C ）)42(21x
x
e
x x e C C ----++ （D ）)42(21x
x
e
x e
C C ----++
遵 守 考 试
纪
律
注 意 行 为 规 范
三、计算
1．设⎩
⎨⎧=++=++43250222z y x z y x ，求dx dz dx dy ,
（4分）
2．将如下Dirichlet 问题
⎪⎩⎪⎨⎧=<+=∂∂+∂∂=+),(101
2
22
22222y x F u y x y u x
u y x 用极坐标表示（4分）
3
．已知(,,)u f x y z == 求(1,1,1)df （4分）
4.验证222()xydx x y dy +-是某函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y 。
（4分
5.计算22
2
2
(
)(2)I x z d y d z x y
z d z d x x y
y z d x d y ∑
=
+-++⎰⎰
，其中∑是半球
z =
(5分)
6.将函数2
346
x x x -+-展为马克林级数（4分）
7.将函数()f x x =，(0)x π≤<展成余弦级数，并求级数2
1
1n n
∞
=∑
的和。
（5分）
8.设正数a 与b 的和为定值，求函数2
),(n
n
y x
y x f +=
的极值，并证明
n
n
n
y x y x
)2
(
2
+≥+（n 为正正数）
（5分）
9．一曲线通过原点O，其上任意点M的切线与横轴的交点为T，M点在横轴的投影为P，三角形TMP的面积是曲边三角形OMP的面积的两倍，求曲线方程。
（5分）。