天津市河北区2021届新高考数学四月模拟试卷含解析
天津市和平区2021届新高考数学四模考试卷含解析
天津市和平区2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=， 21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D 【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果2．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题3．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误； 对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题. 4．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】解不等式327x <可得3x <，解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.5．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( ) A． B．C．D．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF的斜率k ==±． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 6．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --【答案】B 【解析】 【分析】求得复数1z ，结合复数除法运算，求得12z z 的值. 【详解】易知123z i =+，则()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555i i --==--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．62D ．122【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π， 则218r ππ=，解得32OC r ==则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.8．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2C ．3D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -． 【详解】因为()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．9．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．10．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，方程()22211k x y k -+=-．即222111y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为222111y x k k -=-+是关键．11．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列， 若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立， 即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件， 故选C ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．12．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====u u u v u u u v u u u v u u u v 若CP C 12,Q ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年新高考天津数学卷含答案解析
数学
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么 ．
•如果事件A、B相互独立，那么 ．
•球的体积公式 ，其中R表示球的半径．
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
16.在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（I）求a 值；
10. 是虚数单位，复数 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】 .
故答案为： .
11.在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【解析】
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
12.若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
13.若 ，则 的最小值为____________．
14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
2021年天津市河北区高考数学质检试卷(学生版+解析版)(二模)
2021年天津市河北区高考数学质检试卷（二）（二模）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{|1}A x x =>，{|04}B x Z x =∈，则()(R A B = )A ．{0，1，2}B ．{2，3，4}C ．{0，1}D ．{0}2．（5分）命题“(,0)x ∀∈-∞，23x x ”的否定是( ) A ．(,0)23x x x ∃∈-∞ B ．(,0)x ∃∈-∞，23x x < C ．(,0)x ∀∈-∞，23x x D ．(,0)x ∀∈-∞，23x x <3．（5分）若复数(12a ii i+-为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（5分）函数(22)()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）某小区为了解居民用水情况，通过随机抽样得到部分家庭月均用水量（单位：)t ，将所得数据分为6组：[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16]，并整理得到如图频率分布直方图，若以频率替代概率，从该小区随机抽取5个家庭，则月均用水量在区间[8，12)内的家庭个数X 的数学期望为( )A ．3.6B ．3C ．1.6D ．1.56．（5分）已知抛物线2y =的准线与双曲线2221(0)x y a a-=>相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则实数(a = )A ．19B ．29 C ．13D 7．（5分）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31(log )10a f =-，3(log 9.1)b f =，0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>8．（5分）将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( )A ．()g x 的最小正周期为2π B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称C ．()g x 在区间5[,]66ππ-上单调递减D ．()g x 在区间2[,]63ππ上单调递增9．（5分）设函数2101,0()||,0x x x f x lgx x ⎧++=⎨>⎩，若函数()()()g x f x a a R =-∈有四个零点(1i x i =，2，3，4)，其中1234x x x x <<<，则1234()()x x x x +-的取值范围是( ) A ．(0，99]B ．(0，100]C ．(0，101]D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸上． 10．（5分）二项式5(2x 的展开式中含x 项的系数为 ．11．（5分）已知直线:10l kx y -+=与圆22:2410C x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若||AB =k 的值为 ．12．（5分）甲乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为13，14，则两人都成功破译的概率为 ，密码被破译的概率为 ．13．（5分）一个四棱锥的所有棱长都相等，其表面积为16+则该四棱锥的棱长为 ，体积为 ．14．（5分）已知ABC ∆中，2AB AC ==，2CA BC ⋅=-，点M 满足1123CM CA CB =+，则MA MB ⋅的值为 ．15．（5分）已知实数0a >，0b >，且111a b +=，则3211a b +--的最小值为 ． 三、解答题：本大感共5小题。
天津市2021届高三数学4月九校联考试题 文(含解析).doc
天津市2021届高三数学4月九校联考试题文（含解析）一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求再求交集即可【详解】，故故选：B【点睛】本题考查集合的交集及补集运算，熟记定义是关键，是基础题2.如果实数满足条件,那么的最大值为( )．A. 2B. -2C. 1D. -3 【答案】C【解析】【分析】先画出可行域和目标函数，再平移目标函数发现在点取最大值. 【详解】解：由约束条件画出可行域如下图阴影再画出目标函数如图中过原点虚线平移目标函数易得过点，处取得最大值代入得故选：C.【点睛】本题考查了简单线性规划，简单线性规划问题一般分为四步：画出可行域，画出目标函数并平移目标函数，确定最优解位置，求取最值.3.“”是“直线与直线平行”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可.【详解】解：若直线：与直线：平行则，当时，直线：与直线：，两直线重合，舍所以“直线：与直线：平行”等价于“”所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.4.设，，则（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以. 【详解】解：因为所以故选：A【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.5.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由程序框图可知:故选C.考点：本题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力.【此处有视频，请去附件查看】6.已知函数的图像与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则是减函数的区间为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简函数得，再由图象与轴的两个相邻交点的距离等于得，，，再写出平移后的，求出单调递减区间判断即可.【详解】解：因为图象与轴的两个相邻交点的距离等于所以，所以所以由得所以是减函数的区间为分析选项只有D符合故选：D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图像与性质，三角函数的变换，属于基础题.7.曲线的焦点恰好是曲线的的右焦点，且曲线与曲线交点连线过点，则曲线的离心率是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线与双曲线的焦点得到，再分别求出x取焦点横坐标时对应的y值，因为曲线与曲线交点连线过点，得到方程，解出离心率.【详解】解：抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，所以，即当时，代入，得当时，代入，得由题意知点，则两边同除得，解得（负值舍）所以故选：D.【点睛】本题考查了抛物线与双曲线的方程与几何性质，属于基础题.8.已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.【详解】解：方程所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点记，画出函数简图如下画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，所以，即故选：A.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题二、填空题.9.已知为虚数单位，复数，则等于_____．【答案】【解析】【分析】先分子分母同乘，化简得，所以.【详解】解：因为所以故答案为：.【点睛】本题考查了复数的概念与除法运算，属于基础题.10.已知函数，为的导函数，则的值等于______．【答案】1【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x=1代入可得f′（1）的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）=，则f′（x）==，则f′（1）==1；故答案为：1．【点睛】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．11.圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为___．【答案】【解析】试题分析：先由条件求得圆心C的坐标，再求出半径r=|AC|，从而得到圆C的方程．因为直线AB的中垂线方程为x=-3，代入直线x-2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（-3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=∴圆C的方程为．故答案为．考点：圆的标准方程．12.已知且，则的最小值为_____．【答案】12【解析】试题分析：由题=，当且仅当即时取等号，由，即当且仅当时取等号考点：基本不等式【此处有视频，请去附件查看】13.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积______．【答案】【解析】【分析】由正方体的外接球的半径为正方体体对角线的一半，可求出R，然后计算体积.【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上所以球的半径为正方体体对角线的一半，即所以故答案：【点睛】本题考查了正方体的外接球，正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，属于基础题.14.平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点．若且，，则_______．【答案】【解析】试题分析：,由已知：,,考点：向量的数量积的计算三、解答题.15.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中，高一年级有6人，高二年级有12人，高三年级有24人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访．(1）求应从各年级分别抽取的人数；(2）若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解（注高一学生记为，高二学生记为，高三学生记为，）①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2人均为高三年级学生的概率．【答案】（1）高一1人，高二2人，高三4人；（2）①、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21种；②..【解析】【分析】（1）由各年级人数所占的比例即可求出各年级抽取的人数；（2）将所有抽取结果一一列出，然后计算概率.【详解】解：（1）高一：；高二：；高三：；所以抽取高一1人，高二2人，高三4人（2）由（1）知高一1人记为，高二2人记为，高三4人记为、①从中抽取两人，所有可能的结果为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21种②由①知，共有21种情况，抽取的2人均为高三年级学生有、、、、、，共6种，所以抽取的2人均为高三年级学生的概率.【点睛】本题考查了分层抽样和古典概型，属于基础题.16.在中，分别是角的对边，若，且（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由得，即，再由余弦定理求出，转化为；（2）先求出和，再由和差角公式求出；（3）由直接计算即可.【详解】解：（1）因为所以，即所以因为，所以（2）因为，所以（3）因为，所以，所以【点睛】本题考查了正余弦定理，给值求值，三角形的面积公式，属于基础题.17.如图：是菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，（1）若，求证：；（2）求证：；（3）若，，，求直线与平面所成角．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（Ⅰ）证明：取的中点，连接，因为是菱形的对角线与的交点，所以，且．又因为，且，所以，且，从而为平行四边形，所以．又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）因为四边形为菱形,所以；因为，是的中点，所以．又，所以平面．又平面，所以平面平面．（Ⅲ）作于，因为平面平面，所以平面,则为与平面所成角．由及四边形为菱形，得为正三角形，则，．又，所以为正三角形，从而．在中，由余弦定理，得，则，从而，所以与平面所成角的大小为．【解析】试题分析: （Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；（Ⅱ）欲证：平面AFC⊥平面ABCD，即证BD⊥平面AFC；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．试题解析：(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连接OG，FG.∵对角线AC与BD的交点为O，∴OG∥DC，OG＝DC，∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE为平行四边形，∴OE∥FG，∵FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，∴OE∥平面ADF；(Ⅱ)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OC⊥BD，∵FD＝FB，O是BD的中点，∴OF⊥BD，∵OF∩OC＝O，∴BD⊥平面AFC，∵BD⊂平面ABCD，∴平面AFC⊥平面ABCD；(Ⅲ)解：作FH⊥AC于H.∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，∴∠FAH为AF与平面ABCD所成角，由题意，△BCD为正三角形，OA＝，BD＝AB＝2，∵FD＝FB＝2，∴△FBD为正三角形，∴OF＝.△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF＝＝－，∴∠AOF＝120°，∴∠FAH＝∠FAO＝30°，∴AF与平面ABCD所成角为30°点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.已知数列的前项和为，且满足.数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求数列与的通项公式．（2）若，数列的前项和为恒成立，求的范围．【答案】（1），；（2）.【解析】 【分析】 （1）由化简可得成等比，求出的通项，再由可求出的通项；（2）因为，用错位相减法求得，所以.【详解】解：（1）因为，所以所以所以成等比，首项，公比q所以由题意知，设公差为d则，即，解得或（舍）所以（2）所以两式相减得所以所以【点睛】本题考查了数列的通项与求和，对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和，分列乘减算四步进行.19.已知椭圆，离心率等于，且点椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）①直线与椭圆交于两点．求的弦长；②若直线与椭圆交于两点．且线段的垂直平分线经过点，求的面积的最大值．（为原点）【答案】（1）；（2）①；②1.【解析】【分析】（1）联立，，可解出，，，得出椭圆方程；（2）①联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，利用弦长公式求出弦长；②先求出AB中点坐标，利用点在AB中垂线上列出方程，找到m与k的关系，再利用写出面积表达式，求出最值.【详解】解：（1）因为离心率，点在椭圆上，即，解得，，所以椭圆方程为（2）①联立和得得所以所以②因为，所以AB中点为M又因为AB的中垂线过点N所以，化简得点O到直线AB的距离所以当时，最大为1【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，面积的最大值问题，属于中档题.20.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围．【答案】(1) 单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3)【解析】试题解析：（1）当a=3时，，得因，所以当1<x<2时，，函数单调递增；当x<1或x>2时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为（1,2），单调递减区间为（-∞,1）和（2,+∞）．（2）由，得，因为对于任意都有成立，即对于任意都有成立，即对于任意都有成立，令，要使对任意都有成立，必须满足△<0或即或所以实数的取值范围为（-1,8）（3）设点P是函数图象上的切点则过P的切线的斜率为，切线方程为：∵在切线上∴∵若过点可作函数图象的三条不同切线∴有三个不等的实根，令，解得∵∴∴实数的取值范围考点：本题考查导数与函数点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。
天津市西青区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市西青区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞），∴a ＞b ⇒log a b ＜1，log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件，故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．2．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 【答案】A【解析】【分析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1．故选：C ．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./4．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<，所以，{}1,0A B ⋂=-.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.5．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．4或14 D ．5或15【答案】C【解析】【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF .【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±， 所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的． 故选：B ．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】B【解析】【分析】 根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .【详解】由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e-=-=-===， 解得3a =，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.9．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+ C ．8D ．6 【答案】C【解析】【分析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a=，2c e a ='，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122m PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3262832m c c m c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥+⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 10．已知x ，y 满足不等式00224x y x y tx y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】 画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x+6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意t ＞2时可知目标函数Z ＝9x+6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t+16 由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B ．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.11．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC + 【答案】B【解析】【分析】 由13AD DC =，可得34CD CA =，1()2CE CB CD =+13()24CB CA =+，再将CA BA BC =-代入即可.【详解】 因为13AD DC =，所以34CD CA =，故1()2CE CB CD =+=13()24CB CA += 133()244BC BA BC -+-=3788BA BC -. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.12．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e <. A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x '=>，所以函数为单调递增函数， 因为e π>，则()()f f e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确； 对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e x f x x x -'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=，所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年天津市河北区高考数学一模及答案
2021年天津市河北区高考数学一模一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，6}，则集合A ∪（∁U B ）＝（ ） A ．{2}B ．{3，5}C ．{1，4，6}D ．{2，3，5}2．设x ∈R ，则“|x |＞1”是“x 2＞x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝6，在所有过点P （2，﹣1）的弦中，最短的弦的长度为（ ） A ．2B ．4C ．22D ．264．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则图中的n ，p 的值分别为（ ）A ．200，0.015B ．100，0.010C ．100，0.015D ．1000，0.0105．函数f （x ）＝e |x |﹣2x 2﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线的左，右焦点分别为F 1（﹣3，0），F 2（3，0），P 为双曲线上一点且||PF 1|﹣|PF 2||＝4，则双曲线的标准方程为（ ）A ．15422=-y xB ．14522=-y xC ．15422=-x yD ．14522=-x y7．已知函数f （x ）＝x 2，设a ＝log 54，b ＝31log 51log ，c ＝512，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ）B ．f （b ）＞f （c ）＞f （a ）C ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）D ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）8．已知函数f （x ）＝2cos 2ωx +3sin2ωx ﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的是（ ） A ．ω＝2B ．函数f （x ）的最大值为1C ．函数f （x ）在[0，6π]上单调递增 D ．将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数g （x ）＝2sin2x 的图象9．已知函数f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+--0)21(20142x x x x x，，，若关于x 的方程（f （x ）﹣1）（f （x ）﹣m ）＝0恰有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，2）B ．（1，5）C ．（2，3）D ．（2，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸上． 10．已知i 是虚数单位，则复数ii53+在复平面内对应的点的坐标为 ． 11．二项式（221x﹣x ）6的展开式中的常数项为 ． 12．袋子中有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球，从袋中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．则“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”的概率为 ，记“取出的3个小球中有2个红球，1个黄球”发生的次数为X ，若重复5次这样的实验，则X 的数学期望为 ． 13．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝5，BC ＝7，AA 1＝2，则三棱锥D 1﹣ACD 的体积为 ，长方体的外接球的表面积为 ． 14．已知a ＞0，b ＞0，且2a +b ＝ab ，则a +2b 的最小值为 ．15．在直角梯形ABCD 中，DC AB λ=（λ＞0），∠B ＝60°，AD ＝3，E 为CD 中点，若BE AC ⋅＝﹣1，则||DC 的值为 ，λ的值为 ．三、解答题：本大共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若cos A ＝772，求sin （2A ﹣C ）的值．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥DA ，PD ⊥DC ，M 是棱AD 的中点，N 是棱PD 上一点，PD ＝2AB ＝4．（Ⅰ）若N 是棱PD 的中点，求证：P A ∥平面MNC ；（Ⅱ）若N 是棱PD 的中点，求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角C ﹣MN ﹣D 的余弦值为77，求DN 的长．18．已知数列{a n }是等差数列，设S n （n ∈N *）为数列{a n }的前n 项和，数列{b n }是等比数列，b n ＞0，若a 1＝3，b 1＝1，b 3+S 2＝12，a 5﹣2b 2＝a 3． （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n •b n }的前n 项和；（Ⅲ）若c n ＝⎪⎩⎪⎨⎧为偶数，为奇数，n b n S n n 2，求数列{c n }的前2n 项和．19．已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的长轴长为4，离心率为21．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为G ，过点G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与椭圆交于点H ，且HF ⊥x 轴，过点S 的另一直线与椭圆交于M ，N 两点，若S △SMG ＝6S △SHN ，求直线MN 的方程．20．已知函数f （x ）＝xxe ln 2﹣1． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）已知函数g （x ）＝3x 3+2ax 2+1，若∀x 1，x 2∈[1，e ]，不等式f （x 1）≤g （x 2）恒成立，求实数a 的取值范围．2021年天津市河北区高考数学一模参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．C 9．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸上．10．（5，﹣3） 11．415 12．53；3 13．335；16π 14．9 15．2；23三、解答题：本大共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）∵（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ，∴由正弦定理可得：（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C ＝212222=-+ab c b a ，∵0＜C ＜π， ∴C ＝3π． （Ⅱ）由cos A ＝772，可得sin A ＝721cos 12=A ， ∴sin2A ＝2sin A cos A ＝734，cos2A ＝2cos 2A ﹣1＝71，∴sin （2A ﹣C ）＝sin2A cos C ﹣cos2A sin C ＝1433237121734=⨯-⨯． 17．解：（Ⅰ）证明：∵M 是棱AD 的中点，N 是棱PD 的中点， ∴MN ∥P A ，∵MN ⊂平面MNC ，P A ⊄平面MNC ， ∴P A ∥平面MNC ．（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则P （0，0，4），B （2，2，0），M （1，0，0），N （0，0，2），C （0，2，0），PB ＝（2，2，﹣4），MN ＝（﹣1，0，2），MC ＝（﹣1，2，0），设平面MNC 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅0202y x MC n z x MN n ，取x ＝2，得n ＝（2，1，1）， 设直线PB 与平面MNC 所成角为θ， 则直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为：sin θ616242||||=⋅=⋅n PB ． （Ⅲ）设DN ＝t ，0＜t ≤4，则N （0，0，t ），MN ＝（﹣1，0，t ）， MD ＝（﹣1，0，0），MC ＝（﹣1，2，0）， 设平面MNC 的法向量)(c b a m ，，=则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅020b a MC m tc a MN m ，取a ＝2，得m ＝（2，1，t 2），平面MND 的法向量P ＝（0，1，0）， ∵二面角C ﹣MN ﹣D 的余弦值为77， ∴2451||||77tp m p m +=⋅=，由0＜t ≤4，解得t ＝2． ∴DN 的长为2．18．解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0），则⎩⎨⎧+=-+=-=++=+d q d b a d q S b 23243212625223，化简，得⎩⎨⎧=-=+062q d d q ，整理，得q 2+q ﹣6＝0， 解得q ＝﹣3（舍去），或q ＝2， ∴d ＝q ＝2，∴a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1，n ∈N *， b n ＝1•2n ﹣1＝2n ﹣1，n ∈N *．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a n •b n ＝（2n +1）•2n ﹣1，令数列{a n •b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝a 1b 1+a 2b 2+…+a n •b n ＝3•1+5•21+7•22+…+（2n +1）•2n ﹣1，2T n ＝3•21+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1+（2n +1）•2n ，两式相减，可得﹣T n ＝3+2•21+2•22+…+2•2n ﹣1﹣（2n +1）•2n＝3+2•（21+22+…+2n ﹣1）﹣（2n +1）•2n＝3+2•2122--n ﹣（2n +1）•2n＝﹣（2n ﹣1）•2n ﹣1， ∴T n ＝（2n ﹣1）•2n +1，n ∈N *． （Ⅲ）由（Ⅰ）得，S n ＝3n +2)1(-n n •2＝n （n +2）， ∴211)2(22+-=+=n n n n S n ， ∴c n ＝⎪⎩⎪⎨⎧+-=⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数，为奇数，为偶数，为奇数，n n n n n b n S n n n 122112，∴数列{c n }的前2n 项和为： c 1+c 2+c 3+c 4+…+c 2n ﹣1+c 2n＝（c 1+c 3+…+c 2n ﹣1）+（c 2+c 4+…+c 2n ） ＝（1﹣31+31﹣51+…+121-n ﹣121+n ）+（21+23+…+22n ﹣1） ＝1﹣121+n +21212122--+n＝32212212-+++n n n ． 19．解：（Ⅰ）根据题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===2222142cb a ac a ，解得a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆C 的方程为13422=+y x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F （﹣1，0），G （0，2）， 因为HF ⊥x 轴， ∴x H ＝﹣1，∵S 在y 轴的正半轴， ∴H 在x 轴上方， ∵点H 在椭圆上，∴3)(412H y +＝1，解得y H ＝23，∴H （﹣1，23），即HF ＝23， ∵GF GO HF OS =，即3223=OS ，解得OS ＝1， ∴S （0，1）， ∴21=SG HS ， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx +1， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x kx y ，（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8＝0，∴x 1+x 2＝﹣2438k k +①，x 1x 2＝2438k +-②， ∵S △SMG ＝6S △SHN ， ∴⋅21|SM |•|SG |•sin ∠MSG ＝6•21|HS |•|SN |•sin ∠HSN ， ∴|SM |•|SG |＝6|HS |•|SN |， ∴|SM |＝3|SN |， ∴SN MS 3=，∴（﹣x 1，1﹣y 1）＝3（x 2，y 2﹣1）， 即x 1＝﹣3x 2③，由①②③，解得k ＝±26， ∴直线MN 的方程为y ＝26x +1，y ＝﹣26x +1，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝0， 此时321313||||+=-+=SN SM ，不合题意． 综上可得，直线MN 的方程为y ＝26x +1，y ＝﹣26x +1．20．解：（Ⅰ）∵f （x ）＝1ln 2-xxe ，定义域是（0，+∞）， ∴f （1）＝﹣1，f ′（x ）＝2ln 22x xe e -，f ′（1）＝2e ，故切线方程为y +1＝2e （x ﹣1），即2ex ﹣y ﹣2e ﹣1＝0； （Ⅱ）由（Ⅰ）f ′（x ）＝2ln 22xxe e -，令f ′（x ）＞0，解得0＜x ＜e ，令f ′（x ）＜0，解得x ＞e ， 故f （x ）在（0，e ）递增，在（e ，+∞）递减； （Ⅲ）由（Ⅱ）得f （x ）的极大值是f （e ）＝eee ln 2﹣1＝1， 即f （x ）的最大值是f （e ）＝1，∵g （x ）＝3x 3+2ax 2+1，∴g ′（x ）＝9x 2+4ax ， 令g ′（x ）＝0，解得x ＝0或x ＝﹣94a ， 若∀x 1，x 2∈[1，e ]，不等式f （x 1）≤g （x 2）恒成立， 则x ∈[1，e ]时，f （x ）max ≤g （x ）min 恒成立，①当﹣94a ＜1即a ＞﹣49时，g （x ）在[1，e ]上单调递增， 此时g （x ）min ＝g （1）＝4+2a ，令4+2a ≥1，得a ≥﹣23；②当1≤﹣94a ≤e 时，即﹣49e ≤a ≤﹣49时，g （x ）在[1，﹣94a ）递减，在（﹣94a，e ]递增，此时g （x ）min ＝g （﹣94a）＝243323a +1，令243323a +1≥1，解得a ≥0，不符合题意；③当﹣94a ＞e 即a ＜﹣49e时，g （x ）在[1，e ]递减，故g （x ）min ＝g （e ）＝3e 3+2ae 2+1，令3e 3+2ae 2+1≥1，解得a ≥﹣23e ，（舍） 综上，实数a 的取值范围是[﹣23，+∞）．。
天津市西青区2021届新高考第四次模拟数学试题含解析
天津市西青区2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a c b c a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+=B ．()0a b c ⋅-=C ．()0a b c +⋅=D ．()0a b c -⋅= 【答案】D【解析】 试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=；若a c b c ⋅=-⋅，则由1()2a c b c a b c ⋅=⋅=+⋅可知，0a c b c ⋅=⋅=，故()0a b c -⋅=也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.2．函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,2【答案】C【解析】【分析】【详解】 函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩故选C.3．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．【答案】A【解析】 双曲线22x a ﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ， 不妨设过点F 1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=b a （x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 1|，即有24c +2224b c a＞c 1， ∴22b a＞3，即b 1＞3a 1， ∴c 1﹣a 1＞3a 1，即c ＞1a ．则e=c a＞1． ∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．5．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764 【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 16 30 60所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.8．复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（）A ．1i -B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B【解析】【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数z 满足()112z i -==， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+， 故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．9．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ）A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ， ∵||3||BD OA =，∴)()()224212(191616m y y m m +-=+， 又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.10．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||cb -的最大值为（） A．B．C．D ．【答案】C【解析】【分析】 可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=|2|213a b ∴-=，2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>3522cos ,2c a b a b =++<-++>55cos ,2c a b a b =+<-++>55439+2554395223+=+⨯=，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.11．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y+的最大值是（ ）A ．92 B．2 C ．13 D 【答案】C【解析】【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：22x y +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=．故选：C ．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )A ．322-B ．33C ．23D ．22-【答案】A【解析】【分析】 211(1)4m mx x -=+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．【详解】解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，记∠KPF的平分线与x轴交于(m,0),(1m1)H-<<根据角平分线定理可得||||||=||||||PF PM FHPK PK KH=，211(1)4mmx x-∴=+++，当0x=时，0m=，当0x≠时，212,142(1)4112x xxx⎡⎫=∈⎪⎢⎪++⎣⎭+++，211032221mmm-∴≤<⇒<≤-+，综上：0322m≤≤-．故选：A．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市河北区2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
天津市河北区2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．310【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解.【详解】A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，则第一次检测出B 类产品的概率为35； 不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为2142=； 故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为3135210⨯=；故选：D. 【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：(0,0,0),(0,0,2),,O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．B ．CD ．【答案】C 【解析】 【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '． 易求得30OAB O AC '∠=∠=︒， 由2AO =，233OB =知433AB =433AC =，22263BC OB OC =+= 222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-==⨯⨯由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠ 其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠= ∴2521,521OO OO ''=+⇒=+ 故选：C 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ； 对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.4．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B 【解析】∵12F F =∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.5．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ．[)2,+∞C ．(D ．(]1,2【答案】C 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程，可得圆心()0,2到渐近线的距离d ≥，由点到直线的距离公式可得a 的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围． 【详解】双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，即0x ay -=，由题意知，直线0x ay -=与圆()2222x y +-=相切或相离，则d =≥，解得1a ≥，因此，双曲线的离心率(c e a ==.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a c b c a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=r r rB ．()0a b c ⋅-=r r rC ．()0a b c +⋅=r r rD ．()0a b c -⋅=r r r【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r 可知，0a c b c ⋅=⋅=r r r r ，故()0a b c -⋅=r r r 也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.8．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2，所以该几何体的体积1122132V =⨯⨯⨯=，故选C ．9．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合M 中元素，可得非空子集个数． 【详解】由题意{(1,1),(1,2),(2,1)}M =，共3个元素，其子集个数为328=，非空子集有7个． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有n 个元素的集合其子集个数为2n ，非空子集有21n -个．10．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A 【解析】 【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【详解】∵复数1z i =+，∴||z =()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题11．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．16B ．14C ．12D ．8【答案】B【解析】 【分析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r可求得结果.【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r.60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，()22222cos 416828AM DM DADM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r，则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r .故选：B . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.12．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．105D ．8105【答案】C 【解析】 【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值． 【详解】解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0，由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．弦长|AB|＝55≤．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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天津市河北区2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大 B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降【答案】D【解析】【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确；对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误；故选：D【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.2．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D【解析】【分析】 求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减；不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减，从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-， 即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x +++≤， 从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞-故选：D.【点睛】 此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.3．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π- B ．6π- C ．6π D ．3π 【答案】A求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=， 则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A.【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3πB ．4πC ．2πD ．23π 【答案】A由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=．则 5.196sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论．【详解】解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 6．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点【答案】A【解析】【分析】 根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上.【详解】PB α⊥Q ,AC α⊂，PB AC ∴⊥,又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBCAC BC ∴⊥，故C 在以AB 为直径的圆上，又C 是α内异于,A B 的动点，所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.7．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．2- 【答案】D【解析】【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果．【详解】 {|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-．故选：D ．【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．8．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数.【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.9．已知数列 {}n a 是公比为q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ） A ．12- B ．2- C ．1- 或 12 D ．1 或 12- 【答案】D【解析】【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程.【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ．项公式也要熟练．10．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ）A ．-3B ．3C ．-2D ．2 【答案】A【解析】【分析】对函数()f x 求导,可得(1)0(1)2f f =⎧⎨='⎩,即可求出,a b ,进而可求出答案. 【详解】 因为32()3f x ax x b =++,所以2()36f x ax x '=+,则(1)360(1)32f a f a b '=+=⎧⎨=++=⎩,解得2,1a b =-=,则3a b -=-.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.11．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<< {}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.12．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）【答案】D【解析】【分析】求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案.【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-， 把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b +=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =，又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b == 所以双曲线的标准方程为22136x y -=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。