芝罘区数学二次函数在闭区间上的最值-轴定区间定
中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定
中考数学二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aa cb a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++23的最值。
解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]-11，上的二次函数，将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422 二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-21，显然其顶点横坐标在区间[]-11，的左侧或左端点上。
中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴定区间定
中考数学二次函数在闭区间上的最值-轴定区间定一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aa cb a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。
二次函数在闭区间上的最值
O x=1
t t+1
x
3--1
（3）若对称轴x=1在区间[t,t+1]右侧时，有 t+1<1，即t<0,如图4--1所示： 当x=t+1时，函数取得最小值, 即 f(x)min=f(t+1)=t2+1。
y
1 t t+1 O x=1 x
4--1
2）最大值 ）
（1）若
时，如图5--1所示:
1 t + ( t + 1) t ≥ ≥ 1，即 2 2
3 −2 ∉ − , 2 2
，所以
a = −
1 不合题意； 2
y -2 -1.5 o
X=-2 2
x
9--1
线开口向上，对称轴为x=0，如图 10--1所示: 闭区间的右端点离对称轴较远，
1 所以 a = 2 符合题意；
1 （2）若f(2)=3，则 a = 2 此时抛物
（3）若
x=− 7 4
3 f − = 3，则 2
a=−
此时抛物线开口向下，对称轴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 ，如图10--2所示:
2 3
闭区间的右端点离对称轴远， 所以 a = − 2 符合题意。
3
y y
2
-1.5 o -1.5 o
2
x
x
X=-1.75
10--1 1 a = 综上所述： 2
或
2 a=− 3
10--2
二次函数在闭区间上的最值
(高中数学） 高中数学） 高中数学
y
m 0 n x
X=a
马街中学---张天琼 马街中学 张天琼
前面我们学习了二次函数是确定的，并且定义域也是 确定的最值（即定函数在定区间上的最值）的情况， 如：已知f(x)=2x2-3x+1，x ∈[-2,1],求它的最值？
(整理)二次函数在闭区间上的最值68684.
二次函数在闭区间上的最值题型总结二次函数自身性质灵活多变，同时经常作为其他函数的载体。
二次函数在某一区间上的最值问题，是对初中二次函数内容的拓展，是高考数学中的热点。
一、 知识回顾：二次函数解析式的几种形式： ①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
二、 思维提升：二次函数在区间上的最值，有两大类情况：1.二次函数在闭区间[]m,n 上的最值：一般思维的突破口：对称轴在区间的左边还是中间还是右边. 设，求在上的最大值与最小值。
以为例分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上的最值：1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 。
2.二次函数在开区间上的最值，利用数形结合求解。
三、题型总结：（一）、正向思维型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
一. 定二次函数在定区间上的最值—即“轴定，区间定”。
例1.函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_____，最小值是___。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图示。
二次函数在闭区间上的最值
如果我们俩个到 对称轴的距离相 等，则我们的函 数值也相等，离 对称轴越远，我 们的函数值越大
2、二次函数的图像和性质
y
（1）二次函数y= ax²+bx+c(a>0)
对称轴 x b
o
x
顶点坐标
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在（-∞，
b 2a
)上，单调递减；在（
递减，如图：
所以f(x)min=f(-2)=-3 f(x)max=f(-3)=0
y
-3 -2 -1 o1
x
y
(2)如图： f(x)min=f(-1)=-4；
f(x)max=f(1)=0
y
（3）如图： f(x)min=f(0)=-3； f(x)max=f(2)=5来自--32 -1
1o2
m b n f ( b )
2a
2a
b n 2a
f (n)
f (n)
f(m)与f(n)中 的较 大者
f (m)
m
o
n
x
例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-3在闭区间[3,4]上的最小值。
解：如图可得：
y
1°当a<3时二次函数在[3，4]上单调递
增
∴2°f当(x3)m≦ina=≦f(34)时=6二-6次a 函数先减后增
解：这个函数的对称轴为x=1,
y
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时，
f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6
3
二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b am n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。
二次函数在闭区间上的最值问题
图1
同步练习.已知 ，求函数 的最值。
解：由已知 ，可得 ，即函数 是定义在区间 上的二次函数。将二次函数配方得 ，其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 内，如图2所示。函数 的最小值为 ，最大值为 。
图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数 是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是 ，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当 时
当 时
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4.已知 ，且 ，求函数 的最值。
解：由已知有 ，于是函数 是定义在区间 上的二次函数，将 配方得：
二次函数 的对称轴方程是 顶点坐标为 ，图象开口向上
三、巩固训练
1．函数 在 上的最小值和最大值分别是（） 1 ,3 ,3（C） ,3（D） , 3
2．函数 在区间 上的最小值是（ ）
2
3．函数 的最值为（ ）
最大值为8，最小值为0 不存在最小值，最大值为8
（C）最小值为0,不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值
综上讨论，
图8
例3.已知 ，当 时，求 的最大值．
二次函数在闭区间上地最值
二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
图1练习. 已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
当时，函数取得最小值。
图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数在闭区间上的最值-轴定区间定
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x a x b xc a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭
⎪b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b a
m n 2，时 若-<b a
m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a
<-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+22
4222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方
程是x =2
，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。
函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。
图1
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++2
1的最值。
解：由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣
⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+1234
2，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦
⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 3219
4⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
图2。