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实验四 FIR 数字滤波器的设计
一、 实验目的
（1） 掌握用窗函数法设计FIR 滤波器的原理及方法，熟悉相应的MATLAB 编程。

（2） 熟悉线性相位FIR 滤波器的幅频特性和相频特性。

（3） 了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。

二、 实验内容
（1） N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化幅度谱，并比较各自
的特点。

（2） N=15，带通滤波器的两个通带边界分别为 12,0.30.5ππωω==。

用汉宁窗
设计线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB 和20dB 带宽。

N=45，重复着一设计，观察幅度和相位特性的变化，注意长度N 变化的影响。

（3） 分别改用矩形窗和布莱克曼窗，设计（2）中的带通滤波器，观测并记录窗函数
对滤波器幅独特性的影响，比较三种窗的特点。

三、 实验报告要求
（1） 简述实验目的及理论。

（2） 按照实验步骤附上所设计滤波器的h[n]及相应幅频及相频特性曲线，比较他们的
性能，说明不同设计方法对滤波器性能的影响。

参考：
1．窗函数：
窗函数在设计FIR 数字滤波器中有很重要的作用，正确的选择窗函数可以提高所设计的数字的性能，或者在满足设计要求的情况下，减小FIR 数字滤波器的阶数。

常见的窗函数有：
a) 矩形窗； b) hanning window; c); Blackman window ; d) hamming window; e) Kaiser window; f) Bartlett window. 2．一般希望窗函数满足两项要求:
a) 窗函数频谱得主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带；
b) 尽量减少窗函数的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，可增大阻带的衰减。

但是这两项要求是不能同时得到满足的，往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制。

因而选用不同形状的窗函数就是为了得到平坦的幅度响应和较小的阻带波纹（也就是加大阻带衰减）。

3．用窗函数法设计FIR 数字滤波器：
设计FIR 数字滤波器最简单的方法是窗函数法，也称傅里叶级数法。

其设计思想是： a) 先给出要求的理想滤波器的频率响应 ()j d
H e ω
；
b) 设计一个FIR 数字滤波器频率响应()j H
e ω
，去逼近理想频率响应()j d
H e ω。

因窗函数法设计FIR 数字滤波器是在时域进行的，所以应按以下方法进行设计： a) 由理想频率响应()j d
H
e ω
推导出对应的单位取样响应[]d
h n ；
b) 设计一个FIR 数字滤波器的单位取样响应[]h n 去逼近[]d h n 。

加窗后对滤波器的理想特性有以下一些影响： ●
()d H ω的截止频率处的间断点变成了连续的曲线，出现了过渡带，宽度等于窗函数的
主瓣宽度。

所以，窗函数的主瓣宽度越宽，过度带越宽。

由于窗函数旁瓣的影响，是滤波器的幅度频率特性有波动，波动的幅度与窗函数的旁瓣的相对幅度有关，旁瓣范围的面积越大，同带波动和阻带波动越大，即阻带的衰减越小，波动的多少取决于旁瓣的多少。

增加窗函数的长度，只可减少窗函数的幅频特性的主瓣宽度，不能减少主瓣和旁瓣的相对幅度，该值取决于窗函数的形状。

为了满足需要，可以通过改变窗函数的形状来改善滤波器的幅频特性。

选窗函数的原则是：
● 具有较低的旁瓣幅度，特别是第一旁瓣的幅度；旁瓣的下降速度要快，以利于增加阻带的衰减；
● 主瓣宽度要窄，以利于得到窄的过渡带。

下面介绍一些常用的窗函数:
1. 矩形窗：这是一种最简单的窗函数，但从阻带衰减的角度看，其性能最差。

他的定义为：
[]10
01
n
n M w n ≤≤-=⎧⎨
⎩其它
他的频率响应函数为：
(
)()
12
sin 22
N j j R N W e
e
N
ω
ω
ωω--=
⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅
2. hanning 窗：又称升余弦窗，它的时域函数形式为： []121cos ,221w n n M n M
M π=
+-≤≤+⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
他的频率响应函数为：
()
()(
)(
)220.50.251
1
R
R
R
W
W W
W
N N ωωωωππ=
-
+
++--⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
其中()R
W ω为矩形窗函数的幅度频率特性函数。

在MATLAB 中可以用 wvtool(hann(N))显示hanning 窗函数[]w n 和它的幅度响应()W ω（选择窗函数长度N=64）。

3. hamming 窗：是一种改进的余弦窗，它的时域函数形式为： []0.5420.46cos ,
21w n n
M n M
M π=+-≤≤+⎛⎫
⎪⎝⎭
它的频率响应函数为：
()
()(
)(
)
220.540.231
1R
R
R
W
W W
W
N N ωωωωππ
=
-
+
++--⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
其中()R
W ω为矩形窗函数的幅度频率特性函数。

在MATLAB 中可以用 wvtool(hamm(N))显示hamming 窗函数[]w n 和它的幅度响应()W ω（选择窗函数长度N=64）。

4．Blackman window 窗：为了进一步抑制旁瓣，对hanning 函数 加一个二次谐波的余弦分量，得到 Blackman window 窗函数。

它的时域函数形式为： []0.420.524cos cos ,
21210.08w n n
n M n M
M M ππ=+-≤≤+++⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
它的频率响应函数为：
()
()(
)(
)
(
)(
)
22440.420.251
11
10.04R
R
R
R
R
W
W W
W
W
W
N N N N ωωωωωωππ
ππ
=
-
+
-
+
+++----⎡
⎤⎡
⎤
+⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
其中()R
W ω为矩形窗函数的幅度频率特性函数。

在MATLAB 中可以用 wvtool((N))显示hamming 窗函数[]w n 和它的幅度响应()W ω（选择窗函数长度N=64）。

产生这些窗函数的MATLAB 函数如下:
Rectangular Window: boxcar(n); Triangular Window: triang(n); Hanning Window : hanning(n): Hamming Window: hamming(n): Blackman Window: blackman(n);
还有一个重要的MATLAB 函数： wvtool(winname(n))
wvtool(winname(n)) opens WVTool with the time and frequency domain plots of the n-length window specified in winname, which can be any window in the Signal Processing Toolbox.
实现FIR 滤波的MATLAB函数有：
1. filter( )：Filter data with an infinite impulse response (IIR) or finite impulse response (FIR) filter.
The filter function filters a data sequence using a digital filter which works for both real and complex inputs.
y=filter(b,a,X)filters the data in vector X with the filter described by numerator coefficient vector b and denominator coefficient vector a. If a(1) is not equal to 1, filter normalizes the filter coefficients by a(1). If a(1) equals 0, filter returns an error. If X is a matrix, filter operates on the columns of X.If X is a multidimensional array, filter operates on the first nonsingleton dimension.
2. conv(u,v): Convolution and polynomial multiplication.
w=conv(u,v) convolves vectors u and v. Algebraically, convolution is the same operation as multiplying the polynomials whose coefficients are the elements of u and v.。