《高一数学函数性质》PPT课件
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高一数学人必修课件对数函数及其性质
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渐近线与拐点
渐近线
对数函数的图像没有水平渐近线和垂直渐近线。但是，当x趋近于正无穷或负无穷时， 函数的值分别趋近于正无穷或负无穷，因此可以说对数函数的图像有两条斜渐近线，即
y=±∞。
拐点
对数函数的图像没有拐点。因为对数函数在其定义域内是单调的，所以其图像不可能出 现拐点。
03
对数运算规则及应用
对数运算法则
01
02
03
04
乘法法则
log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)
除法法则
log_b(M/N) = log_b(M) log_b(N)
指数法则
log_b(M^n) = n * log_b(M)
换底公式
log_b(M) = log_a(M) / log_a(b)
换底公式及应用
换底公式
形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq1$）的函数叫 做指数函数。
指数函数的图像与性质
当$a>1$时，函数图像在定义域内单调递增，值 域为$(0,+infty)$；当$0<a<1$时，函数图像在 定义域内单调递减，值域为$(0,+infty)$。
指数函数的运算性质
包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘 方等。
答案及解析提供
对于第一题，利用对数的定义转化为 指数方程求解，得到 x = 4
第三题需要先确定 f(x) 的定义域，再 将其应用到复合函数中，得到 x < 0 或x > 2
第二题需要分别讨论 a 的不同取值范 围，结合复合函数的单调性判断方法 ，得到不同情况下的单调性
第四题利用对数函数的单调性比较大 小，得到 log₃π > log₅10 > log₂0.8
高一数学《正切函数的图象和性质》PPT课件
(A) {x|kπ<x<kπ+
, k∈Z} ∈
4
(B) {x|4kπ<x<4kπ+
π
2
, k∈Z} ∈
(C) {x|2kπ<x<2kπ+π, k∈Z} ∈ (D) 第一、三象限 第一、
5.已知函数 已知函数y=tanωx在(－ 已知函 在－
π
2
,
π
2
)内是单调减 内是单调减
函数, 函数 则ω的取值范围是 ( B ) 的取值范围是 (A) 0<ω≤ 1 (C) ω≥1 (B) －1≤ω<0 (D) ω≤－1 －
作法如下： 作法如下 作直角坐标系，并在 直角坐标系y轴左侧作单 位圆。 找横坐标（把x轴上 − π x 到
Y
π
2 等份）
这一段分成8
2
把单位圆右半圆 中作出正切线。 找交叉点。 连线。
O
− 2
π
π
2
X
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右 π 扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且 x ≠ 2 + kπ (k ∈ z ) 扩展，得到正切函数 ∈ ， 的图象， 正切曲线” 的图象，称“正切曲线”
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) Q 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
函数性质之复合函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
又u 1，函数y 2u在1,上单调递增【换元】
【分区间判断内外函数单调性】
函数的单调减区间为 , 2，增区间为 2, +
【下结论】
例4：讨论函数f x a3x2 2x1 a 0且a 1的单调性
解：依题意可得函数的定义域为 R
令 u 3x2 2x 1，则 y au
∵ u 3x2 2x 1在[1 , ) 为增函数，在 (, 1) 为减函数
【方法归纳】
①已知f (x)的定义域为 [a,b],求f [g(x)]的定义 域：令a≤g(x)≤b解出即可
例1：(2)已知f (2x)的定义域为[1,2]，则f (x)的定义
域为______． [2,4]
【方法归纳】 ②已知f [g(x)]的定义域为[a,b],求f (x) 的定义域： g(x)在[a,b]上的值域即为f (x)的定义域
f2
x
1 4
3x2
,
f3
x
1 4
23 x
y1 4x 在R上 ，y2 =3x 2在R上 f1 x 在R上为增函数
y1
1 4
Байду номын сангаасx
在R上
y1
1 4
x
在R上
，y2 =3x 2在R上 ，y2 =2 3x在R上
f2 x在R上为减函数 f3 x在R上为增函数
复合函数f [g(x)]单调性的判断方法：同增异减
②求内函数g(x)的值域，即u的取值范围
③结合外层函数f (u)的图象或单调性推导 出y的取值范围
复合函数问题的求解
①定义域，值域问题：灵活利用换元法解题， 将内函数看成一个整体
②解析式问题：常用方法——换元法，构造法。 注意：记得求函数的定义域
【分区间判断内外函数单调性】
函数的单调减区间为 , 2，增区间为 2, +
【下结论】
例4：讨论函数f x a3x2 2x1 a 0且a 1的单调性
解：依题意可得函数的定义域为 R
令 u 3x2 2x 1，则 y au
∵ u 3x2 2x 1在[1 , ) 为增函数，在 (, 1) 为减函数
【方法归纳】
①已知f (x)的定义域为 [a,b],求f [g(x)]的定义 域：令a≤g(x)≤b解出即可
例1：(2)已知f (2x)的定义域为[1,2]，则f (x)的定义
域为______． [2,4]
【方法归纳】 ②已知f [g(x)]的定义域为[a,b],求f (x) 的定义域： g(x)在[a,b]上的值域即为f (x)的定义域
f2
x
1 4
3x2
,
f3
x
1 4
23 x
y1 4x 在R上 ，y2 =3x 2在R上 f1 x 在R上为增函数
y1
1 4
Байду номын сангаасx
在R上
y1
1 4
x
在R上
，y2 =3x 2在R上 ，y2 =2 3x在R上
f2 x在R上为减函数 f3 x在R上为增函数
复合函数f [g(x)]单调性的判断方法：同增异减
②求内函数g(x)的值域，即u的取值范围
③结合外层函数f (u)的图象或单调性推导 出y的取值范围
复合函数问题的求解
①定义域，值域问题：灵活利用换元法解题， 将内函数看成一个整体
②解析式问题：常用方法——换元法，构造法。 注意：记得求函数的定义域
4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1
如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.
…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…
= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解 可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.2.2 函数奇偶性的应用课件 a高一第一册数学课件
12/8/2021
x 1 ,x ＜ 0，
x 1 , x ＞ 0 .
第七页，共三十七页。
类型二 奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理) 角度1 比较大小问题
【典例】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增(dìzēng)，则f(-2)，f(π)， f(-3)的大小关系是 ( )
12/8/2021
第二页，共三十七页。
【思路导引】1.已知x>0时的解析式，用奇偶性求x<0时的解析式，应通过(-x)进行过渡， 但别忽视(hūshì)x=0的情况. 2.根据函数的奇偶性，用-x代替原式中的x，再利用方程思想分别求出f(x)，g(x)的解析式.
12/8/2021
第三页，共三十七页。
函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-x+1，求f(x)的解析式.
【解析】设x<0，则-x>0，
所以f(-x)=-(-x)+1=x+1，
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)=x+1
所以当x<0时f(x)=-x-1. 又x=0时，f(0)=0，所以f(x)=
12/8/2021
第九页，共三十七页。
【变式探究】
将典例改为：函数y=f(x)在[0，2]上单调递增(dìzēng)，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结
论成立的是
()
A.f(1)＜ f(5)＜ f(7) 22
C.f(7)＜ f(5)＜ f(1) 22
B.f(7)＜ f(1)＜ f(5)
2
2
D.f(5)＜ f(1)＜ f(7)
第2课时 函数(hánshù)奇偶性的应用
x 1 ,x ＜ 0，
x 1 , x ＞ 0 .
第七页，共三十七页。
类型二 奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理) 角度1 比较大小问题
【典例】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增(dìzēng)，则f(-2)，f(π)， f(-3)的大小关系是 ( )
12/8/2021
第二页，共三十七页。
【思路导引】1.已知x>0时的解析式，用奇偶性求x<0时的解析式，应通过(-x)进行过渡， 但别忽视(hūshì)x=0的情况. 2.根据函数的奇偶性，用-x代替原式中的x，再利用方程思想分别求出f(x)，g(x)的解析式.
12/8/2021
第三页，共三十七页。
函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-x+1，求f(x)的解析式.
【解析】设x<0，则-x>0，
所以f(-x)=-(-x)+1=x+1，
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)=x+1
所以当x<0时f(x)=-x-1. 又x=0时，f(0)=0，所以f(x)=
12/8/2021
第九页，共三十七页。
【变式探究】
将典例改为：函数y=f(x)在[0，2]上单调递增(dìzēng)，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结
论成立的是
()
A.f(1)＜ f(5)＜ f(7) 22
C.f(7)＜ f(5)＜ f(1) 22
B.f(7)＜ f(1)＜ f(5)
2
2
D.f(5)＜ f(1)＜ f(7)
第2课时 函数(hánshù)奇偶性的应用
函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例题讲解 LOGO
例5 求下列函数的最大值，最小值，并写出取最值时自变量x的集合．
（1）y cos x 1, x R；（2）y 3sin 2x, x R.
整体代换
【解析】(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x取得最大值的x的集合，
就是使y＝sin z取得最小值的z的集合z z
由
2x
z
1
2
探究新知 LOGO
例7 求下列函数的值域：
(1) y 3 2 cos(2x );(2) y cos2 x 4 cos x 5.
3
解：(1) -1 cos(2x ) 1-2 2 cos(2x ) 2,
3
3
1 3 2 cos(2x ) 5，即y=3 2 cos(2x )的值域为[1,5].
3
3
(2) y cos2 x 4 cos x 5 (cos x 2)2 1,
令t cos x,则t [1,1]
y (t 2)2 1在[1,1]上单调递减
当t= 1时，ymax (1 2)2 1 10 当t=1时，ymin (1 2)2 1 2 故y cos2 x 4 cos x 5的值域为[2,10].
课堂练习 LOGO
1.求函数y=2sin( x),x∈R 的单调递增区间；
4
解：y
2 s in(
x)
2sin(x
)
4
4
由 2k x 3 2k (k Z)， 得 3 2k x 7 2k (k Z)
2
42
4
4
故y 2sin( - x)的单调增区间为[3 2k , 7 2k ](k Z ).
课堂练习 LOGO
课堂小结 LOGO
课堂小结
高一数学必修4课件：1-4-2-2正、余弦函数的性质
思路方法技巧
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数的奇偶性的判断
[例 1]
判断下列函数的奇偶性：
1＋sinx－cos2x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sinx
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
第2课时 正、余弦函数的性质
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
新课引入
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
在舞蹈比赛中，演员手中挥动着丝带，那丝带似波浪上 下起伏，又似正弦曲线，以曲线美打动着每一位观众，在数 学上，你能找到函数的什么性质来刻画这种起伏变化呢？
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
建模应用引路
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数单调性的应用
比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值； (2)不同名的函数化为同名函数； (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
成才之路· 数学
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ax
例4：讨论f(x)= 调性。
1
x
2
(a≠0,a∈R)在区间(-1,1)上的单
二：典型例题：
例1、已知函数f(x)=x2 2ax2,x[5,5] (1).当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值。 (2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间
[5,5]上是单调函数。
例 2、 函 数 定 义 域 为 （ -1， 1） ， f(x)为 奇 函 数 ， 又 f(x)是 增 函 数 。 如 果 有 f(1-a)+f(1-a2)<0， 求 实 数 a的 取 值 范 围 。
换元法
y2x3 134x
y
,
7 2
求函数的解析式：换元法，待定系数法，消去法
(1)已 知 f(1 x)1 x x2， 求 f(x)= _____;
( 2 ) 已 知 f [ f ( x ) ] 2 x 1 , 则 一 次 函 数 f ( x ) = _ _ _ _ ;
(3 )已 知 f(x ) 2 f(1 ) 3 x 2 ， 则 f ( x ) = _ _ _ _ _ x
例2：设函数f(x)是定义在R上的减函数，且实数a满足 f(3a2+a-3)< f(3a2-2a),求a的范围； 变式1：设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间
（-∞，0）上是减函数，实数a满足 f(3a2+a-3)< f(3a2-2a),求a的范围；
练：已知f(x)是定义在R上的奇函数，在（0，+∞） 是增函数，且f(1)=0,则f(x+1)<0的解集_______
函数的性质
1. 函数的概念
函数的三个要素: 定义域,对应法则,值域, 函数的表示方法: 列表法 图象法 解析法
函数的性质:
（1）定义域，值域 （2）图象与解析式 （3）单调性 （4）奇偶性
2.求函数的值域
分子常数化
x2 1 y x2 2
y
1 2
,1
配方法 yx24x6 , x [1 ,5)
(C) 减函数且最小值为-5 (D) 减函数且最大值为-5
(3)如果函数f(x)= g(x)=_________.
2 g
x 3, (x), x
x
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
是奇函数，则
例1：已知函数f(x)= x22xa,x1,
x
(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，求a范围。
一、基础训练
1 .(1 )已 知 f(x)x2 2 (1 a )x 2 在 （ ,4 ] 上 是 减 函 数 求 实 数 a 的 取 值 范 围 。
(2) 若奇函数f (x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5， 则f (x)在 区间[-7，-3]上是( ) (A) 增函数且最小值为-5 (B) 增函数且最大值为-5