概率1-3条件概率与乘法公式
解 设B1 , B2 分别表示“利率下调”和“利率不变”
这两个事件, A表示“该支股票上涨”，B1 , B2 是导致A发生的原因，且
B1 B2
B1 B2
故由全概率公式
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B2 ) P( B2 ) 80% 80% 40% 40% 64%
于是
P( A) 1 P( A) 0.2304
三、全概率公式与贝叶斯公式
下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法 定理建立两个计算概率的公式。先引入一个例子 例7 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据 以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品 率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库 里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为 2:3。 (1)在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率 (2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次 品，问该此次品分别是由第1、2车间生产的概率为多 少？
A为E的事件, B1 , B2 ,, Bn 是的一个划分，
P( Bi ) 0
( i 1, 2, , n )
且P( Bi ) 0，（i 1,2,, n）。
则
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A Bn ) P( Bn ) P( A Bi ) P( Bi )
（1）由全概率公式
4 12 a P( A) P( A Bi ) P( Bi ) 0.8 1 0.1 ＋0.1 0.94 5 19 i 0
这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
i 1 n
定理3 （贝叶斯（Bayes）公式）
设试验E的样本空间为, A为E的事件， B1 , B2 , Bn 是的一个划分， 且P( A) 0, P( Bi ) 0, (i 1,2, , n), 则
P( Bi A) P( A Bi ) P( Bi )
P( A B ) P( B )
故
P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
推广到n个事件的情况
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)
例5 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地 从袋中取两球。试求两次均取到白球的概率 。
解
记 Ai { 第 i 次取到白球 }
3 P ( A2 ) 10
3 2 1 P( A1 A2 ) 10 9 15
P( A1 A2 ) 2 P( A1 A2 ) P( A2 ) 9
例4 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年 龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料 可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718， 存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人， 能够活到51岁的概率是多少？
B中共有3个元素，它们的出现是等 可能的，其中只有1个在集A中， 于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
1 1 6 P ( AB) P(A|B) 3 36 P ( B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记 A={取到一等品}， B={取到正品}
解 记 A { 活到50岁} B { 活到51岁} 显然 B A
因此 AB B 要求 P( B A) 因为 P( A) 0.90718 P( B) 0.90135 P( AB) P( B) 0.90135
从而 P( B A )
P( AB) 0.90135 0.99357 P( A) 0.90718
(10)
定义2
设为试验的样本空间, B1 , B2 ,, Bn为E的 一组事件，若
(i) Bi B j , i j, i, j 1,2, n,
(ii ) B1 B2 Bn
则称B1 , B2 , Bn为样本空间E的一个划分
定理2（全概率公式）
设试验E的样本空间为，
99
由乘法定理 P( A) P( A1 A2 A3 A4 A5 )
P( A5 A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 ) P( A3 A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 95 94 93 92 91 100 99 98 97 96 0.7696
第三节
条件概率与乘法公式
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例1，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？ 已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B，
j 1 j j
n
( i 1, 2, , n )
与全概率公式刚好相反，贝叶斯公式主要用于当观 察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事 件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小 。
例8 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有 银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下调的 概率为60％，利率不变的概率为40％ 。根据经验，在 利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利率不变 时，这支股票上涨的概率为40％。求这支股票上涨的 概率。
的一个划 分
例10 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0， 1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1。一顾客 欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只， 若无残次品，则买下该箱玻璃杯，则退回。试求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率 a ； （2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次 品的概率 b
B2 { 检验者不患此疾病 }
显然
B1 B2
B1 B2
且已知 P( B1 ) 0.005 P( B2 ) 0.995 P( A B1 ) 0.95 P( A B2 ) 0.01 1与B2形成 B
由贝叶斯公式可得
0.005 0.95 P( B1 A) 0.323 0.005 0.95 0.995 0.01
B
AB A
3. 条件概率的计算
定义1 设A, B是两个事件，且P( A) 0，称
P( AB) P( B A ) P( A)
1 非负性 (3) 2 规范性 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 3 可列可加性
可以验证，条件概率P(•|A)满足概率公理化定义中的 三条公理 根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A)
要求 显然 因此
P( A1 a 1 P( A2 A1 ) a b 1
a 1 a P( A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) a b 1 a b
例6 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废 品。为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查， 如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则 他拒绝购买这一批产品。求采购员拒绝购买这批产品 的概率 解 设 Ai { 被抽查的第 i 件产品是废品 } i 1, 2, 3, 4, 5
可知该城市的人在50岁 到51岁之间死亡的概率约 为0.00643。在平均意义下， 该年龄段中每千个人中间 约有6.43人死亡。
二、 乘法公式 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
P(A )=3/10， 3 3 10 P ( AB) P(A|B) 7 7 10 P ( B)
A={取到一等品}，B={取到正品}
P(A )=3/10， P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依 据的前提条件是10件产品中一 等品的比例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件.
解(1) 记
A { 从仓库中随机地取出的一台是次品 }
Bi { 提出的一台是第 i 车间生产的 } ( i 1, 2 )
因为 B1 B2 从而 于是
B1 B2
( AB1 )( AB2 )
（6） （7）
A AB1 AB2
P( A) P( AB1 AB2 ) P( AB1 ) P( AB2 ) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B2 ) P( B2 ) 2 3 0.15 0.12 5 5 0.132
1
因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取 球时，所有可取的球只有9只。A 中所含的基本事 件数为9，其中黑球只剩下2个。所以
2 P( A2 A1 ) 9
（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故 A 的结构并不直观。因此，直接在中用定义计算 P(A1 |A2)更方便些
2
因为 所以
例9 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病 菌引起的疾病占总人数的0.5%。一种血液化验以 95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以 1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性。现设 某人检查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率 是多少？
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条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
概率公式大全
概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
概率论1-3
9 8 1 1 1 10 9 2 10
注：抽签模型抽中签的概率与次序无关
6
三、全概率公式和贝叶斯公式
B1 , B2 ,, Bn 为E的一组 定义：设S为E的样本空间，
事件，若
⑴ Bi Bj
i j i, j 1, 2,, n
⑵ B1 B2 Bn S
P( AB) 0 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 )P( An | A1 A2 An1 )
当 当
P( A1 A2 An1 ) 0
5
乘法定理给出了事件乘积的概率与条件概率间的关系
例题：一袋中有10个球，其中9个是白球1个是红球。 10个人依次从袋中任意取球，求第一、第二、第十个 人取到红球的概率。 解：记第i 个人取到红球为 Ai , i 1, 2,,10
1 P( A1 A2 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 0.8 0.7 0.6 0.664
常用结论：
若A1 , A2 ,, An相互独立
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
武汉科技大学理学院
20
P( AB) 1/ 2 2 P( B | A) P( A) 3/ 4 3
4
二、乘法定理
将条件概率的定义式变形，就成为乘法定理： 乘法定理：P( AB) P( A) P( B | A) P( B) P( A | B) 当
P( A) 0
P( B) 0
推广： P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
则称B1 , B2 ,, Bn来自S的一个划分。71.全概率公式：
注：抽签模型抽中签的概率与次序无关
6
三、全概率公式和贝叶斯公式
B1 , B2 ,, Bn 为E的一组 定义：设S为E的样本空间，
事件，若
⑴ Bi Bj
i j i, j 1, 2,, n
⑵ B1 B2 Bn S
P( AB) 0 P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 )P( An | A1 A2 An1 )
当 当
P( A1 A2 An1 ) 0
5
乘法定理给出了事件乘积的概率与条件概率间的关系
例题：一袋中有10个球，其中9个是白球1个是红球。 10个人依次从袋中任意取球，求第一、第二、第十个 人取到红球的概率。 解：记第i 个人取到红球为 Ai , i 1, 2,,10
1 P( A1 A2 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 0.8 0.7 0.6 0.664
常用结论：
若A1 , A2 ,, An相互独立
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
武汉科技大学理学院
20
P( AB) 1/ 2 2 P( B | A) P( A) 3/ 4 3
4
二、乘法定理
将条件概率的定义式变形，就成为乘法定理： 乘法定理：P( AB) P( A) P( B | A) P( B) P( A | B) 当
P( A) 0
P( B) 0
推广： P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
则称B1 , B2 ,, Bn来自S的一个划分。71.全概率公式：
条件概率与概率的三个基本公式
球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
1-3条件概率乘法公式全概率逆概率公式
P ( B2 A) 0.64
P ( B3 A) 0.12
说明：这只次品来自第二家工厂的可能性最大
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例 5 对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时， 产品的合格率为0.9，而当机器发生某一故障时，其合格 率为0.3，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 0.75，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器 调整得良好的概率是多少？ 解 设 A ： “ 产品合格 ” ， B ： “ 机器调整良好 ” 由已知
⑴ Bi B j , i j , i j 1,2, n; ⑵ B1 B2 Bn S ,
则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间S的一个划分
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2、全概率公式：
P ( A)
i 1
p( Bi ) P( A | Bi )
n
3、贝叶斯公式（逆概率公式）
次才取到合格品的概率. 解：设 Ai 表示“第 i 次取到的是合格品”(i=1,2，3) ， 所求概率为
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
0.0083
如果取到一个合格品后就不再继续取零件，求在三 次内取得合格品的概率.
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P (A B) =0.9, P (B) =0.25
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P (A B)=0.3,
P (B) =0.75,
后验概率
由贝叶斯公式
P ( B A)
P( A B)P( B) P( A B)P( B) P( A B)P( B)
0.9 0.75 0.9 0.9 0.75 0.3 0.25
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率1-3
P(A1A2)=P(A1)P(A2)=p2 , P(A3A4)=P(A3)P(A4)=p2 P(A5A6)=P(A5)P(A6)=p2 P(A)=P(A1A2∪A3A4∪A5A6 )= 1-P(A1A2∪A3A4∪A5A6 )
1 P( A1A2 A3 A4 A5 A6 ) 1 P( A1A2 )P( A3 A4 )P( A5 A6 )
注：１．在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不
是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断。 2、若事件A1,A2,…,An 是相互独立的，则将 A1,A2,…,An中的任意k(1≤k≤n)个事件换为各自的对 立事件后的n个事件仍然是相互独立的。
例如：
A1 , A 2 , A 3 ，A4,… ,An 相互独立的．
A
P(AS) P(A) P(A) P( A S ) P(A) P(S) P(S) 1
AB
B
3、关于概率的一切性质对于条件概率均成立，例如： （1） P(S|A)=1, P(A)=0; （2）若B1,B2,…Bn两两互不相容，P(A)>0,则
P(B1 B2 … Bn|A)=P(B1 | A)+P(B2 | A)+ … +P(Bn | A)
一个常用公式
设A1,A2,A3,……,An相互独立，则有 P(A1 A2 A3 ……An)= 1 P( A1 A 2 A n )
1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
例6：假设每个人带有感冒病毒的概率为0.002，求在有1500
人看电影的剧场中存在感冒病毒的概率。
解：假设每个人是否带有感冒病毒是相互独立的。 “第i个人带有感冒病毒”， 1,2,,1500 i 设 Ai 则 A1 , A 2 , , A1500 是相互独立的。P( A i ) 0.002 , i 1,2 , ,1500.
1 P( A1A2 A3 A4 A5 A6 ) 1 P( A1A2 )P( A3 A4 )P( A5 A6 )
注：１．在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不
是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断。 2、若事件A1,A2,…,An 是相互独立的，则将 A1,A2,…,An中的任意k(1≤k≤n)个事件换为各自的对 立事件后的n个事件仍然是相互独立的。
例如：
A1 , A 2 , A 3 ，A4,… ,An 相互独立的．
A
P(AS) P(A) P(A) P( A S ) P(A) P(S) P(S) 1
AB
B
3、关于概率的一切性质对于条件概率均成立，例如： （1） P(S|A)=1, P(A)=0; （2）若B1,B2,…Bn两两互不相容，P(A)>0,则
P(B1 B2 … Bn|A)=P(B1 | A)+P(B2 | A)+ … +P(Bn | A)
一个常用公式
设A1,A2,A3,……,An相互独立，则有 P(A1 A2 A3 ……An)= 1 P( A1 A 2 A n )
1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 )P( A2 )P( An )
例6：假设每个人带有感冒病毒的概率为0.002，求在有1500
人看电影的剧场中存在感冒病毒的概率。
解：假设每个人是否带有感冒病毒是相互独立的。 “第i个人带有感冒病毒”， 1,2,,1500 i 设 Ai 则 A1 , A 2 , , A1500 是相互独立的。P( A i ) 0.002 , i 1,2 , ,1500.