四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)答案
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试数学(理科)试题解析版
17.在等比数列 中， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 是等差数列，且 ，求数列 的公差，并计算 的值.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由题意求得数列的公比为2，据此求解可得数列的通项公式为 .
(Ⅱ)由题意可得数列 的公差为6，并项求和可得 的值是-300.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，
∴2×2a3=3a2+a4，
∴4a2q=3 ，化为q2﹣4q+3=0，
解得q=1或3．又各项均不等，所以q=3
当q=3时， .
故选A．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的求通项公式与和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.
【详解】如图， 于 ， 延长线交地面于 ，则 ， ，而 ，所以 ，即 ， ，
所以 ．
故答案为：28．
【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．
16.设 是从 ，0，1这三个整数中取值的数列，若 ，且 ，则 中数字0的个数为________.
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意用m，n表示出a，b和c，再把不等式 化为以m，n为系数的不等式，求出解集即可.
【详解】因为不等式 的解为 ，所以 ，且 ，
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期中考试数学(文)试题含解析
郫都区2019—2020学年度下期期中考试高一文科数学试题说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第I 卷（选择题 共60分）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.不等式(1)(2)0x x --<的解集为（ ） A. {|1,x x <或2}x > B. {|12}x x << C. {|2,x x <-或1}x >- D. {|21}x x -<<-【答案】B 【解析】分析：结合二次函数的图象解不等式可得结果． 详解：结合二次函数的图象解不等式得12x <<， ∴不等式的解集为{|12}x x <<． 故选B ．点睛：解一元二次不等式的步骤（1）对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式；（2）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； （3）根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 2.cos45cos15sin 45sin15︒︒-︒︒=（ ） 32 C.12D.624- 【答案】C【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式求解即可.【详解】()1cos 45cos15sin 45sin15cos 45152︒︒-︒︒=︒+︒= 故选：C【点睛】本题主要考查了逆用两角和的余弦公式，属于基础题. 3.设a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b > B.11a b< C.11a b a>- D.22a b c c > 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】a b >，对于A 选项，取1a =-，2b =-，则22a b <，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，取1a =，1b =-，则11a b >，B 选项中的不等式不成立； 对于C 选项，取0b =，则11a b a=-，C 选项中的不等式不成立； 对于D 选项，0c ≠，则210c >，a b >，由不等式的基本性质得22a b c c>，D 选项中的不等式成立. 故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、特殊值法、作差（商）法、函数单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知466a a +=-，则9S =（ ） A. -27 B. 27C. -54D. 54【答案】A 【解析】 试题分析：因466a a +=-,故，所以应选A.考点：等差数列的性质及其前项和．晨鸟教育5.已知{}n a 是等比数列，且5371,422a a a =+=，则9a = A. 2± B. 8 C. 18D. 2【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列，且512a =,得237514a a a ==.又3742a a +=，联立得314a =.253 q 2a a ==. 4952a a q ==.故选D.6.已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==那么B ∠为（ ）A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒【答案】A 【解析】试题分析：在ABC ∆中，45,2,A a b =︒==a b >，A B ∠>∠，那么B ∠为锐角，由正弦定理可得2,,sin sin sin45sin a b A B B==即解得01sin ,302B B =∴=. 考点：正弦定理的应用. 7.若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,4)B. [0,2)C. [0,4)D. (2,4]【答案】C 【解析】 【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.在ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形【答案】D 【解析】 【分析】 在ABC中，把()sin sin sin cos +cos sin C A B A B A B=+=⋅⋅代入到2cos sin sin B A C =中，化简即可【详解】解：在ABC 中，()sin sin sin cos +cos sin C A B A B A B =+=⋅⋅ 因为2cos sin sin B A C =，所以()2cos sin sin cos +cos sin sin cos cos sin 0sin 0B A A B A BA B A B A B =⋅⋅⋅-⋅=-= 所以A B =，则ABC 的形状等腰三角形 故选：D【点睛】考查两角和的正弦公式和三角形中的恒等式，基础题.9.在ABC ∆，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若内角,,A B C 依次成等差数列，且不等式220x ax c -++>的解集为1,2，则b 等于（ ）A. B. 3C. 4D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得出60B =︒，根据不等式的解集得出4,2c a ==，再由余弦定理即可得出答案.【详解】因为内角,,A B C 依次成等差数列，所以2B A C B π=+=-，即60B =︒ 因为不等式220x ax c -++>的解集为()1,2-，所以方程220x ax c -++=的两根为1,2- 则122a -+=--，122c -⨯=-，即4,2c a == 由余弦定理可知，2222212cos 24224122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 即23b = 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，涉及等差数列的性质，一元二次不等式的应用，属于中档题.10.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北o 45（即o 45BAC ∠=）的方向上，行驶6006m 后到达B 处，测得此山顶在北偏东o 15（即o 75ABC ∠=）的方向上，仰角o 30DBC ∠=，则此山的高度CD =（ ）A. 800 3 mB. 600 3 mC. 400 3 mD.200 3 m【答案】C 【解析】 分析】根据正弦定理先求得BC ,再求出DC 即可. 【详解】易得180457560BCA ∠=︒-︒-︒=︒.由正弦定理得sin 1200sin sin sin AB BC AB BACBC m BCA BAC BCA⋅∠=⇒===∠∠∠.故tan301200CD BC m =⨯︒==. 故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理的实际运用,属于中等题型. 11.已知2sin2cos21θθ-=，则sin 2cos21sin 2cos21θθθθ++-+的值为（ ）A.45B. 0C. 2D. 0或2【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式对2sin2cos21θθ-=化简，可得cos 0θ=或1tan 2θ=，再对sin 2cos21sin 2cos21θθθθ++-+利用二倍角公式化简，代值可得结果.【详解】解：因为2sin2cos21θθ-=， 所以24sin cos 2cos θθθ=， 所以cos 0θ=或1tan 2θ=因为22sin 2cos 212sin cos 2cos 2cos (sin cos )cos =sin 2cos 212sin cos 2sin 2sin (sin cos )sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++==-+++所以sin 2cos 21=0sin 2cos 21θθθθ++-+或2故选：D【点睛】此题考查三角函数恒等变换中的二倍角公式，属于基础题.12.已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =-+的定义域为,a b ，值域为2⎡⎢⎣⎦，则b a -的值不可能是（ ）A.3π B.2π C.712π D. 34π【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再由正弦函数的性质得出b a -的取值范围，即可进行判断. 【详解】2()2cos (sin cos )12sin cos 2cos 1sin 2cos 2f x x x x x x x x x =-+=-+=-2sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,222444a xb a x b πππ∴---又222sin 242x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 11sin 242x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭正弦函数sin y x =在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦这一个周期中，其图像如下图所示由图可知，当246b ππ-=，7246a ππ-=-时，2244b a ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值即()max 1272663b a πππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=当246b ππ-=，242a ππ-=-时，2244b a ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值 即()min 16232b a πππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=则2,33b a ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦由于32,433πππ⎡⎤∉⎢⎥⎣⎦，则D 错误 故选：D【点睛】本题主要考查了已知正弦型函数的值域求参数的范围，涉及了三角恒等变换的应用，属于中档题.第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等差数列{}n a 的通项公式为23n a n =-，那么它的公差为______________. 【答案】3- 【解析】 【分析】利用第二项减去第一项，即可得出答案.【详解】()()21232231413d a a =-=-⨯--⨯=-+=- 故答案为：3-【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}na 满足11a=，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为_____.【答案】7【解析】 【分析】利用{}n a 的通项公式，依次求出2,3a a ，从而得到4a ，即可得到答案． 【详解】由于n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}na 满足11a=，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数所以21212111=-=⨯-=a a ，32222124=+=⨯+=a a ，故43212417=-=⨯-=a a ，所以解下4个环所需的最少移动次数为7 故答案为7.【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题．15.已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 72ο==. 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力． 16.在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边, 222a c b +-=,则cos sin A C +的取值范围为__________．【答案】2⎛- ⎝【解析】分析：由已知及余弦定理可求cos B ，即可求B ，根据三角形内角和定理可求56C A π=-，利用三角函数恒等变换的应用可求cos sin 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由A 的范围利用正弦函数的图象和性质即可得答案.详解：由条件222a c b +-=，根据余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-==， B 是三角形内角，6B π∴=，56A C π∴+=，即56C A π=-，53cos sin cos sin cos 623A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又506A π<<， 7336A πππ∴<+<，cos sin A C ⎛∴+∈ ⎝.故答案为2⎛- ⎝.点睛：本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想.三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知α， ,2πβπ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且3cos 5α=-(Ⅰ)求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ)若()3sin 5αβ-=，求sin β的值. 【答案】(Ⅰ) 7-；(Ⅱ) 1 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题中条件，求出4sin 5α==，进而可得tan α，再由两角差的正切公式，即可得出结果；(Ⅱ)根据题中条件，得到02παβ<-<，求出()4cos 5αβ-=，再由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】(Ⅰ)因为3cos 5α=-，,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4sin 5α==，因此sin tan s 43co ααα==-， 所以41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα+-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅-； (Ⅱ)因为α， ,2πβπ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以22ππαβ-≤-≤，又()3sin 5αβ-=，所以02παβ<-<，所以()4cos 5αβ-=， 因此()()()4433sin sin sin cos cos sin 15555βααβααβααβ=--=---=⋅+⋅=⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）当n 取何值时n S 有最小值，并求出该值？【答案】（1）29n a n =-；（2）当4n =，最小值为16-. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及求和公式，列出方程组，求解即可； （2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得115254a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得17,2a d =-=所以{a n }的通项公式为29n a n =-； （2）由（1）得221()8(4)162n n n a a S n n n +==-=--， 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16.【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，二次函数法求等差数列前n 项和的最值，属于中档题. 19.已知sin2cos 022x x+=， （1）求tan x 的值；（2）求cos 2)sin 4xx xπ+的值.【答案】（1）43（2）74【解析】 【分析】 （1）由sin2cos 022x x +=可得tan 2x=-2，然后再利用正切的二倍角公式可求得tan x 的值； （2）先利用二倍角公式和两角和的余弦公式将分子和分母化简，再利用同角三角函数的关系将其转化为正切，然后将第一问的正切值代入可得结果. 【详解】解：由sin2x +2cos 2x =0，得tan 2x=-2． 222tan2(2)421tan 1(2)31tan 2xx x ⨯-===---（）(2)()()()22cos sin cos sin cos 2cos sin cos sin sin sin )sin 4x x x x x x xx x xx x xπ-++==-+13711tan 44x =+=+= 【点睛】此题考查同角三角函数关系和二倍角公式，属于基础题.20.在ABC ∆中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，且()2cos cos 0a b C c A -+=.（1）求C 的大小； （2）若2b =，c =AB 边上的高.【答案】（1）3C π=；（2）7. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想可求得cos C 的值，结合角C 的取值范围可得出角C 的值； （2）利用余弦定理求得a 的值，利用正弦定理求得sin A 的值，进而可得出AB 边上的高为sin b A ，即可得解.【详解】（1）()2cos cos 0a b C c A -+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C B C +-=， 即()sin 2sin cos 0A C B C +-=，即()sin 12cos 0B C -=，0B π<<，sin 0B ∴>，则有1cos 2C =，0C π<<，因此，3C π=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，整理得2230a a --=，0a >，解得3a =，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 14a C A c ==， 因此，AB边上的高为sin 2147b A =⨯=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形高的计算，涉及正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.21.定义行列式运算：13x x 24x x 1423x x x x =-，若函数sin()cos ()301x x f x πωω-=（0>ω）的最小正周期是π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）数列{}n a 的前n 项和2n S An =，且5()12A f π=，求证：数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T <. 【答案】（1）π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）见解析【解析】 【分析】（1）由行列式运算，化简可得()sin -3fx x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由周期求出ω值，然后由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可求出函数的单调增区间； （2）由5()12A f π=求出A ，从而可得2n S An =，再由1n n n a S S -=- 求出数列{}n a 的通项，由此可得数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，再利用裂项相消法可得结果. 【详解】（1）解：由题意：()sin -3fx x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵2ππ02ωωω=>⇒=，，∴()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可得π5πππ1212k x k k Z -≤≤+∈，， ∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛⎫==⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2n S n =，①当1n =时，111a S ==； ②当()2n n N +≥∈时，()221121nn n aS S n n n -=-=--=-，而12111a =⨯-=，满足上式∴21n a n =-，则()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．【点睛】此题考查了三角函数的图像和性质，数列的求和方法，属于中档题. 22.已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123232x x x x +=-=， （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()()()112211,1,2,1n n P x P x P x n ++⋯+，得到折线121n PP P +⋯，求由该折线与直线0y =，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ..【答案】（Ⅰ）12n n x -= （Ⅱ）(21)212n n n T -⨯+=【解析】【详解】(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（II ）过123,,,P P P ……1n P+向x 轴作垂线，垂足分别123,,,Q Q Q ……1n Q +,由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一下学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一下学期期末数学（文）试题一、单选题 1．22cossin 88ππ-=（ ）A ．1B ．12C D 【答案】C【解析】根据二倍角余弦公式有22cos sin cos884πππ-=，即可求值【详解】由二倍角余弦公式知：22cos sin cos8842πππ-==故答案为：C 【点睛】本题考查了利用二倍角余弦公式22cos 2cos sin =-ααα化简求值2．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4C ．16D ．8【答案】D【解析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力． 3．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b a>- C ．33a b < D ．22a b >【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合函数单调性，逐一分析即可. 【详解】由0a b <<，两边同除ab 即可得11a b>，故A 正确； 由题意可知0a a b <-<，两边同除()a a b -即可得11a b a<-，故B 错误； 由0a b <<，结合函数3y x =单调性可知33a b <，故C 正确； 由0a b <<可知a b >，所以22a b >，故D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式性质的应用和函数的单调性，属于基础题.4．已知各项均不相等的等比数列{}2343,2,n a a a a ，若成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于 A ．139 B ．79C ．3D ．1【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由3a 2，2a 3，a 4成等差数列，可得2×2a 3=3a 2+a 4，4a 2q=3222a a q +,解得q ．利用通项公式与求和公式即可得出．【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列， ∴2×2a 3=3a 2+a 4，∴4a 2q=3222a a q +，化为q 2﹣4q+3=0，解得q =1或3．又各项均不等，所以q =3当q=3时，33S a =()31131133199a a --=⨯. 故选A ． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的求通项公式与和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.5．在△ABC 中，若B 、C 的对边边长分别为b ，c ，45B =︒，c =b =则C 等于（ ） A ．30 B ．60C ．120D ．60或120【答案】D【解析】根据正弦定理即可求解． 【详解】由45B ︒=,c =3b =, 根据正弦定理sin sin b cB C=得:csin sin 2B C b ===,又C 为三角形的内角,且c b >,可得45C B ︒>=,即45180C ︒︒<< 则60C ︒=或120︒. 所以D 选项是正确的 【点睛】本题考查了正弦定理，在确定角的度数时应根据大边对大角以及三角形内角和来确定，属于基础题． 6．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】B【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．7．ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos a bB A=，则ABC 的形状是（ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】利用正弦定理sin sin sin sin a b a AA B b B=⇒=，再结合已知cos cos a b B A =可求得sin cos sin cos A BB A=，从而可得sin 2sin 2A B =，可判断ABC 的形状. 【详解】解：ABC 中，由正弦定理得：sin sin a b A B=， ∴sin sin a Ab B=，又cos cos a b B A =， ∴sin cos sin cos A BB A=， ∴sin 2sin 2A B =， ∴A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D . 【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状． 8．已知3sin 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为（ ） A ．725B ．725-C ．2425-D ．2425【答案】B【解析】根据2sin 2cos 212sin 24x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，把3sin 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭代入，运算求得结果.【详解】 ∵3sin 45x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∴22sin 2cos 212sin 2sin 1244x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 97212525=⨯-=-. 故选：B . 【点睛】本题考查三角函数诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 9．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．35【答案】B【解析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 10．定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ） A ．3122a -<< B ．1322a -<<C ．11a -<<D ．02a <<【答案】B【解析】由题意得出2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，由判别式小于0求解即可. 【详解】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -⋅--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，∴()21410a a ∆=-⨯-+<，解得1322a -<<.故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.11．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值 （ ）A ．10B ．10C D ．5【答案】B【解析】试题分析：设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1A （2，0，2），B （2，2，0），1D （0，0，2），E （2，1，2），∴1A B =（0，2，-2），1D E =（2，1，0），设1A B 与1D E 所成角为θ，则11cos cos ,10A B D E θ=〈〉== 【考点】异面直线及其所成的角12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．42D ．12【答案】B【解析】作出几何体的直观图，可知几何体为直三棱柱中截去一个三棱锥而形成，利用柱体和锥体的体积公式可计算出几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为直三棱柱111ABC A B C -中截去三棱锥111A A B C -所形成， 结合三视图中的数据可知，几何体的体积为2211123234232V =⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键在于作出几何体的直观图，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13．若1x >，则11x x +-的最小值是________． 【答案】3 【解析】由11x x +-转化为均值不等式形式1111x x -+++，由1x >即10x ->结合均值不等式求最小值即可，注意均值不等式等号成立的条件 【详解】∵1x >，即有10x ->而11111311x x x x +=-++≥=-+，当且仅当2x =时等号成立 ∴当2x =时，11x x +-的最小值为3 故答案为：3 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，注意利用均值不等式的前提条件：一正二定三相等 14．已知4παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ++的值是__________.【答案】2.【解析】利用二角和的正切公式，可以直接求解． 【详解】4παβ+=tan tan tan()tan1tan tan 1tan tan 41tan tan παβαβαβαβαβ+⇒+=⇒=⇒+=--()()1tan 1tan αβ++=1tan tan tan tan αβαβ+++=2.【点睛】本题考查了二角和的正切公式，以及整体代换思想,掌握公式的特征是解题的关键.考查了学生分析、解决问题的能力.15．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.【答案】28【解析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ． 【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式． 16．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ . 【答案】11【解析】由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解． 【详解】 设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11． 【点睛】本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．三、解答题17．求下列各式的值： （1）1sin10cos10-︒︒； （2）若8x π=，求()2sin cos 2cos 2x x x ++的值．【答案】（1）4；（2）. 【解析】（1）先进行通分，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解； （2）展开后结合二倍角公式进行化简，代入即可求解． 【详解】（1）12sin(3010)4sin 2041sin10sin 20sin 202︒-︒︒====︒︒︒； （2）若8x π=，则2(sin cos )2cos21sin 22cos21sin2cos144x x x x x ππ++=++=++=【点睛】本题主要考查了和差角公式、辅助角公式、二倍角公式在三角化简求值中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．在等比数列{}n a 中，12236,12a a a a +=+=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设{}n b 是等差数列，且2244,b a b a ==，求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+-的值.【答案】(Ⅰ)2nn a =；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意求得数列的 公比为2，据此求解可得数列的通项公式为2n n a =. (Ⅱ)由题意可得数列{}n b 的公差为6，并项求和可得1234100b b b b b -+-+-的值是-300. 试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知，211116,12a a q a q a q +=+=两式相除，得2q =. 所以12a =，所以数列{}n a 的通项公式2nn a =.（Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ， 则114,316b d b d +=+= 解得12,6b d =-=()()()1234100123499100b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- 50300d =-=-19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725-；（2）211-【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈． 又因为()cos αβ+=()sin αβ+==因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--， 因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N 均在二次函数()232f x xx=-的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设16n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1) 65n a n =-()*n ∈N；(2) 661nnTn =+ 【解析】(1)根据点()()*,n n S n ∈N均在二次函数()232f x xx =-上即可得232n S n n =-，又由数列的项与前n 项和的关系111,1,1nn n a S n a S S n -==⎧⎨=->⎩，即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)结合(1) 数列{}n a 的通项公式，且16n n n b a a +=，即可得到n T ，注意通过裂项求和的方式消项得到nT 【详解】(1)由点()()*,nn S n∈N均在二次函数()232f x x x=-的图象上，有232nS n n=-，而由111,1,1n n na S na S S n-==⎧⎨=->⎩故有11a=，65na n=-，而16151a=⨯-=∴数列{}n a的通项公式为65na n=-()*n∈N(2)16nn nba a+=结合(1)中的结论65na n=-()*n∈N∴611(65)(61)6561nbn n n n==--+-+而数列{}n b的前n项和为123111111......1771111656161131319n nT b b bn nbn =++++=-+-+-=--++++-故661nnTn=+.【点睛】本题考查了数列，利用数列中n、n S的函数关系，并结合数列的项与前n项和的关系111,1,1n n na S na S S n-==⎧⎨=->⎩求数列通项；并综合应用了裂项法求数列的前n项和.21．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，D为AC中点，AB BC=，11A D AC⊥．求证：（1）1//B C 平面1A BD ； （2）平面1A BD ⊥平面11AB C ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，利用中位线的性质得出1//OD B C ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出BD ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BD ⊥，再由11A D AC ⊥结合线面垂直的判定定理可得出1AC ⊥平面1A BD ，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论. 【详解】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以1//OD B C ，OD ⊂平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥． 又BD AC ⊥，1ACC C C =，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，又11A D AC ⊥， 1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ． 又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ． 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题. 22．如图，在ABC ∆中，30B ∠=，25AC =D 是边AB 上一点．（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长． 【答案】（1）5(23)；（2）4．【解析】（1），先根据余弦定理得到,AB BC 满足的关系式，在利用三角形面积公式1sin 2S ab c =即可得到其最大值；对于问题（2）可以先在三角形ACD 中利用面积公式求出角ACD ∠，之后在三角形ACD 利用余弦定理求出AD 的长，最后在三角形ABC ∆中利用正弦定理即可求得BC 的长．【详解】（1）因为在ABC ∆中，30,25,B AC D ∠==是边AB 上一点， 所以由余弦定理得：(22222202cos 323AC AB BC AB BC ABC AB BC AB BC AB BC ==+-⋅∠=+⋅≥⋅所以(202323AB BC ⋅≤=-所以(1sinB 5232ABCSAB BC =⋅≤所以ABC ∆的面积的最大值为5(23)+ （2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角， 所以11sin 252sin 422ABCSAC CD θθ=⋅=⨯= 所以255sin ,cos 55θθ， 由余弦定理，得，22252cos 2048516AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-= 所以4=AD ，由正弦定理，得sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin 5A =， 此时sin sin BC ACA B=，所以sin 4sin AC A BC B ==． 所以BC 的长为4。
【2019精品高一期末】-2019年成都高一(下)数学期末试卷+答案
2019成都高一（下）数学期末试卷一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A ． 18B ．36C ．54D ．722.已知点(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）AB ． 8C ． 10D ． 163.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．2nB ． 3nC ．2n -D ． 3n -4.如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A ．90°B ． 60° C. 45° D ．30°5.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ． 1B ． -1 C. 1± D ．32- 6.若ABC ∆的内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且s i n s i n s i n a A c C C b B +-=，则B 等于（ ）A ． 6πB ．4π C. 3π D ．34π 7.直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ． [)(]2,,1+∞-∞- C. []2,1- D ．(][),21,-∞-+∞8.已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）A ． 132+B ．4136π+ C. 166+ D ．2132π+ 9. ()()001tan171tan 28++的值是（ ）A ．-1B ．0 C. 1 D ． 210.设0002012tan15cos 2sin 2,,221tan 15a b c =-==+，则有（ ） A ．c a b << B ．a b c << C. b c a << D ．a c b <<11.若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值可以为（ ） A ．12-或1 B ．12 C. 34 D ．34-12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC. 三棱锥B AEF -的体积为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为 ．14.过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有 条.15.已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭，则a = ．16.数列{}n a 满足，123231*********n n a a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式 ．三、解答题 （共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点.（1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论；（2）求二面角1B CD B --大小的正切值.18. 已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B .（1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值.19.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值；（3）求证：MN ⊥面PCD .20. 已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =，ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ； （2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值.21. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值；（2）若4b =，求ABC S ∆的最大值.22.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n n na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422n nnn nn nca a+-++=，求数列{}n c的前n项和n T.2019成都高一（下）数学期末试卷一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A ． 18B ．36C ．54D ．72【答案】D2.已知点(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）AB ． 8C ． 10D ． 16【答案】C3.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．2nB ． 3nC ．2n- D ． 3n -【答案】A4.如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A ．90°B ． 60° C. 45° D ．30°【答案】B5.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ． 1B ． -1 C. 1± D ．32-【答案】C6.若ABC ∆的内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且s i n s i n s i n a A c C C b B +-=，则B等于（ ） A ．6π B ．4π C. 3πD ．34π 【答案】B7.直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,2- B ． [)(]2,,1+∞-∞- C. []2,1- D ．(][),21,-∞-+∞【答案】D8.已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）A ．132+ B ．4136π+C. 166+ D ．2132π+【答案】C9. ()()001tan171tan 28++的值是（ ） A ．-1 B ．0 C. 1 D ． 2 【答案】D10.设0002012tan15cos 2sin 2,,221tan 15a b c =-==+，则有（ ） A ．c a b << B ．a b c << C. b c a << D ．a c b << 【答案】A11.若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值可以为（ ） A ．12-或1 B ．12 C. 34 D ．34-【答案】A12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCD C. 三棱锥B AEF -的体积为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为 ．【答案】3π 14. 过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有 条.【答案】215.已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则a = ． 【答案】-2 16.数列{}n a 满足，123231111212222n n a a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式 ． 【答案】 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ 三、解答题 （共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点. （1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论； （2）求二面角1B CD B --大小的正切值. 【解析】（1）当1D 在棱11A B 中点时，可使平面11//AC D 平面1CDB ，证明略.（2）在平面ABC 内，过点B 作直线CD 的垂线，记垂足为E ，连接1B E ，1B EB ∠即为二面角1B CD B --的平面角.由已知，结合勾股定理得ABC ∆为直角三角形，125345BE BE =⨯⇒=，从而1145tan 123BB B EB BE ∠===. 二面角1B CD B --大小的正切值为53.18. 已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B . （1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值. 【解析】解：由题意，分别令0x =，0y =解得 ()10,12,2,0B k A k ⎛⎫+--⎪⎝⎭且0k >. （1）()111112244,022S k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时144k k k k +≥=，当且仅当12k =时取等.所以S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=. （2）易得()2,1M -，∴()1,1,2,2MA MB k k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，224MA MB MA MB k k =-=-+≥，当且仅当1k =时取到，MA MB 的最小值为4.19.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值； （3）求证：MN ⊥面PCD . 【解析】 解：记PD 中点为E ，易得EN 平行且等于AM ， （1）证明：如图，取PD 的中点E ，连结AE EN 、， 则有////EN CD AM ，且1122EN CD AB MA ===， ∴四边形AMNE 是平行四边形. ∴//MN AE .∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴//MN 平面PAD ；（2）易得CPD ∠即为PC 与面PAD 所成角，sin 3CD CPD PC ∠==，所以，PC 与面PAD 所成角大小（3）证明：∵PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD ADC ⊂平面ABCD . ∴,PA CD PA AD ⊥⊥， ∵,CD AD PAAD A ⊥=，∴CD ⊥平面PAD ，又∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥， ∵045PDA ∠=，E 为PD 中点， ∴AE PD ⊥，又∵PD CD D =，∴AE ⊥平面PCD .∵//MN AE ， ∴MN ⊥平面PCD .20. 已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =，ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ； （2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值. 【解析】解：()2113sin cos sin 2cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==+-=-=- ⎪⎝⎭，（1）由12B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭，结合,,A B C 为三角形内角得2,33B C A ππ+==而1a b ==.由正弦定理得,62B C ππ==，所以12S ab ==. （2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时，2663πππα-<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值； （2）若4b =，求ABC S ∆的最大值. 【解析】（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：()3sin cos sin cos sin cos sin cos 5A B B A A B B A -=+， 从而sin cos 4sin cos A B B A =，即tan :tan 4A B =；（2）由（1）知内角A B 、均为锐角，如图所示过C 作CD 垂直于AB 垂足为D . 设,CD m AD n ==，由题意结合tan :tan 4A B =得4BD n =， 且22216m n b +==，所以m n ==时，22555162022222ABCm n S mn ∆+=≤==.22.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】 解：（1）易得n b n =；（2）易得2nn a n =，其前n 项和()1122n n S n +=-+；（3）()()()()()()()()()()22211114221421212121212nnnnn nn n n nn nn nn n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()111111111111221222212nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()22312122311111111111222212222232212n n nn n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11121136212n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()114123312n n n n +++---+.。
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)试题
郫都区2019—2020学年度下期期末考试高一文科数学第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．化简22ππcos sin 88-的值为 A ．12 BCD2．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=A ．2B ．4C ．16D ．83．若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是A ．11a b> B ．33a b < C ．11a b a>- D ．22a b > 4．已知各项均不相等的等比数列{}2343,2,n a a a a ，若成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于 A ．139B ．79C ．3D ．1 5．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45B =︒，c b =C = A ．60 B ．30 C ．120 D ．60或1206．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于A ．34-B ．34 C ．43- D ．437．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a A b B =，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2x =A ．725-B ．725C ．2425-D ．24259．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为A ．21B ．103-C ．53-D ．5310．定义在R 上的运算：()1x y x y *=-。
若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则A ．3122a -<<B ．11a -<<C ．1322a -<<D ．02a <<11．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为A ．510B ．1010C ．55D ．10512．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．42D ．12第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．当1>x 时，11-+x x 的最小值为 . 14．已知4παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ++的值是________.15．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40米的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角60β=︒，30α=︒，若山坡高为32米，则灯塔高度是________米.正视图侧视图俯视图16．设1250a a a ，，，是从1,0,1-这三个整数中取值的数列，若95021=+++a a a ，且 107)1()1()1(2502221=++++++a a a ，则1250a a a ，，，中为0的项的个数是 .三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）求下列各式的值10cos 310sin 11-）（； 82π=x ）若（，.cos 2)cos (sin 22的值求x x x ++18．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，12236,12a a a a +=+=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设{}n b 是等差数列，且2244,b a b a ==，求数列{}n b 的公差，并计算12b b -3b + 4100b b -+-的值.19．（本小题满分12分）已知αβ、为锐角，34tan =α，()cos αβ+=. （1）求α2cos 的值； （2）求()tan αβ-的值.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()n n S n ∈*Ν，均在二次函数()232f x x x =-的图像上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设16n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n Τ.21.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 中点，AB BC =，11A D AC ⊥．求证： （1）1//B C 平面1A BD ； （2）平面1A BD ⊥平面11AB C ．22.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，30B ∠=，25AC =，D 是边AB 上一点． （1）求ABC ∆的面积的最大值； （2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．。
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．下列几何体是旋转体的是（）A．五棱柱B．六棱锥C．八棱台D．球2．已知a＞b，则下列不等式成立的是（）A．2a＞b B．a＞2b C．|a|＞b D．a＞|b|3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A'B'C'，如图，若A'B'＝3，A'C'＝2，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．3D．64．若α∈（0°，180°），且cos（α+20°）cos20°+sin（α+20°）sin20°＝，则tanα＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．一个简单组合体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图中的圆半径都为3，正视图和侧视图的下半部分都为正方形，则该几何体的体积为（）A．54πB．63πC．72πD．90π6．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．28．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝，a1＝﹣2，则S97＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣79．△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．102411．已知sin（α+）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S99＝，函数f（x）＝sin2x﹣3cos2x+，则f（a1）+f（a2）+…+f（a99）＝（）A．66B．33C．99D．88二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求值：＝．14．△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠BAC＝90°，把△ABC绕直线AB旋转一周，则形成的旋转体的侧面积为．15．关于x的不等式tx2+tx+5＞0的解集为R，则实数t的取值范围是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝3，2S n＝（n+1）a n，设b n＝a n a n+1（）n，则数列{b n}的最大项的值为．三、解答题：本题共6小题，共70分。
成都市重点名校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含解析
【解析】
，对应点 ，在第四象限.
二、填空题：本题共4小题
13．已知两个正实数x，y满足 ＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________
【答案】(-∞,1)
【解析】
【分析】
由x+2y （x+2y）（ ） （1 ），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．
14．圆 上的点 到直线 的距离的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.
【详解】
圆C的圆心为 ，半径为 ，
圆心C到直线的距离为： ，
所以最小值为：
【详解】
解：由 ，
得 ，
∵ ，
∴ ，
即
即 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
则 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
2．下列各角中与 角终边相同的角是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析：利用等比中项求解．
详解： ，因为 为正，解得 ．
点睛：等比数列的性质：若 ，则 ．
10．角 的终边过点 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝ ＝ ，∴sinα＝ ＝ .
11．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
， ， ， ，
2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)
2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.等比数列{a n}中，若a3=4，则a2⋅a4=()A. 8B. 16C. 32D. 642.已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是()A. 2B. 3C.D. 33.设对任意实数x>0，y>0，若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立，则实数a的最小值为()A. √6+24B. 2+√24C. √6+√24D. 234.若cosα2=√63，则cos2α=()A. 13B. 79C. −79D. −135.各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，12a3，2a1成等差数列，则a3+a4a4+a5的值为()A. 2B. 2或−1C. 12D. 12或−16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC>ba，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形7.在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则sin2AsinC=()A. 125B. 1225C. 2425D. 238.设x∈R，且a=3x2−x+1，b=2x2+x−1，则a与b的大小关系为()A. a>bB. a=bC. a<bD. 不确定，与x取值有关9.一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是()A. 8B. 16C. 16√2D. 32√210.已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n+1)=n+1，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=2nB. a n={3 n=12n n≥2C. a n=2n−1D. a n=2n+111.在三角形ABC中，已知B=60度，C=45度，BC=8，AD垂直于BC于D，则AD长为()A. B. C. D.12.()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）,π]的值域为______ ．13.函数y=3sinx+4cosx,x∈[π214.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π，b2=c⋅(c+a)，则B=______．615.已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．则数列{a n}的通项公式为______ ；则a2+a5+a8+⋯+a3n−1+⋯+a3n+8的表达式为______ ．16.已知x+y=40且x和y都是正数，则xy的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知(1)求数列{}的通项公式(2)数列{}的首项b1=1，前n项和为T n，且，求数列{}的通项公式．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C=√6，(理科做)求二面角B−AC−A1的余弦值．(文科做)求三棱锥A−CA1B的体积．19.已知cosα=−45,sinβ=−34,α∈(π2,π),β∈(π,32π)，求cos(α−β)20.在数列{a n}中，满足点P(a n,a n+1)是函数f(x)=3x图象上的点，且a1=3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．21.已知二次函数，满足，且方程有两个相等的实根。
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高一下期末文科数学参考答案
题号123456789101112答案B D
C A
D B
D A
C
C
B
B
13.
3
14．2
15.
28
16．11
分
分
分
分）
（分分分）原式解：（10---------------------229------------4
π
cos 4πsin 27----------2cos 12sin 16-------------cos 22sin 1cos 2)cos (sin ∴8
π25---------420sin 2120sin 23------------10cos 10sin )10-30sin(21-----------10cos 10sin )10sin 23-10cos 21
(210cos 10sin 10sin 3-10cos 117.222+=++=+++=++=++======
x x x x x
x x x
18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，-------------------1分
由已知，2
11116,12a a q a q a q +=+=---------------------------------2分
两式相除，得2q =.------------------------------3分所以12a =，--------------------------------4分
所以数列{}n a 的通项公式2n
n a =.----------------------5分
（2）设等差数列{}n b 的公差为d ，----------------------6分则114,316b d b d +=+=------------------------------------------7分解得12,6b d =-=---------------------------------------------8分
()()()1234100123499100b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- 50300d =-=----------------------------------------------------------------------10分
19．解：（1）3
4
tan =
α ，又αβ、为锐角，由22
sin sin cos 1,tan cos ααααα+==得：4sin 53cos 5αα⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，---------------3分
227
cos 2cos sin 25
ααα∴=-=-
；----------------------6分（2）由（1）得，24
sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos 27
ααα==-．
α 又，(0,2
π
β∈，(0,)αβπ∴+∈，-----------------------7
分
sin()5
αβ∴+=．---------------------------8分则sin()
tan()2cos()
αβαβαβ++=
=-+．-------------------------------------9分
tan 2tan()2
tan()tan[2()]1tan 2tan()11
ααβαβααβααβ-+∴-=-+=
=-++------------------------12分
20．解：（1） 点()()
,n n S n *∈N 均在二次函数()2
32f x x x =-的图象上，
∴232n S n n =-．----------------------1分
当2n ≥时，()()2
2
132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
；--------3分
当1n =时，21131211a S ==⨯-⨯=，满足上式．（5分）-------------5分
∴数列{}n a 的通项公式是65n a n =-．-------------------------------6分
（2） 65n a n =-，
∴()()16611
65616561
n n n b a a n n n n +=
==-
-+-+．----------------8分∴123n n
b b b b T =++++ 111111
11771313196561n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
----------9分
O
11111111771313196561n n -+-+-++--+ -------------10分1=161n -
+661
n
n =+．-----------------------12分
21解：（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，---------2分在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以
1//OD B C ，---------4分
OD ⊂ 平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；-------------6分
（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，
BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥．---------------------------8分
又BD AC ⊥，1AC C C C = ，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，--------------10分
又11A D AC ⊥，1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ．------------11分又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ．--------------12分22．（1）因为在ABC ∆
中，30,B AC D ∠== 是边AB 上一点，
所以由余弦定理得：
(22222202cos 2AC AB BC AB BC ABC AB BC BC AB BC
==+-⋅∠=+-⋅≥-⋅------------------3分
所以(202AB BC ⋅≤=+----------------------------------------------4分
所以(1
sinB 522
ABC S AB BC =
⋅≤+ -------------------------------------------6分
所以ABC ∆
的面积的最大值为5(2+（2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，
因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，
所以11
sin 2sin 422ABC S AC CD θθ=⋅=⨯= --------------------------------7分
所以sin 55
θθ=
=
，------------------------------------8分
由余弦定理，得，2225
2cos 2048165
AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=所以4=AD ，------------------------------------------10分
由正弦定理，得
sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin 5
A =，-------11分此时
sin sin BC AC A B =，所以sin 4sin AC A BC B
==．------------------------------------12分所以BC 的长为4。