第六章离散系统的Z域分析xg
合集下载
第六章离散系统的z域分析
z 1
z a
4 5
a n u n 1
1 z 1 1 az za
za z 0
RN n
1 zN zN 1 1 z 1 z N z N 1
6
nun
z 1
1 z
na n u n
1 2
z z 12
z 1
7 8 9
(6-4)
z 变换收敛域有一个很重要的特性，就是在收敛域内不能有 X z 的极点。
3 几种序列的 z 变换收敛域 6.1.3 6.1.
下面的讨论假设下标变量 n1 , n2 是有限值且 n1 n2 。 1. 有限长序列 有限长序列只在有限区间 n1 ~ n2 范围内序列的值不为零，它的 z 变换为
Rx z Rx
。
如图 6-13(c)所示。如果 R x R x ，则 X z 没有收敛域， 即 z 变换实际上不存在 。 比如周期序列和双边指数增长的序列的 z 变换都是不存在的。jIm jIm jIm来自收敛域 Re收敛域
Re Re
0
0
收敛域
0
Rx
(a) 右 边 序 列 收 敛 域
x lim x n limz 1X z
n z 1
(6-21)
【例 6-14】已知因果序列 x n 的 z 变换为
X z
1 1 z 1 ，求序列的初值 x 0 和终值
x 。
解：根据初值定理有
x 0 lim X z 1
Im
右边序列
z 平 面
Im
左边序列
Re
z 平 面
Re
0
Im
a b c
第六章 离散z域..
n n
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
第6章 离散系统的Z域分析
k→∞ Z→1
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
第六章离散系统的频域和z域分析
F4 1
k 0
3
fN
k
-2
11 2
j
k
2 k
f4 k
1 4
[ 2 (1 j ) e
j
j
2
k
e
j
2
k 0
fN
k e
k
1 j
2
(0 )e
1 2
2k
2
(1 j ) e
3k
]
3
F4 2
F4 3
k 0
第
具体对应关系
（1）s平面的原点
σ 0 ，z平面 0
r 1 ，即 z 1 。 θ 0
19 页
（2）典型区域 s平面
σ0
σ0 σ0
为常数 :
左半平面 z平面
r 1
虚轴
r 1
右半平面
r 1
左向右移
r为常数 : 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外
一、从傅立叶级数到傅立叶变换（DFS→DTFT）
N 1
第 7 页
FN
n
k 0
fN
k
e
jn
2 N
k
fN (k )
1 N
N 1
1
FN
ne
jn
2 N
k
n0 N 1
2
d
N→∞
N
2
n0
FN
ne
jn
2 N
k
2 N
n
2 N
n
k 0
3
fN
k
-2
11 2
j
k
2 k
f4 k
1 4
[ 2 (1 j ) e
j
j
2
k
e
j
2
k 0
fN
k e
k
1 j
2
(0 )e
1 2
2k
2
(1 j ) e
3k
]
3
F4 2
F4 3
k 0
第
具体对应关系
（1）s平面的原点
σ 0 ，z平面 0
r 1 ，即 z 1 。 θ 0
19 页
（2）典型区域 s平面
σ0
σ0 σ0
为常数 :
左半平面 z平面
r 1
虚轴
r 1
右半平面
r 1
左向右移
r为常数 : 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外
一、从傅立叶级数到傅立叶变换（DFS→DTFT）
N 1
第 7 页
FN
n
k 0
fN
k
e
jn
2 N
k
fN (k )
1 N
N 1
1
FN
ne
jn
2 N
k
n0 N 1
2
d
N→∞
N
2
n0
FN
ne
jn
2 N
k
2 N
n
2 N
n
第六章 离散系统的z域分析
∞
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
信号与系统 第六章 离散时间系统的Z域分析
2z z X ( z) z 1 z 0.5
z 1, 即x n 为因果序列
x n = 2-0.5n u n
第六节 z变换的基本性 质
一、 Z变换的基本性质
１线性性：
若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
n
-n
<1 x(n) Rx1
即: z lim
n
看出：
z Rx1
则该级数收敛.其中Rx1是级数的收敛半径. 可见：右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。 1）如果n10，则收敛域包括z=。即收敛域为 z Rx1 2）如果n1<0，则收敛域不包括z=。即收敛域为 Rx1< z 3）如果n1=0，则右边序列变成因果序列，即因果 序列是右边序列的一种特殊情况，其收敛域为： z Rx1
b0 b1 z = a0 a1 z br 1 z r 1 br z r ak 1 z k 1 ak z k
对因果序列 z R为X z 的收敛域， 需k r保证X z 在z=处收敛。
逆Z变换
则（1）当X(z)仅含一阶极点时 X z 部分分式展开 k Am 先
二、 典型序列的Z变换
Z 1 单位样值序列 ( n ) 1
( n)
1
0
z , z 1 2 单位阶跃序列 u(n) z 1
Z
Z 3 斜变序列 nu(n)
n u ( n)
1
z
0
2
z 1
z , 1
n
典型序列的Z变换
4 单边指数序列 a u(n)
举例
求序列 a u(n) a u(n 1)的z变换.
第6章 离散时间系统的z域分析
1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )
在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1
第六章 离散系统的z域分析
Z Zn
=
k0 Z
n i 1
ki
Z
1 Zi
FZ
②ki=(Z- Z i ) Z Z= Zi
③F(Z)=k0+
n i 1
2.因果序列 :
a f1(k)=
k
ε(k)
←→Z/(Z-a),
︱Z︱＞
︱a︱
F1(Z)=
ak Z k
k 0
k 0
aZ 1
K 1 aZ 1 = 1 aZ 1
=
Z/(Z-a)
︱a
Z
1
︱＜
1,︱Z︱＜
︱a︱
不定
︱Z︱=︱a︱→收敛圆
无界
︱Z︱＜ ︱a︱
Im[Z]
︱a︱ 0
Re[Z]
Z平面---积坐标R e j S平面---直角坐标
FZ =
BZ
Z ZAZ
(m≤n) m＜n 变为真分式
求分母多项式的根→极点 极点:A(Z)=0的根，Z1,Z2,…,Zn.F(Z) →∞
极点类型: 实数单极点
共轭复数单极点
实数重极点
复数二重极点
1①.实F数Z单 极= 点k0:Z1,Zk12,… ,Zkn互2 不 .相.. 等.kn
Z
Z Z Z1 Z Z2
F(Z) →f(0),f(1)和f(∞)
1.初值定理：因果序列
F(Z) =
f k Z k
k 0
=f(0)+f(1) Z 1+f(2) Z 2+…+f(m) Z m2+…
∴ZF(Z)=Zf(0)+f(1)+f(2) Z 1+..+f(m) Z m1..
∴f(0)=limF(Z)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. 时域卷积定理
• 若 Z[x(n)]=X(z), Rx1<|z|<Rx2 • Z[h(n)]=H(z), Rh1<|z|<Rh2 • 则 Z[x(n)*h(n)]=X(z)H(z)
Z[anu(n) ] anzn
z
,za
n0
za
a ej 0,zej 0 1 ,Z [ej 0n u (n ) ]z z ej 0
同样 Z[nna u(n) ]n 0nna zn(z aa)z2
• (5) 正余弦序列sin(0n)u(n)和 cos(0n)u(n)
• Z [ej 0 n u (n ) ]z z ej 0;Z [e j 0 n u (n ) ]z e z j 0
• 序列x(n)的单边Z变换
F(z)Z[f(k)] f(k)zk n0
3. Z变换的收敛域
F(z) f (k)zk 幂级数收敛 n
| f (k)zk |
n
P271
z变换与拉氏变换的关系
s ~ z 平面的映射关系
• 复变量关系 zs : z=esT,
s=(1/T)lnz
• 坐标关系：s=+j, z=rej
Z [ 2 c0 o n ) u ( n ) s Z ] ( [ e j 0 n u ( n ) Z ] [ e j 0 n u ( n )]
1 2 zzej0ze zj0 z2z (z2 zc co o 0 0) ss1
Z[s i0 n n )u ((n ) ]z22 zz sci o n 00s 1
•∵
rej=e(+j)T,
• ∴ r=eT, =T , Ts=2
虚轴 =0 s=j
S平面
左半平面 （<0)
右半平面 （>0)
z平面
单位圆 r=1, 任意
单位圆内 r<1,任意
单位圆外 r>1,任意
实轴 =0 s=
平行直线 =常数
js/2 平行线
正实轴 =0， r任意
辐射线 =常数 r任意
负实轴 = r 任意
• 即两个收敛域的重叠部分
• 例1. 已知 x(n)=anu(n), y(n)= anu(n-1), 求 x(n)-y(n)的z变换。
• 解 ∵ Z[x(n)]=X(z)=z/(z-a), |z|>|a|
•
Z[y(n)]=Y(z)=y(n)z-n
•
=anz-n=a/(z-a), |z|>|a|
• ∴ Z[anu(n)- anu(n-1)]=X(z)-Y(z)=1
n
n0
n
anzn1 bnzn
z
z
n0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n0
za zb
• 若|a|<|b|,收敛域：|a|<|z|<|b|, 若|a| |b|, 则序 列的Z变换不存在
4. 典型序列的Z变换
• (1) 单位脉冲序列 (n)
Z[(n)](n)zn 1 n0
• (2) 单位阶跃序列u(n)
Z[u(n)] u(n)zn zn
n0
n0
Z[u(n)]11z1z z1, z1
• (3) 斜变序列 nu(n)
•
∵
zn
n0
1 1z1
,
z
∴
1
n 0n(z1)n1(11z1)2
Z[n(u n)]n 0nzn(z z1)2,z1
• Z[n2u(n) ]n 0n2zn(zz(z 1)13 ),z1
(4) 单边指数序列an u(n)
• 而左移序列的z变换不变
• 例 2. 求宽度为N的方波序列N(n)的z变换 • N(n)=1， 0 n N-1, 其他为 0 • 解 N(n)=u(n)-u(n-N) • ∵ Z[u(n)]=z/(z-1), |z|>1
• 根据位移性质有
•
Z[u(nN )] zN
z , z1
z1
Z N (n )z z1z Nz z1z zz 1 N 1,z 1
第六章 离散系统的Z域分析
要点： 为什么要提出Z变换？ Z变换及其性质(Z变换、逆Z变换、性质、 与拉氏变换的关系)； 离散系统Z域分析(解差分方程、离散系统 函数)；
§6.1 Z变换
1. 从抽样信号（离散）的拉氏变换引出Z变换
均匀冲
击抽样
fs(t)f(t)T(t) f(kT)(tkT)
k
拉氏
• 级数收敛的充要条件：绝对可和，即
• |x(n)z-n|<∞ • 正向级数收敛性判别法： • 比值判别法：对于级数 |an|,
lim a n 1
n an
<1,收敛 >1,发散 =1,收发
• 根值判别法：
lim n
n
an
<1,收敛 >1,发散 =1,收发
例 已知 x 1 (n ) a n u (n )x ,2 (n ) a n u ( n 1 )
其中0<a<1, 求其双边z变换
X1(z)n 0anznzza,za
x1
x2
X2(z)n1anznn 1azn 收敛域
a 收敛域
a
za z ,za 1za za
单位圆 单位圆
例 求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换
1
• 解 X(z) x(n)zn anzn bnzn
变换
F(s) k f(kT)(tkT)estdt
积分求
和交换
F(s)
f (kT)eskT
k
F(s)
f (kT)eskT
k
令 z esT
得 F(z)
f (kT)zk
k
F(z) zesT F(s)
zesT, s1lnz T
• 2. Z变换的定义 • 序列x(n)的双边z变换
F(z)Z[f(k)] f(k)zk n
•
|a|<|z|
2. 序列位移特性
• 表明序列移动前后z变换之间的关系 • (1) 双边z变换的位移特性 • 若 Z[x(n)]=X(z) • 则 Z[x(nm)]=zmX (z) • 可使z=0或z=处的零极点变化，但收敛
域不会变化，双边X(z)的收敛域为 Rx1<|z|<Rx2
(2) 单边z变换位移特性
• 若 x(n)为双边序列, 其单边z变换为
Z[x(n)u(n)]=X(z)
•
则
Z[x(n+m)u(n)]=zm[X(z)-
m1 k0
x(k)z-k]
• Z[x(n-m)u(n)]=z-m[X(z)+ k1mx(k)z-k]
• 如果x(n)为因果序列，则右移序列的z变 换为
• Z[x(n-m)u(n)]=z-mX(z)
§6.2 Z变换的性质
• 单边Z变换的性质
• 1. 线性
• 若 Z[x(n)]=X(z), Rx1<|z|<Rx2
•
Z[y(n)]=Y(z), Ry1<|z|<Ry2
• 则 Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z),
R1<|z|<R2, 或
max(Rx1,Ry1)<|z|<min(Rx2,Ry2)