08参数估计基础
参数估计
i 1
n
xi 0 0 1 x i n 0 xi e e i 1 ( 0 ) ( 0 )n
n
i 1
n
xi 0
1
ln L( ) n 0 ln n ln ( 0 )
x i ( 0 1)
n 1 n 1 ˆ X i 1 X i 2 k E X i 1 X i 2 E ( 2 ) E k i 1 i 1
2k ( n 1) 2 2
1 k 2( n 1)
19
20
7、如果已知总体X的均值 , 证明总体方差的无偏估计量为
令 E( X ) X
X
(1)
15
E( X 2 )
0
1 x x e dx ( )
1 ( ) 2
x 1e x d x 0
( 2) ( 1) ( ) ( 1) 2 2 ( ) ( ) 2
所以对于已给的置信水平1-α，
的置信区间为
2 S2 n1 1, n2 1 S22 2
S12 12 2 2 F n1 1, n2 1 S 2 2 F
2
1
11
1、 设总体服从几何分布： ( X x ) p(1 p) x 1，x 1， 3 P 2，
X Y 考虑样本函数 T
假设 1 2，求 1 2 的置信区间。
1
2
1 1 sw n1 n2
∴对应于置信水平1- α ， 两个总体均值差 1 2 的置信区间为:
第六章 参数估计
总体均值 在置信度 下的置信区间为： 55000 x z 135000 1 . 96 113440 , 156560 • = 。 n 25 • 即在95%的概率可靠程度下，此次抽样得该地区 企业总经理的年平均收入的置信区间为 （113440，156560）
2
第二节 区间估计
第二节 区间估计
• 点估计的优点是简洁明了，给出了具体的估 计值；缺点是无法提供估计量的精度和概率可靠 程度，这便是区间估计解决的问题。
以下我们从一个实际问题的解决，了解 区间估计的概念。
第二节 区间估计
• 【例6-3】 已知某企业生产的灯管寿命服从 正态分布，现从一大批灯管中随机抽取 n=16只，分别测得寿命（单位：小时）如 下：
• 3510 3450 3480 3460 3520 3496 3490 3460 • 3464 3526 3530 3470 3516 3520 3494 3470
• 在概率可靠程度1-α=95%下，求这批灯管平 均寿命 的区间估计。
第二节 区间估计
• 该例是总体服从正态分布，总体方差未知 ，小样本的情况。 • 此时，可算得总体均值点估计量 x ，样本 标准差s， x t ~ t (n 1) • 对 x 进行标准化，即 ，对于概 s n 率可靠程度 1 ，有： • P t t 2 (n 1) 1 (6.1)
2
n
16
• 即在概率可靠程度95%下，此次抽样得该批灯管 平均寿命的区间估计为（3476.8, 3503.2）小时 之间。
第二节 区间估计
• 一 、区间估计的概念
从例6-3可看出，区间估计就是总体参数θ落 在区间估计量 (ˆ ,ˆ ) 内的概率为1-α，即 ˆ ˆ 1 。称区间 (ˆ ,ˆ ) 为总体参数 P 1 2 θ的置信度为 1 的置信区间。
第四讲参数估计PPT课件
均数 的均 数
4.99
5.00
均数标准差
0.2212 0.1580
5.00 0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
由表1可见，从同一总体中随机抽取样本含 量n=10的若干样本，各样本算得的样本均 数并不等于相应的总体均数，且各样本均 数也不完全相同。这种由于随机抽样而造 成的来自同一总体的样本均数之间及样本 均数与相应的总体均数之间的差异，称之 为均数的抽样误差。
总体均数可信区间的计算
Hale Waihona Puke 总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差 是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法
（2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间 (1) 未 知 ： 按 t 分 布 。
双 侧 1 可 信 区 间 则 为 ：
X t 2 , S X < X t 2 , S X ( X t S 2 , X , X t 2 , S X )
由于样本均数与相应的总体均数之间存在着 差异，由数理统计推理可知：从正态总体中 随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可 得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为
，方差为
2 x
的正态分布.其中 x 为样本均数的总
体标准差，计算公式为： / n X
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差
( 1 2 )的双侧1 可信区间为
(X 1X2)t/2,SX1X2
( n 1 1 ) ( n 2 1 ) n 1 n 2 2
S X1X 2
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
《卫生统计学》考试重点复习资料
②权衡两类错误的危害以确定α的大小。 ③正确理解 P 值的意义，如果 P<α，宜说差异“有统计学意义”。
第八章 方差分析
名词解释
总变异：样本中全部实验单位差异称为总变异。其大小可以用全部观察值的均方（方差）表 示。 组间变异：各处理组样本均数之间的差异，受处理因素的影响，这种变异称为组间变异，其 大小可用组间均方表示。 组内变异： 各处理组内部观察值大小不等，这种变异称为组内变异，可用组内均方表示。 随机区组设计：事先将全部受试对象按自然属性分为若干区组，原则是各区组内的受试对象 的特征相同或相近，且受试对象数与处理因素的水平数相等。然后再将每个区组内的观察对 象随机地分配到各处理组，这种设计叫做随机区组设计。
构成比
某一组成部分的观察单 位数 同一事物各组成部分的 观察单位总数
100 %
③比又称相对比，是 A、B 两个有关指标之比，说明两者的对比水平，常以倍数或百分数表
示，其公式为：相对比=甲指标 / 乙指标（或 100%）
甲乙两个指标可以是绝对数、相对数或平均数等。
应用相对数时应注意哪些问题？
答：应用相对数时应注意的问题有：
相对数：是两个有联系的指标之比，是分类变量常用的描述性统计指标，常用相对数有率、
构成比、比等。
标准化法：是常用于内部构成不同的两个或多个率比较的一种方法。标准化法的基本思想就
是指定一个统一“标准”（标准人口构成比或标准人口数），按指定“标准”计算调整率，使
之具备可比性以后再比较，以消除由于内部构成不同对总率比较带来的影响。
料间的相对水平。 3) 报告比较结果时必须说明所选用的“标准”和理由。 4) 两样本标准化率是样本值，存在抽样误差。当样本含量较小时，还应作假设检验。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的取值。
它在各个领域都有广泛的应用，例如经济学、医学、社会学等。
本文将介绍参数估计的一般步骤，帮助读者了解如何进行参数估计。
一、确定参数类型在进行参数估计之前，首先需要确定要估计的参数类型。
参数可以是总体均值、总体比例、总体方差等，根据具体问题来确定。
二、选择抽样方法接下来，需要选择合适的抽样方法来获取样本数据。
常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
选择合适的抽样方法可以保证样本的代表性，从而提高参数估计的准确性。
三、收集样本数据在进行参数估计之前，需要收集样本数据。
收集样本数据时要注意数据的准确性和完整性，避免数据采集过程中的偏差。
四、计算点估计量得到样本数据后，可以计算点估计量来估计总体参数的取值。
点估计量是根据样本数据计算得出的一个具体数值，用来估计总体参数的未知值。
常见的点估计量有样本均值、样本比例等。
五、构建置信区间除了点估计量，还可以构建置信区间来估计总体参数的取值范围。
置信区间是一个区间估计，表示总体参数的真值有一定的概率落在该区间内。
置信区间的计算方法与具体的参数类型有关，可以利用统计学中的分布理论或抽样分布来计算。
六、进行假设检验除了估计总体参数的取值，参数估计还可以用于假设检验。
假设检验是根据样本数据来判断总体参数是否符合某个特定的假设。
在假设检验中，需要先提出原假设和备择假设，然后计算检验统计量，最后根据统计显著性水平来判断是否拒绝原假设。
七、解释结果需要对参数估计的结果进行解释和说明。
解释结果时要清楚、简洁，避免使用过于专业的术语，以便读者能够理解和接受。
参数估计是统计学中重要的内容之一，它可以帮助我们从有限的样本数据中推断总体的特征。
通过合理选择抽样方法、收集准确的样本数据，并运用适当的统计方法，我们可以得到准确可靠的参数估计结果，为实际问题的决策提供科学依据。
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n
若 X ~ N ( µ , σ 2 ) ，则其中任意一个随机样本Xn 的均数 X ~ N ( µ , σ x 2 )
12
正态总体样本均数的分布
样本均数的标准差σ X ，称为样本均数的标 准误(standard error of mean ,SE)，简称均数 标准误 σ X 它反映样本均数之间的离散程度，也反映 样本均数抽样误差的大小。 误差大小 X − µ ，实质是要估计 X 的分布特 征
26
t分布
样本含量n=5 样本含量n=100
t统计量的频数图
27
t分布
结果
小样本时，t统计量和U统计量的分布有明显差别 大样本时，t统计量和U统计量的分布非常接近。
频数图
当样本量较大时，统计量t的频数图与标准正态分布曲 线非常接近 样本含量较小时，t统计量的峰值比标准正态分布的峰 值略小，双侧尾部的值则较标准正态分布略大
13
正态总体样本均数的分布
由于实际σ X 往往未知，需要用样本 S X 来估 计 σ X ，样本均数标准误的估计式为
SX SX = n
注意区别： 和σ S
S X 和σ X
证明：
E( X ) = µ
σX =
σX
n
14
非正态总体样本均数的分布
从总体均数为1的指数分布中抽样，样本大 小分别为4，9，100。每次抽10000个样本 制作频数分布图
28
t分布
X ~ N (µ ,σ 2 ) 英国统计学家W. S. Gosset(1908)设
并给出了统计量t的分布规律，并称统计量t的分 布规律为t分布，自由度为v，记为t(v)分布。
X −µ t= S/ n
ν = n −1
每个自由度v对应一个分布，因此t分布是一簇分 布 t分布仅与总体均数有关，与总体标准差无关
40
中心极限定理及其推论
若样本中的个体个数(即样本含量)为n，总体 率为π，样本率为p，则
样本率的总体均数等于总体率 µ P = π 样本率的总体标准差(即率的标准误)
σP = π (1 − π )
n
由于总体率通常是未知的，因而用样本率p来估计， 故率的标准误的估计值常表示为
SP = P(1 − P) n
10
抽样3
.1
样本含量 n=36
x x
Fraction .05
的平均数 =168.1493 的标准差 =0.9997
6 ≈ = 1.0 36
0 150 160 meana
11
170
180
正态总体样本均数的分布
N ( µ , σ 2 ) 中随机抽取样本 从正态分布的总体
含量为n的样本X1，X2，…，Xn，其样本 均数 X
样本量 n=5 n=100 统计量 u t u t 平均值 0.0149031 0.0319309 0.0033231 0.0034704 P2.5 -1.950067 -2.654214 -1.950886 -1.981183 P97.5 1.969157 2.838163 1.971245 2.000407
29
t分布
三条t分布密度曲线
v=∞ v=5
v=1
30
t分布的图形特征
分布特征
t分布曲线是单峰的 关于t = 0对称 自由度越大，t值越小
t分布与正态分布的关系
自由度v较小时，t分布与标准正态分布相差较大，并 且t分布曲线的尾部面积大于标准正态分布曲线的尾部 面积 当自由度ν → ∞ 时，t分布逼近于标准正态分布。
34
样本率的分布
随机抽样试验，分别在总体率π=0.4，0.5， 0.01的总体中随机抽样，其总体率π和样本 含量n 每种情况分别随机抽10000个样本，每个样 本计算其样本率，把同一种情况的10000个 样本率视为一个新的样本资料作频数图
35
抽样1
n=20，π=0.4 p 的均数为 0.3998 p 的标准差为 0.1083
33
样本率的分布
总体率由样本率估计
例如，设样本的个体数(即样本含量)为n，若x为样本的某指 标阳性个体数，则可用样本阳性率 p = x 估计研究人群的阳 n 性率 (总体阳性率)；
由于个体差异和偶然性的影响，样本率也存在抽样误 差---由抽样造成样本率与总体率(研究人群的率)的差异 样本率是随机的，但在概率意义下也是有规律的---样 本率的分布。
31
t分布的界值
给定自由度v，t分布曲线的双侧尾部面积 为α时对应的t值，记为并称 tα / 2为t的双侧界 ,v 值 单侧界值 ：一侧尾部面积为α时对应的t值 tα,v 对称性得：单侧曲线下面积=2双侧曲线下 面积 同样的尾部面积，t分布的界值要大于标准 正态分布的界值
32
t分布界值示意图，α表示阴影的面积
7
正态总体样本均数的分布
已知某地高三男生的平均身高为µ = 168.15cm , 标准差为σ = 6.00cm ,将其视为一个总体。 从该总体中随机抽样
样本含量为n 每次抽取10000个样本并计算各自的样本均数 以10000个样本均数作为一个新的样本制作频 数图
8
抽样1
.1
样本含量n=4
x x
Fraction .05
组段 152.9153.5154.1154.7155.3155.9156.5157.1157.7158.3-158.9 频数 9 34 94 191 255 216 116 63 20 2 频率 0.90 3.40 9.40 19.10 25.50 21.60 11.60 6.30 2.00 0.20 累计频率 0.90 4.30 13.70 32.80 58.30 79.90 91.50 97.80 99.80 100.00
表现
样本统计量与总体参数间的差异 样本统计量间的差异
6
抽样分布
样本均数的规律性
随机的 在概率意义下是有规律的---抽样分布 通过大量重复抽样,借助频数表描述 样本均数的变异规律(抽样分布)与个体个个值 变异规律有关
即使只有一个样本资料,也可由样本资料的 个体个个值的变异规律间接得到样本均数 的变异规律
100
24
t分布
X ~ N ( µ , σ ), 标准正态分布与t统计量
2
X −µ U= ∼ N (0,1) σ n
实际研究中σ未知，用样本的标准差S作为 σ的一个近似值(估计值)代替σ，得到变换 后的统计量并记为 X −µ
t= S n
25
t分布
如在正态总体N(168.18,62)中随机抽样，样本量 分别取n =5，n =100，均抽10000个样本，分别计 算t值和U值并作相应t的频数图
x
X
X
样本均数 X 与 个体资料X的集中位置相同， 即样本均数 X 的总体均数与 个体资料X的 总体均数 µ 相同
22
中心极限定理及其应用
若个体资料X服从正态总体 N ( µ , σ 2 ) ，则样 X 也服从正态分布 X ~ N ( µ , σ X 2 ) ； 本均数
U= X −µ X −µ = σX / n
44
在样本含量较小时呈偏态（非指数型） 样本含量较大时接近正态分布 均数 X 始终在总体均数 µ =1附近 均数 X 的标准差 ≈ X 的总体标准差
n
21
中心极限定理及其应用
样本均数 X 总体标准差是个体资料X的总 σ 体标准差的 1/ n ；即理论标准误 σ = n S S = 理论标准误的样本估计值为 n
的平均数 =168.19 的标准差 =2.9670
6 ≈ = 3.0 4
0 150 160 meana
9
170
180
抽样2
.08
样本含量 n=16
.06
x x
的平均数 =168.158 的标准差 =1.4884
Fraction
.04
6 ≈ = 1.5 16
.02
0 160 165 meana 170 175
σX
U ~ N (0,1)
个体资料X服从偏态分布，当样本量n较大 时，样本均数 X 近似服从正态分布
X ~ N (µ ,σ X 2 )
23
例3.3 已知在某地7岁正常发育男孩的身高服 从正态分布N(121,52) 正常发育7岁男孩身高的95%范围为 121 ± 1.96 × 5 ＝(111.2，130.8) 若在该地正常7岁男孩中随机抽一个样本，样 本含量为100，则样本均数的95％范围为 5 121 ± 1.96 =(120.2，121.98)，
42
STATA命令
模拟各种分布 模拟正态分布的样本均数分布 Simumean 样本量 均数 标准差 模拟类似卡方分布的均数分布 Simuchis 样本量 均数 模拟指数分布的均数分布 Simuexp 样本量 均数
43
STATA命令
模拟各种分布 模拟双峰分布的均数分布 Simubpeak 样本量 均数 模拟三角形分布的均数分布 Simutrang 样本量 均数
3
Mean=155.426
Std=0.9664
抽样误差
结果：
各样本均数不一定等于总体均数 样本均数间存在差异 样本均数的分布规律：围绕总体均数上下波动 样本均数的变异：由样本均数的标准差描述。
5
抽样误差
抽样误差Sampling error
由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异
来源:
个体变异 抽样
的平均数 =1.0133 的标准差 =0.5031
≈
x
1 = 0.5 4
的中位数 =0. 9298
0 .051759 meanx 3.79467
18