高中数学 正弦定理教案 苏教版必修5
高中数学 1.1 正弦定理教案 苏教版必修5
江苏省赣榆县智贤中学2014高中数学 1.1 正弦定理教案苏教版必修5=ABC abc，32中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
苏教版高三数学必修五《正弦定理》说课稿
苏教版高三数学必修五《正弦定理》说课稿一、教学背景和目标1.1 教学背景高中数学是学生学习数理知识的重要环节，其中数学必修五是高中数学的重点和难点之一。
《正弦定理》作为必修五的重要内容，对于学生理解三角形的性质和解决三角形相关问题起着重要作用。
1.2 教学目标•熟练掌握正弦定理的概念和原理。
•能够灵活运用正弦定理解决三角形相关的问题。
•培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点2.1 教学重点•正弦定理的概念和原理的讲解。
•正弦定理的应用，包括求解三角形边长和角度等问题。
2.2 教学难点•理解和灵活运用正弦定理解决复杂的真实问题。
•培养学生进行问题分析和解决问题的能力。
三、教学内容和方法3.1 教学内容正弦定理是研究三角形边长和角度关系的重要数学定理，它在解决实际问题中具有广泛应用。
正弦定理的表达形式如下：$$\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} =\\frac{c}{\\sin C}$$其中，a,b,c分别为三角形的边长，A,B,C分别为对应的内角。
3.2 教学方法•讲解法：通过教师的讲解，向学生介绍正弦定理的概念和原理，重点讲解如何推导和应用正弦定理。
•示例法：通过具体问题案例，引导学生如何运用正弦定理解决三角形的相关问题。
•练习法：设计一些练习题，让学生通过实际操作练习，巩固对正弦定理的理解和应用。
四、教学步骤4.1 导入和引入在课堂开始前，教师可以通过引入一个实际问题，如航海问题，引发学生对于求解三角形边长和角度关系的思考。
然后，向学生介绍正弦定理的背景和重要性。
4.2 概念讲解和推导教师通过讲解的方式向学生介绍正弦定理的概念和原理，并通过几何图形和简单推导，帮助学生理解其数学原理。
4.3 示例演示和应用教师设计一些具体问题案例，示范如何运用正弦定理解决三角形相关问题。
学生可以借助教师提供的示范，通过实际操作来理解和掌握正弦定理的应用方法。
高一数学必修5正弦定理 苏教版 教案
高一数学必修5正弦定理【教学目的】1.探究并证明正弦定理，了解数学理论的发现发展过程；2.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形。
【教学重点】正弦定理的证明和解三角形 【教学难点】 正弦定理的证明 【教学过程】 一．定理引入：三角形中的边角关系：A+B+C=π;A>B 则a>b;a+b>c; 直角三角形中A+B=90°;勾股定理;c a A =sin ,c b B =sin ,1sin =C CcB b A a sin sin sin ==⇒ 在非直角三角形ABC 中有这样的关系吗?几何画板验证 二．定理证明：方法1,转化为直角三角形中的边角关系 方法2,面积公式法 方法3,外接圆法 方法4,向量法 三．定理直接应用：1.在△ABC 中,(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,则=C B A sin :sin :sin 7:5:32.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则a:b:c= ( D ) A 4:1:1 B 2:1:1 C 2:1:1 D 3:1:1 四．解斜三角形：正弦定理可以解决三角形中两类问题：①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角;②已知两角和一边，求另一角和其他边。
例1 在△ABC 中，已知c=10,A=45°,C=30°求边 a,b 和角B. B=105°a =b =例2 已知a=16,b=316,A=30°,求角B ，C 和边c. 60,90,32B Cc =︒=︒=或120,30,16B C c =︒=︒= 例3 已知a=30,b=26,A=30°,求角B ，C 和边c. 例4 已知b=40,c=20,C=45°,求角A ，B 和边a. 无解 五．练习与拓展：练习:P9 1 2 3 P10 练习3 作业:P11习题 1 2补充 在△ABC 中,a:b:c=4:5:6,则(2sinA-sinB):sinC= 拓展:P12 10 1.1正弦定理（2） 【教学目的】1.利用正弦定理，解决三角形中的有关问题；2.利用正弦定理，解决实际生活中的有关问题。
高一数学苏教版必修5教学案：第1章1正弦定理(1)
高一数学教学案(71)必修5_01 正弦定理（1）班级 姓名目标要求：1.掌握正弦定理的推导过程.2.利用正弦定理进行三角形中的边角关系的转换.3.能利用与正弦定理有关的三角形的面积公式进行计算.重点难点：重点：应用正弦定理解斜三角形难点：正弦定理的证明典例剖析：例1.在△ABC 中，已知b=16，A=30°，B=120°，求边a 及S △ABC .例2. 已知：ABC ∆中，45,a b B == 求A,C 及c.变式1：将a 1a =；变式2：将a 4a =.例3.如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65学习反思1．正弦定理：在△ABC 中，各边和它所对角的 相等，即sin a A= __ = ___ =2R ，其中R 是△ABC 的________________________.2．正弦定理的变形：a ：b ：c=_____________________.3．利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：⑴已知两角和任一边，求其他两边和一角；⑵已知两边和其中一边的______________，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。
4．已知两边和其中一边的对角解三角形时，会出现有一解、两解、无解三种情况。
当已知a ，b ，A 时，解的情况如下：课堂练习1．已知△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于2．在△ABC中，已知∠B=45°，则∠A等于3．在△ABC中，已知°,B=60°,则b=_______________4．在△ABC中，已知b=12，A=30°,B=120°，则a=_____________高一数学作业(71)班级姓名得分1．一个三角形的两内角分别为45°和60°，如果45°角所对边的长是6，那么60°角所对的边长为2．在△ABC中，若∠A=60°，a=b=4，则满足条件的△ABC（）A.不存在B.有一个C.有两个D.有两个以上3．△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.b=10 , A=45°, C=70°B.a=30 , b=25，A=150°C.a=7，b=8，A=98°D.a=14，b=16，A=45°4．在△ABC中，a：b：c=4：3：5，则2sin sinsinA BC的值是_________________．5．△ABC中，a=26，b=13，B=30°，则∠C=________．6．在△ABC中，已知A=135°，B=15°，c=1，则这个三角形的最大边长是_______．7．根据下列条件判断符合条件的三角形的个数：⑴b=11，a=20，B=30°⑵a=28，b=20，A=45°⑶c=54，b=39，C=115°⑷a=20，b=28，A=120°8．在△ABC 中，试分别根据下列条件解三角形(1)45,75,(2)45A B c a b A ======9．在△ABC 中，sinB=sinC ，面积为b ．10．已知△ABC 中，a=x ，b=2，B=45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围。
高中数学苏教版必修5教案正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．教学过程一．问题情境1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；．（2）正弦定理的变形：①；②；③．（3）余弦定理：．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.四．数学运用1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.解：在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以答两点之间的距离约为.本例中看成或的一边，为此需求出，或，，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，，再由余弦定理求.引申：如果，两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量，两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.由余弦定理，得，即.化简，得，解得（负值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角为.答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.例3．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.解：设，船的速度为，则，.在中，，.在中，，.在中，，，，船的速度.2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业：书上P21页习题1.3 第2，3，4题.普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》43
1.1.1正弦定理⑴辽宁省辽阳市第一高级中学李晨一、教材分析本节知识是人教B版必修⑤第一章?解三角形?的第一节正弦定理的第一课时。
本节课与初中学习的三角形的边和角的根本关系有密切的联系。
并为以后学习余弦定理提供了方法上的模式，为运用正、余弦定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论根底，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。
而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理的知识非常重要。
二、学情分析1、学生是辽阳市第一高级中学高一年级的学生。
2、学生对多媒体进行数学学习有非常浓厚的兴趣。
3、学生已经初步学习了解直角三角形的根本知识。
4、学生具有初步的观察能力，敢于发表意见，有创新意识。
5．学生能积极参与讨论，逐步提高语言表达能力。
6．学生能与同伴共同学习，共同探讨，增强合作与团队意识。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标1知识与技能：①掌握正弦定理的内容及推导定理的思想方法和过程；②能用正弦定理进行有关的运算，会运用定理解决有关问题。
2过程与方法：①通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；②通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法。
3情感、态度与价值观：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。
面向全体学生，创造平等的教学气氛，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。
四、教学重点、难点教学重点：正弦定理的根本应用。
教学难点：正弦定理的发现及证明。
五、学法与教法1学法：①合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题〔公式的推导〕。
②自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动〔如例1、2的处理〕。
③探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知〔如例3的处理〕。
高中数学 11(正弦定理(2))教案 苏教版必修5 教案
第 2 课时： §1.1 正弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；2.能熟练运用正弦定理解斜三角形； 二、过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容。
三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。
【教学重点与难点】：重点：利用正弦定理解斜三角形难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1.正弦定理：2.已知两边和其中一边的对角，如何判断三角形的形状？ 二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材9P 例4）在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断三角形的形状. 例2 （教材10P 例5）在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=，又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 例3 在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若b c a 2=+,（1）求证：2cos2cos 2CA C A -=+；（2）若3π=B ，试确定ABC ∆形状例4 在ABC ∆中，c b a ,,分别为ABC ∆三边长，若31cos =A ，（1）求A C A 2cos 2sin 2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值例5 （教材9P 例3）某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆．解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒，所以160ADE ∠=︒， 于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒．又352015BAD ∠=︒-︒=︒， 所以30ABD ∠=︒．在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．四、巩固深化，反馈矫正1.在ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是________2.在ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lglg -==+A cb ，则ABC ∆形状为_______ 3.在ABC ∆中，若3,600==a A ，则_______sin sin sin =++++CB A c b a五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课的内容 （1）知识总结： （2）方法总结：六、承上启下，留下悬念。
高中数学1.1正弦定理(1)教案苏教版必修5
1．1 正弦定理（1）一、课题：正弦定理（1）二、教学目标：1．要求学生掌握正弦定理，并能应用解斜三角形，解决实际问题；2．熟记正弦定理sin sin sin a b c A B C==2R = （R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式。
三、教学重点：正弦定理及应用。
四、教学难点：正弦定理的向量证明。
五、教学过程：（一）复习引入：在直角三角形中，利用三角形内角和定理．勾股定理．锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理。
（二）新课讲解：1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：c a A =sin ， c b B =sin ， 1sin =C ， 即：A a c sin =， B b c sin =，， C c B b A a sin sin sin ==． 2．能否推广到斜三角形？ 证明：（法一）在任意斜ABC ∆中：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆， 两边同除以abc 21即得：Cc B b A a sin sin sin ==， 3．用向量证明正弦定理：法二：当ABC ∆为锐角三角形时，过A 作单位向量j 垂直于AC ，AC +CB =AB 两边同乘以单位向量j ，j ⋅(AC +CB )=j ⋅AB 则：j ⋅AC +j ⋅CB =j ⋅AB ，∴|j |⋅|AC |090cos +|j |⋅|CB |)90cos(0C -|j |⋅|AB |)90cos(0A -，∴A c C a sin sin =， ∴C c A a sin sin =， 同理：若过C 作j 垂直于CB 得：Cc B b sin sin = ∴Cc B b A a sin sin sin ==，当ABC ∆为钝角三角形时， A C B j A CB j设090>∠A ，过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，同样可证得：C c B b Aasin sin sin ==． 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：C cB bA asin sin sin ==．说明：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R C cB bA a2sin sin sin ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。
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第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.a sin A ＝bsin B＝csin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A ＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R ∴csin C＝2R同理可得asin A ＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B＝csin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C∴a sin A ＝b sin B ＝csin C 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
(1)A 为锐角(2)A 为直角或钝角接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例1］在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求b (保留两个有效数字). 分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，直接应用正弦定理可求出边a ，若求边b ，则需通过三角形内角和为180°，求出角B ，再利用正弦定理求出边b .解：∵B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°，bsin B ＝csin C ， ∴b ＝c ·sin B sin C ＝10·sin 1050sin300 ≈19 评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.［例2］在△ABC 中，已知a ＝20，b ＝28，A ＝40°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于b sin A ＜a ＜b 的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.解：∵sin B ＝b ·sin A a ＝28·sin 40020＝0.8999， ∴B 1＝64°，B 2＝116°当B 1＝64°时，C 1＝180°－(B 1＋A )＝180°－(64°＋40°)＝76°，∴c 1＝a ·sin C 1sin A ＝20·sin 760sin400 ≈30. 当B 2＝116°时，C 2＝180°－(B 2＋A )＝180°－(116°＋40°)＝24°，∴c 2＝a ·sin C 2sin A ＝20·sin 240sin400 ≈13. 评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.［例3］在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于a ≥b 这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知b ＜a ，所以B ＜A ，因此B 也是锐角.∵sin B ＝b ·sin A a ＝50·sin 38060＝0.5131， ∴B ＝31°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(38°＋31°)＝111°∴c ＝a ·sin C sin A ＝60·sin 1110sin380 ≈91. 评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B 所受限制而求出角B 的两个解，进而求出边c 两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.［例4］在△ABC 中，已知a ＝28，b ＝20，A ＝120°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于A 为钝角且a ＞b 的情形，有一解.也可应用正弦定理求解角B 后，利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角情形.解：∵sin B ＝b ·sin A a ＝20·sin 120028＝0.6187 ∴B 1＝38°，B 2＝142°(舍)∴C ＝180°－(A ＋B )＝22°∴c ＝a ·sin C sin A ＝20·sin 220sin1200 ≈8.7 评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字).(1)已知c ＝ 3 ，A ＝45°，B ＝60°，求b ；(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a .解：(1)∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋60°)＝75°bsin B ＝csin C ∴b ＝c ·sin B sin C ＝ 3 ·sin 600sin750 ≈1.6 (2)∵a sin A ＝b sin B∴a ＝b ·sin A sin B ＝12·sin 300sin120≈6.9 评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1)：(1)b ＝11，a ＝20，B ＝30°；(2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；(3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；(4)a ＝20，b ＝28，A ＝120°.解：(1)∵a sin A ＝bsin B ∴sin A ＝a ·sin B b ＝20·sin 30011＝0.9091 ∴A 1＝65°，A 2＝115°当A 1＝65°时，C 1＝180°－(B ＋A 1)＝180°－(30°＋65°)＝85°∴c 1＝b ·sin C 1sin B ＝11·sin 850sin300 ≈22. 当A 2＝115°时，C 2＝180°－(B ＋A 2)＝180°－(30°＋115°)＝35°∴c 2＝b ·sin C 2sin B ＝11·sin 350sin300 ≈13. (2)∵sin B ＝b ·sin A a ＝20·sin 45028＝0.5051 ∴B 1＝30°，B 2＝150°由于A ＋B 2＝45°＋150°＞180°，故B 2＝150°应舍去(或者由b ＜a 知B ＜A ，故B 应为锐角)∴C ＝180°－(45°＋30°)＝105°∴c ＝a ·sin C sin A ＝28·sin 1050sin450 ≈38 (3)∵b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b ·sin C c ＝39·sin 115054 ∴B 1＝41°，B 2＝139°由于b ＜c 故B ＜C ∴B 2＝139°应舍去∴B ＝41°，A ＝180°－(41°＋115°)＝24°a ＝b ·sin A sin B ＝39·sin 240sin410 ≈24. (4)∵sin B ＝b ·sin A a ＝28·sin 120020＝1.212＞1 ∴本题无解评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍. Ⅳ.课时小结通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.Ⅴ.课后作业课本习题P 11 1，2，3，4.。