中国人民大学附属中学高考冲刺卷(理科数学试卷二)

中国人民大学附属中学高考冲刺卷数 学(理) 试 卷（二）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合2{|, }M yy x x ==∈R ，{|2, }N y yx x ==+∈R ，则M N I 等于（A ）[)0,+∞（B ）(,)-∞+∞ （C ）∅ （D ）{(2, 4)，(1, 1)-}2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8 （B ）10，6（C ）9，7 （D ）12，4 3．极坐标方程4c o s ρθ=化为直角坐标方程是（A ）22(2)4x y -+= （B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-= （D ）22(1)(1)4x y -+-= 4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（A ）511（B ） 1023 （C ）1533 （D ）30695．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z 6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于（A ）612 （B ）33（C ）64（D ）2337．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线A B 与F C 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则B D F ∠的余弦值是 （A ）77 （B ）577（C ）714（D ）57148．定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程侧视图正视图1俯视图xy OC BAFD（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d === （C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d ===第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．复数13i z =+，21i z =-，则12z z等于 .10．在二项式6(2)x +的展开式中，第四项的系数是 . 11．如下图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为B C ，A C 的中点，F 为A B 上的点，且B 4A A F = . 若A D x A F y A E =+，则实数x = ，实数y = .12．执行右图所示的程序框图，若输入5.2x =-，则输出y 的值为 ．13．如下图，在圆内接四边形A B C D 中, 对角线, A C B D 相交于点E ．已知23B C C D ==，2A E E C =，30C B D ∠=， 则C A B ∠= ，A C 的长是 ．14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i - 中的逆序数为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-.（Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且37b =时，求a . A B CD E · ·F 开始输入x是 ?i ≥5输出y 结束 x y =|2|y x =-否 0, 0y i ==1i i =+如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为直角梯形，且//A D B C ，90A B C P A D ∠=∠=︒，侧面P A D ⊥底面A B C D . 若12PA AB BC AD ===. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱P A 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角A P D C --的余弦值.17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题满分13分）已知函数2()l n 20)f x a x a x=+-> (.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间； （Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围； （Ⅲ）记()()()g x f xx b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.A B P CD已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且A P B ∆面积的最大值为23． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）直线A P 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线A P 绕点A 转动时，试判断以B D 为直径的圆与直线P F 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为m k a (,1,2,3,,, 3)m k n n = ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n n na a a a 成等差数列． （Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下： 123456789(), (,,), (,,,,),d d d dd d d d d (每组数的个数构成等差数列)． 设前m 组中所有数之和为4()(0)m mc c >，求数列{2}mc md 的前n 项和n S ． （Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式 1(6)50n nS d ->成立的所有N 的值．中国人民大学附属中学高考冲刺卷数学(理)试卷（二）参考答案一、选择题: 题号 （1） （2）（3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 A C A D A B C B二、填空题: 题号 （9） （10） （11） （12） （13）（14）答案1+2i160210.83064232n n -三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在A B C ∆中，sin 0C >， 所以14sin 4C =. ……………………………………6分（Ⅱ）因为2c a =，所以114sin sin 28A C ==. 因为A B C ∆是锐角三角形，所以2cos 4C =，52cos 8A =.所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+14252148484=⨯+⨯378=.由正弦定理可得：37sin sin a BA=，所以14a =. …………………………13分16．（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）因为 90P A D ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面P A D ⊥底面A B C D ，且侧面PAD 底面A B C D A D =， 所以P A ⊥底面A B C D . 而C D ⊂底面A B C D ， 所以P A ⊥C D . 在底面A B C D 中，因为90A B C B A D ∠=∠=︒，12A B B C A D ==，所以 22AC C D AD ==， 所以A C ⊥C D .又因为P AA C = ， 所以C D ⊥平面PAC . ……………………………4分（Ⅱ）在P A 上存在中点E ，使得//B E 平面PC D ，证明如下：设P D 的中点是F ， E FAPD则//E F A D ，且12E F A D =.由已知90A B C B A D ∠=∠=︒，所以//B C A D . 又12B C A D =，所以//B C E F ，且B C E F =，所以四边形B E F C 为平行四边形，所以//B E C F . 因为B E ⊄平面PC D ，C F ⊂平面PC D ，所以//BE 平面PC D . ……………8分（Ⅲ）设G 为A D 中点，连结C G ，则 C G ⊥A D .又因为平面A B C D ⊥平面PAD ， 所以 C G ⊥平面PAD . 过G 作G H PD ⊥于H ，连结C H ，由三垂线定理可知C H P D ⊥. 所以G H C ∠是二面角A P D C --的平面角.设2AD =，则1P A A B C G D G ====, 5D P =.在PAD ∆中，G H D G P A D P =，所以15G H =. 所以 tan 5C G G H C G H∠==，6cos 6G H C ∠=.即二面角A P D C --的余弦值为66. ………………………………13分解法二：因为 90P A D ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面P A D ⊥底面A B C D ， 且侧面PAD 底面A B C D A D =，所以 P A ⊥底面A B C D . 又因为90B A D ∠=︒，所以A B ，A D ，A P 两两垂直. 分别以A B ，A D ，A P 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP = ，(1,1,0)A C = ，(1,1,0)C D =-,所以 0AP CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，所以AP ⊥C D ，A C ⊥C D .又因为AP AC A = ， 所以C D ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱P A 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2B E =- .设平面PC D 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.C D P D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n因为(1, 1, 0)C D =- ，(0, 2,1)P D =- ，所以0,x y -+=⎧⎨取1x =，则(1, 1, 2)=n .GHABPCDz yxA B PCD所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02B E ⋅=⋅-= n ， 所以BE ⊥ n .因为B E ⊄平面PC D ，所以BE 平面PC D . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)A B =为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PC D 的一个法向量. 设二面角A P D C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以(1, 1, 2)(1, 0, 0)6cos 661A B A Bθ⋅⋅===⨯ n n . 即二面角A P D C --的余弦值为66. ………………………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X ～B(6，23).6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6P 1729 12729 60729 160729 240729192729 64729所以1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=29164729=. 或因为X ～B(6，23)，所以2643E X =⨯=. 即X 的数学期望为4． ……………5分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81………………………………10分 （Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………13分18．（本小题满分13分）解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为22()a f x xx'=-+，所以22(1)111a f '=-+=-，所以1a =.所以2()ln 2f x x =+-. 22()x f x -'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x xxx -'=-+=，由()0f x '>解得2x a>；由()0f x '<解得20x a<<.所以()f x 在区间2(, )a+∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减. 所以当2x a=时，函数()f x 取得最小值，m in2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln22(1)2a a aa+->-. 由2lna a a>解得20a e<<.所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x+-'=.由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤.所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，(,0)F c ．由题意知解得3b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143xy+=，离心率为12．……6分（Ⅱ）以B D 为直径的圆与直线P F 相切．证明如下：由题意可设直线A P 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠. 则点D 坐标为(2, 4)k ，B D 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),y k x x y =+⎧⎪⎨得2222(34)1616120k x k x k +++-=．⎧⎪⎨⎪⎩2221223,22, .a b a a b c ⋅⋅===+OF EPD BAy x设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+．所以2026834kx k-=+，00212(2)34k y k x k=+=+． ……………………………10分因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线P F x ⊥轴，此时以B D 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线P F 相切． 当12k ≠±时，则直线P F 的斜率0204114PF y k k x k==--.所以直线P F 的方程为24(1)14k y x k=--．点E 到直线P F 的距离222228421414161(14)kk k kkd kk ----=+-322228142||14|14|k k k k kk +-==+-．又因为||4||BD k = ，所以1||2d B D =．故以B D 为直径的圆与直线P F 相切．综上得，当直线A P 绕点A 转动时，以B D 为直径的圆与直线P F 相切．………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知1(1)m n m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， (1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--．又因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==- . 故21321n n d d d d d d --=-==- ，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列． 所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分（Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d ． 按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ， 所以前2m 个奇数的和为224()m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()mc m md m m =-⋅∈N ． 所以 234112325272(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ .23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ .故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅2312(2222)2(21)2nn n +=++++---⋅12(21)22(21)221nn n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--.所以 1(23)26n n S n +=-+． …………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N .故不等式1(6)50n n S b -> 就是1(23)250(21)n n n +->-．考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---． 当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-． 而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >. 因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立．所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ． …………………………14分。