初三圆的典型例题
初三上学期圆知识点和典型基础例题复习word资料11页
第三章：圆一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）如图所示，以A ，B 为端点的弧记做AB ，读作：“圆弧AB ”或者“弧AB ”；线段AB 是⊙O 的一条弦，弦CD 是⊙O 的一条直径；【典型例题】例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个例2．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现．题目常与图案、方程、坐标等进行综合外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；r dd CBAO内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ）A. 5B. 1C. 1或5D. 1或42、若两圆半径分别为R 和r （R ＞r ），圆心距为d ，且R 2＋d 2－r 2＝2Rd ，则两圆的位置关系是（ ）A. 内切B. 外切C. 内切或外切D. 相交 3. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d 的值是_______________ 。
2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题23 圆(解析版)
专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
九年级圆的基础知识点、经典例题及课后习题
圆【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
③弧、半圆、优弧、劣弧：，简称弧．，用符号“⌒”表示，弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．母表示。
)④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．.⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．（3）对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
人教版九年级上册第24章《圆》单元培优训练题 含答案
人教版九年级上册第24章《圆》单元培优训练题难度：较难一．选择题1．已知两圆的半径分别为8和5，圆心距为5，那么这两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离2．如图，点A、B、C在⊙O上，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＝∠ACBB．∠AOB＝2∠ACBC．∠ACB的度数等于的度数D．∠AOB的度数等于的度数3．如图，在⊙O中，＝，∠C＝70°，则∠A的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°4．如图，点A、B、C是⊙O上的点，OB∥AC，连结BC交OA于点D，若∠ADB＝60°，则∠AOB的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°5．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．166．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5B．2C．5或2D．2或﹣1 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则扇形AEF的面积为（）A．B．C．D．8．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3cm，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．30°B．45°C．30°或150°D．45°或135°9．如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（）A．2B．C．3D．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．20二．填空题11．一个扇形的圆心角为135°，面积为6π，则此扇形的弧长为．12．已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为．13．如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为．14．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠BOE＝54°，则∠C＝．15．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABD＝42°，则∠BCD的度数是．16．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF．若⊙O的半径为，CD＝4，则弦EF的长为．17．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝米．18．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．三．解答题19．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E．（1）求证：AC∥OD；（2）求证：OE＝AC．20．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．（1）求证：BC＝2DE；（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．21．如图△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，连接CD．（1）求BD的长；（2）射线DO交直线AC于点E，连接BE，求BE的长．22．如图，点A，点C在以BD为直径的⊙O上过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，且∠DAE＝∠ABD．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为5．CD＝6，求AD的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点D，延长DO交⊙O 于点F，连接OC，AF．（1）求证：OD＝AC；（2）填空：①当∠B＝时，四边形OCAF是菱形；②当∠B＝时，AB＝2OD．24．数学活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆的弯道组成（如图）．其中400米跑道最内圈周长为400米，两端弯道最内圈的半径R＝36米．（1）求跑道中一段直道的长度（π取3.14）；（2）在活动中发现跑道最外圈周长y（米）随跑道总宽度x（米）的变化而变化，请求出y与x的函数关系式；（3）若跑道最外圈周长为460米，那么最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？25．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．参考答案一．选择题1．解：∵两圆的半径分别为8和5，圆心距为5，则8+5＝13，8﹣5＝3，∵3＜5＜13，∴两圆相交，故选：C．2．解：A、根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，故本选项不符合题意；B、根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，故本选项符合题意；C、∠ACB的度数等于的度数的一半，故本选项不符合题意；D、∠AOB的度数等于的度数，故本选项不符合题意；故选：B．3．解：∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣2×70°＝40°，故选：C．4．解：设∠ACB＝x°，则∠AOB＝2∠ACB＝2x°，∵OB∥AC，∴∠OBD＝∠ACB＝x°，∵∠ADB＝60°，∴∠AOB+∠OBD＝∠ADB＝60°，即2x+x＝60，解得x＝20，则∠AOB＝2x°＝40°，故选：B．5．解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．6．解：设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，三边上的切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，得正方形，则正方形的边长即为r，如图所示：当BC为直角边时，AC＝＝10，根据切线长定理，得AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，∴AF+FC＝AC＝10，即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；当BC为斜边时，AC＝＝2，根据切线长定理，得BD＝BF＝6﹣r，CE＝CF＝2﹣r，∴BC＝BF+CF＝6﹣r+2﹣r＝8，解得r＝﹣1．答：这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1．故选：D．7．解：连接AC．由题意AC＝＝，∵∠EAF＝45°，AE＝AF＝AC＝，∴S扇形AEF＝＝π，故选：B．8．解：如图所示，连接OA，OB，则OA＝OB＝3cm，∵B＝3cm，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，故选：D．9．解：设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：则ON⊥DE，DE＝2，OD＝OE，∠DOE＝＝45°，∵DM⊥OE，∴△ODM是等腰直角三角形，∴DM＝OM，OE＝OD＝DM，设OM＝DM＝x，则OD＝OE＝x，EM＝OE﹣OM＝（﹣1）x，在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+（﹣1）2x2＝22，解得：x2＝2+，∵△ODE的面积＝DE×ON＝OE×DM，∴ON＝＝＝＝+1，即⊙O的半径为：1+；故选：B．10．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，∴H、I是AC、BC的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，∴PH+QI＝13﹣7＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，故选：C．二．填空题11．解：设扇形的半径为R．由题意：＝6π，解得R＝4，∴扇形的弧长＝＝3π，故答案为3π．12．解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴32+42＝52，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∵∠C＝90°，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，∴4﹣r+3﹣r＝5，解得r＝1，∴AN＝2，在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝，∴OM＝．则该三角形内心与外心之间的距离为．故答案为：．13．解：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，OC＝r，在Rt△OCE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．14．解：连接OD，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC，∴∠ODE＝∠C+∠DOC＝2∠C，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝2∠C，∴∠EOB＝∠C+∠E＝3∠C＝54°，∴∠C＝18°，故答案为18°．15．解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝132°．故答案为132°．16．解：连接OA，OC，过点O作OG⊥CD于点G，根据垂径定理，得CG＝DG＝CD＝2，在Rt△OCG中，OC＝，根据勾股定理，得OC2＝CG2+OG2，即＝4+OG2，∴OG＝＝，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴OA⊥CD，∴点A、O、G三点共线，∴AG＝AO+OG＝+＝4，在Rt△ACG中，根据勾股定理，得AC＝＝＝2．∵∠CDE＝∠ADF．∴∠CDE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF．∴∠EDF＝∠ADC，∴＝，∴EF＝AC，∴EF＝2．故答案为：2．17．解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．设圆的半径是R，根据勾股定理，得R2＝202+（R﹣10）2，解得R＝25（米），∴⊙O的直径为50米．故答案为50．18．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．三．解答题19．证明：（1）∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD；（2）过O作OF⊥AC于F∵DE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AFO＝∠DEO＝90°，∵AC∥OD，∴∠FOD＝∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠FOA＝90°，∠FOA+∠EOD＝90°，∴∠F AO＝∠EOD，在△AFO和△OED中，，∴△AFO≌△OED（AAS），∴AF＝OE，∵OF⊥AC，OF过O，∴AF＝CF＝AC，∴OE＝AC．20．（1）证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE＝GE，＝，∵D是的中点，∴＝＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE；（2）解：连接BD、OD，如图所示：∵＝，∴∠DBC＝∠BDF，∴DF＝BF，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5，∴BC＝＝＝8，由（1）得：DE＝BC＝4，∵DE⊥AB，∴OE＝＝＝3，∴BE＝OB﹣OE＝2，设DF＝BF＝a，则EF＝4﹣a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+（4﹣a）2＝a2，解得：a＝，∴DF＝．21．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵，AC2+BC2＝AB2，∴（4）2+BC2＝（2BC）2，∴BC＝4，∵BC为直径，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝∠A＝30°，∴BD＝BC＝2；（2）∵OD＝OB，∴∠CBD＝∠EDB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOB＝60°，∵∠OCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴∠CEO＝30°，∵OC＝OB＝BC＝＝2，∴OE＝2CO＝4，∴CE＝＝＝2，∴BE＝＝＝2．22．解：（1）证明：如图，连接OA，∴OA＝OB，∴∠ABD＝∠OAB，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠OAB＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAB+∠OAD＝90°，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）作OF⊥BC于点F，∵OA⊥AE，AE∥BC，∴点A、O、F在同一条直线上，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠AED＝90°，∴四边形AECF是矩形，∴AF＝EC，AE＝FC，∵⊙O的半径为5，即BD＝10，∵CD＝6，∴BC＝＝8，∴BF＝FC＝4，OF＝CD＝3，∴CE＝AF＝AO+OF＝5+3＝8，∴DE＝CE﹣CD＝8﹣6＝2，∵AE＝FC＝4，∴AD＝＝2．23．解：（1）证明：∵OD⊥BC于点D，∴CD＝BD，∵AO＝BO，∴OD是△ACB的中位线，∴OD＝AC；（2）解：当∠1＝30°时，四边形OCAF是菱形．理由如下：∵∠1＝30°，AB是直径，∴∠BCA＝90°，∴∠2＝60°，而OC＝OA，∴△OAC是等边三角形，∴OA＝OC＝CA，又∵D，O分别是BC，BA的中点，∴DO∥CA，∴∠2＝∠3＝60°而OC＝OA＝AF．∴△OAF是等边三角形，∴AF＝OA＝OF，∴OC＝CA＝AF＝OF，∴四边形OCAF是菱形；②当∠1＝45°时，AB＝2OD，∵∠1＝45°，∵OD⊥BC于点D，∴△BOD是等腰直角三角形，∴OB＝OD，∴AB＝2OB＝2OD．故答案为：30°，45°．24．解：（1）设直道的长度为x米，由题意可得，2π×36+2x＝400，即2×3.14×36+2x＝400，解得x＝86.96，即跑道中一段直道的长度是86.96米；（2）由题意可得，y＝2π（36+x）+86.96×2＝2×3.14×（36+x）+173.92＝400+6.28x，即y与x的函数关系式是y＝6.28x+400；（3）当y＝406时，460＝6.28x+400，解得x≈9.55，9.55÷1.2≈7.96，即最多能铺设道宽为1.2米的跑道7条．25．解：（1）如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴33+42＝52，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，∴四边形AFOD为正方形，∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，根据切线长定理可知：BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，∴3﹣a+4﹣a＝5，解得a＝1；（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM，∵MA⊥AB，MB⊥BC，∴∠A＝∠BNM＝90°，∴∠BMA＝∠BMN；②如图，作OE⊥MN于点E，∵∠BMA＝∠BMN，∵OD⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为圆O的半径，∴MN为圆O的切线，∴直线MN与图形G的公共点个数为1．。
9年级数学--超经典圆的基本性质垂径定理弦切角定理切割线定理及相交弦定理
专题：圆的补充定理及基本性质中考考点讲解及典型例题相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等1．圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1∶4，则另一弦长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm2．⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=8，PB=9，①若PC=4，则PD=______，CD=______；②若PC=PD，则CD=______；③若PC∶PD=2∶3，则PC=______，PD=______．3．如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是______．4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为（）A．x2+12x+28=0 B．x2－12x+28=0 C．x2－11x+12=0 D．x2+11x+12=05．如下图，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是（）A．2B．2 C．22D．3弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.6.弦切角分圆成两部分，其中一部分比另一部分大44°，求这个弦切角的度数7.已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点8.已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．9．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项10. 如下右图，割线PAB、PCD分别交⊙O于AB和CD，若PC=2，CD=16，PA∶AB=1∶2，则AB=______．11．如下左图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC相交于D，连BD，若BC=5－1，则AC=________．综合题12已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求BD的长．圆的基本性质垂径定理13. (2011舟山)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）1214. （2011泸州）已知⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为（）A、5cmB、6cmC、8cmD、10cm15.（2011•绍兴）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A、16B、10C、8D、616.（2010长春）如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．17. （11·西宁）如图10，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为_ ．18.（2011綦江）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，则∠D=．19.（2011临沂）如图，圆O的直径CD=5cm,AB是圆O的弦，AB⊥CD,垂足为M,OM：OD=3：5，则AB的长是（）A.2B.3C.4D.221作业篇：EDCBAo1.（红河自治州）如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60，则∠DBC的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°2.（兰州）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个3.（兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )A．15︒ B．28︒ C．29︒ D．34︒7图4.（陕西省）如图，点A、B、P在⊙O上，点P为动点，要是△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（）A 1个B 2个C 3个D 4个5.（天津市）如图7，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若30A∠=︒，70APD∠=︒，则B∠等于（） A.30° B.34° C.40° D.45°6．（安徽芜湖）如图所示，在圆O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（）A．19B．16 C．18D．207．（浙江湖州）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E．下列结论中一定．．正确的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝12CE D．∠AOC＝60°8．(湖北省荆门市)在⊙O中直径为4，弦AB＝3点C是圆上不同于A、B的点，那么∠ACB度数为______．9.（黄冈）如图，⊙O中，}MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN＝____________.7图BCADP OA B C O x 17图y 10．（山东济南）如图17所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．11. （安徽） 如上中图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是BAC 上一点，则∠D ＝______12．(苏州)如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()230，、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为13．（金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．15.（2011江西）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）.OA BC · CBD(第13题图)EFO 12（1）求∠BAC的度数；（2）求△ABC面积的最大值.（参考数据：3sin60o，3cos30=o，3tan30=o.）辽宁省2009年~2011年辽宁中考真题归类1.(2011葫芦岛)如图，等边△ABC内接于⊙O，则∠AOB等于()．A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°2.(2011辽阳) 如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC＝35°，则∠CAD＝________.3.（2011阜新）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB＝2DE，∠B＝18°，则∠AOC的度数为_ ．4.（2011盘锦）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝80°，则∠ACB＝________.5.（2010阜新）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O,直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD ∥AB,且CD=24m,OE⊥CD于点E,现测得sin∠DOE=12/13，则水深是________m答案中考考点讲解及典型例题1B 2。
九年级《圆》经典例题分析总结
《圆》经典例题分析总结经典例题透析1．垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.举一反三：【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸2．圆周角及其应用圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( )A.30°B.60°C.75°D.90°举一反三：【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm.(1)说明AC⊥OD；(2)求OD的长.3．切线的性质及判定涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B.举一反三：【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF.4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.答案：99°.解析：由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.举一反三：【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：DE∥OC；4．两圆位置的判定在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力.5．填空题(1)已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.(2)两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.【变式2】已知两圆的圆心距为3，的半径为1.的半径为2，则与的位置关系为________.【变式3】在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5．弧长的计算及其应用6．如图所示，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之问的关系为( )A. B. C. D.6．图形面积的计算及其应用与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积.考查题型以选择题、填空题、解答题为主，考查重点是对有关公式的灵活运用.其中是不规则图形面积的计算，应首先将其转化为规则图形，然后再进行.7．沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A. B.72 C.36 D.727．圆与其他知识的综合运用8．如图所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，渔船如果不改变方向，继续向东航行，有没有触的礁危险？思路点拨：若渔船在向东航行的过程中的每一位置到A点的距离都大于7海里，则不会进入危险区域，所以只要计算航线上到A点最近的点与A点的距离.解：过点A作AD⊥BC交直线BC于D，设AD=x海里.∵∠ABD=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°，∴AB=2x，AC=2CD.∴，，∴，.∵，∴，.即.这就是说当渔船航行到点D时，在以A为圆心、以7海里为半径的圆形暗礁内.所以，若不改变航向继续向正东航行，有触礁的危险.总结升华：解这类实际问题，只需求其最小值或最大值，与已知数据进行比较，从而得出正确的结论.9．小明要在半径为1 m、圆心角为60°的扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计如图1和图2所示的甲、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大.(估算时取1.73，结果保留两个有效数字).思路点拨：要比较甲、乙两方案剪取的正方形的面积大小，关键在于求出边长.解：方案甲：如图，连接OH，设EF=x，则OE=2OF，，∴.在Rt△OGH中，OH2=GH2+OG2，即，解得.方案乙：如图所示，作于M，交于N，则M、N分别是和的中点，，连接.设，则，在中，，即，∴.若取，则，.∴x2>y2，即按甲方案剪得的正方形面积较大.总结升华：此类问题是生活中的一个实际问题，解决此类问题时，应先将实际问题转化为数学问题.10．已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.思路点拨：如图所示，连接OD，因为DE是⊙O的切线，故∠ODE=90°，又OA=OD，故∠A=∠ODA，∠OAP+∠OPD=90°，∠ODA+∠ADC=90°，故∠OPD=∠ADC=∠EDP，△DEP是等腰三角形.解：(1)在BF上取点P，连AP交⊙O于点D，过D作⊙O切线，交OF于E，如图即为所求.(2)∠EDP=∠DPE，或ED=EP或△PDE是等腰三角形.(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，∴∠EDP=∠DPE，∴，在Rt△OAP中，，∴，自变量x的取值范围是且.。
圆中典型例题(总复习)
A
B C
H G F D E
D C B E
A α C
A
B
5.如图，经过⊙O上一点A的切线和弦BC的延长 线 相交于点P，若∠ CAP=400， ∠ ACP=1000， 则∠ BAC所对弧的度数为______。 6.在ΔABC中，I是其内心，如果∠ A=800，则 ∠ BIC=_____。
B C A P
D F B C
600
A
E
角度计算
1.已知如图ABCDEFGH是⊙O的八等分点，则∠ HDF＝＿＿＿。 2.一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km,一列火车以每 小时28km的速度经过10秒通过弯道，那么弯道所对圆心角 度数为＿＿＿度（取3.14）。 3.如图，ABCD是圆是四点，AB，DC延长线交于点E， 弧AD，弧BC分别为1200,400，则∠ E＝＿＿＿＿。 4.如图，ABC是⊙ O上三点，角α＝1400，则∠ A＝＿＿＿＿。
E A O1 D F
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小结：计算角度所用知识点 1.弧的度数等于它所对圆心角度数， 等于所对圆周角度数的两倍； 2.同弧所对的圆周角相等，也等于 夹同弧的弦切角； 3.圆内接四边形对角互补，一个外 角等于其内对角； 4.三角形内角和等于1800，一个外 角等于不相邻的两内角和 等等
圆中双解问题计算
1、点与圆的位置关系问题
B D A E O C A C O E D
B
作过切点的半径
1.如图， AB是⊙ O的直径，直线l切⊙ O于点E，AC ⊥ l, BD ⊥ l,垂足分别为CD， 求证AB=AC+BD。 2.如图，AB是⊙ O的直径，EC切⊙ O于C，BE ⊥ EC于 点E，交AC于点D，求证：AB=BD。
D C O A
圆的方程典型例题
圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1.求经过三点A (1, 12), B (7, 10), C (-9, 2) 的圆的标准方程.例2. 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．例3.已知圆C 经过A (5, 1), B (1, 3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程。
)4,1(A )2,3(B 0 y )4,2(P例4 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．例5.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切， 圆心在直线x+y=0上，求圆C 的方程。
例6. 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．042422=---+y x y x 0=y )5,0(A 02=-y x 02=+y x A类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例1. 已知圆，求过点与圆相切的切线．例2．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．例3.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆422=+y x 相交A,B 两点，则弦AB 的长是多少.422=+y x O ：()42，P O例 4. 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．类型三：弦长、弧问题例1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为类型二：直线与圆的位置关系例1. 任意实数k ，直线y=kx+1与圆222x y +=的位置关系一定是？0111221=++++F y E x D y x C ：0222222=++++F y E x D y x C ：A B AB例2、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例3、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例4 圆上到直线的距离为1的点有几个？9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .练习3：圆上到直线的距离为的点共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个类型五：圆与圆的位置关系例1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例2：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
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圆典型例题精选
【例题1】如图所示，AB是圆O的一条弦，ODAB，垂足为C，交圆O于点D，点E在
圆O上．（1）若52AODo，求DEB的度数；
（2）若3OC，5OA，求AB的长．
【例题2】如图，线段AB经过圆心O，交圆O于点A,C，点D在圆O上，连接AD，BD，
∠A=∠B=30度．BD是圆O的切线吗？请说明理由．
【例题3】已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）请说明：∠ACO=∠BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
【例题4】如图，梯形ABCD内接于⊙O， BC∥AD，AC与BD相交于点E ，在不添加
任何辅助线的情况下：
(1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中
一对全等三角形进行证明．
(2) 若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形
（全等三角形除外）．
【例题5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？
（2）若点O沿线段CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？
E
B
D
C
A
O
第 1 题图
图9
E
D
B
A
O
C
【例题6】推理运算：如图，AB为圆○直径，CD为弦，且CDAB，垂足为H．OCD的
平分线CE交圆○于E，连结OE．
（1）请说明：E为弧ADB的中点；
（2）如果圆○的半径为1，3CD，①求O到弦AC的距离；②
填空：此时圆周上存在 个点到直线AC的距离为12．
【例题7】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与
BC交于点D，与AC•交于点E，请说明：△DEC为等腰三角形．
【例题8】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M．试
说明：PC是⊙O的切线．
【例题9】已知：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于C且C为OB中点，过C
点的弦CD使∠ACD＝45°，弧AD的长为22，
求弦AD、AC的长．
【例题10】如图所示，ABC△是直角三角形，90ABCo，
以AB为直径的圆○交AC于点E，点D是BC边的中点，连结
A
B
O
C
P
M
图4
A B
C
D
·O
45°
A
B
D
E
O
C
H
B D
C
E
A
O
DE
．
（1）请说明：DE与圆○相切；
（2）若圆O的半径为3，3DE，求
AE
．