(完整)初三数学有关圆的经典例题

初三数学 有关圆的经典例题1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。

132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论，当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示，过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE ====323222∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132cos cos ∠OAE AE OA ==22∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形；()22求的值AD BC分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC22122===解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂=又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =12∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。

（2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA∴，即·AD DE DFADAD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==212∴·，故AD BC R AD BCR 22==例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A AB CDB AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CDD AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。

AB AB CD ⋂⋂⋂()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

CD CD AB ⋂⋂⋂解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ，则AF FB AB ⋂=⋂=⋂12AE EB AB ==12∵，∴AB CD AE CD AB ===212∵AF FB AF FB ⋂=⋂=，∴ 在△AFB 中，有AF+FB>AB∴，∴，∴，∴2222AF AB AF ABAF CD AF CD >>>⋂>⋂∴AB CD ⋂>⋂2∴选A 。

解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE则DE CD CE ⋂=⋂=⋂12在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂2 ∴选A 。

例4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141求CD 的长。

分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。

解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD ===141 ∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂==4∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD ∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CEAE=∴·CE BC AE AD BC AB BE AD ==+=+=()11412∴CD DE CE =-=-=41272例5. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂= 分析：由题意容易想到作辅助线OC ， （1）要使PC 与⊙O 相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH 就可以了。

()22要使·，即使，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DFADDAF DEA == 解：（1）当PC=PF ，（或∠PCF=∠PFC ）时，PC 与⊙O 相切， 下面对满足条件PC=PF 进行证明， 连结OC ，则∠OCA=∠FAH ，∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH ，∵DE ⊥AB 于H ，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC ⊥PC ，∴PC 与⊙O 相切。

()22当点是劣弧的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ⋂=连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ⋂=⋂=又∵∠∠，ADF EDA = ∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DFAD=即AD 2=DE ·DF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，可以反过来，把PC 与⊙O 相切作为条件，探索△PCF 的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD 2=DE ·DF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D 的位置。

例6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。

分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。

ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。

解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ， ∴AD x =23 则∠tan ADE AE AD x x ===22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上，（1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ；（2）如下图，如果AD 是⊙O 2的一条弦，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，那么CO 2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD 是⊙O 2的直径，连结公共弦AB ，则∠A=∠C ，∠DBA=90°，问题就可以得证。

（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看，AC 等于CD ，到底AC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙O 1上，连结AO 2、DO 2、BO 2，可得∠1=∠2，且有△AO 2C ≌△DO 2C ，故CA=CD ，可得结论CO 2⊥AD 。

解：（1）证明，连结AB ，AD 为直径，则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90°又∵∠BAD=∠C ，∴∠D+∠C=90° ∴∠CO 2D=90°，∴CO 2⊥AD （2）CO 2所在直线与AD 垂直， 证明：连结O 2A 、O 2B 、O 2D 、AC 在△AO 2C 与△DO 2C 中∵，∴，∴∠∠O A O B AO BO 222212=⋂=⋂=∵∠O 2BD=∠O 2AC ，又∠O 2BD=∠O 2DB ，∴∠O 2AC=∠O 2DB ∵O 2C=O 2C ，∴△AO 2C ≌△DO 2C ，∴CA=CD ， ∴△CAD 为等腰三角形，∵CO 2为顶角平分线，∴CO 2⊥AD 。

例8. 如下图，已知正三角形ABC 的边长为a ，分别为A 、B 、C 为圆心，以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面aO O O O O O O O O 2123122331⋂⋂⋂ 积S 。

（图中阴影部分）分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。

解：S a S a a ABC△扇，×·===3433628222ππ() ∴阴S a a a =-=-348238222ππ 此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都A B C为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。

a2()分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为，π82a原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A 1、⊙A 2、⊙A 3…⊙A n 相外离，它们的半径都是1，顺次连结n 个圆心得到的n 边形A 1A 2A 3…A n ，求n 个扇形的面积之和。

解题思路同上。

解：()n -22π一、填空题（10×4=40分）1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。

2. 圆内接四边形ABCD 中，如果∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。

3. 若⊙O 的半径为3，圆外一点P 到圆心O 的距离为6，则点P 到⊙O 的切线长为___________。