数学七年级下《因式分解》复习课件
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七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
七年级数学下册第四章因式分解复习课课件
3．特别注意： (1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为 1，不可漏 掉． (2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首 项系数为正． (3)公因式也可以是多项式．
【例 1】 分解因式： (1)m2－m＝________． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝________．
确的是
()
A． 2a(4a2－4a＋1)
B． 8a2(a－1)
C． 2a(2a－1)2
D． 2a(2a＋1)2
【解析】 原式＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2．
【答案】 C
【变式 2-2】 分解因式：
(1)x3－6x2＋9x．
(2)4x3y－9xy3．
【解析】 (1)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2．
【解析】 (1)m2－m＝m(m－1)． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
【答案】 (1)m(m－1) (2)3a(x－y)2(2a＋x－y)
【变式 1-1】 把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是
(2)原式＝xy(4x2－9y2)
＝xy[(2x)2－(3y)2]
＝xy(2x＋3y)(2x－3y)．
专题三 因式分解的应用
1．利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值． 2．若几个完全平方式的和为 0，则每个完全平方式都等于
0．
【例 3】 已知 a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求 a＋b 的值． 【解析】 ∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0， ∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0， (a＋3)2＋(b－5)2＝0， ∴a＋3＝0 且 b－5＝0，∴a＝－3，b＝5， ∴a＋b＝－3＋5＝2． 【答案】 2
【例 1】 分解因式： (1)m2－m＝________． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝________．
确的是
()
A． 2a(4a2－4a＋1)
B． 8a2(a－1)
C． 2a(2a－1)2
D． 2a(2a＋1)2
【解析】 原式＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2．
【答案】 C
【变式 2-2】 分解因式：
(1)x3－6x2＋9x．
(2)4x3y－9xy3．
【解析】 (1)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2．
【解析】 (1)m2－m＝m(m－1)． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
【答案】 (1)m(m－1) (2)3a(x－y)2(2a＋x－y)
【变式 1-1】 把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是
(2)原式＝xy(4x2－9y2)
＝xy[(2x)2－(3y)2]
＝xy(2x＋3y)(2x－3y)．
专题三 因式分解的应用
1．利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值． 2．若几个完全平方式的和为 0，则每个完全平方式都等于
0．
【例 3】 已知 a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求 a＋b 的值． 【解析】 ∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0， ∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0， (a＋3)2＋(b－5)2＝0， ∴a＋3＝0 且 b－5＝0，∴a＝－3，b＝5， ∴a＋b＝－3＋5＝2． 【答案】 2
青岛版七年级数学下册第十二章《因式分解》复习课件(共17张PPT)
解： p（y－x）－q（y－x） = （y－x）（ p －q）
（2）运用公式法：
如果把乘法公式反过来应用，就可以 把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。 这种方法叫做公式法。
公式法中主要使用的公式有如下几个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用公式法
概念
因
式
分
解
方法
与整式乘法的关系： 相反变形 提取公因式法
公 平方差公式
式
法 完全平方公式
四、作业
• 1、把下列各式分解因式： • ① 、1 －2ab － a2－ b2 • ②、2（x ＋ y）2 ＋ 5（x ＋ y）＋ 2
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ D ）
A、x2＋x＋2y2 4x－4
B、 x2 ＋
C、x2＋4xy＋y2 4xy＋4 x2
D、 y2 －
三、小结
• 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
[ 平方差公式 ] [ 完全平方和公式 ] [ 完全平方差公式 ]
练习 练习
（三）因式分解的一般步骤：
• ① 对任意多项式分解因式，都必须首先 考虑提取公因式。
② 考虑应用平方差公式或完全平方公式 分解。
练习题
练习题：
• 把下列各式分解因式： • （ x －y）3 － （ x －y） • a2 － x2y2 •
5, 已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0 求代数式xy3 + x3y 的值。
（2）运用公式法：
如果把乘法公式反过来应用，就可以 把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。 这种方法叫做公式法。
公式法中主要使用的公式有如下几个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用公式法
概念
因
式
分
解
方法
与整式乘法的关系： 相反变形 提取公因式法
公 平方差公式
式
法 完全平方公式
四、作业
• 1、把下列各式分解因式： • ① 、1 －2ab － a2－ b2 • ②、2（x ＋ y）2 ＋ 5（x ＋ y）＋ 2
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ D ）
A、x2＋x＋2y2 4x－4
B、 x2 ＋
C、x2＋4xy＋y2 4xy＋4 x2
D、 y2 －
三、小结
• 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
[ 平方差公式 ] [ 完全平方和公式 ] [ 完全平方差公式 ]
练习 练习
（三）因式分解的一般步骤：
• ① 对任意多项式分解因式，都必须首先 考虑提取公因式。
② 考虑应用平方差公式或完全平方公式 分解。
练习题
练习题：
• 把下列各式分解因式： • （ x －y）3 － （ x －y） • a2 － x2y2 •
5, 已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0 求代数式xy3 + x3y 的值。
七年级数学下册 第12章 因式分解复习课课件
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
(4)81a4-b4
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
⑺ x2y2+xy-12
2021/12/10
(8) (x+1)(x+5）+4
第十四页，共十六页。
今天，我们(wǒ men)复习了分解因式的那些知识？
下课了!
再见(zàijiàn)
2、分组后可以运用公式
例题：把下列各式分解因式
① 3x+x2-y2-3y
② x2-2x-4y2+1
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)
=(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3)
解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2
=(x-1+2y)(x-1-2y)
2021/12/10
第四页，共十六页。
2021/12/10
因 式 分 解
定义(dìngyì) 方法 步骤
练习(liànxí) 小结(xiǎojié)
第五页，共十六页。
把一个多项式化成(huà chénɡ)几个整式的积的形式， 叫做多项式的因式分解。
即：一个多项式 →几个(jǐ ɡè)整式的积
注：必须分解(fēnjiě)到每个多项式因式不能 再分解为止
2021/12/10
第六页，共十六页。
（二）分解因式(yīnshì)的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用(yùnyòng)公式法 （3）、十字相乘法 （4）、分组分解(fēnjiě)法
2021/12/10
初中七年级下册数学 《因式分解》优质课件PPT
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
2021/02/20
5
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式 乘法它们之间有什么关系吗?
整式的乘法特点：由整式积的形式转化成多项式和的 形式.
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) PPT模板：
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地理课件：
历史课件：
因式分解
2021/02/20
1
你能发现这两组等式之 间的联系和区别吗?它们的左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
a2+2a+1= ( a+1 ) 2
整式的乘法
特点：由整式积的形式 转202化1/02成/20 多项式和的形式.
特点: 把多项式和的形式转 化为几个整式的积的形式2.
一般地，把一个多项式化成几个整 式的积的形式，叫做因式分解，有时我 们也把这一过程叫做分解因式。
苏科版七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解复习课件
(4). 3x2(x3y2 - 2x)- 4x(-x2y)2
解 : 原式 3x5 y2 6x3 4x5 y2 x5 y2 6x3
(5). t2 (t 1)(t 5)
解 : 原式 t 2 (t 2 4t 5) t 2 t 2 4t 5 4t 5
(6). (2x 3y)(4x 5y)(2x 3y)(5y 4x) 解 : 原式 (4x2 9 y2 )(25y2 16x2 ) 64x4 244x2 y2 225y4
8式 ＿、，＿编又＿一要。道用因到式两分个解公题式（）编，写这要个求多：项既式要是用＿－提＿8取，＿公6＿4因＿
9、已知（3x+ay）2=9x2-48xy+by2，那么a，b的值分
别为＿a＿x4＿-2＿ax＿2y2＿+a＿y4＿＿。
例题选讲
1、单项式乘以多项式：
（-3xy+ 3 y2-x2）×6x2y 2
=2an（1+5a）（1-5a） （2）4x（y-x）-y2 解：原式＝4xy-4x2-y2 =-（4x2-4xy+y2）
=-（2x-y）2
8、把下列各式分解因式：
1）16x4-72x2y2+81y4 2）（x2+y2）2-4x2y2
3）-ab（a-b）2+a（b-a）2 4）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16
A.52000 B.-4×52000 C.-5 D.（-5）4001
4、当x=1时，代数式ax2+bx+1的值为3，则
（a+b-1）（1-a-b）的值等于（ B ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2 5、有4个代数式①m2n；②3m-n；③ 3m+2n；④m3n；可作为代数式9m4n-
七年级数学下册第3章因式分解单元复习课课件(新版)湘教版
【中考这样考】 (202X·黔东南、黔西南、黔南中考)分解因式: 9x2-y2= ___(_3_x_+_y_)_(_3_x_-_y_)___.
【专家这样说】 本题主要考查利用平方差公式分解因式,注意整体思想 的运用,并熟记公式.
考点3 利用完全平方公式因式分解(考查方式:对一个 多项式进行因式分解) 【教材这样教】(P67习题3.3T2(7))
单元复习课 第3章 因 式 分 解
考点1 提公因式法因式分解(考查方式:对一个多项式 进行因式分解) 【教材这样教】 (P62习题3.2T3(1))
因式分解:x(y-3)-(2y-6). 解:x(y-3)-(2y-6)=x(y-3)-2(y-3) = (y-3)(x-2).
【中考这样考】 (202X·攀枝花中考)分解因式:a2b-b=____b_(_a_+_1_)_(_a_-_1_)_.
【专家这样说】 本题主要考查提取公因式分解因式,正确找出公因式是 解题关键.因式分解时,要先提取公因式,再用公式法因 式分解.要特别注意的是:要确保每个因式都不能再分 解为止.
考点2 利用平方差公式因式分解(考查方式:对一个多 项式进行因式分解) 【教材这样教】 (P64练习T(y-x)2. 解:原式=[(x+y)+(y-x)][(x+y)-(y-x)] =2y×2x=4xy.
因式分解:x4+4x2+4. 解:x4+4x2+4=(x2)2+2×x2×2+22=(x2+2)2.
【中考这样考】 (202X·鄂州中考)因式分解:4ax2-4ax+a=___a_(_2_x_-_1_)_2 __.
【专家这样说】 本题主要考查公式法分解因式,运用完全平方公式进行 因式分解,熟记公式是解题的关键.
苏教科版初中数学七年级下册9.5因式分解复习课2PPT课件
9.5 多项式的因式分解复习课
复习目标: 1.理解因式分解的意义。 2.能运用提公因式法和公式法进行因式分解。 3.进一步理解因式分解与整式乘法的联系。
梳理本节知识点 5分钟 P81-P87
1、什么是因式分解？ 2、因式分解有—提——公—因——式—法和—公——式—法——法。每种方法配
以简单例题，并能指出相关注意点。 3、能说出整式乘法与因式分解的联系。
小组交流，按照纸上格式书写，小组代表黑板发言， 比一比哪一组总结的全面
1、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ C ） D
小结
本节课你有什么收获？当堂检 Nhomakorabea：课堂作业： （必做）P90 第8题 （选做）P91 第14题
复习目标: 1.理解因式分解的意义。 2.能运用提公因式法和公式法进行因式分解。 3.进一步理解因式分解与整式乘法的联系。
梳理本节知识点 5分钟 P81-P87
1、什么是因式分解？ 2、因式分解有—提——公—因——式—法和—公——式—法——法。每种方法配
以简单例题，并能指出相关注意点。 3、能说出整式乘法与因式分解的联系。
小组交流，按照纸上格式书写，小组代表黑板发言， 比一比哪一组总结的全面
1、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ C ） D
小结
本节课你有什么收获？当堂检 Nhomakorabea：课堂作业： （必做）P90 第8题 （选做）P91 第14题
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ma mb mc m(a b c) 整式乘法
提公因式法
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各 项的公因式。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取 出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
公式 法
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法 平方差公式a² -b² =(a+b)(a-b) 平方差公式：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式a² ±2ab+b² =(a±b)² 完全平方公式法：适用于完全平方式。
(2) -x-y=-(x+y)
(4) (x-y)3=-(y-x)3
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
公式法
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否 能看成两个数的平方的差； 用完全平方公式分解因式的关键：在于判断 一个多项式是否为一个完全平方式； 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
（20分）
拼
将4x2+1加上一项，使 它成为完全平方式，你有 几种方法? （20分）
通过复习这节课你有那些新的收获与 感受? 说出来与大家一起分享！
基本概念
检验下列因式分解是否正确？(5′×4=20′)
是 答
案 答 否 案 答 是 案 否 答案
(3) x2-2x-3=(x-3)(x+1) (4) 36a2-12a-1= (6a-1) 2
C层练习
填空(5′×3=15′)
基本概念
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= -7 ,n= -10 。 2．x2-8x+m=(x-4)( x-4 ),且m=
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
挑战自我：
基本方法
A层练习
B层练习 C层练习
A层练习
基本方法
将下列各式分解因式：(4′×5=20′) ⑴ -a² -ab； ⑵ m² -n² ； ⑶ x² +2xy+y² (4) 3am² -3an² ； (5) 3x³ +6x² y+3xy² =-a(a+b) = (m+n)(m-n) =(x+y)²
因式分解的复习
因式分解定义
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式 叫做因式分解，也叫分解因式。 • 注意： • 因式分解结果是因式乘积的形式 • 因式分解要彻底
因式分解的方法
• • • • 提公因式法： 注意: 系数的最大公约数 相同字母或整式的最低次幂
公式法
因式分解
基本概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫 分解因式。 因式分解
=3a (m+n)(m-n) =3x(x+y)²
B层练习
基本方法
将下列各式分解因式： (5′×3=15′) ⑴ 18a² c-8b² c =2c(3a+2b) (3a-2b) ⑵ m4 - 81n4 = (m2 +9n2)(m+3n) (m-3n) ⑶ x² y² -4xy+4 =（x y –2）²
第二步第 二环节
主要应用
简化计算 解方程
多项式的除法
超级变变变 简化计算
(1)562+56×44
变式
(2)1012 - 992
若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
解方程：
x³ -9x=0
变式
解下列方程：
超级变变变
(3x- 4) ² - (3x+ 4) ² =48
C层练习
基本方法
将下列各式分解因式： (6′×3=18′) ⑴ (2a+b)² –(a–b)² ； =3a (a+2b) (2) (x+y)² -10(x+y)+25 = (x+y-5)² (3) 4a² –3b(4a–3b) = (2a- 3 b) ²
第二步第 一环节
因式分解的一般步骤：
一般步骤
超级变变变 多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
变式： 20052+2005能被2006整除吗？
第三步
能
第一组
第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组
力
大 比
拼
能 力 大 比 拼 总分 名次
能
如图在半径为R的 圆形钢板上，冲去半 径为r的四个小圆， 利用因式分解计算当 R=7.8,r=1.1时剩余部 分的面积（20分）
16
。
第一步第 二环节
基本方法
提公因式法：
一般 方法
公式法
平方差类
完全平方类
提公因式法：
1.公因式确定 （1）系数：取各系数的最大公约数； （2）字母：取各项相同的字母； （3）相同字母的指数：取最低指数。 2.变形规律：
（1）x-y=-(y-x)
(3) (x-y)2=(y-x)2 3.一般步骤 （1）确定应提取的公因式；
挑战自我：
ห้องสมุดไป่ตู้
基本概念
A层练习
B层练习 C层练习
A层练习
基本概念
下列代数式的变形当中哪些是因式分 解，哪些不是？(4′×3=12′)
(1)3a2+6a=3a(a+2)
是 sure? 否 sure?
(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1
(3) 18a3bc=3a2b· 6ac
否 sure?
B层练习 (1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b) (2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3)
力
把9991分解成为两上整数的 积。 （20分）
大
若x y 5, xy 6, 则x y xy ____________
3 3
（20分）
比
已知a、b、c是一个三角 形的三边，判断代数式a2-b2 2 -c –2bc 的正负性。（提示：
a2-b2 -c2 –2bc = a2-（b2+c2 +2bc ）
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式；
二套：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式； 三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“套”。[如(x+y)² -x-y=(x+y)(x+y-1）
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解 ，如能分解，应分解到不能再分解为止。