2021高考数学大一轮复习第六章数列6.4数列求和课件理新人教A版
人教课标A高考一轮复习精品课件6.4数列的通项及数列求和
§6.4数列的通项及数列求和基础知识自主学习要点梳理1 •若已知数列｛a｝W/£a n+1-a n=f (n),且f (1) + f (2) +…+f (n)可求，则可用—求数列的通项和累加法2•若已知数列｛a｝满足=f (n),且f⑴・f(2)・…・f (n)可求，则可用_求数列的通项a..©+1累积法推导方法:乘公比，错位相减法.■ % —jq\_q\_q3 •等差数列前n 项和S 产推导方法：— 等比数列前n 项和n(a x +a n )n(n-V). na x H d［到序相加法q#1.4 •常见数列的前n项和(1)(2)(3)；n(n + V) 2+4+6+…+2n= _____ ; 21+3+5+...+(2n-1)=_; n2+n*1+2+3+…+n=(4) 12+22+32+..+n2= ；n2(5) 13+23+33+.. +n3=«(n + l)(2n + l)⑷+ 1)]22j5. (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.6 •常见的拆项公式有⑴1n(n +l)1 1n n + 1"2)(2M-1)(2〃 + 1) 2n +1⑶]Qn + Yn +1=、/ H +1—、ft ・基础自测1 •已知等比数^ij{a n},a1=3,>4a1> 2a2> 83成等差数列，则a34-a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析由题意可设公比为q,贝!Ia2=a1q,a3=a1q2, •/4a2=4a14-a3,-，4a1q=4a14-a1q2,Xa1=3,/.q=2 ・ a3+a4+a5=a1q2(1+q4-q2)=3X4X(1+2+4)=84 ・2如蹈鶯肆严，…,ag…是首项为1,公比为3的等A. B. Cc.23〃+3 2解析时二先®)+ (a3-a2)3* ^(a^)2=a n=2lx(l_3")1一3 '_3〃一1 "" ■•2=n2f-F — 1 1 —i2 222〃 321, 1 164=5 +M，AA2~1 +23-已知数列6｝的通项公式是a 产,其中前侦柚卜A.13 劇64解析*-*a n = 则项数n 等于)C.9D.62"D1 戶， 1 心+前,.*/6n=n -4•若数列｛aj 的通项公式为a n =2n +2n-1,K>J 数列｛a ；｝的前n 项和为A.2n +n 2-1 C.2n+1+n 2-2解析S n =2(1_2") | 卅(1 + 2—1)B.2n+1+n 2-1 D.2n +n 2-2=2n+1-2+n 2.5擞列J_ _! _____ 5麺1项________ ! _______ A 2・5'5・8'8・11，© —1)・(3〃 + 2)‘和为()BA. B.n C・——.n 6n + 43n + 2解析餾数列通项公式71 + 16〃+ 4 n + 2得前n项和1 =1 _______________ 1(3〃一1)•⑶2 + 2) _ 3 3〃一1 _3n + 2c1Z1 1 1 1 1 1 1 1S =—( ------- 1 ------- 1 ---------nA H -------------------------- "3 2 5 5 8 8 11 3〃一1 3n + 2= 1(1__1 “ 〃 .32 3n + 2 6n + 4题型分类深度剖析题型一由递推公式求通项公式【例1】分别求满足下列条件的数列的通项公式.(1)设｛a」是首项为1的正项数列，且(n+1) +a n+1a n=O(n=1,2,3,...)；⑵已知数列代｝满足酩尸,a1=2.依据已知数列的递推关系适当地进行变形"+1 n的差百％或通项的商_2—匕La n + 2的规律融H-12 2%卄1 _ na n可寻找数列的通项解（1）方法一•・•数列｛aj是首项为1的正项数列,#0/.令=t,/.(n+1)t2+t-n=0, a n為+i・•・［伽(t+1)=0,・・t=。
高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 理 (2)
na1 ； a11－qn
a1－anq
(ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝ 1－q ＝ 1－q .
答案
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
常见的裂项公式
①nn1＋1＝1n－n＋1 1；
②2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
12345
解析答案
2.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和 S100＝_－__2_0_0___. 解析 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3) ＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
第六章 数列
§6.4 数列求和
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 审题路线图系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
求数列的前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
na1＋an
Sn＝
2
nn－1 ＝ na1＋ 2 d
.
②等比数列的前n项和公式
(ⅰ)当q＝1时，Sn＝
③
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等 比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝ (－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2 ＋1)＝5 050.
高考数学大一轮复习第六章数列6.4数列求和课件文新人教版
a1＝9， 或d＝29.
故bann＝ ＝22nn－－1 1，
或abnn＝ ＝199·292nn＋－17.9，
(2) 当 d>1 时，记 cn＝abnn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，
2n－1 故 cn＝ 2n－1 ，于是 Tn＝1＋32＋252＋273＋294＋…＋22nn－－11，
(2)设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和. 解答 由an＝2n＋1可知 bn＝ana1n＋1＝(2n＋1)1(2n＋3)＝122n1＋1－2n1＋3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1231－15＋15－71＋…＋2n1＋1－2n1＋3
引申探究 本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn. 解答
思维升华
分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法 (求2)通{a项n}的公前式n为项和an＝. bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
等于 答案 解析
A.2 016
B.2 017
C.2 018
D.2 019
an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1) ＝1－n＋1 1＝n＋n 1. 令n＋n 1＝22 001178，得 n＝2 017.
3.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100
高考数学大一轮复习第六章数列4数列求和课件理高三全册数学课件
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跟踪(gēnzōng)训练 等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝ 3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
解 设数列{an}的公差(gōngchā)为d，数列{bn}的公比为q，
nπ 2
，其前n项和为Sn，则S2
017＝_____1_.008
解析 因为数列 an＝ncos n2π呈周期性变化，观察此数列规律如下：
a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.
故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.
a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，
故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错
位相减法求得.( ) ×
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(4)数列 21n＋2n－1的 前n项和为n2＋
1 ( 2n.
)×
(5)推导等差数列(děnɡ chā shù liè)求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得
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第六章 数 列
数列 求和 (shùliè)
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内容索引
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基础知识 自主(zìzhǔ)学习
题型分类(fēn lèi) 深度剖 析 课时(kèshí)作业
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基础知识 自主 学习 (zìzhǔ)
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第八页，共七十八页。
题组一 思考辨析
高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.4 数学归纳法课件 理
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2.已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系(guān xì)是
√A.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B.f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 解析(jiě xī) f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋ (2k＋2)2.
1＋15·…·1＋2n1－1>
2n＋1 2 均成立.
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多维探究
(tànjiū)
题型三 归纳(guīnà)—猜想—证明
命题点1 与函数有关的证明问题
例2 设函数(hánshù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；
解 S1＝a1＝－23， S2＋S12＋2＝S2－S1⇒S2＝－34， S3＋S13＋2＝S3－S2⇒S3＝－45， S4＋S14＋2＝S4－S3⇒S4＝－56.
n＋1 由1此2/11/猜2021想：Sn＝－n＋2(n∈N＋).
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(2)用数学归纳法证明(zhèngmíng)所得的结论.
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2
PART TWO
题型分类(fēn lèi) 深度剖析
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高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和教师用书 理 新人教版(2021年最新整理)
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第六章数列 6.4 数列求和教师用书理新人教版1．等差数列的前n项和公式S n＝错误!＝na1＋错误!d。
2．等比数列的前n项和公式S n＝错误!3．一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝错误!。
（2）1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2。
(3）2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．（4）12＋22＋…＋n2＝n n＋12n＋16.【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．（2）分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3）裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式①错误!＝错误!－错误!；②错误!＝错误!错误!；③错误!＝错误!－错误!。
(4）倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．（5）错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广．（6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n）类型，可采用两项合并求解．例如,S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97）＋…＋(2＋1）＝5 050.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1)如果数列{a n}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S n＝错误!.（√)(2)当n≥2时,错误!＝错误!(错误!－错误!）．（√）(3）求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．（×)（4)数列{错误!＋2n－1}的前n项和为n2＋错误!。
2021-2022年高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和真题演练集训理新人教A版
2021年高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和真题演练集训理新人教A 版 1．[xx·北京卷]已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案：6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧ a 1＝6，2a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝6，d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝36＋15×(－2)＝6.2．[xx·新课标全国卷Ⅱ]设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案：－1n解析：∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴ S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵ S n ≠0，∴ 1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1. 又1S 1＝－1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴ 1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， ∴ S n ＝－1n. 3．[xx·山东卷]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋1n ＋1b n ＋2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝6n ＋6n ＋13n ＋3n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]， 两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n 1－2－n ＋1×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.4．[xx·新课标全国卷Ⅰ]S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n ＞0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知， b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 32n ＋3.课外拓展阅读数列求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .[审题视角][解析] (1)当n ＝k ，k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值， 即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n . 当n ＝1时，上式也成立，故a n ＝92－n . (2)因为9－2a n 2n ＝n 2n －1， 所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，①所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n 2n －2，② ②－①，得2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1 ＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1. 故T n ＝4－n ＋22n －1. 方法点睛1．根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案．2．利用S n 求a n 时不要忽视当n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．3．可以通过当n ＝1,2时的特殊情况对结果进行验证．。
高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
2.非基本数列求和惯用方法
(1)倒序相加法:假如一个数列{an}前n项中与首末两端等“距离”
两项和相等,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法,如等差数
列前n项和公式即是用此法推导.
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-3知识梳理
考点自测
(2)分组求和法:一个数列通项公式是由若干个等差数列或等比数
列或可求和数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相
2.在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方
便下一步准确写出“Sn-qSn”表示式.
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-16考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项
为2等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
1 1
1
+1
.(
)
关闭
)
答案
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-7知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
2.若数列{an}通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}前n项和为(
A.2n+n2-1
B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
)
关闭
2(1-2 )
Sn=
1-2
+
(1+2-1)
2
=2n+1-2+n2.
得Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以,数列{a2nbn}前n项和为(3n-4)2n+2+16.