湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案(无答案)新人教版选修2_1
椭圆及其标准方程(一)
数学 学科 高二年级教学案 No.
2.1.1椭圆及其标准方程（一）
课型新授课主备审核授课时间
教学目标知识
与
能力
经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过
程，掌握椭圆的定义，
标准方程
过程与方法展示椭圆产生过程，并引导学生分析椭圆上的
点所满足的几何条件
情感
态度
价值观
体会数形结合思想
学
重
点
椭圆的标准方程；坐标法的基本思想
教
学
难
点
椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的思想
板
书
设
计
三、课堂练习:
1、 求到两个定点F（-2 ，0），
F（2,0）的距离之和为6的点的轨
迹方程
2、求到两个定点F（0,4），
F（0，-4）的距离之和为10的点
的轨迹方程
3、已知| FF|=8，动点满足|
MF|+| MF|=8，则M点的轨迹是
_______
四、课堂小结
作
业
课
后
反
思。
高二数学《椭圆及其标准方程》教案.docx
2.1.1椭圆及其标准方程教案一、教学目标1 •知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；(2)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握其定义、标准方程、几何图形及简单性质；2.过程与方法(1)通过椭圆标准方程的推导，能初步运用坐标法解决简单的几何问题；(2)通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想；3 •情感态度与价值观(1)感受数学在其他领域的广泛运用，培养对数学的热爱。
二、教学重点、难点1 •重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.2.难点：椭圆标准方程的建立和推导.三、教学方法引导探究式四、教学过程：1 •创设情境(2分钟〉(1)2008年9月25日“神州七号”载人飞船发射成功，将三名中国航天员送上太空。
你知道“神州七号”载人飞船运行轨道是什么图形吗？(PPT展示图片〉(2)太阳系中各行星的运行轨道也是椭圆形的.(PPT展示图片〉(3)你能说出生活中还有什么是椭圆形的？(PPT展示图片〉(设计意图：让学生了解椭圆在各领域的广泛运用，知道数学不是枯燥无味的, 而是有用的，激发学生学习数学的兴趣・》三、教学过程:⑷化简方程：<1>请一位基础较好，书写规范的同学板演〈2>教师在巡视过程中及时发现问题给予点拨培养学生战胜困难的意志品质并感受数学的简洁美、对称美.(5)证明：讨论推早的等价性养成学生扎实严谨的科8. 1椭圆及其标准方程2.椭圆的标准方程 总体说明：本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念,体现“教师为 主导，学生为主体”的现代教学思想•在对椭圆定义的讲授中，遵循从生动直观到 抽象概括的教学原则和教学途径，通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的 形成过程进而归纳岀椭圆的定义，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；让椭圆 生动灵活地呈现在学生面前，更有助于学生理解椭圆的内涵和外延.对本课另一 难点标准方程推导的讲授中，在关键处设疑，以疑导思，让学生先从目的、再从方 法上考虑，引导学生对比、分析，师生共同完成.通过经历椭圆方程的化简，增强了 学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导 的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.设计的例题及变式练习，充分利用新知 识解决问题，使所学内容得以巩固.变式(2)的设计让学生站在方程的角度认清椭 圆两种标准方程形式上的特征，将学生的思维提升到了 一个新的高度.课后分层 次布置作业，帮助学生巩固所学知识；课后探索更为学有余力的学生留有进一步 探索、发展的空间.在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重 点.自始至终很好地调动学生的积极性，挖掘他们的内在潜能，提高学生的综合素 质.一、复习引入 二、新课讲解 1 .椭圆的定义三、习题研讨四、板书设计。
湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.3.1双曲线及其标准方程(1)学案(无答案)新人教版选修21
2.2.1双曲线及其标准方程导学案⒈ 本节重点：①双曲线的定义及相关概念．②双曲线的标准方程．⒉ 本节难点：① 利用双曲线的定义解题．② 求双曲线的标准方程．⒊ 注意问题：在双曲线的有关计算和证明中，注意双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上． ⒋ 解题指导：① 求双曲线的标准方程常用方法是待定系数法和轨迹方程法．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤是：⑴ 依题意设方程22221x y a b -=(0,0)a b >>或22221y x a b -= (0,0)a b >>或2mx +2ny 1=（0mn <）；⑵ 根据条件，建立关于a 、b （或m 、n ）的方程；⑶解方程求出 a 、b （或m 、n ），然后代入所设方程．求曲线轨迹方程的一般步骤：(1)建立直角坐标系,设动点坐标M(x,y)；(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式；(3)化简方程;(4)验证(可以省略)；(5)说明方程的轨迹图形,“补漏”和“去掉增多的点”④．解有关双曲线的题，要注意数型结合，提倡画出合理图形．⑤ 解有关双曲线的题， 要灵活运用双曲线的定义解题．⒌ 本节主要题型： ① 求双曲线的标准方程的题型．② 利用双曲线的定义求解的题型．③ 直线与双曲线的位置关系的题型．预习验收填空:（1）________________________________________________________叫做双曲线， ______________ 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距.（2）焦点在x 上的双曲线的标准方程为____________________，焦点坐标分别为 ___________ ；焦点在y 上的双曲线的标准方程为________________， 焦点坐标分别为 ___________ __（3）的关系式为、、c b a _______________且要满足的条件是___________________. 其中b a 与的大小关系为_______________（4）双曲线的定义可以用代数式表示为：________________当____________ 时，轨迹是两条射线；当_________时，轨迹不存在.（5）如何判断双曲线焦点的位置：___________________________（6）求双曲线的标准方程常用方法是 和（7）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤是： .（8）求曲线轨迹方程的一般步骤： .【例1】 已知双曲线两个焦点分别为)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.（课本第47页例1）【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（课本第54 页A 组第2题）（1） 焦点在x 轴上，52=a ，经过点A （-5,2）；（2） 经过两点A ）（）（3,72,26,7B --.练 习1、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（课本第48 页第1 题）（1）焦点在x 轴上，34==b a ，；（2）焦点在x 轴上，经过点），），（，（2,3153-2-；（3）焦点（0,-6），（0,6），且经过点（2，-5）.2、根据下列条件求双曲线的标准方程：（新学案第20页例2）（1）过点）（415,3P ，Q ）（5,316-且焦点在坐标轴上；（2）6=c ，经过点（-5,2），焦点在x 轴上；（3）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点且经过点）（2,23.。
高中数学《椭圆及其标准方程》教案（精选7篇）
高中数学《椭圆及其标准方程》教案作为一名专为他人授业解惑的人民教师，就难以避免地要准备教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
教案要怎么写呢？下面是小编精心整理的高中数学《椭圆及其标准方程》教案，欢迎阅读与收藏。
高中数学《椭圆及其标准方程》教案篇1一、教材分析1、教材的地位及作用圆锥曲线是高考重点考查内容。
“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线与方程》第一节内容,是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。
从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式；所以，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。
因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。
2、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。
（2）、能力目标：让学生通过自我探究、合作学习等，提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。
（3）、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数与形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于钻研的精神。
3、教学重点、难点教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
在学习本课前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，对坐标法解决几何问题掌握还不够。
另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。
据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。
中职数学高二椭圆及其标准方程优质教案
中职数学高二椭圆及其标准方程优质教案一、教学目标1. 理解椭圆的概念，掌握椭圆的标准方程，能解决简单的实际问题。
2. 通过观察椭圆的形状，提高学生的空间想象能力。
3. 通过学习椭圆的方程，培养学生的数学逻辑思维。
二、教学内容1. 椭圆的定义与标准方程2. 椭圆的几何性质三、教学重点与难点重点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质。
难点：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导。
四、教具和多媒体资源1. 黑板2. 投影仪3. 教学软件：几何画板五、教学方法1. 激活学生的前知：通过回顾与椭圆的相关的知识，激活学生的前知。
2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和案例分析等多种教学策略。
3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，自己推导椭圆的标准方程。
六、教学过程1. 导入：通过观察生活中的椭圆形状，例如橄榄球、鸡蛋等，引导学生思考椭圆的定义。
2. 讲授新课：讲解椭圆的标准方程，推导过程采用引导式，让学生理解推导的思路。
通过几何画板展示椭圆在平面上的形成过程，帮助学生理解椭圆的定义。
3. 巩固练习：给出几个点，让学生自己尝试画出椭圆，进一步理解椭圆的形状。
再根据椭圆的标准方程，进行求解点的坐标的练习。
4. 归纳小结：总结椭圆的定义、标准方程以及几何性质，让学生对椭圆有完整的认识。
布置作业，要求学生完成相关练习题，巩固所学知识。
七、评价与反馈1. 设计评价策略：通过课堂小测验、小组报告和观察学生的表现，了解学生的学习情况。
2. 为学生提供反馈：根据评价结果，为学生提供学习建议，帮助他们进一步掌握椭圆的有关知识。
八、作业布置1. 完成教材上的相关练习题。
2. 自己尝试给出几个点的坐标，求出对应的椭圆方程。
2.2.1 椭圆的标准方程学案
高二数学选修1-1 2.1.1 选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程学案一、学习任务：1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 二、探究新知：阅读课本的有关内容，并完成下列问题。
问题1：阅读课本“探究”指出圆上的点具有怎样的几何特征？和同学合作画一个椭圆或利用信息技术，指出椭圆上的点的几何特征。
你能用自己的语言给椭圆一个定义吗？问题2：对照课本，明确椭圆的定义及相关概念，思考：在定义椭圆时，对常数加上了一个条件，即常数要大于｜F 1F 2｜，为什么要这样规定呢?如果常数等于|F 1F 2|点的轨迹还是椭圆吗？如果常数小于｜F 1F 2｜，点的轨迹又会是什么图形？（结合信息技术说明）问题3：用坐标法研究椭圆，首先应求出椭圆的方程，请你想一想应如何根据椭圆的几何特征，建立适当的坐标系。
问题4：化简方程 + =2a 总结化简这类方程的一般方法。
问题5 回答P 39思考，想想为什么将 + =1化成 + =1（a>b>0）？ 问题6：回答P34、P 40a 、b 、c 满足什么关系；它与勾股定理有什么区别联系？（用信息技术能更清楚地演示这种关系吗？） 问题7：看例1，回答边框“？” 2、自学检测1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．102．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3)3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________． 4．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，求椭圆的方程．探究一.椭圆的标准方程的推导1.根据定义推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程探究二．求椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．变式训练：根据下列条件，求椭圆的标准方程．坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．探究三．利用椭圆的定义求轨迹方程．3.已知动圆M 过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．变式训练 已知动圆M 和定圆C1：x 2＋(y －3)2＝64内切，而和定圆C2：x 2＋(y ＋3)2＝4外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．探究四．椭圆定义的应用4.已知P 为椭圆x216＋y29＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积S.巩固训练 一、选择题1．椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．62．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．83．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1二、填空题4．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 5．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．拓展提升1．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．2．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．三、本节课收获：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧（x +c ） +y 2 2 （x -c ） +y 2 2 y a -c2 2 2 x a 2 2x a 2 2 y b 22。
学案5：2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2.1 椭圆及其标准方程◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．2．1椭圆及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=．（ii ）椭圆标准方程的推导过程提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>． （iii ）例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．当堂检测1．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( )A.x 213＋y 212＝1 B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C.x 213＋y 2＝1 D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．83．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．15．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值是________． 7．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．8．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若 PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．答 案例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解． 另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591104464a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩例2 【解析】点P 在圆224x y +=上运动，由点P 移动引起点M 的运动，则称点M 是点P 的伴随点，因点M 为线段PD 的中点，则点M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点M 的轨迹方程．引申：设定点()6,2A ，P 是椭圆221259x y +=上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．【解法剖析】①（代入法求伴随轨迹）设(),M x y ，()11,P x y ；②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵22111259x y +=，∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=；④伴随轨迹表示的范围． 例3 【解析】若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49-，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．当堂检测1．【答案】D.【解析】由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．2．【答案】D.【解析】∵a ＝5，|PF 1|＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×5－2＝8.3．【答案】 A.【解析】c ＝1，a ＝12()2＋12＋0＋2－12＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 4．【答案】B.【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．【答案】C. 【解析】mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n＝1，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．6．【解析】当焦点在x 轴时，m －15＝1，m ＝16；当焦点在y 轴时，15－m ＝1，m ＝14.【答案】16或147．【解析】原方程可化为x 22＋y 22k＝1，因表示焦点在y 轴上的椭圆． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，2k ＞2.解得0＜k ＜1.∴k 的取值范围是(0,1)．【答案】(0,1)8．【解析】由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 【答案】x 24＋y 23＝19．【答案】解：(1)①若焦点在x 轴上， 可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3,2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为： y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵2a ＝8，∴a ＝4.又点P (3,2)在椭圆上，∴416＋9b2＝1，得b 2＝12.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上， ∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 10．【答案】解：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，即c ＝5. 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45，a 2＝5(舍去)． ∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20.。
学案3：2.2.1 椭圆的标准方程
2.2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.新知初探1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c) a，b，c的关系a2＝初试身手1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B.2x 2－3y 2＝2 C.－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． 规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 跟踪训练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？例2 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．母题探究(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．规律方法椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量. 当堂达标 1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．73．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．504．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．参考答案新知初探 1．(1)和等于常数 (2)焦点 焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置． 初试身手 1．【答案】B【解析】定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上． 2．【答案】C【解析】A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程． 3．【答案】C【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.] 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，a b依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1．解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，a b由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．例2 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3.母题探究解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353， 将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±85，±353. 类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3 解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.跟踪训练2．解：如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8， b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48， 故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.当堂达标1．[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．【答案】D【解析】由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7. 3．【答案】B【解析】由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B. 4．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。
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2.2.1椭圆的标准方程
导学案
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程 一、学情调查、情境导入
复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．
复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．
二、问题展示、合作探究
学习探究
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移
动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅
笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫
做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？
当122a F F =时，其轨迹为 ；
当122a F F <时，其轨迹为 ．
试试：
已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．
小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数122a F F >．
新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()22
2210x y a b a b
+=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程
是 ．
典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；
⑵4,a c =y 轴上；
⑶10,a b c +==．
变式：方程214x y m
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ． 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求它的标准方程 ．
变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．
小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．
动手试试
练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2
213
x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．
A ．
B ．6
C ．
D ．12
练2 ．方程219x y m
-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围． 三、达标训练、巩固提升（时量：5分钟 满分：10分）
1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．
A ．椭圆
B ．圆
C ．无轨迹
D ．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．
A．(0,)
+∞ B．(0,2) C．(1,)
+∞ D．(0,1)
3．如果椭圆
22
1
10036
x y
+=上一点P到焦点
1
F的距离等于6，那么点P到另一个焦点
2
F的距
离是（）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程
是．
5．如果点(,)
M x y在运动过程中，总满足关系式10
=，点M的轨迹是，它的方程是．
四、知识梳理、归纳总结
课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,
P-；
⑵焦点坐标分别为()()
0,4,0,4
-，5
a=；
⑶10,4
a c a c
+=-=．
2. 椭圆
22
1
4
x y
n
+=的焦距为2，求n的值．。