[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷121.doc
考研数学一(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)．知识模块：线性代数部分3．设n维行向量，A=E—αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．0B．一EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分4．设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．若A，B可逆，则A+B可逆B．若A，B可逆，则AB可逆C．若A+B可逆，则A—B可逆D．若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．知识模块：线性代数部分5．设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．AB为对称矩阵B．设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵C．A+B为对称矩阵D．kA为对称矩阵正确答案：A解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；由(ka)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选(A)．知识模块：线性代数部分6．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB=0的充分必要条件是A=0或B=0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0且B≠0C．AB=0且r(A)=n，则B=0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分7．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Q都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数部分8．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．A．r＞mB．r=mC．r＜mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数部分10．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数部分11．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则( )．A．r(B)=nB．r(B)＜nC．A2一B2=(A+B)(A—B)D．｜A｜=0正确答案：C解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数部分12．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分13．A．B=P1P2AB．B=P2P1AC．B=P2AP1D．B=AP2P1正确答案：D解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数部分14．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2-1AP1D．B=P1-1AP2-1正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分填空题15．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分16．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=_________．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数部分17．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且=_________.正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数部分18．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=________．正确答案：-33解析：｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3｜+2｜α2，-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α1，α2，α3｜=一33 知识模块：线性代数部分19．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=________．正确答案：63解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数部分20．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：0解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An一2An-1=0．知识模块：线性代数部分22．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分23．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_________．正确答案：AB=BA解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：线性代数部分24．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________正确答案：2解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分26．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故知识模块：线性代数部分27．设A为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜(一2A)*｜=_________．正确答案：576解析：因为(一2A)*=(一2)2A*=4A*，所以｜(一2A)*｜=｜4A*｜=43｜A｜2=64×9=576．知识模块：线性代数部分28．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分29．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分30．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分31．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分32．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=_________(用A*表示)．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分33．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分34．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分35．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且，则B=__________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，知识模块：线性代数部分36．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=__________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数部分37．正确答案：2解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分38．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．=A．0．B．－∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低价无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．知识模块：高等数学填空题3．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．正确答案：(I)B(Ⅱ)D解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”-4y’-4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘-y”-4y’+4y=0．D．y”‘-y”+4y’-4y=0．正确答案：D解析：(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0．从而可知微分方程是y”‘-y”+4y’-4y=0．选(D)．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是A．y”‘-y”-y’+y=0．B．y”‘+y”-y’-y=0．C．y”‘-6y”+11y’-6y=0．D．y”‘-2y”-y’+2y=0．正确答案：B解析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y”‘+y”-y’-y=0．应选(B)．知识模块：常微分方程3．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=y/(1+x2)△x+α，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2π．B．π．C．e4．D．πe4．正确答案：D 涉及知识点：常微分方程4．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程5．设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则( )．A．A与B有相同的特征值B．det A=detC．A与B相似D．r(A)=r(B)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程填空题6．设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．正确答案：-5/13 涉及知识点：常微分方程7．用欧拉方程x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=0(x>0)的通解为_______.正确答案：y=C1/x+C2/x2.解析：作自变量替换x=et(t=lnx),将它化成常系数的情形。
考研数学一(填空题)模拟试卷12(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷12(题后含答案及解析) 题型有：1.1．(Ⅰ)在一个n阶行列式D中等于“0”的元素个数大于n2-n，则D=_______。
(Ⅱ)D==_______。
正确答案：0，-2000!解析：(Ⅰ)n阶行列式D共有n2个元素，由于“0”元素的个数大于n2-n，所以非“0”元素的个数小于n(因为n2-(n2-n)=n)。
由n阶行列式的概念可知，D 的每一项均为0(因为每一项中至少有一个“0”元素)，故D=0。
(Ⅱ)D=(-1)r(n-1，n-2，…，n)a1，n-1a2，n-2…an-1,1ann=a1，n-1a2，n-2…ann×2×3×…×1999×2000=-2000!。
知识模块：行列式2．已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型，则a的取值范围________.正确答案：-2<a<2 涉及知识点：常微分方程3．若f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则a=_________．正确答案：0解析：因为f(c)在(一∞，0)及(0，+00)内连续，所以需要确定数a，使f(x)在x=0处连续．当=a时，f(x)在x=0处连续，因此a=0时，f(x)在(一∞，+∞)内连续．知识模块：函数、极限、连续4．设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．正确答案：0解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0．知识模块：高等数学5．函数f(x)=｜4x3一18x2+27｜在[0，2]上的最小值是________，最大值是________。
正确答案：0，27解析：设φ(x)=4x3一18x2+27，则因此φ(x)在[0，2]上单调下降，且φ(0)=27，φ(2)=一13，因此存在唯一一点x2∈(0，2)，使得φ(x2)=0，由于f(x)=｜φ(x)｜，可得f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13。
考研数学一(解答题)模拟试卷121(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷121(题后含答案及解析)题型有：1.1．设在上半平面D={(x，y)丨y>0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x．y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有正确答案：涉及知识点：多元函数积分学2．设A为n阶矩阵，αn≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关．正确答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0＋c2α1＋c3α2＝0时它们一定都是0．记此式为(1)式，用A乘之，得c2α0＋c3Aα2＝0 (2) 再用A乘(2)得c3α0＝0．由α0≠0，得c3＝0．代入(2)得c2＝0．再代入(1)得c1＝0．涉及知识点：向量组的线性关系与秩3．正确答案：注意分解1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1－x2+x4)．涉及知识点：高等数学4．求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．正确答案：f(x)=x2[x-xn+1/2+…+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1)]=x3-x4/2+…+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n≥3)可得f(n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2).f(n)(0 涉及知识点：一元函数微分学5．设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．正确答案：把函数f(x)在x=0处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+(ξ1)x2(0＜ξ1＜x)．在公式中取把函数f(x)在x=1处展开成泰勒公式，得f(x)=f(1)+f’(1)(x－1)+f’’(ξ2)(x－1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取①－②消去未知的函数值即得f’’(ξ1)－f’’(ξ1)=8=>｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ1)｜≥8．从而，在ξ1和ξ2中至少有一个点，使得f(x)在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．涉及知识点：一元函数微分学6．用泰勒公式确定∫0x(et一1一t)2dt当x→0时关于x的无穷小阶数．正确答案：因et一1一t=t2+o(t2)，从而(et—1—t)2=[t2+o(t2)]2=t4+o(t4)，代入得∫0x(e一1—t)2dt=x5+o(x5)，因此x→0时∫0x(et一1一t)2dt是x 的五阶无穷小量．涉及知识点：高等数学7．计算定积分正确答案：涉及知识点：一元函数积分学8．计算I=xydxdy，其中D由y=－x，y=围成．正确答案：将D分成两部分D1，D2，其中D1={(x，y)}0≤x≤1，涉及知识点：高等数学9．计算．正确答案：x=1为被积函数的无穷间断点，则涉及知识点：高等数学10．已知齐次线性方程组其中试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．正确答案：方程组的系数行列式．故当|A|≠0，即b≠0且时，方程组仅有零解．而当b=0或时，方程组有非零解．当b=0时，设a1≠0，则由涉及知识点：线性代数11．设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一个定点，球体上任意一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数为k>0)，求球体的重心位置．正确答案：记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为原点，射线OP0为正向x 轴，建立直角坐标系，则点P0的坐标为(R，0，0)，且球面方程为x2+y2+z2=R2．设Ω的重心位置为(x*，y*，z*)，由对称性，得解析：因为坐标系建立的不同，所以球体的重心位置一般也不一样．12．已知线段AB=4，CD=1，现分别独立地在AB上任取点A1，在CD上任取点C1，作一个以AA1为底、CC1为高的三角形，设此三角形的面积为S，求P(S＜1)和D(S)．正确答案：记AA1长度为X，CC1长度为Y，则知X与Y为二相互独立的随机变量，分别服从区间[0，4]和[0，1]上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为其中D={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤1} 涉及知识点：概率论与数理统计13．A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．正确答案：方程组X=0的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为r ≤r(A)+r(B)＜n，所以方程组X=0有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．涉及知识点：线性代数14．计算dxdy，其中D=｛(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1｝．正确答案：由对称性得I=dxdy，则涉及知识点：高等数学15．设一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为λ的指数分布，设电路正常工作的时间为T，求T的分布函数．正确答案：设三个元件正常工作的时间为Ti(i=1，2，3)，T1，T2，T3相互独立且其分布函数都是当t＞0时，令A={T1≤t}，B={T2≤t}，C={T3≤t}，且A，B，C独立，则FT(t)=P(T≤t)=P(A+B+C)．P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)—P(AC)一P(BC)+P(ABC)，P(A)=P(B)=P(C)=1一e-λt，FT(t)=3(1一e-λt)一3(1一e-λt)2+(1一e-λt)3于是FT(t)= 涉及知识点：概率统计16．将f(x)=arctanx展开成x的幂级数．正确答案：涉及知识点：高等数学17．在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(X，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：涉及知识点：高等数学18．设矩阵A=，B=P-1A*P，求P+2E的特征值与特征向量，其中A*为A 的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。
考研数学一(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数u=u(x，y)满足u有二阶连续偏导数，则u11’’(x，2x)= ( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得u1’+2u2’=1，两边再对x求导得u11’’+2u12’’+2u21’’+4u22’’=0，①等式u1’(x，2x)=x2两边对x求导得u11’’+2u12’’=2x，②将②式及u12’’=u21’’，u11’’=u22’’代入①式中得知识模块：多元函数微分学2．利用变量替换u=x，，可将方程化成新方程( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法于是知识模块：多元函数微分学3．若函数其中f是可微函数，且则函数G(x，y)= ( )A．x+yB．x—yC．x2一y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设，则u=xyf(t)，于是即G(x，y)=x一y．知识模块：多元函数微分学4．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[-3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=一2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=一2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(37+2y)]dy可知，以上两式分别对y，x求偏导得3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(s+2y),故得a=2,b=2. 知识模块：多元函数微分学5．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令由于B2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学6．函数f(x，y)=exy在点(0，1)处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式是( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知B正确．知识模块：多元函数微分学7．函数f(x，y)=x4一3x3y2+x一2在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是( )A．一3+(4x3一6xy2+1)x一6x2.y.y+[(12x2一6y2)x2一24xy.xy一6x2.y2] B．一3+(4x2—6xy2+1)(x一1)一6x2y(y一1)+[(12x2一6y2)(x—1)2一24xy(x 一1).(y一1)一6x2(y一1)2]C．一3一(x一1)一6(y一1)+[6(x一1)2一24(x一1)(y一1)一6(y一1)2 D．一3一x一6y+(6x2一24xy一6y2)正确答案：C解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知C正确．知识模块：多元函数微分学8．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数部分填空题9．设则fz’(0，1)=___________．正确答案：1解析：知识模块：多元函数微分学10．设f可微，则由方程f(cx一az，cy一bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azx’+bzy’=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f1’.(cdx—adz)+f2’.(cdy—bdz)=0，即知识模块：多元函数微分学11．设f(z)，g(y)都是可微函数，则曲线在点(x0，y0，z0)处的法平面方程为_____．正确答案：f’(z0)g’(y0)(x-x0)+(y—y0)+g’(y0)(z—z0)=0解析：曲线的参数方程为：x=f[g(y)]，y=y，z=g(y)．知识模块：多元函数微分学12．函数的定义域为_______．正确答案：解析：由可得．知识模块：多元函数微分学13．设z=eminxy，则dz=___________．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycos xy.x；dz=esinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学14．设函数f(x，y)=exln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为，则其拉格朗日型余项R2=____________．正确答案：ξ在0，x之间，η在0，y之间解析：知识模块：多元函数微分学15．设z=eminxy，则dz=___________．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycos xy.x；dz=esinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(解答题)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设A是3阶实对称矩阵，满足A2+2A=0，并且r(A)=2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ2+2λ是A2+2A的特征值．而A2+2A=0，因此λ2+2λ=0，故λ=0或一2．又因为r(A—0E)=r(A)=2，特征值0的重数为3一r(A—0E)=1，所以一2是A的二重特征值．A的特征值为0，一2，一2．(2)A+kE 的特征值为k，k一2，k一2．于是当k＞2时，实对称矩阵A+kE的特征值全大于0，从而A+kE是正定矩阵．当k≤2时，A+kE的特征值不全大于0，此时A+kE不正定．涉及知识点：线性代数2．已知向量的三个解，求此线性方程组的通解．正确答案：记此线性方程组为Ax=b，因为是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，所以系数矩阵A的秩r(A)≤4—2=2，又由A的第一行与第二行不成比例知，r(A)≥2，故r(A)=2．因此η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，进而可得非齐次线性方程组Ax=b的通解为：α=α1+k1η1+k2η2=其中k1，k2为任意常数．涉及知识点：线性代数3．在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(x)=tanx(x3)；(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．正确答案：(Ⅰ)设tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx 为奇函数，A0=0，A2=0)，又tanx=，则[A1x+A3x3+o(x3)][1－x2+o(x3)]=x－x3+o(x3)，即A1x+(A3－A1)x3+o(x3)=x－x3+o(x3)．比较系数可得A1=1，A3－A1=A1=1，A3=因此tanx=x+x3+o(x3)．(Ⅱ)已知sinu=u－u3+o(u3)(u→0)，令u=sinxsin(sinx)=sinx－sin3x+o(sin3x)．再将sinx=x－x3+o(x3)，代入得sin(sinx)=(x－x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y′+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e－kx[C+f(t)ektdt]．y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．解析：本题实际上求该方程的特解．对此，我们先求通解，然后利用周期性确定常数C．知识模块：常微分方程5．设矩阵A满足(2E－C－1B)AT=C－1，且求矩阵A．正确答案：由(2E－C－1B)AT=C－1，得AT=(2E－C－1B－1)－1C－1=[C(2E －C－1B)]－1=(2C－B)－1，AT=(2C－B)－1 涉及知识点：线性代数6．若正项级数都收敛，证明下列级数收敛：正确答案：(1)(2)因为收敛．涉及知识点：高等数学7．已知方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T。
[考研类试卷]考研数学一(随机变量及其分布)模拟试卷2.doc
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[考研类试卷]考研数学一（随机变量及其分布）模拟试卷2一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设随机变量X的分布函数F(x)=．则P{X=1}=（A）0．（B）．（C）－e－1．（D）1一e－1．2 设离散型随机变量X的概率分布为P{X=i}=cp i，i=1，2，…，其中c＞0是常数，则（A）P=（B）P=（C）P=c+1．（D）0＜P＜1的任意实数．3 假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数（A）是连续函数．（B）至少有两个间断点．（C）是阶梯函数．（D）恰好有一个间断点．4 设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则f(x)一定是（A）可积函数．（B）单调函数．（C）连续函数．（D）可导函数．5 设随机变量X的概率分布为P{X=k}=，k=0，1，2，…，则常数a=6 设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{｜X一μ｜＜σ}应该（A）单调增大．（B）单调减少．（C）保持不变．（D）增减不定．7 设随机变量X服从正态分布N(μ，42)，Y～N(μ，52)；记P1=P{X≤μ一4}，P2=P{Y≥μ+5}，则（A）P1=P2．（B）P1＞P2．（C）P1＜P2．（D）因μ未知，无法比较P1与P2的大小．8 设随机变量X的密度函数为F X(x)，Y=－2X+3，则Y的密度函数为9 设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)一bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取二、填空题10 设离散型随机变量X的概率函数为P{X=i}=P i+1，i=0，1，则P=__________．11 设离散型随机变量X的分布函数F(x)=则随机变量｜X｜的分布函数为__________．12 假设X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而Y=1一X．已知P{X≤0．29}=0．75，则满足P{Y≤k} =0．25的常数k=__________．13 设f(x)=ke－x2+2x－3(一∞＜x＜∞)是一概率密度，则k=__________．14 设随机变量X的概率密度为f(x)=若k满足概率等式P{X≥k}=，则k的取值范围是__________．15 设随机变量X服从正态分布N(μ，1)，已知P{X≤3}=0．975，则P{X≤－0．92}=__________．16 设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0．5，则μ=__________．17 设F(x)是连续型随机变量X的分布函数，常数a＞0，则[F(x+a)一F(x)]dx=__________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。