吉林省2020届高考解答题突破----圆锥曲线的综合应用(共40页PPT)
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
即 (x1, y1 2) (x2 , y2 2), x1 x2 ，
于是 x1 x2
x22 , x1
x2
(1
)
x2
,
(
x1 1
x2
)2
x1 x2
，……………⑤
( 4k )2
3
1 k2
1 k2
将③④代入⑤得 2
2
，
(1 )2
16
整理得
3(1 )2 , 1 1
则 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 4 0 ，即 m2 4k 2 2 0
又 x1
x2
4km 2k 2 1
，
x1 x2
2m 2 2k 2
4 1
9分
∴ y1 y2 kx1 mkx2 m k 2 x1x2 kmx1 x2 m2
…………11 分
(2 x1, y1) 3(2 x2 , y2 )
∴ 2yx1133y(22 x2 )
由
y1
y2
3 y2
y2
2 y2
12t 3t2 1
得
y2
6t 3t2 1
由
y1 y2
(3y2 ) y2
3 y22
9 3t2 1
得
y22
y2
1
消去 y得(1 k 2 )x 2 4kx 3 0,由 0得k 2 3 .
2
2
设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，则
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
2020高考解答题突破(五) 圆锥曲线的综合应用
2020高考解答题突破(五)圆锥曲线的综合应用突破“两设”——设点、设线[思维流程][技法点拨]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1问通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2问往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点\”“线\”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．考向一圆锥曲线中的范围、最值问题解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．解圆锥曲线范围、最值问题的要点求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个参数的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．[对点训练]1．(2018·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于两点P ，Q ，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．[解] (1)由题意可知以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．∴|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)． ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12.∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝ 1－b 2a 2＝12＝22.(2)∵△PQF 2的周长为42，∴4a ＝42，∴a ＝2，由(1)知b 2a 2＝12，∴b 2＝1， ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝－1，解方程组⎩⎨⎧x ＝－1，x 22＋y 2＝1，可得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－22.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22，∴F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，∴F 2P →·F 2Q →＝(－2)×(－2)＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝4－12＝72.故F 2P →·F 2Q →＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2消去y 整理得 (2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.∴F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1 ＝72－92(2k 2＋1)，∵k 2>0，∴可得－1<F 2P →·F 2Q →<72， 综上可得－1<F 2P →·F 2Q →≤72， ∴F 2P →·F 2Q →的最大值是72.考向二 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．定点问题的求解策略解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y ＝kx ＋m (k 存在的情形)．然后利用条件建立k 与m 的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．2．定值问题的求解策略定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握3点(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．[对点训练]2．(2018·天津和平二模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的右顶点为A ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于M 、N 两点(异于A 点)，且满足MA ⊥NA ，试证明直线l 经过定点，并求出该定点的坐标．[解] (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：如图，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，整理，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.从而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2，由椭圆E 的右顶点为A (2,0)，MA ⊥NA ，得y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. 则有3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，整理，得7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m ＝－2k 或m ＝－2k7，均满足条件3＋4k 2－m 2>0. 当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，直线l 过定点A ，与题设矛盾；当m ＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －27，直线l 过定点⎝⎛⎭⎪⎫27，0，所以直线l 经过定点，且定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 考向三 圆锥曲线中的探索性问题处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．存在性问题的解题步骤[对点训练]3．(2018·河北唐山模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k ，使得以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．[解] (1)直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab (－a )2＋b2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)存在．理由：假设存在这样的k .联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.由题意知Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，②x 1x 2＝91＋3k 2，③而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时成立， 则y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0，④ 将②③式带入④式整理得k ＝76. 经验证，k ＝76时使得①式成立．综上可知，存在k ＝76使得以CD 为直径的圆过点E .专题跟踪训练(二十七)1．(2018·云南昆明一中月考)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．[解] (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|， 由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k 2， y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝4k 2(1＋2k 2)2＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.2．(2018·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA →＋OB →＝tOP →，其中t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2，求|AB |的取值范围．[解] (1)依题意得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k 2)>0，解得k 2<12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋2k2.由O A →＋O B →＝tOP →得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2t (1＋2k 2)，－4k t (1＋2k 2)， 代入椭圆C 的方程得t 2＝16k21＋2k 2.由263<t <2得14<k 2<12，∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k21＋2k 2＝22(1＋2k 2)2＋11＋2k 2－1.令u ＝11＋2k 2，则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23， ∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，253. ∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，253. 3．(2018·河北唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)．[解] (1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2， 与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k >0，解得k <12.直线n 的方程为y ＝－1k x ＋2，与y 2＝4x 联立， 整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k >0，解得k >0或k <－2.所以⎩⎨⎧k ≠0，k <12k >0或k <－2，故k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪k <－2或0<k <12.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线MQ 的斜率k MQ ＝2k 2k 2－2k －2＝－kk 2＋k －1，直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k MQ ，所以直线MN 过定点Q (2,0)．4．(2018·北京西城区联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率．(2)设点Q 在椭圆C 上．试问直线x ＋y －4＝0上是否存在点P ，使得四边形P AQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.设椭圆C 的半焦距为c ，则c ＝a 2－b 2＝3， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32. (2)由已知，设P (t,4－t )，Q (x 0，y 0)．若四边形P AQB 是平行四边形，则P A →＋PB →＝PQ →， 所以(2－t ，t －4)＋(－t ，t －3)＝(x 0－t ，y 0－4＋t )，整理得x 0＝2－t ，y 0＝t －3.将上式代入x 20＋4y 20＝4，得(2－t )2＋4(t －3)2＝4，整理得5t 2－28t ＋36＝0，解得t ＝185或t ＝2.此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，25或P (2,2)．经检验，符合四边形P AQB 是平行四边形，所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，25或P (2,2)满足题意．。
2020届高三突破满分数学之圆锥曲线(文理通用)定点问题(解析版)
专题七 定点问题（平民解法，暴力美学）一、考情分析2019全国III 理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。
定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。
采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。
化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．二、经验分享【直线过定点的解题策略】（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【重要结论】1．动直线l 过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)．2．动曲线C 过定点问题，引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-． 4.只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点三、题型分析（一）圆锥曲线中直线方程过未知定点例1．【2017新课标Ⅰ】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(P =-，4P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上． 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ，2k ，如果l 与x 轴垂直，设l ：x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，．则121k k +==-，得2t =，不符合题设．从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++．解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【变式训练1】．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知 抛物线()2:20C y px p >＝的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且2QF PQ ＝.（1）求p 的值；（2）已知点(),2T t -为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为83-，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线MN 恒过定点()1,1--. 【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线定义知02QF p x =+， 又2QF PQ ＝，0PQ x =，所以0022p x x =+，解得02p x =， 将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知，C 的方程为28y x =，所以点T 坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为x my n =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，由28x my ny x=+⎧⎨=⎩ 得2880y my n --=，264320m n +=>∆.所以128y y m +=，128y y n =-， 所以121222121222221111228282MT NT k k y y y y y y x x +++++=+=+----()()1212121288228+3224y y y y y y y y -=-++--+= 6432881643m n m -==---+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为1(1)x m y +=+，恒过定点()1,1--．【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题. （1）设Q 点坐标，根据抛物线的定义得到Q 点横坐标，然后代入抛物线方程，得到p 的值；（2）()11,M x y ，()22,N x y ，直线和曲线联立，得到1212,y y y y +，然后表示出MT NT k k +，化简整理，得到m 和n 的关系，从而得到直线MN 恒过的定点.【变式训练2】. 【2019全国III 理21】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±. 当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或（二）圆锥曲线中直线方程过已知定点例2．【2017新课标Ⅱ】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足 为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-，0(0.)NM y =．由2NP NM =得 0x x =，02y y =．因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-，(1,)PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-， (,)OP m n =，(3,)PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=， 故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【变式训练1】．【2016年山东】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ， 求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标． 【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ，又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m P m m >（，由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （． 于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ，又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m －y 41=．联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ，所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得)1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ．令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P的坐标为1()24P ．【变式训练2】．已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的 直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正 三角形。
圆锥曲线的综合应用含详细答案解析
专题1 圆锥曲线的综合应用题型1 直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与双曲线的交点个数是( )A. 1B. 2C. 1或2D. 0答案详解A解:双曲线的渐近线方程为:,因为直线与双曲线的一条渐近线平行,在y轴上的焦距为3,所以直线与双曲线的交点个数是:1.所以A选项是正确的.解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.2. 斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案详解A解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为代入椭圆，两边乘，则，，，,或所以3. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=．【答案】分析：利用实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为4，再作验证，即可得到结论．解答：解：∵实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y=±2，故|AB|=4∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意∴λ=4故答案为：4解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘,求得关于的方程求得e.4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的倾斜角为，那么5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线与圆相切,且交椭圆C于A、B两点,求当的面积最大时直线l的方程.答案详解解:(1)设椭圆右焦点则由(1)得代得代(2)得(2)与圆相切由消y得又,当时,,当时,(当时“=”成立)此时且(3)式6. 已知，是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线的方程为。
2020届高三突破满分数学之圆锥曲线(文理通用)图形性质问题(原卷版)
专题十 图形性质问题一、考情分析图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.二、经验分享1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析三、题型分析（一）面积条件的转化例1.已知A 、B 是双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆2C ：22221x y a b+=于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2，求1C 的方程； （2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求△ABQ 的面积；（3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【变式训练1】．直线l 经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线l 对称.当AOB ∆面积取得最大值（O 为坐标原点）则直线l 的方程为_______.【变式训练2】．【2018天津文 19】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B 。
2020赢在高考 数学压轴题突破精讲精练专题：圆锥曲线的几何性质与应用【全国版含解析】
BOF2
AOF1
BOA
600 , ．又渐近线
OB
的斜率为
b a
tan 600
3 ，所以该双曲线的离心率为
e c 1 (b)2 1 ( 3)2 2 ．
a
a
例 3. （2019·浙江高考真题）已知椭圆 x2 y2 1的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线 95
－a 2m
a
又△OBN∽△FBM，
|FM| |FB| 所以 ＝ ，
|ON| |OB|
2ma－c
即
a
a＋c
c1
＝ ，解得 ＝ ，所以椭圆
C
1 的离心率为 .
m
a
a3
3
法二：交点法
xy
xy
同法一得直线 AE 的方程为 ＋ ＝1，直线 BN 的方程为 ＋ ＝1.又因为直线 AE 与直线 BN 交于点 M，且
第三章 解析几何
专题 11 圆锥曲线的几何性质与应用
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问 题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律 更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有 离心率 e 的等式或不等式使问题获解．
a＋c a－c
a3
3
法五：几何法
MF a－c 在△AOE 中，MF∥OE，所以 ＝ .
OE a
OE
2020高考考点解读圆锥曲线的综合应用
圆锥曲线的综合应用圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．考点一 圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1、如图所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．【变式探究】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左右焦点分别为F 1，F 2，R 为短轴的一个端点，且△RF 1F 2的面积为 3.设过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，P为椭圆C 上异于A ，B 的一点，且直线P A ，PB 的斜率都存在，k P A ·k PB ＝－34.(1)求a ，b 的值；(2)设Q 为椭圆C 上位于x 轴上方的一点，且QF 1⊥x 轴，M 、N 为曲线C 上不同于Q 的两点，且∠MQF 1＝∠NQF 1，设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求d 的取值范围．考点二 定点、定值问题探究例2、椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．【方法规律】1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．【变式探究】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．【变式探究】已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点．【方法规律】1．动直线l 过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)．2．动曲线C 过定点问题，引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．【变式探究】已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在x 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．高频考点三 圆锥曲线中的存在性问题存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．(3)得出结论例3、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【方法规律】1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆相交于C 、D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1．（2019·全国高考）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.（1）证明：直线过定点：（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 2．（2018·北京高考）已知抛物线C ：=2px 经过点（1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅰ）设O 为原点，，，求证：为定值． 3．(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.2:,2x C y D =12y =-D C ,A B AB 50,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB AB 2y P QM QO λ=u u u u r u u u r QN QO μ=u u u r u u u r 11λμ+(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O为原点)，求k 的值．4．(2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．5．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．6．(2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．7．(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．8．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.9.（2017·全国高考）在直角坐标系xOy 中，曲线与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为.当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 22y x mx =+-(0,1)。
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突破“两设”——设点、设线 [思维流程]
[技法点拨] 圆锥曲线解答题的常见类型是：第 1 问通常是根据已知条件， 求曲线方程或离心率，一般比较简单．第 2 问往往是通过方程研 究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点 与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题 综合性较强，可通过巧设“点\”“线\”，设而不求．在具体求 解时，可将整个解题过程分成程序化的三步： 第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与 系数的关系正确写出；
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1 ＝(k2＋1)22kk22－ ＋21＋(k2－1)－2k42k＋2 1＋k2＋1 ＝72kk22－ ＋11 ＝72－22k92＋1， ∵k2>0，
∴可得－1<F→2P·F→2Q<72， 综上可得－1<F→2P·F→2Q≤72， ∴F→2P·F→2Q的最大值是72.
考向二 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．定点问题的求解策略 解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线 y＝kx＋m(k 存在的情形)．然后利用条件建立 k 与 m 的关系．借助于点斜式 方程思想确定定点坐标． 2．定值问题的求解策略 定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出 一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中 选择消元的方法是非常关键的．
a2＝b2＋c2， [解] (1)依题意，得a12＋49b2＝1， ac＝12，
所以，椭圆 E 的方程为x42＋y32＝1.
a＝2， 解得b＝ 3，
c＝1.
(2)证明：如图，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)， y＝kx＋m，
联立x42＋y32＝1， 整理，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 则 Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，即 3＋4k2－m2>0， x1＋x2＝－3＋8km4k2，x1x2＝43m＋2－4k32 . 从 而 y1y2 ＝ (kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ k2x1x2 ＋ mk(x1 ＋ x2) ＋ m2 ＝ 3m3＋2－4k42k2，
解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握 3 点 (1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面 分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．
[对点训练] 2．(2018·天津和平二模)已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)经过 点1，32，且离心率 e＝12. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设椭圆 E 的右顶点为 A，若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 E 相 交于 M、N 两点(异于 A 点)，且满足 MA⊥NA，试证明直线 l 经 过定点，并求出该定点的坐标．
x＝－1，
x＝－1， x＝－1，
解方程组x22＋y2＝1，
可得y＝
2 2
或y＝－
2 2.
∴P－1， 22，Q－1，－ 22， ∴F→2P＝－2， 22，F→2Q＝－2，－ 22， ∴F→2P·F→2Q＝(－2)×(－2)＋ 22×－ 22＝4－12＝72. 故F→2P·F→2Q＝72.
②若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)， 由xy2＝＋k2xy＋2＝12， 消去 y 整理得 (2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21. ∴F→2P·F→2Q＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
(1)求椭圆 C 的离心率； (2)如图，过 F1 作直线 l 与椭圆分别交于两点 P，Q，若△PQF2 的周长为 4 2，求F→2P·F→2Q的最大值．
[解] (1)由题意可知以 F1F2 为直径的圆与直线 ax＋2by－ 3 ab＝0 相切．
∴ |－a2＋3a4bb|2＝c，即 3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．
第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中 涉及的位置关系和数量关系；
第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何 问题中．
在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运 算．考向一 圆锥曲线中的范围、最值问题
解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐 标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求 解．
解圆锥曲线范围、最值问题的要点 求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个参数的目 标函数，通过求这个函 1．(2018·郑州质检)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右 焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与直线 ax＋2by－ 3ab＝ 0 相切．
[解] (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD ＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆 A 的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA| ＋|EB|＝4. 由题设得 A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x42＋y32＝1(y≠0)．
∴a2＝2b2，∴ba22＝12.
∴e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22＝
12＝
2 2.
(2)∵△PQF2 的周长为 4 2，∴4a＝4 2，∴a＝ 2，由(1)知 ba22＝12，∴b2＝1，
∴椭圆方程为x22＋y2＝1，且焦点 F1(－1,0)，F2(1,0)． ①若直线 l 的斜率不存在，则可得 l⊥x 轴，直线 l 的方程为 x＝－1，
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题 的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范 围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．