大学代数习题答案1
上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案
第一章行列式1.1计算以下排列的逆序数，判别其奇偶性。
（1） 365247； （2） 5216743； （3） 7654321； （4） 12)1(⋅−⋅L n n ； （5） 24)22()2()12(531⋅−⋅⋅−⋅⋅L L n n n 。
1.2选择 与 ，使下列排列（1）成为奇排列；使（2）成为偶排列。
i k （1） 75132⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i ； （2） 76532⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i 。
1.3 写出把排列 1356742 变换成排列 4132567 的对换。
1.4 分别写出4级行列式和5级行列式中所有带有负号且包含因子的项。
2312a a 1.5 按定义计算下列行列式的值。
（1）121051103−−， （2） 430021001011002−， （3） 000100002000010L L L L L L L L L n n −。
1.6 按定义写出行列式xx x x x 111123111212−中 与 的系数。
4x 3x 1.7 按定义说明 级行列式n λλλ−−−nn n nan n a a a a a a a a a L L L L L L L 22222111211是一个关于λ 的 次多项式。
n1.8 计算下列行列式的值。
（1）3621−； （2） |2|−；（3）bia i bbi a −+；上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案（4）λλ−−−1132； （5）θθθθsin cos cos sin −； （6） θθθθsin 0cos 010cos 0sin −；（7）691051203−； （8） 142151322−−−−； （9） 5142022000120003−−−；（10）2000130021403121； （11） 5142122000120023−−； （12）3242402052121303−−−；（13）101200211052014−−−−； （14） dc b a 000000000000。
大学线性代数练习试题及答案
第一局部选择题(共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕的元素是〔 〕 A.–6B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A 的行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔 〕A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λsαs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A 的秩为r ，那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误的选项是〔 〕A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下陈述中正确的选项是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不一样的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误的选项是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样的特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。
江苏大学线性代数习题详解1
线性代数习题详解（1）习题1.11.填空（1）∵|k34−1k00k1|=k⋅k⋅1+3⋅0⋅0+(-1)⋅k⋅4-4⋅k⋅0-3⋅(-1)⋅1-k⋅k⋅0=k2-4k+3=(k-1)(k-3)∴原方程化为：(k-1)(k-3)=0故原方程的解为：k=1或k=3（2）∵|a110−104a a|=a⋅(-1)⋅a+1⋅0⋅4+1⋅0⋅a-1⋅(-1)⋅4-1⋅0⋅a-a⋅0⋅a=-a2+4∴原式化为：-a2+4>0 a2<4故原不等式的解为：|a|<22.关于n阶行列式定义的练习：（1）解：设|B|=|bij|则∵bij = b i-j aij∴|B|=∑(−1)t(p1p2⋯p n)b1p1b2p2⋯b npnp1p2⋯p n=∑(−1)t(p1p2⋯p n)b1−p1a1p1b2−p2a2p2⋯b n−p n a npnp1p2⋯p n=∑(−1)t(p1p2⋯p n)b(1+2+⋯+n)−(p1+p2+⋯+p n)a1p1a2p2⋯a npnp1p2⋯p n=∑(−1)t(p1p2⋯p n)a1p1a2p2⋯a npnp1p2⋯p n=|A|（2）证：根据定义|A|=∑(−1)t(p1p2⋯p n)a1p1a2p2⋯a npnp1p2⋯p n当行列式中有n2-n个以上元素为0时，该行列式中的非零元素小于n2-(n2-n)=n个，而求和符号中每一项a1p1a2p2⋯a npn均为行列式中n个不同元素的乘积，故求和符号中每一项a1p1a2p2⋯a npn=0，从而|A|=∑(−1)t(p1p2⋯p n)a1p1a2p2⋯a npnp1p2⋯p n =∑0p1p2⋯p n=0∴命题得证。
证毕。
（3）ⅰ）由于该行列式中只有n个元素非0又∵t(n(n-1)⋯21)=0+1+……+(n-2)+(n-1)=n(n−1)2∴根据定义:原式=(-1)t(n(n-1)⋯21)1⋅2⋅…⋅(n-1)⋅n=(−1)n(n−1)2n!ⅱ）由于该行列式中只有n个元素非0又∵t(23……n1)=0+0+……+0+(n-1)=n-1∴根据定义:原式=(-1)t(23……n1)1⋅2⋅…⋅(n-1)⋅n=(−1)n−1n!ⅲ）取k=1，l=5则∵t(31425)=0+1+0+2+0=3 (-1)3=-1∴ k=1，l=5时a 13a 21a 34a 42a 55为5阶行列式|a ij |中带有负号的项。
厦门大学《高等代数(I)》线性方程组部分 练习题及参考答案
单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
6．已知四元非齐次线性方程组 Ax = b ，r (A ) = 3， 3 2 1 , , h h h 是它的三个解向量，其中T T ) 3 , 1 , 0 , 1 ( , ) 2 , 0 , 2 , 1 ( 3 2 2 1 = + = +h h h h ， 则齐次线性方程组的通解为 ____________________________________。
7．设向量组 3 2 1 , , b b b 由向量组 3 2 1 , , a a a 的线性表示式为 ï îï í ì + + - = - + = + - = 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 a a a b a a a b a a a b ，则 向量组 3 2 1 , ,a a a 由向量组 3 2 1 , ,b b b 的线性表示式为____________。
8．设秩(A ) = r, 秩(B ) = s ，则秩 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ B A 0 0 ____________，秩 ÷ ÷ øö ç ç è æ B A ____________ 9．设 A 是 n 阶方阵，秩 (A ) = n －2，则秩 * A ____________。
线性习题答案解析(1)线性代数答案解析北京邮电大学出版社戴斌祥主编
线性代数习题及答案习题一 （A 类）1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2.【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n1)=(1)2n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1).2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。
解：D 4=1234()11223344(1)j j j j j j j j a a a a τ-由题意有：232,4.j j ==故1234141243243241j j j j j j ⎧==⎨⎩ D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-即为：1122344313223441a a a a a a a a -+4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)6(1)(1)1τ-=-=所以该项带正号。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2
华中科技大学线性代数试题及答案 (1)
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
大学线性代数练习试题及答案
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ ） A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ ） A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ）A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ）A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ ）A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
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线性代数学习指导
第一章 行列式
(P118)知识点: 行列式定义
1.(3) 排列1 3 5…(2n-1) 2 4 6…(2n)的逆序数t=(n-1)+(n-2)+…+1=n(n-1)/2.
(分析:此排列前n个为奇数,正序排列;后n个为偶数,排在2前比2大的有n-1
个数, 排在4前比4大的有n-2个数,. 排在6前比6大的有n-3个数…)
2.(2) D=0...010...20...............00n=(-1)tn!,t= n(n-1)/2.
(分析:由行列式定义, D=位于行列式中不同行不同列的n个元素乘积的代数
和,应有n!项,但此行列式副对角线以外元素均为0,所以只有一项: 副对角线
元素的乘积:a1na2,(n-1)…an1=1×2×…×n=n!.此项前应冠以符号(-1)t,t为排列
1 2 3 …n的逆序数,所以t=1+2+…+n=n(n-1)/2.)
(P117)知识点: 行列式性质
3(4)正确答案为B:D1=D2=D
4
(分析:由行列式定义可知D1=D2; 而D3的第1列和第n列相等,故为零; 将D
4
第n列减去第1列,可知D2=D4)
(P116)知识点: 行列式性质与行列式按行(列)展开法则
5.等号左边的4阶行列式D中,将第2,3,4列均减去第1列,可得
D=
11111000
122111122320213333003xxxxxx
再按第1行展开,得D=111021(1)(2)(3)003xxxxxx
由D=0,得方程的3个根:x=1, x=2,x=3.
6.(1)由Th3,将D4按第3行展开,得
D4=4=a31A31+a32A32+a33A33+a34A34= -1×5+0×10+1×a+4×4,∴a=-7.
(2) 由Th3推论, a31A41+a32A42+a33A43+a34A44=0 -----(1-1),
由已知,a31= -1,a32=0,a33=1,a34=4, M41=5, M42=10, M43=b, M44=4,从而
A41= -M41=-5, A42=M42=10, A43= -M43= -b, A44= M44=4,代入(1)式得:
--1×(-5)+0×10-1×b+4×4=0, ∴b=21.
8(2)行列式按最后一行展开:
D=anAn1+ an-1An2+ an-2An3+…+a2An(n-1)+ (x+a1)A
nn
=an(-1)n+1Mn1+ an-1(-1)n+2Mn2+ an-2(-1)n+3Mn3+…+a2(-1)n+(n-1)Mn(n-1)
+
(x+a1) (-1)n+nM
nn
……….(1-2)
Mnj=
100jnjAB
为准对角行列式,左上角对应j-1阶上三角行列式:
11...00...0||.........10...0jxxAx
=xj-1,右下角对应n-j阶下三角行列式:
10...01...0||.........00...1njxBx
=(-1)
n-j
所以Mnj=|Aj-1|×|Bn-j|=(-1)n-j xj-1, 代入式(1-2),得
D= an+ an-1x+ an-2x2+…+a2xn-2 +a1xn-1+xn.
12.提示:c2+c3,再按c2展开.