02函数概念
专题02 函数概念与基本初等函数Ι(选填压轴题)(学生版)-备战2022年高考数学高分必刷必过题
专题02函数概念与基本初等函数Ι（选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国）已知函数222,1()11,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意x ∈R ，()|2||1|0f x x k x ----≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A．1,[1,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C．11,,84⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．(,1][2,)-∞+∞ 2．（2021·全国高三专题练习）设min{,}m n 表示,m n 二者中较小的一个，已知函数2()814f x x x =++，()221,log 42()min x g x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=(0x >)，若1[5,](4)x a a ∀∈-≥-，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则a 的最大值为A．－4B．－3C．－2D．03．（2021·和平·天津一中）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[]2,3B．[]1,3C．[]1,4D．[]2,44．（2021·河北·天津二中）已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C．59,{1}44⎛⎤⎝⎦ D．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2021·全国高二课时练习）函数()()2,,x x a k a x a f x e x a a x ⎧----≤⎪=⎨>⎪-⎩，若(]0,x a ∃∈-∞，使得()1,x a ∀∈+∞都有()()10f x f x ≤，则实数k 的取值范围是A．(),1-∞B．[)1,+∞C．(],2-∞D．[)2,+∞6．（2021·奉新县第一中学）已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A．1(,[0,)2-∞-⋃+∞B．(0,)+∞C．1[,)2-+∞D．1[,0)2-7．（2021·全国高一专题练习）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00=f ；②()11()f x f x -=-；③1()32x f f x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（）A．116B．132C．164D．11288．（2021·全国高一专题练习）我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是（）A．若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =不一定成立B．若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上一定是增函数C．函数0,,()1,x Q g x x Q ∈⎧=⎨∉⎩在[0,)+∞上是“Ω函数”D．函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”9．（2021·全国）已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2]x ∈时()2101()212x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，，，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++．若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，112]B．（﹣∞，132]C．[112+∞，）D．[132+∞，）10．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，()1f x '>，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为A．(3,)+∞B．[3,)+∞C．(,3]-∞D．(,3)-∞11．（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d,,,的大小关系为（）A．b a d c>>>B．b c a d>>>C．b a c d>>>D．a b d c>>>12．（2021·全国高一专题练习）已知函数32()log (31x f x x =+-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（）A．[]3,1-B．[]2,1-C．(]0,1D．[]0,113．（2021·黔西南州同源中学（文））设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>14．（2021·绥德中学高一月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()()()2122x xf x --=，若()f x 在[),1n n +上的最小值为23，则n =A．4B．5C．6D．715．（2021·新密市第一高级中学高二期末（文））已知函数()12019ln 112019x x a xf x a x -+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()()211log 255g f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2019g =A．2B．0C．1-D．2-二、多选题16．（2021·江苏鼓楼·高二期末）已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．m Z ∀∈，()30mf =C．函数()f x 的值域为[)0,+∞D．n Z ∃∈，()512019nf +=17．（2021·湖南岳阳·高三模拟预测）已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A．函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称B．不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>18．（2021·全国）1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x QD x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A．()D x 是偶函数B．,(())1x R D D x ∀∈=C．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC ∆为正三角形19．（2021·湖南华容·）设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A．()1.10.9f -=B．函数()f x 为奇函数C．()()11f x f x +=+D．函数()f x 的值域为[)0,120．（2021·浙江）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间[],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B．1122⎡+⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+21．（2021·岳麓·湖南师大附中高二月考）德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为A．函数()f x 是偶函数B．1x ∀,2R x C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形22．（2021·汕头市第一中学）已知函数f (x )满足：当30x -≤<时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（）A．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题23．（2021·全国高三专题练习）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________24．（2021·全国高三专题练习）已知函数1(31)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是____．25．（2021·江西上高二中高二月考（文））定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--，则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是______________.26．（2021·上海徐汇·位育中学）设()1f x x =-，4()g x x =-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈，使得12()()f x f x ++⋅⋅⋅+1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++成立，则正整数n 的最大值为________27．（2021·广东潮阳·）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.28．（2021·全国高一专题练习）下列说法中正确的是______.①函数32y x -=的定义域是{}0x x ≠；②方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <；③函数1lg1xy x-=+在定义域上为奇函数；④函数()log 252a y x =--(0a >，且1a ≠)恒过定点()3,2-；⑤若33x x--=，则33x x -+的值为2.。
二次函数的概念
二次函数的概念二次函数是一种常见的数学函数，它的数学表达式形式通常为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x和y为变量。
二次函数的图像一般为抛物线，可以分为开口向上和开口向下两种情况。
在本文中，将探讨二次函数的定义、图像特征以及应用等方面的内容。
一、定义二次函数是一种多项式函数，其中最高次幂为2。
它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于零。
其中：1. 当a大于零时，二次函数抛物线开口向上；2. 当a小于零时，二次函数抛物线开口向下。
二次函数的定义域为所有实数，即x的取值范围是(-∞, +∞)。
二、图像特征1. 零点二次函数与x轴交点的坐标称为二次函数的零点。
要求零点，只需令y等于零并解方程ax^2 + bx + c = 0。
根据一元二次方程的求解公式，可以求得二次函数的零点。
2. 对称轴二次函数的对称轴为x = -b/2a，其中b和a为二次函数表达式中的系数。
对称轴将抛物线分为左右对称两部分。
3. 极值点当a大于零时，二次函数的最低点为极小值点，称为顶点；当a小于零时，二次函数的最高点为极大值点，也称为顶点。
顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 开口方向二次函数的开口方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
三、应用1. 自然科学领域二次函数在物理学、生物学、经济学等自然科学领域有广泛的应用。
例如，抛物运动可以通过二次函数方程描述天体运动、物体自由落体等现象。
2. 工程技术领域在工程技术领域，二次函数可用于描述与时间、距离、速度等相关的问题。
例如，通过构建二次函数模型，可以优化机械运动、材料研究以及工业生产等工程问题。
3. 经济金融领域经济学和金融学中的许多问题可以用二次函数进行建模和解决。
例如，通过二次函数可以描述成本、收益、供求关系等经济金融问题，为决策提供理论依据。
4. 图像处理领域在图像处理领域，二次函数可以应用于图像的增强、滤波、骨骼提取等算法中。
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
二元函数的概念
§7.1 二元函数的概念 二元函数的极限和连续性教学目的： 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
教学重点： 求二元函数的极限，掌握二元函数极限与连续的关系。
1、二元函数的定义定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。
例 1设（x2+y2≠0）， 求证。
因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P （x,y ）以任何方式趋于P 0（x 0,y 0）时，函数都无限接近于A 。
在某一给定如果当变量和设有三个变量y x z y x ,,,按照一定时，变量内任取一对值的二元有序实数对z y x D ),(yx z ,,叫做变量它们对应，则变量总有唯一确实的数值和的规律),(y x f z =的二元函数，记作称为函变化的范围为因变量，为自变量，其中D y x z y x ),(,),(),(,),(0000y x y x f z D y x 称为对应于则，数的定义域。
设点=∈定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D 内有定义，P 0(x 0,y 0)是D 的内点或边界点且P 0∈D 。
如果则称函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续。
性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
性质３ （零点定理）性质４（有界性定理）例2 设 解 因此且上连续在有界闭区域若函数,),(D y x f 则至少数值数值和一个小于零的函它取得一个大于零的函,则上连续在有界闭区域若函数,),(D y x f .上有界它必在D ),(,23sin ),(21lim y x f xy e y x y x f y x xy→→++=求π,)2,1(,),(在其定义域内且点是初等函数由于y x f ,)2,1(),(处连续在点故y x f 232223sin )2,1(),(22221lim+=++==→→e e f y x f y x π§7.2 偏导数教学目的：了解偏导数的概念、几何意义以及与连续的关系。
简述函数的概念
函数的概念
函数是一个数学上的基本概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
函数在各种科学领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
函数的定义可以简单概括为：对于一个变量x，存在一个唯一的变量y，使得y与x之间存在一种关系，这种关系可以这用个一数个学数表学达表式达就式是来函表数示的。
表达式，x称为自变量，y称为因变量。
函数的表达方式有多种，包括代数式、表格、图像等。
其中，图像是最直观的表达方式，可以通过图像观察到变量之间的关系和变化函趋数势的。
概念是数学的基础之一，它涉及到许多重要的概念和思想，如极限、导数、积分等。
这些概念和思想在解决实际问题中有着广泛的应用。
在实际问题中，函数可以用来描述一个现象的变化规律，如温度随时间的变化、股票价格通的过波函动数等表。
达式，我们可以方便地计算和预测变量的值，从而更好地理解和掌握现象的本质。
总之，函数的概念是数学中的重要概念之一，它在各种科学领域中都通有过广学泛习的和应掌用握。
函数的概念和表达方式，我们可以更好地解决实际问题并探索自然规律。
函数的概念 离散数学
f(d)=2.
f是满射
设函数f :{a,b}→{2,4,6}为f(a)=2,f(b)=6.
f是入射
设f: R→R,f(x)=x3+2x2.
f是满Y 射
皮亚诺函数S: N → N,S(n)=n+1.
f是入射
设f: R →R,f(r)=r+3.
f既是满射又是入射
五. 双射
0
X
定义： 从X到Y的一个映射，若既是满射又是入射，则称这
f4 ＝{<a,1>, <b,0>, <c,0>} f5 ＝{<a,1>, <b,0>, <c,1>} f6 ＝{<a,1>, <b,1>, <c,0>} f7 ＝{<a,1>, <b,1>, <c,1>}
三. 满射
定义：对于X→f Y的映射中，如果ran f =Y，即Y的每一个元
素是X中一个或多个元素的象点，则称这个映射为满 射。 f:X→Y为满射,即对于任意y Y，存在x X使得f(x)＝y
四. 入射
定义：从X到Y的映射中，X中没有两个元素有相同的象，则
称这个映射为入射（一对一映射）。（也称单射）
f:X→Y为入射,即对于任意x1 , x2 X，
若x1 ≠ x2 ，有 f(x1)≠ f(x2)
例 设A={a,b,c,d},B={1,2,3},如果A→f B为： f(a)=1,f(b)=1,f(c)=3,
映射到Y的元
(3)<x,y>f 亦记作 y = f(x)；
素。所以函数
(4)记f(X)={f(x)|xX}。
又叫映射。
函数的概念及表示方法
特级教师 王新敞
3.两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素， 即定义域A、值域C和对应法则 f. 当函数的定义 域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函 数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法 则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数 的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函 数才是同一个函数 .
由映射和函数的定义可知，函数是一类特 殊的映射，它要求 A、B非空且皆为数集 .
特级教师 王新敞
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5.映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每
一个元素都有象 ;(2)B中每一个元素不一定都有原
象，不一定只一个原象； (3)A中每一个元素的象
唯一. 6．分段函数：如
? x2 f (x) ? ?
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练习
1.购买某种饮料 x听，所需钱数为 y元. 若每听2元， 试分别用解析法、列表法、图象法将 y表示成x （x∈{1,2,3,4}）的函数，并y指出该函数的值域 . 解：（1）解析法：
y=2x, x∈{1,2,3,4}. 8
（2）列表法：
6
X/听 1 2 3 4
4
Y/元 2 4 6 8
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特级教师
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例 1 已知函数 f (x) =
3 3x ? 1
的定义域
ax 2 ? ax ? 3
是 R，则实数 a 的取值范围是 ( B )
A. a ? 1 3
B. ? 12 ? a ? 0
C. ? 12 ? a ? 0
D. a ? 1 3
剖析：由 a
2
（3） 图象法 （如图）
函数的值域是 {2,4,6,8}
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一个重要的概念，它是数学中研究变量之间关系的工具之一。
本文将从函数的概念、函数的性质以及函数应用等方面进行探讨。
一、函数的概念函数是数学中的一种关系，它揭示了自变量与因变量之间的对应关系。
具体而言，对于一个函数来说，每个自变量只对应一个确定的因变量。
函数常用符号表示为 f(x)，其中 x 表示自变量，f(x) 表示因变量。
函数可以用图像、表格或符号等形式进行表示。
在坐标平面上，函数的图像由一系列有序的点组成，其中每个点的横坐标对应自变量，纵坐标对应因变量。
函数也可以通过表格的方式进行表示，列出自变量与因变量的对应关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量可能取值的范围，而值域则是函数对应的因变量的取值范围。
函数的定义域和值域可以是实数集、自然数集等。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数图像的变化趋势。
如果函数在定义域内递增，称为递增函数；如果函数在定义域内递减，称为递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性与函数在图像中关于原点（0，0）的对称性相关。
如果对于任意 x，有 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数；如果对于任意 x，有 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
4. 零点：函数的零点是指使函数取值为零的自变量的值。
零点对应于函数图像与 x 轴的交点。
5. 极值：函数在定义域内取得的最大值和最小值称为极值。
极大值对应于函数图像的局部最高点，极小值对应于函数图像的局部最低点。
三、函数的应用函数在数学和实际生活中有广泛的应用。
在数学中，函数用于描述数学对象之间的关系，例如线性函数、指数函数和对数函数等，这些函数被广泛应用于代数、几何和概率等数学分支中。
在实际生活中，函数用于描述各种自然现象和社会现象。
例如，经济学中的需求函数和供给函数描述了商品价格与需求量和供给量之间的关系；物理学中的运动函数描述了物体在不同时间和空间位置的变化规律。
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含详解答案 函数概念 一、选择题 1．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B [解析] 由题意知，f(a)＝log2(a＋1)＝1，∴a＋1＝2， ∴a＝1.
2. 设函数f(x)＝ 2x x∈－∞，2]log2x x∈2，＋∞，则满足f(x)＝4的x的值是( ) A．2 B．16 C．2或16 D．－2或16 [答案] C [解析] 当f(x)＝2x时.2x＝4，解得x＝2. 当f(x)＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16. ∴x＝2或16.故选C.
3．已知函数f(x)＝ log3x x>02x x≤0，则f(f(19))＝( ) A．4 B.14 C．－4 D．－14 [答案] B [解析] ∵f(19)＝log319＝－2<0
∴f(f(19))＝f(－2)＝2－2＝14. 4. 设函数f(x)＝ 21－x－1 x<1lgx x≥1，若f(x0)>1，则x0的取值范围是( ) A．(－∞，0)∪(10，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－1,10) D．(0,10) [答案] A 含详解答案
[解析] 由 x0<121－x0－1>1或 x0≥1lgx0>1⇒x0<0或x0>10. 5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 [答案] C [解析] 由x2＝1得x＝±1，由x2＝4得x＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.
6．设函数f(x)＝1－2x1＋x，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则g(1)等于( ) A．－32 B．－1
C．－12 D．0 [答案] D [解析] 设g(1)＝a，由已知条件知，f(x)与g(x)互为反函数，∴f(a)＝1，即1－2a1＋a＝1，∴a＝0. 7．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
[答案] A [解析] 解法1：y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称．将y＝f(－x)的图象向右平移一个单位得y＝f(1－x)的图象，故选A. 解法2：由f(0)＝0知，y＝f(1－x)的图象应过(1,0)点，排除B、C；由x＝1不在y＝f(x)的定义域内知，y＝f(1－x)的定义域应不包括x＝0，排除D，故选A. 8．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列 含详解答案
g(f(x))的表格，其三个数依次为( ) x 1 2 3 f(x) 2 3 1
x 1 2 3 g(x) 1 3 2
x 1 2 3 g(f(x)) A.3,1,2 B．2,1,3 C．1,2,3 D．3,2,1 [答案] D [解析] 由表格可知，f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，g(1)＝1，g(2)＝3，g(3)＝2， ∴g(f(1))＝g(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，g(f(3))＝g(1)＝1， ∴三个数依次为3,2,1，故选D. 9. 已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表： x 1 2 3 f(x) 2 3 1
x 1 2 3 g(x) 3 2 1
则方程g[f(x)]＝x的解集为( ) A．{1} B．{2} C．{3} D．∅ [答案] C [解析] g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1； g[f(3)]＝g(1)＝3，故选C. 10．若函数f(x)＝loga(x＋1) (a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于( )
A.13 B.2
C.22 D．2 [答案] D [解析] ∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2， 含详解答案
又∵0≤loga(x＋1)≤1，故a>1，且loga2＝1，∴a＝2. 11．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ gx＋x＋4，x＜gxgx－x，x≥gx，则f(x)的值域是( ) A.－94，0∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) C.－94，＋∞ D.－94，0∪(2，＋∞) [答案] D
[解析] 由题意可知f(x)＝ x2＋x＋2 x<－1或x>2x2－x－2 －1≤x≤2 1°当x<－1或x>2时，f(x)＝x2＋x＋2＝x＋122＋74 由函数的图可得f(x)∈(2，＋∞)． 2°当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－x－2＝x－122－94，
故当x＝12时，f(x)min＝f12＝－94， 当x＝－1时，f(x)max＝f(－1)＝0， ∴f(x)∈－94，0. 综上所述，该分段函数的值域为－94，0∪(2，＋∞)． 12. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ log21－x x≤0fx－1－fx－2 x>0，则f(2010)的值为 ( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案] B [解析] f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝(f(2008)－f(2007))－f(2008)＝－f(2007)，同理f(2007)＝－f(2004)，∴f(2010)＝f(2004)， ∴当x>0时，f(x)以6为周期进行循环， ∴f(2010)＝f(0)＝log21＝0.
13．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝ a，若a≤b；b，若a>b函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的值域为( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 含详解答案
[答案] C [解析] ∵a*b＝ a，若a≤b，b，若a>b.而函数f(x)＝log12(3x－2)与log2x的大致图象如右图所示， ∴f(x)的值域为(－∞，0]．
14. 定义max{a、b、c}表示a、b、c三个数中的最大值，f(x)＝max{12x，x－2，log2x(x>0)}，则f(x)的最小值所在范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,3) [答案] C
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝12x，y＝x－2与y＝log2x的图象，y＝12x与y＝log2x图象的交点为A(x1，y1)，y＝x－2与y＝log2x图象的交点为B(x2，y2)，则由f(x)的定义知，当x≤x1时，f(x)＝12x，当x1∴f(x)的最小值在A点取得，∵0
15．如图，已知四边形ABCD在映射f：(x，y)→(x＋1,2y)作用下的象集为四边形A1B1C1D1，若四边形A1B1C1D1的面积是12，则四边形ABCD的面积是 ( )
A．9 B．6 C．63 D．12 [答案] B [解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f的定义知，在f作用下点(x，y)变为(x＋1,2y)， 含详解答案
∴在f作用下|A1C1|＝|AC|，|B1D1|＝2|BD|，且A1、C1仍在x轴上，B1、D1仍在y轴上，故SABCD＝12|AC|·|BD|＝12|A1C1|·12|B1D1|＝12SA1B1C1D1＝6，故选B.
16. 设函数f(x)＝ x2＋bx＋c x≤02 x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C [解析] 解法1：当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴ －42＋b·－4＋c＝c－22＋b·－2＋c＝－2，解得 b＝4c＝2，
∴f(x)＝ x2＋4x＋2 x≤02 x>0， 当x≤0时，由f(x)＝x得，x2＋4x＋2＝x， 解得x＝－2，或x＝－1； 当x>0时，由f(x)＝x得，x＝2， ∴方程f(x)＝x有3个解． 解法2：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2可得，f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图如图所示．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解． 二、填空题 17．函数y＝x＋1＋lg(2－x)的定义域是________． [答案] [－1,2)
[解析] 由 x＋1≥02－x>0得，－1≤x<2. 18. 函数f(x)＝x＋4－x的最大值与最小值的比值为________． [答案] 2
[解析] ∵ x≥04－x≥0，∴0≤x≤4，f 2(x)＝4＋2x4－x≤4＋[x＋(4－x)]＝8，且f 2(x)≥4，
∵f(x)≥0，∴2≤f(x)≤22，故所求比值为2.