2016_2017学年高中数学第四章函数应用4.1.1利用函数性质判定方程解的存在课件

第四章
函数应用
§1
函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
自主学习· 新知突破
方程与函数是中学代数的重要内容．一元二次方程与二次函数之间存在着必 然的联系，观察函数 y＝x2－2x－3 的图像，回答下列问题：
(1)方程x2－2x－3＝0的根是什么？函数y＝x2－2x－3与x轴的交点是什么？ 二者之间有什么关系？ (2)在函数y＝x2－2x－3的图像与x轴的每一个交点附近，两侧的函数值的符 号有什么特点？ [提示] (1)方程的根是－1和3，函数与x轴的交点是(－1，0)和(3，0)，方 程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标． (2)符号相反．
2
2＋3＝a， ∴ 即 3＝－b， 2×
2
1 1 ∴方程 bx －ax－1＝－6x －5x－1＝0 的根为－ 、－ ，即为函数 g(x)的零 2 3 点．
答案： 1 1 － ，－ 2 3
4．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0，1)上，另一个根在(1， 2)上． 解析：
[思路探究] 1．函数的零点的本质是什么？ 2．函数的零点与方程的根有何对应关系？
[边听边记]
(1)令 f(x)＝0，
即 x3－7x＋6＝0， 即(x3－x)－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6) ＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0， 解得 x1＝1，x2＝2，x3＝－3， ∴函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点是 1，2，－3.
A．至少有三个零点 C．没有零点
[思路探究] 1． 函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函 数零点所在区间问题？ 2．函数在区间(a，b)上存在唯一零点应具备什么条件？
解析：
(1)函数 f(x)的图像在(0，＋∞)上连续不断，
且 f(2)＝ln 2－1<ln e－1＝0， 1 1 1 f(3)＝ln 3－ >ln e－ ＝ >0， 2 2 2 ∴f(2)· f(3)<0.故选 C. (2)函数 f(x)在区间[a，b]上单调且图像连续，故其图像与 x 轴至多有一个交 点，又 f(a)· f(b)<0，所以必有一个交点．
(3)当 a<0 时，设方程的两根为 x1，x2， 1 则 x1· x2＝a<0， x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a
3 的取值范围为4，1.
合作探究· 课堂互动
求函数的零点 求下列函数的零点： (1)f(x)＝x3－7x＋6；(2)f(x)＝x2－x－6；
1x (3)f(x)＝2 －4；(4)f(x)＝log3x－1.
解析：
2 (1)令 3x－2＝0，则 x＝ ， 3
2 2 轴的交点坐标为 3，0 ，函数零点为 . 3
∴函数 y＝3x－2 的图像与 x
(2)∵函数 f(x)＝ax－b 的一个零点是 3， ∴3a－b＝0，即 b＝3a，∴函数 g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)．再令 g(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝－1.
x＋3 x＋3 (3)①令 x ＝0，解得 x＝－3，所以函数 f(x)＝ x 的零点是－3. ②∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)， ∴方程－x2－2x＋3＝0 的两根分别是－3 和 1. 故函数的零点是－3，1. ③∵f(x)＝x4－1 ＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程 x4－1＝0 的实数根是－1 或 1. 故函数的零点是－1，1.
方程、函数、图像之间的关系
与x轴的交点 ⇔函数 y＝f(x) 实根 ⇔函数 y＝f(x)的图像_______________ 方程 f(x)＝0 的______ 零点 ． 的______
[自主练习] 1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
答案：
A
2．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( A．0个 C．2个 解析： B．1个 D．3个
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点) 3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
函数的零点
横轴交点的横坐标 称为这个函数的零点． 把函数 y＝f(x)的图像与___________________
[强化拓展] (1)函数 y＝f(x)有零点，则零点一定在其定义域内． (2)若 c 是函数 y＝f(x)的零点，则有 f(c)＝0. (3)函数的零点不是点，是 y＝f(x)与 x 轴交点的横坐标，即零点是个实数．
9 的取值范围是aa>4
.
【错因】
对函数零点存在性定理理解不深刻，错误地认为函数零若满足 f(a)· f(b)<0，则在区间(a，b)内至少 有一个零点，反之就不一定成立．
)
设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，
故f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．
答案： B
3．已知函数 f(x)＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1 的零点是________．
解析： 由题意知，方程 x2－ax－b＝0 的两根为 2、3， a＝5，b＝－6，
)
(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 y 6 m 0 1 2 3 4
－4 －6 －6 －4 n 6 )
不求 a，b，c 的值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根所在的区间是( A．(－3，－1)和(2，4) C．(－1，1)和(1，2) B．(－3，－1)和(－1，1) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
方法二：在同一坐标系下作出 h(x)＝2－2x 和 g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图像 知 g(x)＝lg(x＋1)的图像和 h(x)＝2－2x 的图像有且只有一个交点，
即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零点．
[规律方法]
确定函数零点个数的方法
(1)分解因式法：可转化为一元 n 次方程根的个数问题，一般采用分解因式法 来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断 根的个数． (3)图像法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图像法来解决． (4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数零点的 个数．
解析：
9 3 (1)∵f(6)＝lg 6－ ＝lg 6－ <0， 6 2
9 9 f(7)＝lg 7－ <0，f(8)＝lg 8－ <0， 7 8 9 f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－ >0， 10 ∴f(9)· f(10)<0. 9 ∴f(x)＝lg x－x的零点的大致区间为(9，10)． (2)利用 f(a)f(b)<0，则 f(x)＝0 在(a，b)内有根来判定． ∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由 f(2)＝－4<0， f(4)＝6>0，∴在(2，4)内必有根．故选 A.
答案：
(1)D
(2)A
判断函数零点的个数 求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数．
[思路探究] 能否直接求出函数零点的个数？若不能， 可以考虑利用什么来判断零点的个数？
解析：
方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2>0， ∴f(x)在(0，2)上必定存在零点． 又 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 在(0，＋∞)上为增函数， 故 f(x)有且只有一个零点．
3．函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为( A． 1 C． 3
解析： 形结合求解．
)
B．2 D． 4
将函数零点视为两个函数图像的交点，分别画出函数图像，利用数
令 f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，
1x 可得|log0.5x|＝2 .
设
1x g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝2 ，在同一坐标系下分别画出函数
[强化拓展] 1 (1)并不是所有的函数都有零点，如函数 y＝x没有零点． (2)函数 y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲 线；②f(a)· f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． (3)对于有些函数，即使它的图像是连续不断的一条曲线，当它通过零点时， 函数值也不一定变号． 如函数 y＝x2 有零点 x0＝0， 但显然函数值没有变号． 但是， 对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号． (4)函数在区间[a， b]上的图像是连续不断的一条曲线， 且在区间(a， b)上单调， 若 f(a)· f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点．
答案：
(1)C
(2)D
[规律方法]
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若 符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
9 2．(1)函数 f(x)＝lg x－ 的零点所在的大致区间是( x A．(6，7) C．(8，9) B．(7，8) D．(9，10)
[规律方法]
函数零点的求法
(1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它与函数 y＝f(x)的 图像联系起来，图像与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1．(1)函数 y＝3x－2 的图像与 x 轴的交点坐标及其零点分别是( 2 2 A. ； 3 3 2 2 C．－ ；－ 3 3
答案：
(1)B