2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 2.1 抛物线及其标准方程
高中数学北师大版选修1-1《抛物线及其标准方程》word导学案
第4课时抛物线及其标准方程1.掌握抛物线定义、标准方程及其几何图形.能用待定系数法求抛物线的标准方程.2.理解标准方程中“p”与抛物线的开口方向、焦点位置的关系.3.亲自体验由具体的演示实验探寻出一般数学结论的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.学习运用类比的思想探寻另三种标准方程.如图,把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上,截取一根绳子的长度等于AC的长度,现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样粉笔就描出一条曲线.问题1:在上述情境中,点M到点F与点M到直线l的距离.(填相等或不相等),理由是.问题2:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,定直线l叫作抛物线的准线.如果定义中不加上条件“l不经过F”,即若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是,而不是抛物线.问题x=-y 2=-2px (p>0)x=(0,) y=-(0,-) y=问题4:已知抛物线的标准方程,如何得到焦点坐标?先观察方程的结构,一次项变量为x (或y ),则焦点在 (或y )轴上;若系数为正,则焦点在 半轴上;系数为负,则焦点在 半轴上;若一次项变量为x ,则焦点的横坐标是一次项系数的 ,纵坐标为 ;若一次项变量为y ,则焦点的纵坐标是一次项系数的 ,横坐标为0.1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( ).A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0) D .(-4,0)2.抛物线y 2=8px (p>0),F 是焦点,则p 表示( ).A.F 到准线的距离B.F 到准线距离的C.F 到准线距离的D.F 到y 轴的距离3.抛物线y=4x 2的焦点坐标为 ,准线方程为 . 4.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是y=3; (2)过点P (-2,4); (3)焦点到准线的距离为.求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).求抛物线的标准方程(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.求动点的轨迹方程动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程:(1)y2=6x;(2)2y2+5x=0;(3)x=ay2(a≠0).如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A、B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足·=y2-8.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+2交于C、D两点.求证:OC⊥OD(O为原点).1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是().A.直线B.抛物线C.圆D.椭圆2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为().A. B.- C.8 D.-83.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p= .4.已知抛物线的方程是y=ax2,求它的焦点坐标和准线方程.(2013年·江西卷)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=().A.2∶B.1∶2C.1∶D.1∶3考题变式(我来改编):第4课时抛物线及其标准方程知识体系梳理问题1:相等由|AC|=|MC|+|AM|,|AC|=|MF|+|AM|,得|MC|=|MF|问题2:相等焦点过点F且垂直于l的直线问题3:(,0)(-,0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)问题4:x 正负0基础学习交流1.B依题意,抛物线开口向左,焦点在x轴的负半轴上,由2p=8,得=2,故焦点坐标为(-2,0),故选B.2.B化为标准形式y2=2×(4p)x(p>0),则4p就是焦点F到准线的距离,所以p表示焦点F到准线的距离的.3.(0,)y=-将抛物线方程y=4x2化为标准方程x2=y,易知:抛物线开口向上,焦点在y轴的正半轴上,由2p=,得=,故焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.4.解:(1)由准线方程为y=3知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为x2=-12y.(2)∵点P(-2,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),将点P(-2,4)代入y2=-2px,得p=2;代入x2=2py,得p=1.∴所求抛物线的标准方程为y2=-4x或x2=2y.(3)由焦点到准线的距离为,得p=,故所求抛物线的标准方程为y2=2x,y2=-2x,x2=2y或x2=-2y.重点难点探究探究一:【解析】(1)因为p=7,所以焦点坐标是(-,0),准线方程是x=.(2)抛物线方程化为标准形式为x2=y,因为p=,所以焦点坐标是(0,),准线方程是y=-.(3)由a>0知,p=,所以焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.【小结】1.当抛物线方程不是标准形式时,先转化为标准形式,第(3)小题规定“a>0”,如果去掉“a>0”,并不影响结果,表示是一样的.2.求抛物线焦点、准线方程的方法首先要将抛物线方程化成标准形式,求出p后根据抛物线的位置写出焦点和准线方程,注意准线与坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的.探究二:【解析】(1)∵抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又∵点M在抛物线上,∴()2=-2p(-2),即p=,∴所求方程是x2=-y.(2)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=或p=,故所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.【小结】求抛物线标准方程的步骤:(1)设出抛物线的标准方程;(2)根据已知条件求得p;(3)得抛物线的标准方程.探究三:【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.∴抛物线的方程为y2=8x,此即为所求动点M的轨迹方程.[问题]上述解答完整吗?[结论]错解只考虑了一种情况.在此题中,(2,0)到y轴的距离为2,∴x轴上原点左侧的点也满足题中条件.于是,正确解答为:∵动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.∴抛物线的方程为y2=8x.又∵x轴上(0,0)点左侧的点到y轴的距离比它到(2,0)点的距离小2,∴M点的轨迹方程为y=0(x<0).综上,动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x.【小结】本题考查抛物线的定义、标准方程,判断动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等是解题的关键.思维拓展应用应用一:(1)∵2p=6,∴p=3.又∵开口向右,∴焦点坐标是(,0),准线方程为x=-.(2)将2y2+5x=0变形为y2=-x.∴2p=,p=,开口向左.∴焦点为(-,0),准线方程为x=.(3)∵原抛物线方程为y2=x,∴2p=.当a>0时,=,抛物线开口向右,焦点坐标为(,0),准线方程为x=-;当a<0时,=-,抛物线开口向左,焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.故当a≠0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.应用二:y2=3x 由题意可知直线l的斜率为,则x A-=|FA|=,y A=|FA|=,而=2px A,∴()2=2p(+),∴p=或-(舍去),∴所求抛物线的方程为y2=3x.应用三:(1)由题意可得·=(-x,-2-y)·(-x,4-y)=y2-8,化简得x2=2y.(2)将y=x+2代入x2=2y中,得x2=2(x+2),整理得x2-2x-4=0,可知Δ=20>0.设C(x1,y1),D(x2,y2),x1+x2=2,x1·x2=-4,∵y1=x1+2,y2=x2+2,∴y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4.∵·=x1x2+y1y2=0,∴OC⊥OD.基础智能检测1.A∵定点(1,1)在直线x+2y=3上,∴轨迹为直线.2.B∵y=ax2,∴x2=y,其准线为y=2,∴a<0,2=,∴a=-.3.4或8抛物线的准线方程为x=-,圆心坐标为(-3,0),半径为1,由题意知3-=1或-3=1,∴p=4或p=8.4.解:抛物线的方程y=ax2化成形式:x2=y.当a>0时,x2=2×y,p=,所以焦点坐标是F(0,),准线方程是y=-;当a<0时,x2=-2×y,p=,所以焦点坐标是F(0,-),即F(0,),准线方程是y=-.综上可知,抛物线的焦点坐标是F(0,),准线方程是y=-.全新视角拓展C如图所示,===.思维导图构建相等定点F 定直线l。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.通过图形理解抛物线的对称性、范围、顶点等简单性质.2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程.3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题．知识点一抛物线的简单性质知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练3 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C ．(12，1) D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1)．4．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.5．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。
高中数学选修1-1北师大版 抛物线的定义和标准方程 教案
2.3.1抛物线的定义和标准方程教学目标：1.知识目标：理解抛物线的定义；明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义，推导开口向右的抛物线的标准方程。
进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；2.能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；3.情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
教学重点和难点：重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。
难点：抛物线的标准方程的推导。
关键：创设具体的抛物线的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。
教学方法启发、探索教学手段运用多媒体和实物辅助教学教学过程：一、新课引入：1、实例引入：观察生活中的几个实例（1）截面图；（2）几幅生活实例照片2、复习引入：在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹，当0〈e < 1时是什么图形？（椭圆）当e > 1时是什么图形？（双曲线）当e = 1时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）教师指出：画出的曲线叫抛物线。
（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）二、新课讲授：（一）定义：（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
概念理解：平面内有-—(1) 一定点F——焦点(2) 一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线探究：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？（是过F点与直线l 垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线）(3) 动点到定点的距离 |MF| (4) 动点到定直线的距离 d (5) | MF| = d满足以上条件的动点M的轨迹——抛物线（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：１、要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系，解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质，以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.题型一数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.例1双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为() A.(1,3) B.(1,3]C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)答案 B解析 如图所示，由|PF 1|＝2|PF 2|知P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 在△F 1PF 2中， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1， ∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.故选B.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A.x 1，x 2，x 3成等差数列 B.y 1，y 2，y 3成等差数列 C.x 1，x 3，x 2成等差数列 D.y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 A解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，∴选A.题型二 分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率.解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2516， ∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b 2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝3. 此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3. 又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.例3 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率. 解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝⎛⎭⎫532(a >0)，得a ＝3.故填3.题型四 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(1，－22) C.(2，－4) D.(12，－2)答案 D解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知|MF |＝|ME |. 当点M 在抛物线上移动时，|MF |＋|MA |的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线， 此时|ME |＋|MA |最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ， 得x ＝12，∴M (12，－2).跟踪训练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0. 此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66， 即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62.1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.4.考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程.5.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.。
高中数学选修1-1优质学案1：2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程问题导学一、求抛物线的标准方程探究1：根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．巩固1：动圆P 与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且与直线l ：x ＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程探究2：已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程： (1) y 2＝8x ；(2)2x 2＋5y ＝0；(3)y 2＝ax (a ＞0)．巩固2：1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为( )A ．(1,0)B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，1162．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．三、抛物线定义的应用探究3：(1)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆(2)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)巩固3：1．若抛物线y 2＝4x 上有一点P 到焦点F 的距离为5，且点P 在直线x ＋y －3＝0的上方，则P 的坐标为__________．2．抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线焦点的距离为__________．四、与抛物线有关的最值问题探究4：已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．巩固4：1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．当堂检测1．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．以双曲线22=1169x y -的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝－20x D ．y 2＝20x3．已知动点M (x ，y )的坐标满足2|x -，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是__________．5．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为__________． [答案] 【问题导学】探究1： 思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x 轴的负半轴上，也可能在y 轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝1 6；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝9 2．∴所求抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y．(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴所求抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．巩固1：1．解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA．设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1．∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1．又∵圆P与直线l：x＝1相切，∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1．∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，∴所求的轨迹方程为y 2＝－8x ．:探究2： 思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p ，再求焦点坐标和准线方程．解：(1)∵p ＝4，∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x ＝－2． (2)2x 2＋5y ＝0化为x 2＝－52y ，且抛物线开口向下，∴p ＝54．∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程是y ＝58． (3)由于a ＞0，∴p ＝a2，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4． 巩固2： 1．D [解析]原方程化为标准方程为x 2＝14y ，焦点在y 轴上，且p ＝18，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116． 2．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x ．当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14． 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2． :探究3： (1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹． A [解析]由题意知动圆圆心C 到点(0,3)距离与到定直线y ＝－1的距离相等， ∴C 的圆心轨迹是抛物线．(2)思路分析：利用抛物线的定义将|FM |转化为点M 到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解．C [解析]由抛物线方程为x 2＝8y ，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2， 则|FM |等于点M 到准线y ＝－2的距离， ∴|FM |＝y 0＋2． 又圆与准线相交，∴|FM |＝y 0＋2＞4．∴y 0＞2．巩固3：1．(4,4) [解析]设P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴准线方程为x ＝－1． ∴|PF |＝x 0＋1＝5．∴x 0＝4．代入抛物线方程，得y20＝4x0＝16，∴y0＝±4．又∵P在直线x＋y－3＝0的上方，∴P的坐标为(4,4)．2．54[解析]把点A⎝⎛⎭⎫1，14代入抛物线方程得a＝4，即抛物线方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1．由抛物线定义，得|AF|＝1＋14＝54．:探究4：思路分析：根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标．解：∵(－2)2＜8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|．∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12．故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12．巩固4：1．A[解析]点Q(2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过Q点作x＝－1的垂线，与抛物线交于K，则K为所求，当y＝－1时，x＝14，∴P为⎝⎛⎭⎫14，－1．2．解：(1)当点A 在抛物线内部时，42＜2p ·72，即p ＞167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |． 当A ，M ，A ′共线时(如图中A ，M ′，A ″共线时)，(|MF |＋|MA |)min ＝5． 故p 2＝5－72＝32⇒p ＝3，满足3＞167， 所以抛物线方程为y 2＝6x ．(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p ·72，即0＜p ≤167时，连接AF 交抛物线于点M ， 此时(|MA |＋|MF |)最小， 即|AF |min ＝5，⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝25， 72－p 2＝±3⇒p ＝1或p ＝13(舍去)． 故抛物线方程为y 2＝2x ．综上，抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x ． 当堂检测1．[答案]B [解析]由y 2＝4x 得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2．2．[答案]A [解析]由已知抛物线的焦点为(4,0)， 则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∴=42p，p ＝8． ∴所求方程为y 2＝16x ．3．[答案]C [解析]设F (2,0)，l ：x ＝－2，则M 到F 的距离为，M 到直线l ：x ＝－2的距离为|x ＋2|＝|x ＋2|，所以动点M 的轨迹是以F (2,0)为焦点，l ：x ＝－2为准线的抛物线．4．[答案]6 [解析]由题意知P 到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6．5．[答案]5[解析]由x2＝4y知其准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，点A与焦点的距离等于点A到准线的距离，其距离为4－(－1)＝5．。
【配套K12】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 2.2 抛物线的简单性质(二)
2.2抛物线的简单性质(二)学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．知识点直线与抛物线的位置关系思考1直线与抛物线有哪几种位置关系？思考2若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？梳理直线与抛物线的位置关系与公共点个数．直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴____________，此时直线与抛物线有________个公共点．类型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练1 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 斜率的取值范围是( )A ．[－12，12] B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]类型二 弦长与中点弦问题例2 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为26，过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．类型三 抛物线中的定点(定值)问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B ，且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.183．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．324．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上任意一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．5．已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程；(3)求弦AB 的长．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．答案精析问题导学知识点思考1 三种：相离、相切、相交．思考2 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点． 梳理 两 一 没有 平行或重合 一题型探究例1 解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)．(1)若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ>0，即k 2≠0且16(1－k 2)>0，解得k ∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点．(2)若直线与抛物线有一个交点，则k 2＝0或当k 2≠0时，Δ＝0，解得k ＝0或k ＝±1.所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点．(3)若直线与抛物线无交点，则k 2≠0且Δ<0.解得k >1或k <－1.所以当k >1或k <－1时，直线l 和抛物线C 无交点．跟踪训练1 C [准线方程为x ＝－2，Q (－2,0)．设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，由Δ≥0，得－1≤k <0或0<k ≤1， 综上，k 的取值范围是[－1,1]．]例2 解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在， 设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1， 得ky 2－6y －24k ＋6＝0.当k ≠0时，Δ＝62－4k (－24k ＋6)>0.①设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24k k. ∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k ＝3，适合①式． ∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22，∴|P 1P 2|＝ 1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝ 1＋1922－4×(－22)＝22303. 方法二 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．则y 21＝6x 1，y 22＝6x 2，∴y 21－y 22＝6(x 1－x 2)，又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴所求直线的斜率k ＝3，故所求直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －11，y 2＝6x ，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22，∴|P 1P 2|＝ 1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝ 1＋19·22－4×(－22) ＝22303. 跟踪训练2 解 (1)由C 1方程可知F (0,1)，∵F 也是椭圆C 2的一个焦点，∴a 2－b 2＝1，又∵C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2的图像都关于y 轴对称， ∴易得C 1与C 2的公共点的坐标为 (±6，32)， ∴94a 2＋6b2＝1， 又∵a 2－b 2＝1，∴a 2＝9，b 2＝8， ∴C 2的方程为y 29＋x 28＝1； (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，∵AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，∴AC →＝BD →，∴x 1－x 2＝x 3－x 4，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1， 得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，由根与系数的关系可得x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2， 又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4，∴16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2， 化简得16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2， ∴(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64， 即直线l 的斜率为±64. 例3 解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2,0)． 跟踪训练3 证明 方法一 设k AB ＝k (k ≠0)． ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，即直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解，∴4x B ＝16k 2－16k ＋4k 2， 即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2. 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2.∴k BC ＝y B －y C x B －x C＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14. ∴直线BC 的斜率为定值．方法二 设B (y 21，y 1)，C (y 22，y 2)，则k BC ＝y 2－y 1y 22－y 21＝1y 2＋y 1. ∵k AB ＝y 1－2y 21－4＝1y 1＋2， k AC ＝y 2－2y 22－4＝1y 2＋2， 由题意得k AB ＝－k AC ，∴1y 1＋2＝－1y 2＋2，则y 1＋y 2＝－4， 则k BC ＝－14，为定值． 当堂训练1．B 2.A 3.B 4.(1，±2)5．解 (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2， 所以所求抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 由②－①得，(y 1＋y 2)(y 2－y 1) ＝4(x 2－x 1)，所以y 2－y 1x 2－x 1＝2. 所以所求直线AB 的方程为 y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0.(3)⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x －y －3＝0， 得y 2－2y －6＝0，y 1＋y 2＝2， y 1y 2＝－6，|AB |＝ 1＋14(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝52×22－4×(－6)＝35.。
高中数学选修1-1北师大版 抛物线及其标准方程 学案1
§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程自主整理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条直线l(其中_________)的距离_________的点的集合叫作抛物线,定点F叫作抛物线的_________,定直线l叫作抛物线的_________.2.抛物线的标准方程抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是_________,准线方程是___________;抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是_________,准线方程是___________;抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是_________,准线方程是___________;抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标是_________,准线方程是___________.以上标准方程中的p的几何意义是__________________.高手笔记1.抛物线定义可归纳为“一动三定”:一个动点,设为点M;一个定点F(即抛物线的焦点);一条定直线(即抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于常数1).2.定点F不能在定直线上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线.3.关于抛物线的标准方程(1)“p”的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值恒大于0;(2)只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程;(3)抛物线的开口方向取决于一次项系数的符号:若一次项系数为正数,则抛物线开口方向为正方向,若一次项系数为负数,则抛物线开口方向为负方向.(4)抛物线的焦点位置决定于一次项:若x为一次项,则焦点在x轴上,若y为一次项,则焦点在y 轴上.4.求抛物线的标准方程的方法或步骤由于抛物线的标准方程有四种形式,所以在求解时,一定要先根据题目条件画出草图,确定方程的形式,然后再求参数p的值.5.利用抛物线的定义,可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,这一转化会给解题带来方便.名师解惑1.在平面内,凡是到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离相等的点的轨迹都是抛物线吗?剖析:不一定.当定点F恰好处于直线l上时,此时相应的动点的轨迹恰好就是过定点F并且垂直于定直线l的一条直线;当定点F不在直线l上时,这样的动点的轨迹才是以定点F为焦点、定直线l为准线的抛物线.所以,在应用抛物线的定义来判定相关的动点的轨迹类型时,要注意判定相应的定点与定直线的位置关系.2.抛物线的形状与其标准方程的形式有什么样的关系?剖析:通过比较抛物线的四种标准方程的形式及其相对应的图形,我们不难发现其中的规律,概括如下:焦点取决于一次项,开口取决于正负号.也就是说,若x为一次项,则焦点在x轴上,若y为一次项,则焦点在y轴上;若一次项系数为正数,则抛物线开口方向为正方向,若一次项系数为负数,则抛物线开口方向为负方向.学习时一定要善于观察与联系,注意“数”与“形”的对应关系.3.在抛物线的标准方程中,参数p的几何意义是什么?剖析:在推导抛物线的标准方程时,我们设|HK|=p,显然参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离.抛物线的标准方程中只含有一个参数p,所以,只要求出了参数p,抛物线的标准方程也就确定了.讲练互动【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.解析:求抛物线的标准方程,要根据所给的条件确定其类型,设出相应的标准方程形式,然后求出参数p.解:(1)若抛物线的焦点在x 轴上时,设抛物线的标准方程为y 2=-2px(p>0).把点(-3,2)代入,得22=-2p×(-3),解得p=32. 所求抛物线的标准方程为y 2=34-x. 当抛物线的焦点在y 轴上时,设抛物线的方程为x 2=2py(p>0). 由抛物线过(-3,2),知(-3)2=4p,p=49. 所以所求的抛物线方程为x 2=29y. (2)直线x-2y-4=0与x 轴的交点为(4,0),与y 轴的交点为(0,-2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y 2=2px(p>0),2p =4,p=8. 所以抛物线方程为y 2=16x.当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为x 2=-2py(p>0),2p -=-2,p=4. 所以抛物线方程为x 2=-8y.绿色通道本题(1)问中,焦点的位置不易确定,可作出草图,结合图形,设出抛物线的方程,从而分情况求解.(2)问主要是根据抛物线的定义,求出焦点坐标,从而求出方程.变式训练1.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程.(1)y 2=6x;(2)2y 2+5x=0.解析:先根据抛物线的标准方程形式,求出p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程. 解:(1)∵2p=6,∴p=3,开口向右.则焦点坐标是(23,0),准线方程为x=23-. (2)将2y 2+5x=0变形为y 2=25-x. ∴2p=25,p=45,开口向左. ∴焦点为(85-,0),准线方程为x=85.【例2】求顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得弦长为15的抛物线方程.解析:首先利用待定系数法设出抛物线的标准方程,再根据弦长的计算方法列出关于参变量的方程,进而求出参量.解:设所求抛物线方程为y 2=ax(a≠0).①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①整理,得4x 2+(4-a)x+1=0,则 |AB|=]414)44)[(21(22⨯--+a =15. 解得a=12,或a=-4.所以所求抛物线方程为y 2=12x 或y 2=-4x.绿色通道(1)本例采用了待定系数法,当然可设方程为y 2=2px,x 2=-2py(p>0)求解.(2)本题将抛物线方程设为y 2=ax(a≠0)是一个好的设法,当a>0时抛物线开口向右;当a<0时抛物线开口向左,一举两得,避免了分类讨论.变式训练2.若抛物线y 2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M 的坐标.解析:在涉及抛物线上的点到焦点的距离问题时,往往将其转化为该点到准线距离问题解决. 解:由抛物线定义,设焦点为F(2p -,0), 则准线为x=2p ,M 到准线的距离为|MN|, 则|MN|=|MF|=10, 即2p -(-9)=10,∴p=2. 故抛物线方程为y 2=-4x.将M(-9,y)代入抛物线方程得y=±6.∴M(-9,6)或M(-9,-6).教材链接【思考】初中学习的二次函数与现在研究的抛物线方程是什么关系?答:二次函数的图像是开口向上或向下的抛物线,因此抛物线开口向左或向右不能认为是二次函数的图像.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)其顶点为(a b 2-,a b ac 442-),对称轴为x=a b 2-,它是由y=ax 2(a≠0)平移得到;而y=ax 2的标准方程为x 2=a1y,当a>0时,开口向上,顶点为(0,0),焦点为(0,a 41),对称轴为y 轴;当a<0时,开口向下,顶点为(0,0),焦点为(0,a 41),由此可见,y=ax 2并不是抛物线的标准方程.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
1.2椭圆的简单性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图像.知识点一椭圆的简单几何性质知识点二离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.题型一椭圆的简单性质例1求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.解把已知方程化成标准方程为y225＋x2＝1，则a ＝5，b ＝1.所以c ＝25－1＝26，因此，椭圆的长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝2，两个焦点分别是F 1(0，－26)，F 2(0,26)，椭圆的四个顶点分别是A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－1,0)，B 2(1,0).反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.跟踪训练1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m.∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m ，0)，(－1m ，0)，(0，－12m )，(0，12m ).离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.题型二 由椭圆的简单性质求方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 求椭圆的离心率例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________. 答案63解析 联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c ，0)， 则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63. 反思与感悟 求椭圆离心率的方法： (1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解. (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解.跟踪训练3 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.34答案 A解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.椭圆离心率的求法椭圆离心率的三种求法：求椭圆的离心率一般运用直接法、定义法、方程法求解.(1)求椭圆的离心率时，若不能直接求得ca 的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.(2)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝ca直接求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.例4 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.255 解析 依题意，得c ＋b2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ， ∴e ＝2b 5b＝255.答案 D点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.例5 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 23.④由①和④运用基本不等式，得 |PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22，即4b23≤a 2.由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12.又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1).方法二 设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°. 在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12.又e ＜1，∴12≤e ＜1.∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1).点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A.(±13,0)B.(0，±10)C.(0，±13)D.(0，±69) 答案 D解析 由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69).2.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.34答案 B解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，代入解得a 2＝4c 2，故椭圆离心率e＝c a ＝12，故选B. 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 B解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去).4.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________.答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ， 又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32.5.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为________. 答案 10,6，45解析 由题意，可将椭圆方程化为标准式为 y 225＋x 29＝1， 由此可得a ＝5，b ＝3，c ＝4， ∴2a ＝10,2b ＝6，e ＝45.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用.。
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2.1抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫作抛物线．(2)焦点：________.(3)准线：________.知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2抛物线标准方程的特点？思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)类型一抛物线定义的解读例1 方程(x ＋3)2＋(y －1)2＝|x －y ＋3|2表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．抛物线反思与感悟 根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F 不在直线l 上”这个条件．跟踪训练1 若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是________．类型二 抛物线的标准方程及求解命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y ＝ax 2(a ≠0)． 引申探究1．将例2(4)的方程改为y 2＝ax (a ≠0)结果如何？2．将例2(4)的方程改为x 2＝ay (a ≠0)，结果如何？反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．跟踪训练2 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 为( ) A ．2 B ．1 C.12D.14命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．跟踪训练3根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1)焦点为(－2,0)；(2)焦点到准线的距离是4；(3)过点(1,2)．类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m、高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练4某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．1．抛物线y2＋x＝0的开口()A．向上B．向下C．向左D．向右2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为()A．(1,0)，x＝－1 B．(2,0)，x＝－2C．(3,0)，x＝－3 D．(4,0)，x＝－43．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为()A．y2＝x B．y2＝2xC．x2＝－3y D．x2＝－6y4．抛物线x2＝8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为________．5．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为y ＝－3；(2)抛物线与椭圆x 24＋m ＋y 23＋m ＝1的一个焦点相同．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点坐标为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫作抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.答案精析问题导学 知识点一思考1 平面内与一个定点F 和一条定直线l (定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线．思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．梳理 (1)相等 (2)点F (3)直线l 知识点二思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向． 思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 题型探究例1 D [(x ＋3)2＋(y －1)2 ＝|x －y ＋3|2，它表示点M (x ，y )与点F (－3,1)的距离等于点M 到直线x －y ＋3＝0的距离，且点F (－3,1)不在直线上．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．] 跟踪训练1 抛物线解析 由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x . 例2 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左， 2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝32.(2)将3x 2＋5y ＝0化为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.(4)抛物线方程y ＝ax 2可化为x 2＝1a y ，当a >0时，2p ＝1a ，p ＝12a ，故焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－14a.当a <0时，2p ＝－1a ，p ＝－12a ，故焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－14a.综上，抛物线y ＝ax 2的焦点坐标(0，14a )，准线方程为y ＝－14a .引申探究1．焦点是(a 4，0)，准线方程是x ＝－a4.2．焦点是(0，a 4)，准线方程是y ＝－a4.跟踪训练2 A [注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16，它表示圆心为(3,0)，半径为4的圆． 由题意得⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4. 又p >0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.]例3 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上且过点(－3,2)时， 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 把(－3,2)代入得22＝－2p ×(－3)， ∴p ＝23，∴所求抛物线方程为y 2＝－43x .当抛物线的焦点在y 轴上且过点(－3,2)时， 可设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)， 把(－3,2)代入得(－3)2＝2p ×2， ∴p ＝94，∴所求抛物线方程为x 2＝92y .综上，所求抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4,0)，与y 轴的交点为(0，－2)， 故抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当抛物线的焦点为(4,0)时， 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∵p2＝4，∴p ＝8， ∴抛物线方程为y 2＝16x . 当抛物线的焦点为(0，－2)时， 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y .综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或 x 2＝－8y .(3)设所求焦点F 在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)． 则由抛物线的定义得 |AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p2＝5， ∵点A 在抛物线上， ∴(－3)2＝2pm ， 从而可得p ＝±1或p ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 跟踪训练3 解 (1)焦点在x 轴的负半轴上， p2＝2，即p ＝4. 所以抛物线的方程是y 2＝－8x . (2)p ＝4，抛物线的方程有四种形式： y 2＝8x ，y 2＝－8x ，x 2＝8y ，x 2＝－8y .(3)方法一 点(1,2)在第一象限，要分两种情形讨论： 当抛物线的焦点在x 轴上时， 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x ； 当抛物线的焦点在y 轴上时， 设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，∴抛物线方程为x 2＝12y .方法二 设所求抛物线的标准方程为 y 2＝mx 或x 2＝ny ，将点(1,2)代入，得m ＝4，n ＝12，故所求的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y .例4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54. 又知船面露出水面上的部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．跟踪训练4 解 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意知，点P (10，－4)在抛物线上，所以100＝－2p ×(－4)，2p ＝25.即抛物线方程为x 2＝－25y .因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一．设点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.所以|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．当堂训练1．C 2.B 3.D 4.85．解 (1)准线方程为y ＝－3，则p 2＝3，p ＝6，所以抛物线的标准方程为x 2＝12y .(2)椭圆x 24＋m ＋y 23＋m ＝1的焦点坐标为F 1(1,0)，F 2(－1,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝±4x .。