怎么利用构造法求数列的通项公式
构造法求数列通项公式
作者：刘高峰 2016.10 北京师范大学东莞石竹附属学校
复习回顾
一、观察法：如数列 二、公式法：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 3579
1、等差数列：an a1 (n 1)d
2、等比数列：an a1qn1
3、an Sn Sn1 (n 2) ——（作差法）
巩固练习
练习2：已知数列{an }中，a1
3 2
，2an
an1
6n
3，
求an .
课后思考
1、形如 an1 pan an2 bn c 如何求通项公式？ 已知数列{an} 满足：a1 1, an1 2an 3n2 4n 5， 求an .
2、形如 an1 pan qn 如何求通项公式？ 已知数列{an}满足：a1 1, an1 3an 2n ， 求 an .
课后作业
1、已知数列an中，a1 1 ，an1 2an 3，求 an .
2、已知数列an 中，a1 1, an 4an1 n 1, (n 2)，
求 an .
再见！
巩固练习
练习1：已知数列{an }中，a1
2
，an1
1 2
an
1 2
，
求数列的通项an .
知识延伸
例2、已知数列{an} 中，a1 ， 1 an1 3an 2n ， 求 an .
规律总结
an1 pan kn b
an1 x(n 1) y p(an xn y)
问题探究
例1、已知数列{an}满足：a1 1 ，且an1 2an 1 ， （1）证明：数列{an 1} 是等比数列； （2）求 an .
(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总
用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,211N n a a a nn ∈+==++4,n n nn b b a b ==+1,1则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。
n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。
n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。
,22,111+==+n nn a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。
2n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，,),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-求数列{ a n }的通项公式。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一：a n +1=nn +1⋅a n 左右同乘n +1 (n +1)a n +1=n ⋅a n ,构造b n =n ⋅a n ,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型二：a n +1=n +1n ⋅a n 左右同除n +1 a n +1n +1=a n n ,构造b n =a n n,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型三：a n +1=n +2n ⋅a n 左右同除n +2 n +1 a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1),构造b n =a n n (n +1),则b n +1=b n,b n 为常数数列.模型四：na n +1=2(n +1)a n 左右同除n n +1a n +1n +1=2a n n ,构造b n =an n,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型五：a n +1=n +2n ⋅S n ⇒S n +1-S n =n +2n ⋅S n ⇒S n +1=2n +2n ⋅S n 左右同除n +1 S n +1n +1=2S n n,构造b n =S nn ,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型六：a n +1=n +1n ⋅a n +n +1左右同除n +1 a n +1n +1=a n n +1,构造b n =a n n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型七：a n +1=2a n +2n +1左右同除2n +1a n +12n +1=a n 2n +1,构造b n =a n 2n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型八：a n -a n +1=a n a n +1左右同除a n a n +11a n +1-1a n =1,构造b n =1an ,则b n +1-b n =1,b n 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n +1和a n +1,n 和a n 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=23,a n +1=nn +1⋅a n,求a n . 【解析】因为a n +1=nn +1a n,所以(n +1)a n +1=na n .令b n =na n ,则b n =b n +1,即b n 是常数数列,所以b n=b 1,即na n =1×a n =23,a n =23n.【经典例题2】已知数列a n 中,a n +1=nn +2a n且a 1=2,求数列a n 的通项公式.【解析】因为a n +1=nn +2a n,所以(n +2)a n +1=na n ,(n +1)(n +2)a n +1=n (n +1)a n .令b n =n (n +1)a n ,则b n +1=b n ,即b n 是常数数列,所以b n =b 1.因此n (n +1)a n =1×2×2,a n =4n (n +1).【经典例题3】已知数列a n 中,na n +1=2(n +1)a n +n (n +1)且a 1=1,求数列a n 的通项公式.【解析】na n +1=2(n +1)a n +n (n +1),等式两侧同除n (n +1),形成a n +1n +1=2a n n +1,令b n =an n,则b n +1=2b n +1,这又回到了构造一的形式,所以b n +1+1=2(b n +1),b n +1 是以2为首项,2为公比的等差数列,即b n +1=2×2n -1=2n , b n =2n -1,所以a nn=2n -1,a n =n (2n -1).【经典例题4】已知a 1=1,且na n +1=(n +2)a n +n ,求数列a n 的通项公式.【解析】等式两侧同除n (n +1)(n +2),得a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1)+1(n +1)(n +2),即a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)(n +2),a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)-1(n +2),另b n =a n n (n +1)，所以b n +1-b n =1(n +1)-1(n +2),接下来就是叠加法发挥作用的时候了b 2-b 1=12-13b 3-b 2=13-14b 4-b 3=14-15⋯⋯b n -b n -1=1n -1(n +1)叠加得b n -b 1=12-1(n +1),b 1=a 12=12,所以b n =1-1(n +1)=n n +1，即a n n (n +1)=nn +1，a n =n 2.【练习1】已知数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则a 10=()A.28B.128C.-28D.-128【答案】B【解析】数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则:1a n +1-1a n=3(常数)则：数列1a n 是以1a 1=1为首项,3为公差的等差数列。
构造法求数列通项
构造法求数列通项介绍构造“新数列”求原数列通项的方法简捷实用。
一、型如1()n n a pa f n +=+(p 为常数且0p ≠，1p ≠)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。
1、()f n q = (q 为常数)，可构造等比数列求解。
例1、已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a 。
解：∵121+=+n n a a ，∴)1(211+=++n n a a ，令1+=n n a b ，则数列}{n b 是公比为2的等比数列，∴11-=n n q b b ，即n n n q a a 2)1(111=+=+-，∴12-=n n a 。
例2、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a 。
解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-。
注：一般地，递推关系式1n n a pa q +=+ (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)可等价地改写成)1(11p q a p p q a n n --=--+，则{pqa n --1}为等比数列，从而可求n a 。
2、()f n 为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。
如()nf n q = (q 为常数) ，两边同除以nq ，得111n n n n a a q p q q ++∙=+，令nnn a q b =，则可转化为1n n b pb q +=+的形式求解。
例3、已知数列{a n }中，156a =，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a 。
解：由条件，得1122(2)13n n n n a a ++=+，令2n n n b a =，则1213n n b b +=+，即123(3)3n n b b +-=-，又111523b a ==，1433b -=-，∴数列{3}n b -为等比数列，故有142()333n n b -=-+，即1422()333nn n a -=-+， ∴ 2332n n n a =-+。
巧用构造法,求数列的通项(熊敏)
巧用构造法，求数列的通项湖北省秭归县第一中学 熊 敏 443600求递推数列通项在高考中多次出现，它既是中学数学的一个重点，又是一个难点，由于求通项的方法多，技巧性强，学生不易掌握，在这里，着重介绍一类利用构造法来求通项的典型例子。
1、q pa a n n +=+1（p、q 为非零常数）型此类型的通项公式求法通常有两种思路：一是构造新数列使其成为等比数列，设原递推关系为)(1λλ+=++n n a p a ，其中λ为待定系数，于是有q p =-λλ，即1-=p q λ，这样，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p qa n即为等比数列，从而求出n a 。
二是利用递推关系=++=++=+=---q pq a p q q pa p q pa a n n n n2221)(…=++--q pa p n n 211…+qpq +例1：已知11=a ，121+=+n n a a ，求na方法一：令)(21x a x a n n +=++x a a n n +=+21比较系数得1=x ，从而)1(211+=++n n a a数列{}1+n a 是以2为公比的等比数列。
nn n n a a 2222)1(1111=⋅=⋅+=+-- 12-=n n a方法二：1221)12(2122221++=++⋅=+=---n n n na a a a=122212)12(223332+++=+++⋅--n n a a=……=++--21122n n a …+1222++=2n -1它的实质是下标递降，直到退到已知为止。
2、)(1n f pa a n n +=+（p为常数，1≠p 且0≠p ）型此类型的通项公式求法，根据结构构造新数列，即)]([)1(1n g a p n g a n n λλ-=+-+，比较系数有：)()()1(n f n g p n g =-+λλ；求出λ，则数列{})(n g a nλ-是等比数列。
例2：数列{}n a 中，11=a ，1341++=+n a a n n ，求n a 。
构造法求递推数列的通项公式
巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。
本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。
解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。
故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法 利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。
例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。
解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]， 即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。
常见数列通项的求法
常见数列通项的求法
数列的通项公式是数列的核心，它描述了数列中每一项与项数之间的规律。
求数列的通项公式是数列问题中的重要内容。
以下是几种常见的求数列通项公式的方法：
1.观察法：通过对数列的前几项进行观察，找出规律，从而得到
通项公式。
2.累加法：对于形如an=an−1+f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累加得到an。
3.累乘法：对于形如an=an−1×f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累乘得到an。
4.构造法：通过构造新数列，将原数列的递推关系式转化为新数
列的递推关系式，从而求出通项公式。
5.数学归纳法：对于一些与n有关的数列，通过数学归纳法证明
其通项公式。
6.等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d，其中d是公差。
7.等比数列通项公式：an=a1×qn−1，其中q是公比。
8.裂项相消法：对于分式形式的递推关系，通过裂项相消法求出
通项公式。
9.特征根法：对于一些特定形式的递推关系，通过特征根法求出
通项公式。
以上是常见的求数列通项公式的方法，具体使用哪种方法需要根据题目给出的条件和递推关系式来确定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。
例1:数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( ) A ．n 2 B ．12+n C ．12-n D ．12+n 解法1：121+=+n n a a)1(22211+=+=+∴+n n n a a a又211=+a 2111=++∴+n n a a{}1+na 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-nn n n n a a ,所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。
例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。
解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。
112--=-n n n a a ，（n>1）n>1时1221211222)()()(21112211-=--=++++=+-++-+-=-----nnn n n n n n n a a a a a a a a显然n=1时满足上式∴=n a 12-n小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。
解：2132--+=n n n a a a)(3211---+=+∴n n n n a a a a又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7，公比为3的等比数列，则2137--⨯=+n n n a a ………………………①又)3(3211-----=-n n n n a a a a ，13312-=-a a ，{}13--n n a a 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②①+⨯3② 11)1(13374---⋅+⨯=n n n a 11)1(413347---+⨯=∴n n n a小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
例4：设数列{}n a 的前项和为n n n n S a S =-22,若成立，(1)求证： {}12-⋅-n n n a 是等比数列。
(2) 求这个数列的通项公式证明：(1)当 2,)1(2,1111=∴-=-⋅=a a b a b n又n n n S b a b ⋅-=-⋅)1(2 ………………………① 111)1(2+++⋅-=-⋅∴n n n S b a b ………………………② ②—① 11)1(2++⋅-=-⋅-⋅n n n n a b a b a bnn n a b a 21+⋅=∴+当2=b 时，有n n n a a 221+=+)2(22)1(222)1(11-+⋅-⋅=⨯+-+=⨯+-∴n n nn n nn n a n a n a又12111=--a{}12-⋅-∴n n n a 为首项为1，公比为2的等比数列，(2)1112)1(,22---⋅+=∴=⋅-n n n n n n a n a小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。
例5：数列{}n a 满足111232,3++⋅+==n n n a a a ，则=n aA ．n n 2)13(⋅-B ．12)36(-⋅-n n C ．12)12(3+⋅-n n D ．12)23(-⋅-n n解：322,2321111+=∴⨯+=++++nn n n n n n a a a a232,322111==-∴++a a a nn n n 又⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n n a 2构成了一个首项这23，公差为3的等差数列，2333)1(232-=⨯-+=∴n n a nn112)36()233(22--⨯-=-⋅⨯=n n n n n a 所以选B 。
小结：构造等比数列，注意形nn a 2，当1+→n n 时，变为112++n n a 。
例6：已知函数)0(,)2()(2≥+=x x x f ，又数列{}n a 中21=a ，其前n 项和为,n S )(*∈N n ，对所有大于1的自然数n 都有)(1-=n n S f S ，求数列{}n a 的通项公式。
解：2112)2()(,)2()(+==+=--n n n S S f S x x f2,211=-∴+=∴--n n n n S S S S211==a S{}n S ∴是首项为2，公差为2的等差数列。
22,22)!(2n S n n S n n =∴=-+=。
2≥n 时，24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n且当1=n 时，21421-⨯==a 符合条件∴通项公式为24-=n a n例7：（2006山东高考题）已知21=a ，点（1,+n n a a ）在函数x x x f +=2)(的图象上，其中 ,3,2,1=n 求数列{}n a 的通项公式。
解：x x x f 2)(2+= 又),(1+∴n n a a 在函数图象上 n n n a a a 221+=+221)1(121+=++=++n n n n a a a a3lg )1lg(,2)1lg()1lg()1lg(2)1lg(111=+=+++=+∴++a a a a a n n n n{})1lg(+na 是首项为3lg 公比为2的等比数列12113lg 3lg 2lg -=⋅=-+n n n a1231-=+∴n n a1312-=-n n a小结：前一个题构造出n S 为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造(){}1lg +n a 为等比数列,再利用对数性质求解。
数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。
例8：(2007天津高考题)已知数列{}n a 满足nn n n a a a 2)2(,2111⋅-++==++λλλ，（*N n ∈）其中0>λ，求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求{}n a 的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。
解：)0*,(,2)2(11>∈⋅-++=++λλλλN n a a nn n n 1)2()2(111+-+=∴+++nn nnn n a a λλλλ,1)2()2(111+-=-∴+++nnn n n n a a λλλλ。
所以02,1)2()2(1111=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++λλλλλλa a a n n nn n n所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n nn a )2(λλ为等差数列，其首项为0，公差为1； n n n n nnn a n a 2)1(,1)2(+-=∴-=-∴λλλ例9：数列{}n a 中，若21=a ，nn n a a a 311+=+，则=4aA ．192 B ．1516 C ．58 D ．43解：31311,3111+=+=∴+=++nnnn nn n a a a a a a a又⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=n a a 1,2111是首项为21公差3的等差数列。
562,2562533)1(211-=∴-=-=⋅-+=n a n n n a n n19254624=-⨯=∴a 所以选A变式题型：数列{}n a 中，nn n a a a a 312,211+==+，求=n a解：nnn n nn n a a a a a a a 121232311,31211⋅+=+=∴+=++3,232),1(2111-=∴=-+=+∴+λλλλ则令n n a a2531),31(213111-=--=-∴+a a a nn 又⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴31n a 是首项为25-公比为21的等比数列11)21(2531,)21(2531---=∴-=-n n n na a 1)21(2531--=∴n n a小结:)(1n n a f a =+且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。
总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进中探索。